14-15一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程ppt课件

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1.4-1.5一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程

1 dx C ] x [ ln x C ] ， 2 4 1 2 y x ( ln x C )2 。把 y z 代入，得通解： 2

ze
2 dx x
x [ e 2
2 dx x
2
13
例 6．求下列方程的通解。（1） ( x 2 y 2 2 x 2 y)dx 2( y 1)dy 0 ；
y x
（其中 C e C1 为任意常数.）
5Байду номын сангаас
y 1 x ，令 y u ，则 y ux ， dy u x du ，解： y y dx dx x 1 x du 1 u 1 u dx 代入原方程得： u x ， du ， 2 1 u x dx 1 u 1 arctan u ln(1 u 2 ) ln x ln C1 ， 2
解：令 z y 2 2 y ，则 dz 2( y 1)dy ，恰与分析：观察方程，发现 dy 前的因子 2( y 1)
2 y 2 2 y 有导数关系，故令 z 0y， 2 y 。 2 原方程改写为 ( x 2 x z )dx dz
z z ( x 2 2 x ) ，
设其通解为 z ( y, C1 ) ，即
dy ( y , C1 ) ， dx
dy 则原方程的解为 x C2 。 ( y, C1 )
20
1 y2 例 9．解方程 y 。 2y dz 解：令 y z ，则 y z ，代入原方程得 dy
2 zdz dy dz 1 z 2 即z ，即， 2 1 z y dy 2y
xz z ln x ，即 ( xz ) ln x ，

一阶微分方程ppt课件

Q( x) Qm ( x) , 即 y Q m ( x ) e x
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解特征方程为 r2 3r 10 0

常微分方程课件--可降阶的高阶方程

x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：

w dx c1 H 1 p2
dp
x ln( p 1 ( p) ) c1 （1.7.1８）即 a H 式中 a ．把初始条件 y(0) 0 代入 w （1.7.1８）上式得：1 0 ，故（1.7.1８）变为 c
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
dx d n 1 x 方程,但乘以一个合适的因子 (t , x, , n 1 ) dt dt 后就成为全微分方程. 称其为方程(1.7.4)的积分
因子.
d 2 x dx 2 例求解方程 x ( ) 0 2 dt dt
解：原方程可以写成 d ( xx ' ) 0 dt 故有 xx c
又由于
dS dy 2 1 ( ) dx dx
故
dW dy 2 w 1 ( ) dx dx d2y w dy 2 1 ( ) 2 dx H dx
从而方程（1.7.16）化为：（1.7.1７）
记 b 为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离，则有： y(0) b, y(0) 0 （1.7.1７）是一个不显含自变量
原方程可以写成dtdtxxdt积分后得通解为故有dtdtdtdt可降阶的高阶方程的应用举例速度v运动方向永远指向p点求m点的运动例1追线问题平面上另有一点m它以常正向移动

一阶线性微分方程,可降阶的高阶微分方程

y = Ce ∫

− P( x)dx
y+ 1. 一阶线性齐次方程 − ∫ P( x )dx ′ P ( x ) y ≡ 0∫ P( x )dx 非齐次方程通解 C + Q( x)e dx 非齐次方程通解 y = e
可分离变量
∫

2.
一阶线性非一阶线性非齐次方程
y′ + P( x) y = Q( x)
求解
1+ y ′ 2 (1) y′′ = ； 2y dy ′ dz dz dy dz 解：令 y ′ = z ，则 y ′′ = = = =z ，
dx
dx
dy dx
dy
dz 1+ z 2 2 zdz dy z = = ，，即 2 y dy 2 y 1+ z
积分，得 ln(1+ z 2 )= ln y + lnC ， 1+ z 2 = C1 y ．积分，
x=e ∫
=e ∫
− P ( y )dy
1 dy y
∫ P( y)dydy] ， [C + ∫ Q( y)e
3 −
[∫ y e
∫
1 dy y
故原方程的通解为 x = y + Cy ． 3
1 3 dy + C ] = y[ y + C ] ， 3 1 4
二、 Bernoulli（伯努利）方程的解法（伯努利）
(2)
( x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0 ;
y′ + y y ln y = 2 ． x x
y y (2) y′ + ln y = 2 ． x x 1 1 1 y′ + ln y = 2 ，解： y x x

