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量子力学中的量子光学引言:量子光学是研究光与物质相互作用时所涉及到的量子效应的一门学科。
它是量子力学和光学的交叉领域，旨在研究和利用光与物质之间微观量子相互作用的基本规律。
本文将对量子光学的基本概念、主要理论模型以及应用领域进行探讨。
一、光的量子性光的量子性是指光在传播过程中表现出的粒子特性。
在经典物理学中，光被认为是一种电磁波，具有波动特性。
然而，根据爱因斯坦提出的光电效应理论以及普朗克的能量量子化假设，我们知道光也具有粒子性。
量子光学的基础是光的量子化，即将光的能量分解成一系列能量量子，每个能量量子被称为光子。
光子是光的基本粒子，具有能量和动量。
根据光的量子化理论，光的能量由光频以及普朗克常量决定。
二、光与物质的相互作用量子光学研究了光与物质之间微观量子相互作用的规律。
在物质中，光与原子、分子等微观粒子发生相互作用，产生吸收、发射、散射等过程。
这些相互作用是由光子与物质之间的相互作用引起的。
1.束缚态系统中的光与物质相互作用束缚态系统是指原子、分子等在某种势场中形成的稳定态。
在束缚态系统中，光与物质的相互作用主要通过能级之间的跃迁来实现。
当光照射到束缚态系统时，光子与物质之间的相互作用将导致能级的改变。
这一过程可通过光的吸收和发射来描述。
2.连续态系统中的光与物质相互作用连续态系统是指大量粒子构成的系统，如固体、液体和气体。
在连续态系统中，光与物质的相互作用主要通过散射过程来实现。
散射过程涉及到光与粒子之间的相互作用，其中包括散射角、散射截面等参数。
三、主要理论模型量子光学研究光与物质的相互作用，其中有几个主要的理论模型。
1.松原方程松原方程是描述光与物质相互作用的基本方程之一。
它是由松原在20世纪40年代提出的，在量子光学中具有重要的地位。
该方程描述了光波通过线性吸收介质传播的行为，其中包括折射、散射和吸收等过程。
2.光与原子相互作用的量子力学模型该模型主要用于描述光与单个原子的相互作用。
量子力学光电效应引言：量子力学光电效应是量子力学的一个重要分支，它研究的是光子与物质相互作用的现象。
自从爱因斯坦提出光电效应理论以来，量子力学光电效应已经成为了现代物理学的重要研究领域。
本文将从理论和实验两个方面来介绍量子力学光电效应。
理论：量子力学光电效应的理论基础是爱因斯坦提出的光电效应理论。
该理论认为，光子与物质相互作用时，光子的能量会被物质吸收，电子会从物质中被激发出来。
这个过程中，电子的动能与光子的能量之间存在着一定的关系，即爱因斯坦方程E=hf。
其中，E表示电子的动能，h 表示普朗克常数，f表示光子的频率。
实验：量子力学光电效应的实验是通过研究光子与物质相互作用的现象来进行的。
实验中，通常使用金属作为物质，将金属暴露在光源中，观察金属表面是否会发生电子发射现象。
实验结果表明，当光子的能量大于金属的逸出功时，金属表面会发生电子发射现象。
此时，电子的动能与光子的能量之间存在着一定的关系，符合爱因斯坦方程E=hf。
应用：量子力学光电效应在现代物理学中有着广泛的应用。
例如，在太阳能电池中，光子与半导体相互作用时，会产生电子-空穴对，从而产生电流。
此外，在光电倍增管、光电二极管等光电器件中，也都利用了量子力学光电效应的原理。
结论：量子力学光电效应是现代物理学中的重要研究领域，它研究的是光子与物质相互作用的现象。
理论上，爱因斯坦提出的光电效应理论为量子力学光电效应提供了基础。
实验上，通过研究光子与物质相互作用的现象，可以验证量子力学光电效应的理论。
应用上，量子力学光电效应在太阳能电池、光电器件等领域都有着广泛的应用。
光电效应和光量子理论光电效应是指当光照射到金属表面时，电子被激发并跃迁到金属内，从而产生电流的现象。
这一现象被广泛应用于太阳能电池、光电二极管和光电倍增管等设备中。
而光量子理论是解释光电效应的一个重要的理论基础。
在本文中，我们将深入探讨光电效应和光量子理论的原理、应用以及相关实验的发现。
光电效应的基本原理可以归结为光子与物质相互作用的过程。
