2020-2021年高中数学 集合检测B(含解析)新人教B版必修1

答案 －1 解析 ∵直线2x＋y－1＝0的斜率k＝－2，且若所有样本点(xi，yi)(i ＝1,2,3，…，n)都在直线2x＋y－1＝0，∴说明这组数据的样本完全负相 关，则相关系数达到最小值－1．
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第四章 概率与统计
课堂探究案
探究一 相关系数大小对变量相关性的影响
i＝1
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第四章 概率与统计
(1)根据散点图判断 y＝a＋bx 与 y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(2)的结 果回答下列问题： ①年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
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第四章 概率与统计
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
β^＝i＝1
＝i＝1
，α^＝－v －β^－u .
n
xi－ x 2
第四章 概率与统计
4 ． 在 一 组 样 本 数 据 (x1 ， y1) ， (x2 ， y2) ， … ， (xn ， yn)(n≥2 ， x1 ， x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)都 在 直 线 2x ＋ y － 1 ＝ 0 上 ， 则 这 组 样 本 数 据 的 样 本 相 关 系 数 r 为 ____________．

第九章解三角形
9.1正弦定理与余弦定理
9.1.1正弦定理
9.1.2余弦定理
9.2正弦定理与余弦定理的应用
9.3数学探究活动:得到不可达两点之间的距离(略) 章末整合
第九章测评
第十章复数
10.1复数及其几何意义
10.1.1复数的概念
10.1.2复数的几何意义
10.2复数的运算
10.2.1复数的加法与减法
10.2.2复数的乘法与除法
*10.3复数的三角形式及其运算
章末整合
第十章测评
第十一章立体几何初步
11.1空间几何体
11.1.1空间几何体与斜二测画法
11.1.2构成空间几何体的基本元素
11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台
11.1.5旋转体
11.1.6祖暅原理与几何体的体积
11.2平面的基本事实与推论
11.3空间中的平行关系
11.3.1平行直线与异面直线
11.3.2直线与平面平行
11.3.3平面与平面平行
11.4空间中的垂直关系
11.4.1直线与平面垂直
11.4.2平面与平面垂直
章末整合
第十一章测评。

1.4.1 充分条件与必要条件基 础 练巩固新知 夯实基础1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件2．a <0，b <0的一个必要条件为 ( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b >1 D.a b<－1 3．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件4．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1能 力 练综合应用 核心素养6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >18．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是()A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝09．设a，b，c∈R，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac>bc”是“a>b”的充分条件C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．11．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．12．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.【参考答案】1. C 解析 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2. A 解析 a ＋b <0a <0，b <0，而a <0，b <0∈a ＋b <0.3. C 解析 ∈－2<x <1D ∈/x >1或x <－1且x >1或x <－1D ∈/－2<x <1，∈“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分条件，也不必要条件．4. A 解析 ∈0<ab <1，∈a ，b 同号，且ab <1.∈当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∈“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， ∈“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件． 5. C 解析 ∈一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∈⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2<0.即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，1a<0∈a <0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a |a <－1}{a |a <0}，故答案为C. 6. A 解析 x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x |≥2且|y |≥2，而x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，但x 2＋y 2≥4不一定推出x ≥2且y ≥2.故A 正确．7. B 解析 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C 、D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．8．A 【解析】因x 2＋(y －2)2＝0∈x ＝0，且y ＝2∈x (y －2)＝0，故选A.9．C 【解析】排除选项A ，B ，D 项知，C 项正确．10.a >2 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.11. 解 p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0∈[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)∈1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－21＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．12. 解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a 得x －1<－a ，或x －1>a ，∈x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ∈q ，反之不成立．∈a ＝1.。

第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山西运城高一期中)函数f (x )=√x -1+2x 2-4的定义域为( )A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞),则{x -1≥0,x 2-4≠0,解得{x ≥1,x ≠2.故函数f (x )的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D .2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f (x )可表示为如表所示,则下列结论正确的是( ) A.f (f (4))=3B.f (x )的值域是{1,2,3,4}C.f (x )的值域是[1,4]D.f (x )在区间[4,8]上单调递增f (4)=3,得f (f (4))=f (3)=2,故A 错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B 正确,C 错误;由表可知,f (x )在定义域上不单调,故D 错误.故选B .3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x (单位:分钟)表示离开家的时间,y (单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( ),该高三学生离开家的过程中,y 是x 的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y 仍然是x 的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C .故选C .4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c 满足f (2)<0且f (3)>0,则f (x )在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有,函数f (x )=ax 2+bx+c 是连续函数,又f (2)<0,f (3)>0,由函数零点存在定理,可知f (x )在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C .5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f (x )满足关系式f (x )+2f (1-x )=-3x ,则f (2)的值为( ) A.-3B.32C.-52D.52f (x )+2f (1-x )=-3x,令x=2,则有f (2)+2f (-1)=-32;令x=-1,则有f (-1)+2f (2)=3.由上式可得f (2)=52,故选D .6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f (x )=ax 2+b x是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f (2)=3,则a+b 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0函数f (x )是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f (x )=ax 2+2x.