河北省衡水中学高一数学必修一自助餐 函数的概念(二)

衡水中学高一数学预习知识点——函数的概念一、 知识点讲解1.函数的定义：一般地，设A ，B 两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每个元x ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫从A 到B 的一个函数。

2.定义域：x 的值构成的集合A 叫函数y=f(x)的定义域。

3.值域：集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

4.函数的三要素：定义域，值域，对应关系5.两个函数的三要素相同，则这两个函数相等。

6.映射：一般地，设A,B 是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中存在唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

7.函数一定是映射，但是映射不一定是函数。

8.在函数中，A,B 是两个数集，即A,B 中的元素都是实数，但是在映射中，A ，B 中的元素不一定是实数。

9.区间的定义及表示：设a ，b 是两个实数，且a<b二、 经典例题1.有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x<0)表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝0.其中正确判断的序号是________．【解析】对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x≥0)－1 (x<0)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于12f⎛⎫⎪⎝⎭＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝f(0)＝1.【答案】②③.2.下列对应不是映射的是( )【解析】结合映射的定义可知A ，B ，C 均满足M 中任意一个数x ，在N 中有唯一确定的y 与之对应，而D 中元素1在N 中有a ，b 两个元素与之对应，故不是映射．【答案】D3.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x ＜2，3，x ≥2的定义域为________． 【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.【答案】[1，＋∞)。

高一必修一数学函数知识点导语：数学是一门需要逻辑思维和抽象推理能力的学科，而函数则是数学中最基础和最重要的概念之一。

在高一的学习中，数学函数是必修的知识点，是学生们打好数学基础的关键。

本文将以高一必修一数学函数为主题，介绍其中的一些重要知识点。

一、函数的概念函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

简单来说，给定一个输入，函数能够根据一定规则产生一个输出。

函数常用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f是函数的表达式。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数对应的因变量的取值范围。

二、函数的分类函数可以分为线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等多种类型。

线性函数是最简单和最常见的函数，表达式形式为y=kx+b，其中k和b分别为常数。

指数函数具有形如y=a^x的表达式，其中a是底数，x是指数，a通常大于1。

对数函数是指数函数的反函数，表示为y=log_a(x)，x和y的位置互换。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述角度和周期性变化的函数。

三、函数的性质函数具有一些重要的特性和性质。

其中，奇偶性是一种常见的函数特性，奇函数在定义域内的任意点x，都有f(-x)=-f(x)；偶函数在定义域内的任意点x，都有f(-x)=f(x)。

另外，函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而单调递增或递减。

此外，函数还有周期性、奇周期性和偶周期性等重要的性质，这些性质在研究周期性变化时非常有用。

四、函数的图像函数的图像描述了函数在坐标系中的几何形状。

根据函数的表达式和性质，可以画出函数的图像。

对于线性函数，图像为一条直线；对于指数函数，图像在底数大于1时呈指数递增的曲线；对数函数的图像是指数函数的镜像；三角函数的图像是一系列振动的曲线。

通过观察函数图像，可以得到函数的一些重要特性。

五、函数的应用函数是数学的基础，也是各个学科和实际问题的基础。

函数在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用。

例如在物理中，运动方程可以用函数来描述；在经济学中，需求和供给函数用于分析市场；在生物学中，种群增长模型采用指数函数等。

函数的知识点总结及拓展函数的概念一.函数的概念：1.概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

2.函数三要素：①定义域：x的取值范围的集合；②值域：y的取值范围的集合；③对应关系：y与x的对应关系。

二．区间：设a，b∈R，且a<b，规定如下：三．函数的定义域和值域：1.函数定义域：①分母不为0；②被开方数大于等于0，a（a≥0）；③a0=1（a≠0）；④a-n=na⎪⎭⎫⎝⎛1（a≠0）。

2.复合函数的定义域：（1）若已知f (x)的定义域为[a,b],其复合函数f [g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可。

（2）若已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x)的定义域，相当于当x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f (x)的定义域）。

