安阳一中数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的方程课件理

C.[0,1]
D.
由题意知 y'=2x+2,设2 ,1
P(x0,y0),则
关闭
k=2x0+2.
π
思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法
因为曲线
C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0, ,
4
是什么?
所以 0≤k≤1,即 0≤2x0+2≤1.
1
所以-1≤x0≤-2.
A
关闭
解析
答案
-24考点1
双基自测
1
2
3
4
5
4.已知直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点
.
关闭
kx+y+2=-k可化为y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒
关闭
过定点(-1,-2).
(-1,-2)
解析
答案
-12知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5.已知直线l过点P(-2,5),且斜率为为
.
5
3
√
√
(1)直线方程可化为 + 1 =1,

C.x-√3y=0 D.√3x+3y-6=0
1
1
因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅当 a= ,即 a=1 时取等号.
π
1
(2)∵sin - 2 = 2,
1
2π
∴cos θ=-2,θ= 3 ,则 tan θ=-√3.
关闭
直线方程为
(1)A (2)B y-1=-√3(x-√3),即√3x+y-4=0.

或3π≤θ<π. 4
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值
范围为
．
答案 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵kAP＝1－0＝1， 2－1
kBP＝ 3－0＝－ 3， 0－1
∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究 1．若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围． 解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， ∴kAP＝2－1－－01＝13， kBP＝0－3－－01＝ 3.
A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4
答案 A
解析 由题意得 m－4 ＝1，解得 m＝1. －2－m
3．[P100A 组 T9]过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
．
答案 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0
解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0；
当截距不为 0 时，设直线m 的斜率 k＝0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，得 x＝2－2，依题意有 k
| | | | 1×
2－2 k
×2＝2，即
1－1 k
＝1，解得
k＝1，所以直线
m
的方程为
y－2＝1(x－2)，即
§9.1 直线的方程
最新考纲
考情考向分析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握 确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两 点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的 几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式 及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

为
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
⁠
.
⁠
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝

-26-
考点1
考点2
考点3
对点训练3(1)过点P(- √3 ,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直 线l的倾斜角的取值范围是 ( )
A.
0,
π 6
C.
0,
π 6
B.
0,
π 3
D.
0,
π 3
1
(2)已知曲线y= e������ + 1 ,则在曲线的切线中斜率最小的直线与两坐
标轴所围成的三角形的面积为
xm+yn=1.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的 直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( ) (6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.(
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
)
关闭
答案
知识梳理
2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,应 注意当倾斜角为π2 时,直线无斜率.
-16-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 若直线过点(1,2),(4,2+√3),则此直线的倾斜角是( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
设直线的倾斜角为 α,则 tan α=2+4√-13-2 = √33.
由图可观察出,直线
l
倾斜角
α
的取值范围是
3π 4
,π
∪
0,
π 4
.
考点1
考点2
考点3
-15-
解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜 率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x 在[0,π)内的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)内并不是 单调的.

π 所以“α>3”是“k> 3”的必要不充分条件，故选 B.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点， 则直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞) . 答案 如图，
解析
几何画板展示
1－0 ∵kAP＝ ＝1， 2－1
3－0 kBP＝ ＝－ 3， 0－1
x y ＋ ＝ 1 a b
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1
(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) _______________________
平面直角坐标系内的直线都适用
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
几何画板展示
考点自测
1.(2016· 天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的 值为 A.1 C.1或3
答案 解析
B.4 D.1或4
m－4 依题意得 ＝1，解得 m＝1. －2－m
2.(2016· 合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范 围是

y-y1
不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2)
两点式
截距式
一般式
y2 -y1
x
a
=
x-x1
x2 -x1
y
+ =1
b
Ax+By+C=0
2
2
(A +B ≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
平面直角坐标系内的直线都适用
第六页，共25页。
梳理
(shūlǐ)自
测
3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程
(jiě xī) (dá àn)
解析
第二十二页，共25页。
角 α 的取值范围是(
A.0≤α<π
π
4
)
π
4
π
2
B.0≤α≤ 或 <α<π
π
4
π
2
π
2
C.0≤α≤
D. ≤α< 或 <α<π
直线 l 的斜率为
2 -1
k=
=1-m2≤1,又直线
1-2
π
2
关闭
l 的倾斜角为 α,则有 tan α≤1,
π
4
即 tan α<0 或 0≤tan α≤1,所以 <α<π 或 0≤α≤ ,故选 B.
A. 0,
π
4
C. 0,
π
4
∪
π
,π
2
B.
3π
,π
4
D.
π π
,
4 2
∪
)
3π
,π
4
1
1
x,∴直线的斜率

第18页
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，
若 fπ4－x＝fπ4＋x，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为(
)
π π 2π 3π A.4 B.3 C. 3 D. 4
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)； 若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本

的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0，π2
与 π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当
α∈
0，π2
时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝
π 2
时，斜率不存在；
当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
两直线的位置关系
两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不 相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相 等时，两直线平行；否则两直线重合．
＝－2，kl＝－m1 .∴－m1 ≤－2 或－m1 ≥32.解得
0<m≤12或－23≤m<0；
当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点．
∴实数 m 的取值范围为－23，12.
[答案] －23，12
[易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数
(3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 ＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
[例 2] (1)若直线 ax＋2y－6＝0 与 x＋(a－1)y＋a2－1＝0 平行，则 a＝________.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2， y2－y1
则 l 的斜率 k＝_x_2_－__x_1 .
3．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2， 则有 l1∥l2⇔ k1＝k2 .

=

,

⋅

=
.所以



=
=


= +

≥ ,当且仅当


.所以直线的倾斜角为



=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =





− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;

当直线不过原点时，设直线方程为

+

−
= ≠ ,
因为直线过点 ,

,所以


,

= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈

[ , ].故选B.


D.[ , ]


.由于 ∈ [ , ]，所以


[ , ]，即倾斜角的取值范围是

（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公


+ = .

(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k=tan α，当α∈ [ 0 ， ) 时，α越大，
2
斜率k就越大，同样α∈ ( ， ) 时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠ 时
2
2
就不是了.
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而
“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
x y 0， －2x y6 0，
解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2).
答案:(2,-2)
新课改地区高考数学一轮复习第九章平面解析几何91基
2021/4/17
18
本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
新课改地区高考数学一轮复习第九章平面解析几何91基
2021/4/17
19
本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
新课改地区高考数学一轮复习第九章平面解析几何91基
2021/4/17
9
本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越小,其斜率就越小.( ) (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. ( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. ( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程 (y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. ( )
4
本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
【教材·知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_向__上__方__向__ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴_平__行__或__重__合__时，规定它的倾 斜角为0(或0°). (2)范围：直线l倾斜角α的取值范围是_[_0_，__π__)_(_或__{_α__|_0_°__≤__α__<_1_8_0_°__}_)_.