∵f (2)=3,∴f (2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C .7.已知函数f (x )={x 2+1(x ≤0),2x (x >0),若f (a )=10,则a 的值是( )A.-3或5B.3或-3C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A .8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈[-2,2]都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则不等式f (x+1)+f (1-4x )>0的解集为( )A.-14,34B.23,34C.-14,1 D.-14,23解析由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0可知函数f (x )在[-2,2]上单调递减,f (x )是奇函数,所以f (x+1)>-f (1-4x )=f (4x-1).所以{-2≤x +1≤2,-2≤1-4x ≤2,x +1<4x -1,解得{-3≤x ≤1,-14≤x ≤34,x >23,所以23<x ≤34,即不等式的解集为23,34.故选B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是 ( )A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1B.M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1C.M=N={1,2,3},f (x )=2x+1D.M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1,由定义知M 中的任一个元素,N 中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M 到集合N 的函数,故A 正确;由M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1,能构成从集合M 到集合N 的函数,故B 正确;由M=N={1,2,3},f (x )=2x+1,∵f (2)=5,f (3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M 到集合N 的函数,故C 错误;由M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数,因此能构成从集合M 到集合N 的函数,故D 正确.故选ABD .10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A.y=f (-x ) B.y=f (x )+x 3 C.y=f (x )xD.y=√x 3f (x )F (x )=f (-x ),其定义域为R ,则有F (-x )=f [-(-x )]=f (x )=-f (-x )=-F (x ),函数y=f (-x )为奇函数,故A 正确;设F (x )=f (x )+x 3,其定义域为R ,则有F (-x )=f (-x )+(-x )3=-[f (x )+x 3]=-F (x ),函数y=f (x )+x 3为奇函数,故B 正确;设F (x )=f (x )x,其定义域为{x|x ≠0},则有F (-x )=f (-x )-x=f (x )x=F (x ),是偶函数,故C 错误;由于函数y=√x 3f (x ),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D 错误. 故选AB.11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分,图像过点A (-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )A.b 2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<ba<0,与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x 轴有2个不同交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故A 正确; 因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a =-1,即2a-b=0,故B 不正确;又因为图像过点A (-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x 轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C 不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b ,故D 正确.故选AD.12.(2021山东临沂高一期中)某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d (ac ≠0,b ,d 不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=x+2x -1的图像及性质的下列表述正确的是( )A.图像上点的纵坐标不可能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x 轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减y=x+2x -1=x -1+3x -1=1+3x -1,因此函数y=x+2x -1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x 轴交点为(-2,0),函数y 在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD . 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f (x )在定义域R 上的值域为[0,1],则函数y=f (x-1)+1的值域为 .,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f (x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为 立方米.x 立方米,所缴水费为y 元,由题意得y={3x ,0≤x ≤10,30+5(x -10),x >10,即y={3x ,0≤x ≤10,5x -20,x >10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15. 15.已知函数f (x )=3+x 1+x,记f (1)+f (2)+f (4)+…+f (1 024)=m ,f12+f14+…+f11024=n ,则m+n= .解析由题意得f (x )+f1x=x+3x+1+1x +31x+1=x+3x+1+1+3x x+1=4(x+1)x+1=4,f (1)=3+11+1=2,∴m+n=f (1)+f12+f (2)+f 14+f (4)+…+f11024+f (1024)=2+4×512=2050.16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f (x )={-(x -a )2+a 2,x ≤0,-x 2+2x +1-a ,x >0,若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 .+∞)a>0,则满足题意的函数f (x )的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a )≤0,解得a ≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f (x )=x+1x .(1)用定义法证明f (x )在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x ∈[2,4],恒有f (x )≤2m-1,求实数m 的取值范围. (1)证明设1≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+1x 2-x 1-1x 1=(x 2-x 1)+x 1-x2x 1x 2=(x 2-x 1)1-1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,因为x 2>x 1≥1,所以x 2-x 1>0且x 1x 2>1. 所以(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2>0,即f (x 2)-f (x 1)>0,f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在[1,+∞)上是增函数.(1)知f (x )在[2,4]上单调递增,所以f (x )max =f (4)=174.所以2m-1≥174,即m ≥218. 所以m 的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f (x )=ax 2+ax-1(a ∈R ). (1)当a=12时,求函数f (x )的零点; (2)讨论函数f (x )零点的个数.当a=12时,函数f (x )=12x 2+12x-1,令12x 2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.函数f (x )的零点为1,-2.(2)当a=0时,f (x )=ax 2+ax-1=-1,函数没有零点; 当a ≠0时,Δ=a 2+4a.若Δ=a 2+4a=0,解得a=-4,此时函数f (x )有1个零点. 若Δ=a 2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点. 若Δ=a 2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点. 综上所述,当a=-4时,函数f (x )有1个零点. 当a<-4或a>0时,函数有2个零点, 当-4<a ≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2021云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1,求n 的取值范围.因为二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,所以a (x+1)2+b (x+1)+c-ax 2-bx-c=2x ,c=1, 即2ax+a+b=2x ,故a=1,b=-1,c=1. 所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x+1.(2)因为f (x )=x 2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f (0)=f (1)=1,由f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1可得0<n ≤12.