一元二次方程应用__图形面积问题

1 专题 一元二次方程的应用（三）面积问题
一、彩带问题
1．如图一块草地长为32m ，宽为20m 的矩形，欲在中间修筑宽带相等的小路，要使草坪面积为540㎡，求小路的宽．
2．如图,要设计一幅长60cm ,宽40cm 的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩 条宽度比为1∶2,若彩条所占面积,是图案面积的2
1,求一条横彩条的宽度．
二、围墙问题
3．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
(3)若墙长为a 米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
4.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图所示）由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米，如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元，（池墙的厚度忽略不计）
（1）当三级污水处理池的总造价诶47200元时，求池长x ；
（2）如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。

2m
A B。

一元二次方程的应用（图形面积问题）1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864B．C．（60+x）x＝864D．（30+x）（30﹣x）＝8642．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（）A．（20+1﹣x）x＝50B．（20﹣1﹣x）x＝50C．（20+1﹣2x）x＝50D．（20﹣1﹣2x）x＝503．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650B．30x+2×25x﹣2x2＝650C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650D．（30﹣x）（25﹣2x）＝6504．（2021秋•太原期末）学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（）A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m 5．（2021秋•青岛期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625B．（45﹣x）（25﹣x）＝625C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 6．（2021秋•海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（）A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m 7．（2021秋•洛阳期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm8．（2021秋•历城区期末）如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣2x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣x）＝375D．x（55﹣x）＝3759．（2021秋•北京期末）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（）A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝86410．（2021秋•南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（）A．（x+1）（x+2）＝30B．（x﹣1）（x﹣2）＝30C．（x+1）（x﹣2）＝30D．（x﹣1）（x+2）＝3011．（2021秋•霸州市期末）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（）A．4.5B．2C．1.5D．112．（2021秋•巴中期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x+x+2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22.据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（）A．B．C．D．13．（2021秋•江津区期末）某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（）A．2×36x+52x＝52×36﹣1104B．36x+2×52x﹣x2＝52×36﹣1104C．（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104D．（52﹣2x）（36﹣x）＝110414．（2021秋•岚皋县期末）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（）A．x（x﹣5）＝150B．x（x+5）＝150C．2x+2（x+5）＝150D．2x+2（x﹣5）＝15015．（2021秋•莲池区期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，设AB段的长为xm，则可列方程为（）A．x（22﹣3x）＝40B．x（20﹣2x）＝40C．x（18﹣3x）＝40D．x（20﹣3x）＝40二．填空题（共10小题）16．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C 运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则秒时，△BPQ的面积是6cm2．17．（2021秋•仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为m．18．（2021秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为3xcm，依题意列方程为．19．（2021秋•綦江区期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为．20．（2021秋•滕州市期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为步．21．（2021•襄州区模拟）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为cm（纸板的厚度忽略不计）．22．（2020秋•城阳区期末）如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园．设宽AB＝xm，且AB＜BC，则x＝m．23．（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为cm．24．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为．25．（2021秋•巴中期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了步．。

一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。

其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。

从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。

一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。

通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。

二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。

根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。

2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。

根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。

3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。

假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。

根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。

三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。

无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。

一元二次方程的面积问题
从几何角度来看，一元二次方程通常与平面图形的面积有关。

例如，如果我们考虑一个矩形的面积，假设矩形的长度为x+3，宽
度为x-2，那么矩形的面积可以表示为(x+3)(x-2)。

这个表达式可
以展开为x^2 + x 6，这就是一个一元二次方程。

我们可以利用一
元二次方程来解决矩形面积的问题，比如求最大面积、最小面积等。

从代数角度来看，一元二次方程一般具有形如ax^2 + bx + c
= 0的形式，其中a、b、c为已知的常数，而x为未知数。

解一元
二次方程的常用方法有配方法、公式法、图像法等。

在代数中，我
们可以利用一元二次方程来解决各种面积相关的问题，比如给定一
个固定的面积和一些限制条件，求解出符合条件的一元二次方程的解。

综合来看，一元二次方程的面积问题涉及到了数学中的多个概
念和方法，需要我们综合运用几何和代数的知识来解决。

通过对一
元二次方程的深入理解和灵活运用，我们可以更好地解决各种与面
积相关的问题。

希望这个回答能够帮助你更好地理解一元二次方程
的面积问题。