3.求值域的基本方法：（1）配方法：涉及到二次函数的相关问题可用配方法；（2）换元法：通过换元把一个复杂的函数变为简单易求值域的函数；（3）分离常数法：适用与分子分母次数为一次分式函数；（4）单调性法：利用函数单调性求最大值或最小值；（5）数形结合法：结合函数图像求值域；（6）判别式法：分子和分母有一个是二次的分式函数都可通用；（7）不等式法：利用基本不等式求函数的值域；（8）导数法：适用与高次多项式函数。

函数的性质一．函数的单调性：1.单调性的定义：①f (x)在区间M上是增函数⇔∀x1，x2∈M，x1<x2时有f (x1)< f (x2);②f (x)在区间M上是增函数⇔∀x1，x2∈M，x1<x2时有f (x1)> f (x2)。

2.单调性的判定：（1）定义法：一般要将式子f (x1)-f (x2)化为几个因式作积或商的形式，然后判断正负；（2）图像法：结合函数图像判断单调性；（3）复合函数单调性判定：①首先将原函数y =f [g(x)]分解为基本函数，内函数μ=g(x)与外函数y =f [μ]；②分别判定内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同增异减”来判定原函数在其定义域内的单调性。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.一般地，如果()10≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作N x a log =，其中a 叫做对数的，N 叫作 。

2.当a>0且a ≠1时，N a x=等价于 。

3.通常我们将以10为底的对数叫做 对数，并把N 10log 记为 。

4.以e 为底的对数称为 对数，并且把N e log 记为 。

5.=1log a ；=a a l o g ；其中a>0且a ≠1。

一、对数概念的理解1.“log ”同“＋、－、×、÷”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号必须写在数的前面。

2.规定a>0,且a ≠1的理由：若a<0，则N 为某些值时，b 不存在，如()8log 2-=b ；若a=0，N ≠0时，b 不存在；如2log 0不存在。

N=0时，b 可以为任何正数，值不是唯一的，即0log 0有无数个值；若a=1，N ≠1时，b 不存在，如5log 1，当N 也为1时，b 可为任何实数，是不唯一的，即1log 1有无数个。

这样，就规定了a>0,且a ≠1。

3.由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N a b =中，N 总是正数，即零和负数没有对数。

二、对数性质1. 零和负数没有对数：由于正数的任何次幂都是正数，即()00>>a a b，故0>=b a N ，对数记号N a log （a>0且a ≠1），只有在N>0时才有意义。

2.()()101.1001log 0≠>=≠>=a a a a a a 且且 ，由指数与对数的关系，得01log =a 。

3. ()()10.101log 1≠>=≠>=a a a a a a a a 且由于且，根据指数与对数的关系，得1log =a a 。

衡水新高一数学知识点总结数学是一门基础学科，也是现代科学的重要组成部分。

在高中阶段，数学作为一门学科和一种思维方式，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要的作用。

近年来，衡水新高一数学课程加强了对数学知识点的总结和讲解，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

本文将对衡水新高一数学课程中的重要知识点进行总结，旨在帮助学生复习和巩固所学知识。

1. 函数与方程1.1. 函数的概念：函数是一个或多个自变量与因变量之间的关系，用来描述事物之间的联系。

1.2. 一次函数：一次函数的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，表示直线的斜率和截距。

1.3. 二次函数：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b 和c为常数，表示抛物线的开口方向和形状。

1.4. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为底数，表示指数的变化规律。

1.5. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为底数，表示指数与底数的关系。

2. 三角函数与解三角形2.1. 正弦函数：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。

2.2. 余弦函数：余弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。

2.3. 正切函数：正切函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。

2.4. 解三角形：解三角形的方法有余弦定理、正弦定理和正切定理等，通过角度和边长之间的关系求解未知角度和边长。

3. 数列与数列极限3.1. 等差数列：等差数列是一个数列，其中相邻两项的差值为常数，用公式an=a₁+(n-1)d表示，其中a₁为首项，d为公差。

3.2. 等比数列：等比数列是一个数列，其中相邻两项的比值为常数，用公式an=a₁*q^(n-1)表示，其中a₁为首项，q为公比。

3.3. 数列极限：数列极限表示数列的无穷项的极限值，常用极限符号lim(an)表示。

4. 解析几何4.1. 平面直角坐标系：平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，用来表示平面上的点的位置。