故n 的取值范围为0,12. 20.(12分)(2020江苏启东高一期中)已知函数f (x )=1x-1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f (m )=f (n ),求1m +1n 的值;(2)若m>n>0时,函数f (x )的定义域与值域均为[n ,m ],求所有m ,n 的值.∵f (m )=f (n ),∴1m -1+12=1n-1+12.∴1m-1=1n-1,∴1m -1=1n -1或1m -1=1-1n . ∵m>n>0,∴1m +1n =2.(2)由题意f (x )={1x -12,0<x ≤1,32-1x,x >1,∴f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ①0<n<m ≤1,则f (n )=m ,f (m )=n ,∴{1n -12=m ,1m -12=n ,解得m=n=√17-14(舍去).②n<1<m ,则f (x )min =f (1)=12=n ,f (x )max =m=max{f (n ),f (m )}=max 32,f (m ),∴m=32. ③1≤n<m ,则f (n )=n ,f (m )=m ,无解. 综上,m=32,n=12.21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C (单位:万元)与太阳能电池面积x (单位:平方米)之间的函数关系为C (x )={m -4x5,0≤x ≤10,m x ,x >10(m 为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x (单位:万元).记F (x )为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)写出F (x )的解析式;(2)当x 为多少平方米时,F (x )取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知√3≈1.7,√10≈3.2)当0≤x ≤10时,C (x )=m -4x 5,由题意8=m -4×55,即m=60.∴C (x )={60-4x5,0≤x ≤10,60x,x >10,则F (x )={10×60-4x5+0.6x ,0≤x ≤10,10×60x +0.6x ,x >10,化简可得F (x )={120-7.4x ,0≤x ≤10,600x+0.6x ,x >10.(2)当0≤x ≤10时,F (x )=120-7.4x ,可得F (x )min =F (10)=46(万元), 当x>10时,F (x )=600x+610x ≥2√600x·610x =6√10≈19.2(万元),当且仅当600x=610x ,即x=10√10≈32平方米时,等号成立,故当x 为32平方米时,F (x )取得最小值,最小值是19.2万元.22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x.函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示,并根据图像:(1)画出f (x )在y 轴右侧的图像并写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )+(4-2a )x+2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,即函数f (x )的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像如图所示.故函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f (-x )=x 2-2x ,又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则f (x )=f (-x )=x 2-2x ,则f (x )={x 2+2x ,x ≤0,x 2-2x ,x >0.(3)根据题意,x ∈[1,2],则f (x )=x 2-2x ,则g (x )=x 2-2x+(4-2a )x+2=x 2+(2-2a )x+2, 其对称轴为x=a-1,当a-1<1时,即a<2时,g (x )在区间[1,2]上单调递增,g (x )min =g (1)=5-2a ; 当1≤a-1≤2时,即2≤a ≤3时,g (x )min =g (a-1)=1+2a-a 2;当a-1>2时,即a>3时,g (x )在区间[1,2]上单调递减,g (x )min =g (2)=10-4a , 故g (x )min ={5-2a ,a <2,1+2a -a 2,2≤a ≤3,10-4a ,a >3.。

滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。

【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题 【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整 数集
整数集
有理 数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z

课时作业(六) 直线与平面的夹角一、选择题1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )A．∠C1BB1 B．∠C1BDC．∠C1BD1 D．∠C1BO2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.363．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 24．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12B.2626C.63D.33二、填空题5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．9.如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：AC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．课时作业(六) 直线与平面的夹角1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B1(1,1,1)．A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，A1B1→＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎨⎧n·A1E→＝0，n·A1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为63. 答案：B 4．解析：如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ， ∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ， 即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°，∴cos∠APO ＝33.答案：D5．解析：cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216. 答案：2166．解析：连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a .易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 答案：30° 7．解析：以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°8．解析：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，则AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量．∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0.∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a 23a ·32a ＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.9．解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得m＝122m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.。

模块质量检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2＋a 5＝4，S 7＝21，则a 7的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．92．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，且a 1，a 2,6成等差数列，则a 4＝( ) A ．6 B ．8 C ．16 D ．323．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ( )A.32fB.322f C.1225f D.1227f4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e5．已知数列{a n }, 则“{a n }为等差数列”是“a 1＋a 3＝2a 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 228．已知等差数列{a n }单调递增且满足a 1＋a 10＝4，则a 8的取值范围是( ) A ．(2,4) B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(4，＋∞)9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤1310．在等差数列{a n }中，a 3，a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根，则数列{a n }的前11项和等于( )A ．66B ．132C ．－66D ．－13211．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k12．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a9等于( )A ．1 290B ．1 280C ．1 281D ．1 821二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝______；数列{a n }的前n 项和的最小值为______．14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.15．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．16．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N ＋.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x )在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎫a n＋1a n.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．解析：(1)由f (x )＝x 22－k ln x ，(k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x .(x ＞0)由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)；f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．。