《高阶微分方程》课件

非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通过示例进行解释。
应用实例
1
高阶微分方程在物理学中的应用
探索高阶微分方程在物理学领域的重要应用，如运动学和波动理论。
2
高阶微分方程在工程学中的应用
揭示高阶微分方程在工程学中的实际应用案用领域
二阶微分方程的解法
1
常系数二阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数二阶齐次微分方程，并提供实际案例。
2
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通过示例进行说明。
n阶微分方程的解法
常系数n阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数n阶齐次微分方程，并提供实例证明。
概述高阶微分方程对数学和科学领域的重要性，以及它们在解决实际问题中的广泛应用。
引导学生继续深入学习高等数学相关课程
鼓励学生进一步学习高等数学中与微分方程相关的更高级和复杂的主题和技巧。
《高阶微分方程》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将探讨高阶微分方程的基础知识，包括二阶微分方程的定义、常系数二阶齐次微分方程和非齐次线性微分方程等。
导言
二阶微分方程的定义
介绍二阶微分方程的基本概念和特点。
常系数二阶齐次微分方程
介绍常系数二阶齐次微分方程的解法和示例。
非齐次线性微分方程
探讨非齐次线性微分方程的求解方法和相关应用。

高等数学自考8.2可降阶的高阶微分方程.ppt

第三节可降阶的高阶微分方程
本节介绍通过变量代换将特殊的高阶微分方程化成一阶微分方程的降阶法.
一. y(n) f (x) 型方程
y(n) f (x) 两边积分:
y(n1) f (x)dx C1 再积分:
y(n2) [ f (x)dx C1]dx C2
连续积分n次得出含有n个任意常数的通解.
例: y(3) sin x x
逐次积分得:
y
cos x
x2 2
C1
y
sin
x
x3 6
C1x
C2,
y
cos
x
x4 24
C1 2
x2
C2 x
C3
二. y f (x, y) 型方程如果二阶方程不显含 y,
令
y
p
,则
y
dp dx
p
方程变为: p f (x, p)
解出这个一阶方程的通解: p (x,C1)
如果方程不显含 x,
令
y
p
,
则
y
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变为: p dp f ( y, p)
dy
解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:
p y ( y,C1)
dy
则原方程的通解为: ( y,C1) x C2
例: yy y2 0
令 y p ,
则 y p dp ,
dy
方程变为: yp dp p2 0 dy
即: y dp p 0 dy
或者 p 0
y dp p 0 dy
的通解为:
p C1 y
y C1 y 其通解为: y C2eC1x

一阶微分方程(PPT课件)

自由项
dy P( x) y Q( x) (2) dx 一阶线性非齐次方程 dy (3) P( x) y 0 dx
一阶线性齐次方程
方程(3)是可分离变量方程, 其通解为:
y Ce 方程(2)的通解常数变易法 P ( x ) dx 设(2)的通解: y C ( x)e
1 2 S (t ) gt c1 , S (t ) gt c1t c2 , 两次积分分别得出: 2 1 c1 v0 , c2 S0 , 条件代入: S (t ) gt 2 v0t S 0 , 2
则 S (t ) g , S |t 0 S0 , S |t 0 v0
(1)
f ' (t ) 8tf (t ) 8te
4t 2
解此一阶线性微分方程得： ,
8tdt 4t 2 8tdt 4t 2 2 f (t ) e 8 te e dt C e 4 t C . 由 (1) 式知：f (0) 1, 代入上式得： C 1.
x 3 ,
x 3 .
2.设f (t )在[0,)上连续且满足 f (t ) e
4t 2

