高中数学第二章平面解析几何初步.直线的方程..直线方程的概念与直线的斜率课件人教版B版

2．2.1 直线的倾斜角与斜率[课标解读] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．教材要点知识点一 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，将x 轴绕着他们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，称角θ叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． 2．倾斜角的范围直线的倾斜角θ的取值范围为________．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个________及它的________．知识点二 直线的斜率及斜率公式 1．斜率的定义一条直线的倾斜角θ(θ≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝________．状元随笔 直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？ 不是，当倾斜角为90 °时，直线的斜率不存在．2．斜率公式 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2斜率不存在．3．斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的________． 知识点三 直线的方向向量与法向量1．给定平面直角坐标系内的一条直线l ，在直线l 上任取A 、B 两个不同的点，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是直线l 的一个方向向量．一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(3)如果已知a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则①当u ＝0时，显然直线l 的斜率不存在，倾斜角为________；②当u ≠0时，直线l 的斜率是存在的，而且此时(1，k )与a ＝(u ，v )都是直线l 的一个方向向量，且有v ＝ku ，即k ＝vu，即tan θ＝vu.2．直线的法向量一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .不难看出，一条直线的方向向量与法向量互相垂直．基础自测1．如图所示，直线l 的倾斜角为( )A.30° B ．60° C ．120°D ．以上都不对2．直线l 过点M (－√3，√2)，N (－√2，√3)，则l 的斜率为( ) A ．√62 B ．1 C ．√63 D ．√63．斜率不存在的直线一定是( )A ．过原点的直线B ．垂直于x 轴的直线C ．垂直于y 轴的直线D ．垂直于坐标轴的直线4．已知直线l 经过两点P (1，2)，Q (－2，1)，那么直线l 的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．题型1 直线的倾斜角例1 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A.α＋45° B ．α－135° C ．135°－α D ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°方法归纳求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.跟踪训练 1 一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α题型2 斜率的求法 【思考探究】1．斜率公式k ＝y 2−y1x 2−x 1(x 2≠x 1)中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1−y2x 1−x 2.2．用k ＝tan α(α≠90°) 求斜率时在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．例2 (1)若A (1，0)，B (－3，m )，直线AB 的斜率为－12，则m ＝( )A ．－8B ．－2C ．2D ．8(2)若直线过点C (1，3)，D (4，3＋√3)，则此直线的一个方向向量为__________；倾斜角为________；(3)已知点M (0，b )与点N (－√3，1)连成直线的倾斜角为120°，则b ＝________．方法归纳1．斜率的求法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求解．2．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2) 倾斜角为90°时斜率不存在．跟踪训练2 (1)直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( )A ．23 B ．32 C ．－23 D ．－32(2)若直线经过两点A (m ，2)，B (32m ，2m −1)，且倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．34D ．12(3)已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，√3＋1)． 求直线AB 、BC 、AC 的斜率、方向向量和倾斜角．题型3 直线的斜率、方向向量、法向量及应用例3 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．状元随笔 作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．例4 若三点A (2，－3)，B (4，3)，C (5，k )在同一条直线上，则实数k ＝________．状元随笔 利用AB 和AC 的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．方法归纳1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A ，B ，C 共线⇔k AB ＝k AC 或k AB 与k AC 都不存在． 3．涉及直线与线段有交点问题，常通过数形结合，利用斜率公式求解．跟踪训练3 (1)若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 (2)如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．2．2 直线及其方程2．2.1 直线的倾斜角与斜率新知初探·自主学习[教材要点]知识点一1．(2)0°2．0°≤θ<180°3．定点倾斜角知识点二1．正切tan θ2.y2−y1x2−x13．倾斜程度知识点三1．(3)①90°[基础自测]1．解析：根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°. 答案：C2．解析：根据题意，l 的斜率为√3−√2−√2−(−√3)＝1.答案：B3．解析：只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：B4．解析：由已知可得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l 的一个方向向量．则(－1，3)是直线l 的一个法向量，直线l 的斜率k ＝2−11−(−2)＝13. 答案：(－3，－1)(答案不唯一) (－1，3)(答案不唯一) 13课堂探究·素养提升例1 解析：根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 答案：D跟踪训练1 解析：如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.答案：D例2 解析：(1)A (1，0)，B (－3，m )，直线AB 的斜率为－12， 所以－12＝m−0−3−1，解得：m ＝2.(2)直线过点C (1，3)，D (4，3＋√3)，得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4，3＋√3)－(1，3)＝(3，√3)是直线l 的一个方向向量，则直线的斜率k ＝3+√3−34−1＝√33，所以此直线的倾斜角是π6.(3)k ＝0+√3＝tan 120°，解得b ＝－2.答案：(1)C (2)(3，√3)(答案不唯一) π6(3)－2跟踪训练2 解析：(1)斜率k ＝0−23−0＝－23.(2)经过两点A (m ，2)，B (32m ，2m −1)的直线的斜率为k ＝2m−1−232m−m ，又直线的倾斜角为45°，所以2m−1−232m−m ＝tan 45°＝1，即m ＝2.(3)由斜率公式得k AB ＝1−11−(−1)＝0，k BC ＝√3+1−12−1＝√3. k AC ＝√3+1−12−(−1)＝√33.直线AB 、BC 、AC 的方向向量分别是(2，0)、(1，√3)、(3，√3)倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0，∴直线AB 的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝√3，∴直线BC 的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝√33，∴直线AC 的倾斜角为30°. 答案：(1)C (2)A (3)见解析例3 解析：如图所示，由题意可知k PA ＝4−0−3−1＝－1，k PB ＝2−03−1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.例4 解析：方法一：因为A (2，－3)，B (4，3)，C (5，k )在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，k AB ＝3−(−3)4−2＝3，k AC ＝k−(−3)5−2＝k+33，所以3＝k+33，即k ＝6.方法二：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(5，k )－(2，－3)＝(3，k ＋3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以2(k ＋3)＝18，解得k ＝6. 答案：6跟踪训练3 解析：(1)方法一：因为三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，所以k AC ＝k AB ，即11−18−3＝b−1−2−3，解得b ＝－9.方法二：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－5，b －1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(5，10)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.(2)因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝√3；又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率k OC＝tan 30°＝√3，3直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率k BD＝tan 120°＝－√3.答案：(1)D (2)见解析。