4－x＝－1
4
时，4－x
＝－4∈Z，x＝5∈N；
4－x＝－4 时，4－4 x ＝－1∈Z，x＝8∈N；
4－x＝－2
4
时，4－x
＝－2∈Z，x＝6∈N.
综上，A＝{0，2，3，5，6，8} .
答案：{0，2，3，5，6，8 }
1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点 (1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么． (2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．
当 a，b 为正数，c 为负数时，x＝－1；
当 b，c 为正数，a 为负数时，x＝－1；
当 a 为正数，b，c 为负数时，x＝1；
当 b 为正数，a，c 为负数时，x＝－1；
当 c 为正数，a，b 为负数时，x＝1； 当 a，b，c 全为负数时，x＝1. 故 x 的所有可能取值构成的集合为
{－1，1，3，－3} . 答案：{－1，1，3，－3 }
【思考】 {(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？ 提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的 元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下：
【补偿训练】
设 a，b，c 为非零实数，则 x＝|aabb| ＋|bbcc| ＋|aabbcc| 的所有可能取值构成的集合为_____．
【解析】因为 a，b，c 为非零实数，
|ab|

第七章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边与单位圆交于点-√32,-12,则sin α的值为( )A.-√32B .-12C .√32D .12,知sin α=y=-12. 2.(2020山东济南高一检测)下列各角中,与角π6终边相同的角是( ) A.-13π6B.-11π6C.11π6 D.19π6解析与角π6终边相同的角的集合为αα=π6+2k π,k ∈Z ,取k=-1,可得α=-11π6.所以与角π6终边相同的角是-11π6.3.(2020福建莆田高一检测)某广告公司制作一块形状为扇环形的广告牌(如图),测得该扇环AB⏜的长为6米,CD ⏜的长为2米,AD 与BC 的长均为2米.若每平方米的制作费用为200元,则此广告牌的制作费用是( )A.800元B.1 600元C.2 400元D.3 200元θ,小扇形的半径为r ,则大扇形的半径为r+2,则{rθ=2,(r +2)θ=6,解得{r =1,θ=2.所以扇环的面积S=12×32×2-12×12×2=8(平方米).所以此广告牌的制作费用是8×200=1600(元).4.要得到函数y=sin 2x+π3的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像( )A .向左平移π6个单位 B .向右平移π3个单位 C .向左平移π3个单位 D .向右平移π6个单位 解析∵y=sin 2x+π3=sin [2(x +π6)],∴只需将函数y=sin2x 的图像向左平移π6个单位即可得到函数y=sin 2x+π3的图像.5.(2020山东潍坊高一检测)已知a=sin 50°,b=cos(-20°),c=tan 60°,则( ) A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>ac=tan60°=√3>1,b=cos(-20°)=cos20°=sin70°,因为0<sin50°<sin70°<1,所以a<b<c.6.若函数f (x )=sin 2x+2cos x 在区间[-2π3,θ]上的最大值为1,则θ的值是( )A .0B .π3C .π2 D .-π2f (x )=sin 2x+2cos x=1-cos 2x+2cos x 取到最大值1,可知cos x=0,结合三角函数的图像易知θ=-π2,故选D .7.已知函数y=A sin(ωx+φ)+B 的一部分图像如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<π2,则( )A .A=4B .ω=1C .φ=π6D .B=4{A +B =4,A -B =0,求得A=2,B=2, 函数的周期为5π12−π6×4=π,即π=2πω,ω=2,当x=π6时函数取最大值,即sin 2×π6+φ=1,2×π6+φ=2k π+π2(k ∈Z ). ∵|φ|<π2,∴φ=π6.故选C .8.(2020广州高一检测)已知函数f (x )=√3sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2,A13,0为其图像的对称中心,B ,C是该图像上相邻的最高点和最低点.若BC=4,则f (x )的单调递增区间是( ) A.2k-23,2k+43,k ∈ZB.2k π-23π,2k π+43π,k ∈ZC.4k-23,4k+43,k ∈ZD.4k π-23π,4k π+43π,k ∈Z解析函数f (x )=√3sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2,已知B ,C 是该图像上相邻的最高点和最低点,又BC=4,所以(2√3)2+T 22=42,即12+π2ω2=16,得ω=π2.A13,0为f (x )图像的对称中心,所以π2·13+φ=k π,k ∈Z ,可得φ=-π6,所以f (x )=√3sin π2x-π6.令2k π-π2≤π2x-π6≤2k π+π2,求得4k-23≤x ≤4k+43,故f (x )的单调递增区间为4k-23,4k+43,k ∈Z .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分. 9.若sin α=45,且α为锐角,则下列选项中正确的有 ( )A.tan α=43B.cos α=35C.sin α+cos α=85D.sin α-cos α=-15sin α=45,且α为锐角,所以cos α=√1-sin 2α=√1-(45) 2=35,故B 正确;tan α=sinαcosα=4535=43,故A正确;sin α+cos α=45+35=75≠85,故C 错误;sin α-cos α=45−35=15≠-15,故D 错误.10.同时满足下列三个条件的函数为( )①在0,π2上单调递增;②为R 上的奇函数;③最小正周期为T ≥π. A.y=tan x B .y=|cos x| C .y=tan 2xD .y=sin 12x解析A 中y=tan x ,在0,π2上单调递增,且为奇函数,又是以π为最小正周期的函数,三个条件均满足;B 中y=|cos x|为偶函数,在0,π2上单调递减,最小正周期为π,不满足条件②; C 中y=tan2x ,以π2为最小正周期,不满足条件③;D 中y=sin x2,在0,π2上单调递增,且为奇函数,最小正周期为4π,满足三个条件.故选AD .11.已知函数y=sin 2x-π6,则以下说法正确的是 ( )A .周期为π4B .非奇非偶函数C .函数图像的一条对称轴为直线x=π3 D .函数在2π3,5π6上单调递减T=π2; 因为f (-x )=sin -2x-π6=sin 2x+π6,所以该函数是非奇非偶函数;函数y=sin 2x-π6在2π3,5π6上单调递减,但y=sin 2x-π6在2π3,5π6上单调递增,令x=π3,则y=sin 2×π3−π6=1,x=π3为函数图像的对称轴,因此BC 正确.12.将函数f (x )的图像向右平移π6个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标变为原来的23,得到函数g (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图像.已知函数g (x )的部分图像如图所示,则函数f (x )( )A .最小正周期为π,最大值为2B .最小正周期为π,图像关于点π6,0中心对称C .最小正周期为π,图像关于直线x=π6对称 D .最小正周期为π,在区间[π6,π3]上单调递减 解析由题图可知,A=2,T=42π9−π18=2π3,ω=2πT =3. 又由g2π9=2可得φ=-π6+2k π,k ∈Z ,∵|φ|<π2, ∴φ=-π6.∴g (x )=2sin 3x-π6, 则f (x )=2sin 2x+π6.∴f (x )的最小正周期为π,最大值为2,选项A 正确;对于B,令2x+π6=k π(k ∈Z ),则x=kπ2−π12,可知函数f (x )图像的对称中心为kπ2−π12,0(k ∈Z ),B 错误;对于C,令2x+π6=k π+π2(k ∈Z ),所以x=kπ2+π6(k ∈Z ),函数图像的对称轴方程为x=kπ2+π6(k ∈Z ),C 正确;又当x ∈[π6,π3]时,2x+π6∈[π2,5π6],所以f (x )在[π6,π3]上是减函数,D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数y=b+a sin x (a<0)的最大值为-1,最小值为-5,则y=tan[(3a+b )x ]的最小正周期为 .y=b+a sin x (a<0)的最大值为-1,最小值为-5,所以{-a +b =-1,a +b =-5,解得{b =-3,a =-2,所以y=tan(-9x )=-tan9x 的最小正周期为π9.14.(2020浙江温州高一检测)已知角α的终边过点P (1,-2),则tan α= ,sin (π-α)+cos (-α)2cos(π2-α)-sin(π2+α)= .α的终边过点P (1,-2),所以tan α=-21=-2,可得sin (π-α)+cos (-α)2cos(π2-α)-sin(π2+α)=sinα+cosα2sinα-cosα=tanα+12tanα-1=-2+12×(-2)-1=15.2 1515.已知函数f (x )=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像中两个相邻的最高点和最低点分别为π12,1,7π12,-1,则函数f (x )的单调递增区间为 .