2
x y 2 4t 2
4t 2 2

1 2 f( x y 2 )dxdy, 求f (t ) 2
2t
2t 1 1 4t 2 f (t ) e d f ( r )rdr＝e 2 f ( r )rdr， 0 0 0 2 2 等式两端同时关于t 求导并整理得：
ye
P ( x ) dx P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
(4)
注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;. 2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可; P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx 非齐次方程 e 3. y Ce Q( x)e dx 解的结构

第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件

- 10 -
第二节一阶微分方程
例6 解微分方程 y ytany. xx
解: 令 u y , 则 yuxu ,代入原方程得 x
第
u xu u ta un
十
二章
分离变量
cosududx sinu x
微分方
两边积分 c siou u nd sudxxln |C|
程
得
ln su i n ln x ln C ,即 siu n Cx
第十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分方
即
程
令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
-5-
第二节一阶微分方程
xyd x(x21)d y0 例2. 解初值问题 y(0)1
第十
解:
分离变量得
dy y
1xx2
代入原u'方 (x程 1)1 2
1
积分 u2(x1)2C
1
所求方程y的 (x 通 1)2[2解 (x1为 )2C]
第解法二公式法
十二章
方程为
dy
2
3
y(x1)2
dx (x1)
微分方
y ex 2 1 d[x(x 1 )2 3e x 2 1 dd x x c ]
程
(x1)2[
3
(x1)2(
方程
y
xx0
y0
-2-
第二节一阶微分方程
一可变量分离方程可分离变量方程一般形式

可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构PPT课件

第7页/共24页
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意：在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入，确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
第10页/共24页
第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构二、n阶线性微分方程的通解结构
11
第11页/共24页
y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
第17页/共24页
y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
第1页/共24页
4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式（2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程

第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件

说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
-4-
第二节一阶微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
第二节一阶微分方程
第二节一阶微分方程
一
第十二章
微
分方
二
程
可分离变量方程一阶线性方程
三全微分方程
-1-
第二节一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式 yf(x,y)
也可表示为
第十
P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
二
章一阶微分方程初始值问题
微分
y f (x, y)
十
ab
二章
定常数),
则 d x d X ,d y d Y ,原方程化为
微
ahbkc
分方
a1hb1kc1
程
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
- 13 -
第二节
求出其解后,
一阶微分方程
即得原方
程的解.
2)当 . a1b1时,原方程可化为
ab
第十二章微
d dxy(aaxxbbyy )cc1 (b0)
第十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分方
即
程
令CeC1

