与一元二次方程的面积问题含答案

一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。

一元二次方程应用面积问题专项训练命题人：潘五洲1. 【题文】要建如图所示两个长方形养鸡场, 养鸡场总面积为150m 2 ，，为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙（无限长）,另外的边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m。

且在BC边上开一扇长为2米的门GH，在EF边上开一扇长为2米的门MN。

若设鸡场的AB长为x米。

则所列方程为（）A．x（35－2x）=150 B．x（31－3x）=150C．x（39－2x）=150 D．x（39－3x）=1502. 【题文】如图，在长为100m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m 2 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x=7644B．（100－x）（80－x）＋x 2 ="7644"C．（100－x）（80－x）="7644"D．100x＋80x－x 2 =76443. 在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2 ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )A．x 2 ＋130x－1 400＝0 B．x 2 ＋65x－350＝0C．x 2 －130x－1 400＝0 D．x 2 －65x－350＝04. 利用墙为一边，用13 m的铁丝网作另三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形养鸡场，则这个养鸡场的长和宽各是( )A．5 m,4 m B．8 m,2.5 m C．10 m,2 m D．5 m,4 m或8 m,2.5 m5. 如图，在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 m 2 ，则修建的路宽应为( )A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m6. 从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2 ，则原来铁片的面积为( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27. 利用墙为一边，用13 m的铁丝网作另三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形养鸡场，这个鸡场的长和宽各是( )A.5 m，4 mB.8 m，2.5 mC.10 m，2 mD.5 m，4 m或8 m，2.5 m8. 用长 4米的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为平方米,若设它的一边长为x 米,根据题意列出关于x 的方程为（）A. x （4－x ）＝B.2 x （2－x ）＝C. x （4－2 x ）＝D. x （2－x ）＝9. 在一幅长为80 cm ,宽为50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400 cm 2 ,设金色纸边的宽为xcm ,那么x 满足的方程是（）A. x 2 ＋130 x －1400＝0B. x 2 ＋65 x －350＝0C. x 2 －130 x －1400＝0D. x 2 －65 x －350＝010. 利用墙的一边，再用13 m的铁丝网围三边，围成一个面积为20 m 2 的长方形，设长为x m，可得方程( )A.x(13-x)=20B.x =20C.x(13- x)=20D.x =20分卷II二、解答题11. 【题文】如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m 2 ，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．12. 【题文】一块矩形菜地的面积是120m 2 ，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．13. 【题文】把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程（列出方程，不要求解方程）。

一元二次方程方程专项训练---------面积、道路问题M1．一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？M2．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？M3．如图，小华要为一个长3分米，宽2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？M4．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？M5．在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．M6．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m，满足条件的花园面积能达到120m2吗？若能，求出此时BC的值；若不能，说明理由．M7．如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．M8．某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？M9．如图，有长为46米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门，问：当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？。

用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。

设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。

求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。

初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。

假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。

则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。

【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。

已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。

若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。

（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。