解析因为图像中两个相邻的最高点和最低点分别为π12,1,7π12,-1,所以T2=7π12−π12=π2,即T=π,则2πω=π,即ω=2.由五点法作图得2×π12+φ=k π,又|φ|<π2,得φ=-π6,所以f (x )=cos 2x-π6,由2k π-π≤2x-π6≤2k π,k ∈Z ,得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z ,即函数f (x )的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k ∈Z .-5π12,kπ+π12],k ∈Z16.《九章算术》是我国古代的数学著作,书中给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对应的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3,半径为3米的弧田,如图2所示,按照上述经验公式可得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数)解析由题意可得∠AOB=2π3,OA=3,在Rt △AOD 中,可得∠AOD=π3,∠DAO=π6,OD=12AO=32,可得矢=3-32=32,由AD=AO sin π3=3×√32=3√32,可得弦=2AD=3√3,所以弧田面积=12(弦×矢+矢2)=123√3×32+322=9+18√38(平方米)≈5(平方米).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知扇形AOB 的周长是80 cm . (1)若其面积为300 cm 2,求扇形圆心角的弧度数; (2)求扇形AOB 面积的最大值及此时圆心角的弧度数.r ,弧长为l.(1)由{l +2r =80,12lr =300,解得{l =60,r =10或{l =20,r =30.所以∠AOB=lr =6或23. (2)因为l+2r=80,所以l=80-2r , 所以S=12lr=12(80-2r )·r=40r-r 2=-r 2+40r=-(r-20)2+400, 所以当r=20时,S max =400, 此时l=80-2r=40, 所以∠AOB=lr =4020=2.18.(12分)(2020河南郑州高一检测)如图,以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P ,Q ,已知点P 的坐标为-35,45.(1)求3cosα+5sinαsinα-cosα的值;(2)若OP ⊥OQ ,求3sin β-4cos β的值.由题得cos α=-35,sin α=45, 所以3cosα+5sinαsinα-cosα=117.(2)由题得α-β=π2, 所以α=π2+β,所以cos α=-sin β,sin α=cos β, 所以sin β=35,cos β=45,所以3sin β-4cos β=95−165=-75.19.(12分)(2020湖南娄底高一检测)已知f (θ)=sin(θ+52π)cos(32π-θ)cos (θ+3π)cos(-π2-θ)sin(-32π-θ).(1)化简f (θ); (2)若sin θ=35,且θ∈π2,π,求f (θ)的值.f (θ) =sin(θ+52π)cos(32π-θ)cos (θ+3π)cos(-π2-θ)sin(-32π-θ)=cosθ(-sinθ)(-cosθ)(-sinθ)cosθ=-cos θ.(2)由sin θ=35,且θ∈π2,π.得cos θ=-√1-sin 2θ=-√1-(35) 2=-45, 所以f (θ)=-cos θ=45.20.(12分)已知函数f (x )=sin 2x+π4+1.(1)用“五点法”作出f (x )在x ∈[-π8,7π8]上的简图;(2)写出f (x )的对称中心以及单调递增区间; (3)求f (x )的最大值以及取得最大值时x 的集合.∵-π8≤x ≤7π8, ∴0≤2x+π4≤2π.列表如下:画出图像如下图所示:(2)由2x+π4=k π,k ∈Z , 得x=kπ2−π8,k ∈Z ,可知函数图像的对称中心为kπ2−π8,1,k ∈Z .由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z , 故函数的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .(3)当2x+π4=2k π+π2,k ∈Z ,即x=k π+π8,k ∈Z 时,函数f (x )取得最大值,且最大值为2. 故函数f (x )的最大值为2, 此时x=k π+π8,k ∈Z .21.(12分)如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(t 以年初以来的月为计量单位); (2)估计当年3月1日动物种群数量.设种群数量y 关于t 的解析式为 y=A sin(ωt+φ)+b A>0,ω>0,|φ|≤π2,则{-A +b =700,A +b =900,解得A=100,b=800. ∵周期T=2×(6-0)=12,∴ω=2πT =π6, ∴y=100sinπ6t+φ+800.又当t=6时,y=900, ∴900=100sin π6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1, ∴sin φ=-1, 又|φ|≤π2,∴取φ=-π2, ∴y=100sinπ6t-π2+800.(2)当t=2时,y=100sin π6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.22.(12分)(2020山东菏泽高一检测)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的周期为π,且图像上的一个最低点为M 2π3,-2.(1)求f (x )的解析式; (2)若函数g (x )=f (x )+1在π2,b 上至少含20个零点时,求b 的最小值.由题意可知,T=2πω=π,ω=2, 又f (x )最小值为-2,则A=2. 因为sin 2·2π3+φ=-1,所以φ=π6+2k π,k ∈Z , 因为|φ|<π2,所以φ=π6.所以函数f (x )=2sin 2x+π6.(2)f (x )=2sin 2x+π6.列表:函数g (x )=f (x )+1在π2,b 上至少含20个零点时,等价于f (x )的图像与直线y=-1在π2,b 上至少含20个交点,所以b 的最小值为5π6+9×π=59π6.。

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax ＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若－1∈B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．16.已知集合A={x|1<x<3},B={x|-1<x<m+2},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是m≥1.解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+2≥3,所以m≥1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则>;(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(4)∃x∈R,使得x2+1=0.解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,所以是假命题.(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题.(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题.18.(12分)已知命题p:3a<m<4a(a>0),命题q:1<m<,且q是p 的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:因为q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,q⇒/p,从而有或解得≤a≤.所以实数a的取值范围是≤a≤.19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判断集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的值.解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,集合B=,又因为B⊆A,所以=3或=5,解得a=或a=.综上,a的值为0或或.20.(12分)已知集合A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1<x<10},∁R A={x|x≤1,或x≥6},所以(∁R A)∩B={x|6≤x<10}.(2)因为C⊆B,①当C=⌀时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,则有解得<a≤3.所以a的取值范围是a≤3.21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,即a>.(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程,满足条件.当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.所以a=0或a=.若a=0,则有A=,若a=,则有A=.(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素.由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围;(3)若(∁R A)∩B=B,求实数a的最大值.解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B=,A∪B={x|x≤2}.(2)因为A⊆B,所以a>2,所以实数a的取值范围为a>2.(3)因为(∁R A)∩B=B,所以B⊆∁R A.又因为∁R A=,所以a≤,所以实数a的最大值为.2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一 第一章集合与常用逻辑用语 单元测试1．解析：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |0≤x <2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选C.答案：C2．解析：由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}． 答案：D 3．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＋1≤2x 0”的否定为“∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>2x ”，故选A.答案：A4．