根据爱因斯坦于1905年提出的光量子假设，光被视为由不可分割的能量量子、即光子所组成。
当光子与物质相互作用时，光子的能量可以被转移到电子上，从而使电子脱离原子，并加速流动，形成电流。
这一过程是非常迅速的，当光照射停止后，电流也会立即停止。
为了更好地理解光电效应和光量子理论，我们需要考虑几个关键因素。
首先是光的频率。
根据光量子理论，光的能量与频率成正比。
因此，当频率增加时，光子的能量也会增加。
这意味着频率越高的光，电子脱离原子需要的能量越大。
其次是材料的性质。
不同的材料对光的反应有所不同。
例如，金属通常是良好的光电材料，因为它们的原子结构可以轻易地释放电子。
然而，非金属材料如半导体对光的响应较弱，需要更高能量的光子才能激发电子。
此外，光强度也是影响光电效应的因素之一。
光的强度是指单位面积上光能通过的功率，与光子数目成正比。
当光的强度增加时，单位时间内光子的数目也增加，从而增加了与材料相互作用的光子数目。
因此，光电效应的强度也随之增加。
光电效应在许多领域中都有重要的应用。
其中最著名的应用之一就是太阳能电池。
太阳能电池利用光电效应将太阳光转化为电能。
当太阳光照射到半导体材料上时，光子激发了材料中的电子，产生电流。
这种电流可以被转化为可用的电能。
此外，光电效应还广泛应用于光电二极管和光电倍增管中。
光电二极管是一种能够将光能转化为电流的电子器件。
当光照射在光电二极管上时，光子产生的电子和空穴被分离，从而产生电流。
光电倍增管则是一种能够将微弱的光信号放大为可观测的电流信号的装置。
第10章 光与物质的相互作用10.1 内容提要（一）光的波粒二象性 1.普朗克量子假设（1）一个频率为v 的谐振子只能处于一系列不连续的分立状态，在这些状态中，谐振子的能量只能是某一最小能量ε= hv 的整数倍，即hv ，2hv ，3hv ，…，nhv其中n 为正整数，h 是普朗克常量，ε=hv 称为能量子。
（2）当谐振子从一个量子态跃迁到另一个量子态时，谐振子将发射或吸收以能量子（现称为光子）为单位的电磁能。
一个光量子的能量就是两个相邻量子态之间的能量差，即Thh E ==ν （10.1） 而当谐振子停留在原来的量子态时，它将不发射或吸收任何能量。
普朗克的量子假设突破了经典物理学的观念，第一次提出了微观粒子具有分立的能量值，即振子的能量是按量子数做阶梯式分布，后来人们把振子处于某些能量状态，形象地称为处于某个能级。
2.爱因斯坦的光量子学说（1）光电效应：当光照到某些金属的表面时，金属内部的自由电子会逸出金属表面，这种光致电子发射现象叫做光电效应。
（2）爱因斯坦的光量子假设：光束可以看成是由微粒构成的粒子流，这些粒子叫光量子，也叫光子。
光子以光速运动，对于频率为v 的光束，光子的能量为νεh = （10.2）按照爱因斯坦的光子假设，频率为v 的光束可以看作是由许多能量均等于hv 的光子所构成；频率越高，光子的能量越大；对给定频率的光束来说，光的强度越大，就表示光子的数目越多。
（3）爱因斯坦的光电效应方程：0221A m h m +=v ν （10.3） 式（10.3）中A 0为逸出功，221m m v 为电子的初动能。
3.光的波粒二象性（1）光子的能量： λνhch E == （10.4）（2）光子的质量： λνhch m ==2（10.5）（3）光子的动量： λhmc p == （10.6）（二）光的吸收 散射 色散 1.光的吸收（1）朗伯定律：当一束单色光透过一定厚度的介质时，透射光的强度就会降低，并且产生吸收光谱。
关于光的量子力学
量子力学是研究微观物理现象的理论，它描述了物质的本质，以及物质之间的相互作用。
关于光的量子力学，它描述了光的本质，以及光与物质之间的相互作用。
量子力学认为，光是由一系列的量子组成的，这些量子可以被称为“光子”。
光子是一种基本的粒子，它们具有能量和动量，并且可以在物质中传播。
光子的能量与其频率成正比，即越高频率的光子，其能量越大。
量子力学还描述了光与物质之间的相互作用。
当光照射到物质表面时，光子会与物质中的电子相互作用，从而产生吸收、发射和反射等现象。
此外，光子还可以与物质中的原子和分子相互作用，从而产生化学反应。