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12
例 5．求方程 dy 4 y x y 的通解。
dx x
解：把方程 dy 4 y x y 改写为 dy 4 y x y ，
dx x
dx x
令 z y 或 y z2 ，则有 dy 2z dz ， dx dx
代入原方程，得 2z dz 4z2 zx ， dx x
即 dz 2z x ，这是线性方程。 dx x 2
1 ln(1 2
u2 )
ln
x
ln C1 ，
arctan u ln C1 x 1 u2 e ， arctanu C1 x 1 u2 ，
将u
y
代入，得原方程的通解：e
arctan
y x
C
x2 y2 。
x
6
（二）形如 y f (ax by) 的方程
令 u ax by ， y 1 (u ax) ， y 1 (u a) ，
， dy dx
( y )2 x， y 1
x
令 y u ，则 y ux ， dy u x du ，代入原方程得
x
dx
dx
u
x
du dx
u2 u1
，
dx x
u u
1
du ，
dx x
(1
1 )du u
，
ln x u ln u C1 ，ln xu u C1 ， xu eC1 eu ，
b
b
代入原方程得： u a bf (u) ，
即 du a bf (u)，这是可分离变量方程。 dx
7
例 3．求方程 y sin(x y) 的通解。
解：令 u x y ，则 y x u ， y 1 u ，
代入原方程得：1 u sin u ，即 du 1 sin u ，
dx
1
du sin
u
dx
，
1
du sin
u
dx
，
而
1
du sin
u
1 sin udu cos2 u
(sec2 u tan usec u)du tan u sec u C1 ，
∴ tan u secu x C 。
将 u x y 代入，得原方程的通解：
tan( x y) sec( x y) x C 。
8
（三）形如
y
f
(
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
)(a1b2
b1a2 ) 的方程
例 4．解微分方程 y x y 5 。 x y1
解分：析令：x这个u 方h程，不y是齐v 次k方，程则，xx它与yy 齐 15次方uu程 h的h差vv别 kk
5 1
，
在一令于种分变hh子换 kk与，分使15母新多的00 了表常达kh数式项中32，不。为出∴了现消常x 去数u常项数，3 ，项借，用y 通平v过面 2 ，
z
e
2 dx
x[
x
e
2 dx
x dx
C]
x2[1
ln
x
C]，
2
2
把 y z2 代入，得通解： y x4 ( 1 ln x C )2 。
2
13
例 6．求下列方程的通解。（1）( x2 y2 2x 2 y)dx 2( y 1)dy 0 ；
分解析：：令观z察方y2程，2 y发，现则dydz前的2(因y 子 12)d( y ， 1) 恰与原方程y2改写2 y为有( x导2 数2关x 系 z，)d故x 令dzz0y，2 2 y 。
∵
d(
y1n )
(1
n) yn
dx
dy ，
dx
dx
∴有 1 d ( y1n ) P( x) y1n Q( x) ，
1 n dx
令 z y1n ，得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x) ， dx
求出通解后，再用 y1n代替 z ，便得伯努利方程的解。
11
例 4．求方程 dy y a(ln x) y2 的通解。 dx x
第一节微分方程的初等积分法
1.4 可利用变量代换求解的几类一阶微分方程
（一）齐次型微分方程的解法
1、定义：若当 t 0 时，有 f (tx, ty) f ( x, y) ，则称
方程 dy f ( x, y)为齐次方程。
dx
在等式 f (tx, ty) f ( x, y) 中令 t 1 ，得
将u
y
代入，得原方程的通解：
y
y
Ce x
。
x
（其中 C eC1 为任意常数.）
5
例 2．求 y x y 的通解。
x y
解：
y
1 1
y
x y
，令
y x
u
，则
y ux ， dy u x du ，
dx
dx
x
代入原方程得：
u
x
du dx
1 1
u u
，
1u 1 u2
du
dx x
，
arctan u
arctan y2
原方程的通解 e x3 C
( x 3)2 ( y 2)2 。
10
（四）伯努利 (Bernoulli) 方程的解法
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0, 1) dx
的方程
称为伯努利方程，其中 P( x)、Q( x) 为 x 的连续函数。
用 yn 除方程两端，得到 yn dy P( x) y1n Q( x) ，
x
f ( x, y) f (1, y ) ( y ) ，
x
x
故齐次型微分方程的一般形式为 dy ( y )
dx x
2
在 dy (， dy u x du ，
dx
dx
代入原方程得: u x du (u) ，
dx
即 x du (u) u ，为可分离变量方程。
解： y2 dy 1 y1 a ln x ， dx x
令 z y1 ，则得 dz 1 z a ln x ， dx x
∴
z
e
1 dx
x[
(a
ln
x
)e
1 x
dx
dx
C
]
x[
a
ln xdx x
C]
x[C
a 2
(ln
x)2 ]
，
将 z y1 代入，得原方程的通解： xy[C a (ln x)2 ] 1 。 2
解析d几x 何d中u坐，标d平y 移d的v 思。路可解决这个问题。
原微分方程就可化为齐次方程型 dv u v
1
v u
，
du u v 1 v
u9
原微分方程就可化为齐次方程型
dv
u
v
1
v u
，
du u v 1 v
其解由例
2
可得
arctan
e
v u
C
u2 v2
，
u
将 u x 3 ， v y 2 代入，得原方程的通解：
dx
注意：用变量代换求解时，必须换回原变量。
3
例 1．求方程 y2dx ( x2 xy)dy 0 的通解。
y
y Ce x
例 2．求 y x y 的通解。 x y
arctan y
e x C
x2 y2
4
例 1．求方程 y2dx ( x2 xy)dy 0 的通解。
解： dy dx
y2 xy x2

14-15一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程ppt课件

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