解析：联立A 与B 中方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x ＋4，消去y 得：3x －2＝x ＋4，解得：x ＝3， 把x ＝3代入得：y ＝9－2＝7，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝7，∵A ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋4}， ∴A ∩B ＝{(3,7)}，故选B. 答案：B5．解析：全集U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{0,2}，则A ＝{1,3}，故集合A 的真子集共有22－1＝3个．故选A.答案：A6．解析：∵x >1，∴x 3>1.又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.答案：C7．解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，即a ∈P ，因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1.答案：C8．解析：∵b a 为分式，∴a ≠0，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a时，a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，当a ＝－1时，即得集合{－1,0,1}，满足．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1a 2＝a时，a ＝1，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，综上，a ＝－1, b ＝0.∴a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1，故选C. 答案：C9．解析：10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B 正确；方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}， ∴B ∩C ＝{1,8}∴A ⊆(B ∩C )⇒A ⊆(1,8)，故选AC. 答案：AC 11．解析：根据venn 图，可直接得出结果．由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD. 答案：ABCD 12．解析：A 中，－1∈B,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”，故A 说法不正确；B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故B 说法正确；C 中，0∈A ，x 、y ∈A ，∴0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ，故C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A ，任取x 、y ∈A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x 、y 均不为0、1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x 、x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x (x －1)∈A ，∴x (x －1)∈A ， 进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .同理，y 2∈A ，则x 2＋y 2∈A ，(x ＋y )2∈A ，∴2xy ＝(x ＋y )2－(x 2＋y 2)∈A .∴1(x ＋y )2－x 2－y 2∈A ，结合前面的算式，知xy ∈A ，故D 说法正确；故选：BCD. 答案：BCD13．解析：因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}，(∁R B )∪A ＝{x |x <2}．答案：{x |0<x <2} {x |x <2} 14．答案：必要不充分15．解析：因为集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，且3∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＝3，2m 2＋m ≠3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m ＝3，m ＋2≠3.解得m ＝－32. 答案：－3216．解析：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由下图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． 答案：{t |t ≤2}17．解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．解析：(1)由题意，集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |－1<x <4}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤5}．(2)由题意，可得∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以(∁R A )∩B ＝{x |4≤x ≤5}．19．解析：(1)∵A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，∴m <2；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．解析：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 21．解析：x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．22．解析：(1)由题意，因为－1∈B ，即x ＝－1是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的根，可得1－2(a ＋1)＋a 2－1＝0，即a 2－2a －2＝0，解得a ＝1±3；(2)由题意，集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因为B ⊆A ，可得①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；②当B ＝{0}或{－4}时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{x |x 2＝0}＝{0}满足题意；③当B ＝{0，－4}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0，解得a ＝1， 综上可得，a ＝1或a ≤－1.。

2.2.3 一元二次不等式的解法素养目标·定方向课程标准学法解读1．会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式．2．理解一元二次方程与一元二次不等式的关系.在一元二次不等式求解中，应辨明一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，归纳总结出用一元二次方程解一元二次不等式的程序.必备知识·探新知基础知识1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．思考1：不等式x 2＋2x >0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法如果x 1<x 2，则不等式__(x －x 1)(x －x 2)<0__的解集是(x 1，x 2)；不等式__(x －x 1)(x －x 2)>0__的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为__(x －h )2>k 或(x －h )2<k __的形式，再由k 值情况，可得原不等式的解集，如下表：k >0k ＝0k <0 (x －h )2>k转化为|x －h |>k ，解集为(－∞，h －k )∪(h ＋k ，＋∞)(－∞，h )∪(h ，＋∞)R(x －h )2<k 转化为|x －h |<k ，解集为(h －k ，h ＋k )∅ ∅提示：用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．基础自测1．不等式6－x －2x 2<0的解集是( D ) A ．{x |－32<x <2}B ．{x |－2<x <32}C ．{x |x <－32或x >2}D ．{x |x >32或x <－2}解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，即(2x －3)(x ＋2)>0，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >32}．故选D ． 2．不等式3x ＋11－4x ≥0的解集是( B )A ．{x |－13≤x ≤14}B ．{x |－13≤x <14}C ．{x |x >14或x ≤－13}D ．{x |x ≥14或x ≤－13}解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(4x －1)≤0，1－4x ≠0，解得－13≤x <14，故其解集为{x |－13≤x <14}．故选B ．3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2<x <4.∴－2<x ≤－1或3≤x <4. ∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是__(2,4)__.解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.关键能力·攻重难类型 解不含参数的一元二次不等式 ┃┃典例剖析__■典例1 解下列不等式：(1)x 2＋x ＋1>0； (2)(3x －1)(x ＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解． 解析：(1)由题意，可得x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不等式的解集为R .(2)由不等式(3x －1)(x ＋1)>4，可化为3x 2＋2x －5>0，即(x －1)(x ＋53)>0，所以不等式的解集为{x |x <－53或x >1}．归纳提升：一元二次不等式的解题策略1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．2．配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总可以化为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 值的正负即可求得不等式的解集．