量子力学的发展为研究光的性质和光与物质之间的相互作用提供了重要的理论支持，为科学家们提供了更多的可能性。
例如，量子力学的发展为研究光的性质和光与物质之间的相互作用提供了重要的理论支持，为科学家们提供了更多的可能性，例如，量子力学可以用来研究光的行为，从而更好地理解光的性质，从而为科学家们提供更多的可能性。
此外，量子力学还可以用来研究光与物质之间的相互作用，从而更好地理解光与物质之间的相互作用，从而为科学家们提供更多的可能性。
总之，量子力学是研究光的本质和光与物质之间的相互作用的
重要理论，它为科学家们提供了更多的可能性，从而推动了光学研究的发展。
量子光学原理
量子光学原理是研究光和物质相互作用过程的基本原理。
它是基于量子力学和电磁场理论的双重基础之上发展起来的一门科学。
量子光学原理的研究对象包括
各种光学现象，如光的干涉、衍射、偏振等，还包括量子光学效应，如光子的量子涨落、量子纠缠、光子的单光子操控等。
量子光学原理的核心是光与物质相互作用的量子化处理。
在传统的经典光学中，光被视为一种经典波动，物质被视为一种经典粒子。
而在量子光学中，光和物质
都被视为量子粒子，它们之间的相互作用是通过量子力学中的算符来描述的。
这种量子化的处理方式，使得量子光学能够更加准确地描述光的行为和物质的响应，提高了光学技术的精度和灵敏度。
量子光学原理在实际应用中具有广泛的应用前景。
它可以被应用于光通信、光计算、激光技术、光学成像等领域。
例如，通过量子光学原理，可以实现光子的
量子通信和量子计算，这种通信和计算方式比传统的方式更加安全和高效。
同时，量子光学原理也被应用于实现高精度的光学成像，如超分辨成像等。
总之，量子光学原理是一门基础性的科学，它在光学领域中具有重要的地位和作用。
它的发展将会推动光学技术的进步和发展，为人类创造更加美好的未来。
光与物质相互作用的量子力学描述光与物质相互作用是量子力学研究的一个重要领域，其描述了光和物质之间的相互作用方式。
在经典物理学中，光被视为电磁波，而物质则被视为经典力学中的粒子。
然而，当光与物质的尺度足够接近时，量子效应开始显现，必须引入量子力学来准确描述这种相互作用。
量子力学认为光和物质都具有粒子性和波动性。
光的粒子性被称为光子，而物质的粒子性则是以电子为例。
光子和电子都描述了它们的能量、动量和位置，但它们之间有着很大的区别。
光速恒定，光子的质量为零，而电子却有质量。
在量子力学中，光子的运动是由光的频率决定的，而电子的运动则受到电荷和其自身的性质的影响。
当光与物质相互作用时，有两种常见的情况。
一种是光被物质吸收，另一种是光被物质散射。
当光被吸收时，光子的能量转移到物质的粒子中，导致电子被激发或跃迁至一个更高的能级。
这种现象在光电效应中得到了很好的描述。
当光被散射时，原子或分子中的电子重新辐射出光子，改变了光传播的方向。
散射现象可进一步细分为弹性散射和非弹性散射。
在量子力学框架下，光与物质相互作用的过程可以通过量子电动力学（QED）来描述。
QED将电磁场与量子力学相结合，研究光子和电子之间的相互作用。
根据QED理论，光子和电子之间的相互作用发生在通过粒子之间存在的“虚光子”的交换过程中。
这种虚光子在非常短的时间内产生和消失，但对于相互作用的结果却有显著影响。
除了QED之外，量子力学还提供了其他描述光与物质相互作用的工具。
一种常用的方法是密度矩阵理论，它可以描述光和物质之间的纠缠状态。
通过密度矩阵可以计算出有关光子和电子之间相互作用的概率和可能性。
此外，量子力学还提供了一些近似方法，例如微扰理论和量子力学散射理论，可以更精确地描述光与物质的相互作用。
光与物质相互作用的量子力学描述不仅仅在基础研究中发挥着重要作用，还在实际应用中有广泛的应用。
例如，在光学通信中，光与电子器件的相互作用决定了信息传输的速度和效率。
量子光波作用原理
量子光波作用原理是指在量子力学的框架下，光与物质之间的相互作用机制。
光波是由光子组成的电磁波，而物质由微观粒子组成，如原子、离子和电子等。
量子光波作用原理揭示了光与物质之间的能量转移和激发态转变的过程。
在光与物质的相互作用中，量子力学提供了描述的理论基础。
根据量子力学的描述，光波可以看作光子的集合，其能量由光子的频率和波长决定。
