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如何解高阶线性微分方程呢？（个人思路整理，部分） 这里，首先给出高阶线性微分方程的一般形式：1111()()()()nn n n nn x xx a t a t a t x f t ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.1）而这里还有一条思路：先研究方程（4.1）对应的高阶齐次线性方程：1111()()()0nn n n nn x xx a t a t a t x ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.2）的解，再通过（4.2）的解与（4.1）的解之间的关系，得出（4.1）的解。
而根据上面这条思路，首先得得到（4.2）的解，我们才能得到（4.1）的解。
——————————————————————————————————————— 在我们作任何研究分析之前，先不加证明的给出下面这个定理，请牢记。
定理1： 如果()i a t (1,2,,)i n = 及()f t 都在区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一0[,]t a b ∈及任意的(1)(1)00,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初值条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t dt t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3）———————————————————————————————————————一．下面，我们先来分析（4.2）的解的自身的性质。
性质1（叠加定理）：即（4.2）的某些解的线性组合仍是（4.2）的解。
这样，如果（4.2）存在非零解，则（4.2）就有无数个解。
因为，实数有无数个。
——————————————————————————————————————— 在给出性质2之前，先引入几个新概念： a. 函数的线性相关和线性无关：考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数12(),(),,()k x t x t x t ，如果存在不全为零的数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡[,]a b ∈都成立，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关。
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程是一类数学方程，可以用来描述物理系统的运动规律。
它的形式为：y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + an-1y(1) + any(0) = f(t)，其中，y(n)是未知函数，a1、
a2、...、an-1、an是系数，f(t)是非齐次项。
高阶线性微分方程可以用来描述振动系统、声学系统、电磁系统等多种物理系统的运动，是工程学、物理学、数学等学科的重要研究内容。
解决高阶线性微分方程的方法有多种，如拉普拉斯变换、积分变换、Laplace变换等。
高阶线性微分方程在工程应用中有着重要的作用，它可以用来描述工程系统的运行规律，为工程设计提供重要的理论支持。
因此，研究高阶线性微分方程具有重大的意义。
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶线性微分方程函数组的线性相关与线性无关线性微分方程的一般形式齐次线性微分方程的解的结构非齐次线性微分方程的解的结构函数组的线性相关与线性无关设)(1x y ,2()y x , ,()n y x 为定义在区间I 上的n 个 如果存在n 个不全为零的常数1k ,2k , ,n k , 当x I ∈时有恒等式11220n n k y k y k y +++≡成立， 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关； 否则称为线性无关.函数, 使得函数1，2cos x ，2sin x 在整个数轴上是线性相关的. 例如,取11k =，231k k ==-，就有恒等式 221cos sin 0x x --≡.函数1，x ，2x 在任何区间(,)a b 内是线性无关的. 如果1k ，2k ，3k 不全为零, 在该区间内至多只有两个x 值能使2123k k x k x ++为零. 要使21230k k x k x ++≡， 必须1k ，2k ，3k 全为零.对于两个函数1()y x ,2()y x的情形:如果21() ()y x y xk=,k为常数，1()y x与2()y x线性相关；如果21()(() )y x y xxϕ=,1()y x与2()y x线性无关.线性微分方程的一般形式n 阶线性微分方程的一般形式是： ()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= 二阶线性微分方程的一般形式是： 22d d ()()()d d y y P x Q x y f x x x ++=当方程右端()0f x≡时，方程22d d()()0d dy yP x Q x yx x++=叫做齐次的；当方程右端()0f x≠时，方程22d d()()()d dy yP x Q x y f xx x++=叫做非齐次的.齐次线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++= (1) 定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解, 那么)()(2211x y C x y C y +=也是方程(1)的解,其中21,C C 是任意常数.证 将y ,y ',y ''代入方程左端，得112211221122[]()[]()[]C y C y P x C y C y Q x C y C y ''''''+++++ 11112222[()()][()()]C y P x y Q x y C y P x y Q x y ''''''=+++++ 0= 0= 0=()()0y P x y Q x y '''++= , )()(2211x y C x y C y +=从形式上来看)()(2211x y C x y C y +=含有1C 与2C 两个任意常数， 但它不一定是方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解. 例如,设1()y x 是该方程的一个解,则21()2()y x y x =也是该方程的解.1121()2()y C y x C y x =+ 1()Cy x =, 其中122C C C =+定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解， )()(2211x y C x y C y +=(1C ,2C 是任意常数） 就是方程(1)的通解.()()0y P x y Q x y '''++= (1)那么例如， 方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程， 容易验证， 1cos y x =，2sin y x =是所给方程的两个解， 21sin tan cos y x x y x==≠常数， 即1y 与2y 线性无关, 因此所给方程的通解为12cos sin y C x C x =+.推论 如果)(1x y ,2()y x , ,()n y x 是n 阶齐次 线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= 的n 个线性无关的解， 那么此方程的通解为1122()()()n n y C y x C y x C y x =+++ 其中1C ，2C ， ，n C 是任意常数.非齐次线性微分方程的解的结构二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)与非齐次方程对应的齐次方程.定理3 设*y 是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解, ()Y x 是与(1)对应的齐次方程(2)的通解,则 ()()y Y x y x *=+是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)证 ***()()()()()Y y P x Y y Q x Y y ''''''+++++ ***[()()][()()]Y P x Y Q x Y y P x y Q x y ''''''=+++++()f x =y Y y *=+中也含有两个任意常数，将y ,y ',y ''代入方程左端，得0= ()f x = 从而它就是二阶非齐次线性方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1)例如，齐次方程0y y ''+=的通解为 12cos sin Y C x C x =+, 容易验证 方程2y y x ''+=是二阶非齐次线性微分方程. *22y x =-是所给方程的一个特解. 所给方程的通解为 212cos sin 2y C x C x x =++-.12,,,n y y y ()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x --'++++= ()(1)11()()()0n n n n y P x y P x y P x y --'++++= *1122n n y C y C y C y y =++++ 是非齐次线性微分方程 所对应的齐次线性微分方程 而*y 是非齐次线性微分方程的特解, 的n 个线性无关解， 如果 则 就是非齐次线性微分方程的通解.定理4 设非齐次线性方程的右端()f x 是两个函数之和，即 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 1()y x *是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 2()y x *是方程)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 则12()()y x y x **+就是原方程的特解. 解的叠加原理证 将12y y y**=+代入原方程的左端，得 ******121212()()()()()y y P x y y Q x y y '''+++++******111222[()()][()()]y P x y Q x y y P x y Q x y ''''''=+++++ 12()()f x f x =+因此**12y y +是原方程的一个特解. 1()f x =2()f x = )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''。