┃┃对点训练__■ 1．解下列不等式：(1)2x 2＋5x －3<0；(2)4x 2－12x ＋9>0. 解析：(1)原不等式可化为(2x －1)(x ＋3)<0， ∴原不等式的解集为(－3，12)．(2)原不等式可化为x 2－3x ＋94>0，因为x 2－3x ＋94＝(x －32)2，所以原不等式可化为(x －32)2>0，所以只要x ≠32，不等式即成立，所以原不等式的解集为(－∞，32)∪(32，＋∞)．类型 分式不等式的解法 ┃┃典例剖析__■典例2 解下列不等式：(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．解析：(1)∵2x －13x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0，∴⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，即x <－13或x ≥12.∴原不等式的解集为{x |x <－13或x ≥12}．(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0， ∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，∴－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．归纳提升：解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解．┃┃对点训练__■2．(1)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0}，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝( A )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1}D ．{1,2,3}(2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －3>0的解集为__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.解析：(1)由已知得A ＝{x |0<x ≤2}， 又B ＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}．(2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)可得ba ＝1，且a >0，∴ax ＋b x －3>0可化为(x ＋b a)x －3>0. 解得x <－1或x >3.类型 —元二次不等式与一元二次方程之间的关系 ┃┃典例剖析__■典例3 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．{x |x <－1或x >12}B ．{x |－1<x <12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手．解析：方法一：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．方法二：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 分别把x ＝－1，x ＝2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．归纳提升：已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集，则可知a 的符号和ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．例如，若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |d <x <e }(d <e )，则说明a <0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca ；若解集为{x |x <d 或x >e }(d <e )，则说明a >0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca.┃┃对点训练__■3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：方法一：x 2－2ax －8a 2<0可化为(x ＋2a )(x －4a )<0.∵a >0且解集为(x 1，x 2)，则x 1＝－2a ，x 2＝4a ，∴x 2－x 1＝6a ＝15，故a ＝52.方法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，结合a >0得a ＝52.易混易错警示 忽略二次项系数为负 ┃┃典例剖析__■典例4 求一元二次不等式－x 2＋5x －4>0的解集．错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集．解析：原不等式等价于x 2－5x ＋4<0，即等价于(x －1)(x －4)<0，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}．误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解．将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向．二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．学科核心素养 用分类讨论思想解含参不等式 ┃┃典例剖析__■对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．典例5 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解． 解析：原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}．综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }．课堂检测·固双基1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( D ) A ．{x |－1<x <13}B ．{x |13<x <1}C ．∅D ．R解析：由3x 2－2x ＋1>0得x 2－23x ＋13>0，所以(x －13)2>－29显然成立，所以原不等式的解集为R .2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( C )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1或x <－2}解析：原不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1.3．不等式4－x 2≥0的解集是__[－2,2]__.解析：根据题意，4－x 2≥0⇔x 2≤4⇔|x |≤2⇔－2≤x ≤2，即不等式4－x 2≥0的解集是[－2,2]．4．不等式1－x2＋x≥0的解集为__(－2,1]__.解析：由1－x 2＋x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2＋x )≤0，2＋x ≠0，解得－2<x ≤1，所以不等式的解集是(－2,1]． 5．解下列不等式． (1)x 2－4x ＋3≤0； (2)x ＋22x －3≥0. 解析：(1)x 2－4x ＋3≤0，即(x －3)(x －1)≤0， 解得1≤x ≤3.所以不等式的解集为{x |1≤x ≤3}．(2)x ＋22x －3≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(2x －3)≥0，2x －3≠0，解得x ≤－2或x >32，故不等式的解集为{x |x ≤－2或x >32}．。

十四平面的基本事实与推论(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.梯形的四个顶点共面B.三条平行直线共面C.有三个公共点的两个平面重合D.三条直线两两相交,可以确定3个平面【解析】选BCD.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以A是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以B不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以C不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以D不正确.2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表达正确的个数是( )①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①错,如图:②a∈α符号不对;③错,如图:④A⊂α符号书写不对.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如果P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么在正方体中过点P,Q,R的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选D.如图,延长PQ分别交CB,CD的延长线于点M,N,连接MR,交BB1于点E,交CC1的延长线于点H,连接NH,分别交D1D,D1C1于点F,G,则六边形QPERGF为截面图形.4.(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.已知m,n,l两两相交,可以推出m,n,l在同一个平面,反之,已知m,n,l在一个平面,可以推出m,n,l两两相交,或者m∥n,l与m,n相交等多种情况,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D【解析】选D.由已知,得点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.二、填空题(每小题4分,共8分)6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M__________l.【解析】因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试根据图形填空:(1)平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=________;(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=__________;(4)平面A1B1C1D1,平面B1C1CB,平面ABB1A1的公共点为__________.答案:(1)A1B1(2)AC (3)OO1(4)B17.