物质粒子则存在于量子态中，具有离散的能级结构。
当光波与物质发生作用时，光波的能量可以被物质吸收或散射。
吸收过程涉及光子从低能级跃迁到高能级的能量转移，而散射过程则是光子与物质粒子相互作用后改变传播方向或频率的过程。
在吸收过程中，光子的能量被吸收后，使物质中的电子跃迁到激发态。
这些激发态可能是由于光波与物质的相互作用导致的。
物质中的电子在激发态中停留的时间不长，随后会通过辐射或非辐射跃迁回到基态。
这个过程可以看作是光波能量的释放，通常以光子的形式。
非辐射跃迁是指电子从激发态返回基态时，能量以非光子形式释放。
这种能量转移可以导致物质的局域加热或激发化学反应等。
总之，量子光波作用原理探讨了光与物质之间的相互作用机制。
它揭示了光波能量的转移、电子激发态的形成以及光子的辐射和非辐射跃迁等过程。
这些原理对于理解光学现象、发展光学技术以及研究物质的光学性质具有重要意义。
光与物质相互作用的理论模型引言：光与物质的相互作用一直是物理学领域的研究重点。
光的性质和物质的性质之间的相互关系，对于科学技术的发展和应用有着重要影响。
在近代物理学中，有多种理论模型被提出来解释光与物质的相互作用。
本文将探讨几种典型的理论模型及其应用。
第一部分：光与物质的相互作用机制光与物质相互作用的机制主要有三种：吸收、散射和透射。
当光射到物质上时，光子通过散射、吸收或透射产生与物质相互作用。
第二部分：经典电动力学理论模型经典电动力学理论模型是描述光与物质相互作用的最基本模型。
它将光看作是电磁波，在介质中传播时与介质中的电荷相互作用。
这种相互作用导致介质中的电子重新分布，形成极化，进而改变光的传播速度和方向。
光在介质中的传播可以用麦克斯韦方程组来描述。
第三部分：量子力学理论模型光与物质相互作用的最精确的理论模型是基于量子力学的。
在这个模型中，光被看作是由一系列离散的光子组成的。
光子与物质粒子相互作用时，会发生能级跃迁，从而改变物质的量子态。
这种能级跃迁和量子态的变化可以用量子力学中的波函数来描述。
第四部分：非线性光学理论模型在某些情况下，当光与物质相互作用时会出现非线性效应。
这个时候，光的能量和物质的响应不再是简单线性的关系。
非线性光学理论模型可以通过非线性极化来解释这种现象。
这个模型可以应用于激光技术、光通信、光计算等领域。
第五部分：相干光与物质相互作用的理论模型相干光与物质相互作用的理论模型是描述相干光和物质相互作用的模型。
相干光是指光的波束的相位关系保持稳定的状态。
相干光与物质相互作用时，可以通过干涉、衍射等现象来解释光与物质的相互作用。
这个模型在光学干涉、全息术等领域有广泛应用。
结论：光与物质相互作用的理论模型有经典电动力学模型、量子力学模型、非线性光学模型和相干光理论模型等。
这些模型从不同的角度解释了光与物质的相互作用机制，并在科学研究和应用技术中有重要的作用。
未来的研究将进一步深入理解光与物质的相互作用，推动光学领域的发展和进步。
写出光与物质相互作用的爱因斯坦关系式,说明其物理含义
爱因斯坦提出的光与物质相互作用的关系式是光电效应方程，它可以用数学公式表示为：E=h·f
其中：
E 是光子的能量；
h 是普朗克常数，约为6.626×10−34能量单位秒（焦耳·秒）；
f 是光的频率。
这个公式说明了光子的能量与光的频率之间存在直接的关系。
具体而言，能量正比于频率，并且比例常数为普朗克常数。
物理含义：
一、能量量子化：光电效应方程的提出支持了能量的量子化理论。
它表明能量并非连续的，而是以量子的形式存在，光子的能量取决于光的频率。
二、光子的粒子性：光电效应证实了光的粒子性质，光子被看作是一种具有能量的微粒，而不仅仅是经典波动理论中的电磁波。
三、阐释光电效应：光电效应是指当光照射到金属表面时，光子能量足够大时，会将金属中的电子释放出来。
爱因斯坦的方程提供了解释光电效应的理论基础，即光子的能量足够大时，能够克服金属对电子的束缚力，使电子脱离金属表面。
这个关系式的提出推动了量子理论的发展，同时也为后来的量子力学打下了基础。
光的量子性理论光的量子性是指光可以通过粒子的方式表现出来。