§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。

高一数学必修一函数知识点总结在高中数学的学习中，函数是一个非常重要的知识点。

它不仅是后续知识的基础，也在我们的日常生活中有广泛的应用。

因此，对函数的理解和掌握至关重要。

本文将对高一数学必修一函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。

一、函数的概念和表示函数是一种特殊的关系，指的是自变量的每一个取值都唯一对应一个确定的因变量的规律。

函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。

函数可以用图像、表格、公式等方式来表示。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，通常用符号D表示；值域是因变量可能取值的集合，通常用符号R表示。

2. 奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

3. 单调性：如果对于定义域中的任意两个不同的x1和x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。

4. 周期性：如果存在常数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。

三、常见函数类型1. 线性函数：函数的图像是一条直线，表达式为y = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数：函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，表达式为y = ax² + bx + c（a≠0），其中a、b和c都是常数。

3. 指数函数：函数的自变量为指数，底数为常数的函数。

表达式通常为y = a^x，其中a为底数。

4. 对数函数：函数的自变量为底数，底数为常数的函数。

表达式通常为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。

5. 三角函数：函数的图像与有关三角函数的图像相似，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

表达式通常为y = f(x)，其中f(x)可以是sin x、cos x或tan x等。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程关于时间变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是…（ ）A 一次函数B 二次函数C 指数函数D 对数函数2.某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为54000y x =+，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）A200副 B400副C 600副 D800副3.在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中b a ,为待定系数） （ ）A b ax y +=B x b y =C b ax y +=2D xb y = 4.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了。

则下列各图能基本上反映出亮亮这一天（0时~24时）体温的变化情况的是（ ）0 x y5.某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：603)(3+-=t t t T ，时间单位为小时，温度单位为摄氏度(c 0)。

若0=t 为中午12时，其前取值为负，后取值为正，则上午8时的温度是6.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量相应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应为多少元？7.某市出租车规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，求乘客乘车里程的范围。

8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是一组邻边长分别为):(,m y x 单位的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为82m（1） 写出y 关于x 的函数关系式；（2） 写出用料l 与x 的函数关系式。

高一数学必修1函数知识点总结一、函数的基本概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫做函数的值域。

二、函数的性质函数的奇偶性：若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)；若f(x)是奇函数，且0在其定义域内，则f(0)=0；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或f(x)≠f(-x)；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

函数的单调性：通过对函数求导，可以判断函数的单调性。

若导数大于0，则函数在此区间内单调递增；若导数小于0，则函数在此区间内单调递减。

三、复合函数复合函数的定义域：若已知g(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；复合函数的单调性：由同增异减判定，即内外函数单调性相同时，复合函数单调性相同；内外函数单调性相反时，复合函数单调性相反。

四、对数函数对数函数的定义域为大于0的实数集合；对数函数的值域为全部实数集合；对数函数总是通过(1,0)这一点；当底数a大于1时，对数函数为单调递增函数，并且上凸；当0<a<1时，对数函数为单调递减函数，并且下凹。

五、函数图像与对称性函数图像的对称性可以通过观察图像或利用函数的性质进行判断；对于某些特定的函数，如反比例函数，其图像具有特定的对称性。

六、指数函数与幂函数指数函数的形式通常为y=a^x，其中a为底数，x为指数；幂函数的形式为y=x^n，其中n为实数。

这些知识点构成了高一数学必修1中关于函数的基本框架。

在学习过程中，需要深入理解每个知识点的概念、性质和应用，同时结合具体的例题和习题进行练习，以加深对知识点的理解和掌握。