在经典物理学中，光被视为一种电磁波，可以通过波动理论来解释其传播和性质。
然而，随着物理学的发展，量子力学的出现揭示了光的微粒性质，也就是光子。
光的传播速度相对于真空中的电磁波速度是固定的，但当光与物质相互作用时，其粒子特性变得显著。
光的量子本质可以通过光子的概念来描述。
光子是光的基本粒子，具有能量和动量。
光子的能量由其频率决定，而动量则与其波长有关。
量子力学的理论框架为解释光的量子性提供了基础。
根据量子力学的原理，光的量子性可以通过波-粒二象性解释。
当光传播时，它表现出波动性质，但在某些情况下，比如光与物质相互作用时，光会表现出粒子性质，即光子。
光子的产生可以通过原子或分子的激发态来实现。
当一个原子或分子处于激发态时，它会通过自发辐射的方式向外发射一个光子，将激发态的能量释放出来。
这种光子发射的过程符合量子力学中的概率规律，即光子以概率的形式出现在确定的位置和时间。
光子的性质可以通过光的频率和波长来描述。
根据光的频率和波长，可以确定光子的能量和动量。
量子力学中的能量和动量与经典力学有所不同，它们是离散的，称为能级和量子态。
这意味着光子的能量和动量只能取特定的值，而不是连续变化的。
光的量子性理论在很多领域都有重要的应用。
其中一项突出的应用是光的激光技术。
激光是一种纯净的、高强度的、高方向性的光源，它的特点源于光的量子性质。
激光的产生是通过光子受激辐射的过程实现的，其中一个光子的能级被另一个光子的能级激发，从而产生一系列的光子，并通过光的共振效应放大。
另一个重要的应用领域是量子通信。
量子通信利用光子的量子性质，通过量子态的传输来实现信息的安全和传输。
由于光子的量子态是不可复制和不可观测的，量子通信可以提供高度安全的通信方式，抵御了传统通信中可能存在的窃听和干扰。
总结起来，光的量子性理论揭示了光的微粒性质，即光子。
光子是光的基本粒子，具有能量和动量。
2.3光与物质相互作用的全量子理论在本节，我们将以量子化辐射场与两能级原子的相互作用为例来阐述光与物质相互作用的全量子理论。
2.3.1原子系统与光波场的总哈密顿在半经典理论中，单电子原子与辐射场的相互作用哈密顿为：E r e H H HF A ⋅-+=(2.47)其中A H 和F H 分别代表无相互作用时的原子和辐射场的能量，r 代表电子的位置矢量，E 代表辐射场的振幅。
当辐射场也被量子化后，我们有：ii ii ii A E i E H σ∑∑==(2.48a)∑+=+kk k k F a a H )2/1(ν(2.48b) ∑∑==ji ij ij ji j j i e r e ,,σμ(2.48c) ∑++=kk k k k a a E E )(ε(2.48d)其中+k a 和k a 分别代表光子的产生和湮灭算符，j i ij =σ代表原子跃迁算符，j e ij =μ代表电偶极矩阵元，2/10)2/(V E k k εν =。
于是，我们得到全量子理论中的哈密顿：∑∑∑∑+++++=ji kk k ij ij k iii i kk k k a a g E a a H ,)(σσν(2.49)其中 /)(k k ij ij k E g εμ⋅-=。
在此，我们已从第一项中略去了零点能。
对于一个两能级原子，考虑到ba ab μμ=，我们可令bak ab k k g g g ==，于是方程（2.49）可进一步简化为：∑∑+++++++=kk k ba ab k bb b aa a kk k k a a g E E a a H ))(()(σσσσν(2.50)若我们令bb aa z σσσ-=，ab σσ=+，ba σσ=-，考虑到ω =-b a E E 和1=+bb aa σσ，并略去常数能量因子2/)(b a E E +，则方程（2.50）变为：∑∑+-++++++=kk k k z k k k k a a g a a H ))((21σσωσν(2.51)在上式中，相互作用能由四项组成。
其中-+σk a 项描述原子由上能级跃迁至下能级同时产生一个k 模式光子的过程，+σk a 项描述与其相反的过程；-σk a 项描述原子由上能级跃迁至下能级同时消灭一个k 模式光子的过程，++σk a 项描述与其相反的过程。
注意，在前两个过程中能量是守恒的，但在后两个过程中能量不守恒，因此需将-σk a 项和++σk a 项略去，这相应于半经典理论中的旋转波近似。
于是，我们有：∑∑-++++++=kk k k z k k k k a a g a a H )(21σσωσν(2.52)下面，我们考虑单模量子场与一个两能级原子的相互作用。
略去耦合因子kg 的下脚标后，我们有：10H H H +=(2.53a) 2/0z a a H ωσν +=+(2.53b) )(1-+++=σσa a g H(2.53c)在相互作用图像下求解原子与场的相互作用更为方便，因此下面我们求出相互作用图像下的哈密顿:)(/1/00t i t i t iH t iH I e a ae g e H e H ∆--+∆+-+==σσ(2.54)其中νω-=∆单模场相对于原子跃迁的失谐。
2.3.2几率振幅法和旋转波近似在相互作用图象下，系统状态函数)(t ψ的运动方程为：ψψI H ti =∂∂(2.55)对于一个由两能级原子和单模场组成的系统，若n a ,（n b ,）表示原子处于上（下）能级a （b ），而光波场有n 个光子的状态，则：∑+=nn b n a n b t c n a t c t ],)(,)([)(,,ψ(2.56)相互作用能（2.54）可引起系统在n a ,和n b ,间的跃迁，因此我们要考虑幅度n a c ,和1,+n b c 的演化规律。
将（2.54）和（2.56）代入方程（2.56）可得：1,,.1+∆+-=n b t i n a c e n ig c (2.57a) n a t i n b c e n ig c ,1,.1∆-++-=(2.57b)方程（2.57）与我们在半经典理论中求得的（2.27）非常相似，只是在此我们需要将光波场的状态也考虑进来。
考虑到系统的初始条件，方程（2.57）的一般解为：2/1,,,2sin )0(122sin 2cos )0()(t i n n b n n n n n a n a e t c n ig t i t c t c ∆+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=(2.58a)2/,1,1,2sin )0(122sin 2cos )0()(t i n n a n n n n n b n b et c n ig t i t c t c ∆-++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω= (2.58b)其中，)1(4222++∆=Ωn g n 。
如果原子最初位于上能级，即：)0()0(,n n a c c =，0)0(1,=+n b c ，则：2/,2sin 2cos )0()(t i n n n n n a e t i t c t c ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=(2.59a)2/1,2sin 12)0()(t i n n n n b et n ig c t c ∆-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+-= (2.59b)方程（2.58）或（2.59）是一组完整的解，因为关于量子化的场和原子的所有信息均可由它们获得。
在t 时刻单模场中有n 个光子的几率为2,2,)()()(t c t c n p n b n a +=，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=----2sin 4)0(2sin 2cos )0()(122121,1222t n g t t n p n n n n n n n nn ρρ (2.60)其中，)0(nn ρ表示在0=t 时刻单模光波场中有n 个光子的几率，即：!)0()0(2n e n c nnn nn -==ρ (2.61)另一个我们需要关注的量是能级间的反转：[]∑-=nn b n a t c t c t W 2,2,)()()((2.62)由方程（2-58）和（2-62），易得：()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ++Ω∆=02222cos )1(4)0()(n n n n nn t n g t W ρ (2.63)假如单模场的初始态为真空态（0)0(n nn δρ=），则：[]{}t g g gt W 2/1222222)4(cos 441)(+∆+∆+∆=(2.64)显然，即使0)0(n nn δρ=，能级间的反转仍有拉比振荡发生，因为此时有单模场导致的自发辐射发生。
这明显不同于我们在半经典理论中得出的结论：没有驱动场的时候，位于上能级的原子不能跃迁至下能级。
2.3.3自发辐射的Weisskopf-Weigner 理论我们知道，实际上原子的自发辐射是由真空辐射场的众多不同模式导致的，因此有必要考虑模式连续的辐射场与原子的相互作用。
模式连续的辐射场与原子的相互作用哈密顿为：∑+=-+kt i k k I c h e a r g H k .].)([)(0*νωσ(2.65)其中)exp()(00r k i g r g k k ⋅-=，0r 代表原子的位置坐标。
假定在0=t 时刻，原子处于激发态a ，而辐射场处于真空态0，则在t 时刻原子的态矢为：∑+=kk k b a b t c a t c t 1,)(0,)()(,ψ(2.66)其中1)0(=a c ，0)0(=b c 。
由薛定谔方程我们可求得几率幅)(t c a 和)(t c a 的运动方程：∑--=kk b t i k a t c e r g i t c k )()()(,)(0*.νω(2.67a))()()()(0,.t c e r ig t c a t i k k b k νω---=(2.67b)对方程（2.67b ）积分并代入方程（2.67a ），我们有：⎰∑---=ta t t i kk a t c e dt r g t c k 0'))(('20.)()()('νω (2.68)假定辐射场的不同模式在频率上紧密相连，则我们可以用积分来代替对k 的求和，即：⎰⎰⎰∑∞→020203sin )2(2dk k d d Vk ππθθφπ (2.69)其中V 是量子体积。
考虑到θμεν22020cos 2)(ab k k Vr g =（θ是ab μ和k ε之间的夹角），我们可得：⎰⎰--∞-=ta t t i k k ab a tc e dtd c t c k 0'))(('033022.)(6)2(4)('νωννεπμ (2.70)考虑到辐射光强主要集中在原子跃迁频率ω附近，我们可以用3ω代替3k ν并将k ν的积分下限扩展至∞-。
此时，)(2)()(2)(0'''))((0'''t c t c t t dt ed t c dt a ta t t i k ta k ππδννω=-=⎰⎰⎰∞∞---(2.71)于是，我们得到：)(2)(.t c t c a a Γ-=(2.72a) )exp()(2t t c a aa Γ-==ρ(2.72b)其中，32303441cabμωπε-=Γ为弛豫常数。
下面，我们计算在自发辐射过程中辐射场的状态。
我们首先计算系数)(,t c k b 。
将)(t c a 的解代入方程（2.67b ），得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+--=-=Γ---Γ---⎰2/)(1)()()(2/)(002/)('0,.''i e r g edt r ig t c k t t i k tt t i k k b k k ωννωνω(2.73a)k kk t t i rk i k t i e eg ba et k 12/)(10,)(2/)(2/∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+--+=Γ---⋅-Γ-ωνψνω(2.73b)下面，我们引入辐射场的状态函数：k kk rk i k i e g 12/)(0∑Γ+-=⋅-ωνγ(2.74)显然，当1-Γ>>t 时，我们有0γψb →，这是具有不同波矢的单光子态的线性叠加。