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是________.【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).答案:1或2或3三、解答题(共22分)8.(10分)如图所示,已知E,F与G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱AB,B1C1与DA的中点,试过E,F,G 三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面.【解析】作法:(1)连接GE并延长交CB的延长线于M,交CD的延长线于N,连接MF,交棱B1B于点H,连接HE;(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连接FR,FR交D1C1于Q;(3)连接QN交D1D于点K,连接KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.9.(12分)如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.【证明】因为EF∩GH=P,所以P∈EF且P∈GH.又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,所以P∈平面ABD∩平面CBD,因为平面ABD∩平面CBD=BD,所以P∈BD,所以点P在直线BD上.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是( )A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合【解析】选ABD.选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错.2.空间中有A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一个平面内,B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点( ) A.共面 B.不一定共面C.不共面D.以上都不对【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.4.有下列四种叙述:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确叙述的序号是( ) A.②③④ B.②③ C.①②③ D.①③【解析】选B.因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;因为空间任何三点不共线但四点可以共面,所以④错.【补偿训练】经过空间任意三点作平面( ) A.只有一个 B.可作两个C.可作无数个D.只有一个或有无数个【解析】选D.若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.二、填空题(每小题4分,共16分)5.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定__________个平面.【解析】如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.答案:1或46.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是__________.①C1,M,O三点共线;②C1,M,O,C四点共面;③C1,O,A,M四点共面;④D1,D,O,M四点共面.【解析】连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,因为A1C∩平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以①②③均正确,④不正确.答案:①②③7.有下列命题:①空间三点确定一个平面;②有3个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④等腰三角形是平面图形;⑤垂直于同一直线的两条直线平行;⑥一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.其中正确命题的序号是__________.【解析】由平面的基本事实1知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①错,②中当三个公共点共线时,两平面可以不重合,③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑤错.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑥错.答案:④8.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是__________.①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又因为a∥b,所以由a与b确定唯一平面γ,但γ经过直线a与点P,所以γ与α重合,所以b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.答案:③④三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1B,D的平面交于点P,求证:点A1,P,O在同一直线上.【证明】如图,连接AC,A1C1,因为O是BD的中点,所以O是AC的中点,即O∈AC,又因为AC⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为P∈AC1,又因为AC1⊂平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,所以A1,P,O都在平面ACC1A1内.又因为A1,P,O都在平面A1BD内,所以A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.10.(12分)已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:若这三条交线不平行,则它们交于一点. 【解题指南】证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点,再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点,平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用,只是在思考中应考虑空间图形的特点.【解析】已知:如图,设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.且a,b,c不平行.求证:a,b,c三线交于一点.证明:因为α∩β=c,α∩γ=b,所以b⊂α,c⊂α.因为b,c不相互平行,所以b,c交于一点.设b∩c=P,因为P∈c,c⊂β,所以P∈β.同理,P∈γ.因为β∩γ=a,所以P∈a.故a,b,c交于一点P.11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示:(1)求证:D,B,E,F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.【解析】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交. 设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点共面(设为α);(2)由于AA1∥CC1,所以A1,A,C,C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.又因为A1C⊂β,所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

5.3.1样本空间与事件学习目标1.结合具体实例了解必然现象和随机现象,了解不可能事件、必然事件与随机事件;2.通过实例理解事件、基本事件与样本点的定义,会求试验中的样本空间以及事件A包含的基本事件的个数;3.联系实际理解任意事件发生的概率为[0,1],培养学生的数学抽象与数据分析的能力.自主预习1.随机现象必然现象在一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是.发生的结果事先能够确定的现象就是.2.样本点、样本空间在随机试验中,每一种可能出现的结果都称为,把由所有样本点组成的集合称为(通常用大写希腊字母Ω表示).3.不可能事件、必然事件、随机事件基本事件(1)样本空间Ω的一个非空真子集称为,显然,任何一个随机事件可能发生,也可能不发生.(2)在每次试验中一定发生,从而称为.(3)因为空集不含任何样本点,可以认为每次试验中一定不发生,从而称为.(4)只含有一个样本点的事件,称为.4.事件的表示不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为,通常用大写字母A,B,C,…来表示事件.5.随机事件发生的概率不可能事件发生的概率规定为0,必然事件发生的概率规定为1,对于任意随机事件A来说,P(A)应该满足不等式:.课堂探究探究点一随机现象问题1下列几个现象是必然现象吗?为什么?(1)把一石块抛向空中,它会掉到地面上来;(2)我们生活的地球,每天都在绕太阳转动;(3)一个人随着岁月的消逝,一定会衰老、死亡.问题2日常生活中,有许多现象发生的结果是很难给予准确回答的.例如,你明天什么时间起床,什么时间来到学校,明天中午12:10有多少人在学校食堂用餐,你购买的本期福利彩票是否能中奖等,这些现象就是随机现象,你能说出随机现象有怎样的特点吗?问题3你还能举出生活中的哪些随机现象?例1判断下列现象是必然现象还是随机现象.(1)小明抛一枚硬币出现正面;(2)在数学测试中,李明得分是大于等于80分;(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码;(4)标准大气压下,把水加热至100 ℃沸腾;(5)骑车经过十字路口时,信号灯的颜色.跟踪训练1下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是()A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④探究点二样本点与样本空间问题1如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次,那么“他投进6次”,“他投进的次数比6小”,“他投进3次”分别是什么事件?问题2在10个同类产品中,有8个正品、2个次品.从中任意抽出3个检验.那么“抽到3个次品”,“至少抽到1个正品”,“没有抽到次品”分别是什么事件?例2先后抛出两枚硬币,观察正反面出现的情况,选择合适的方法表示样本点,并写出样本空间.跟踪训练2连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验样本点的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?探究点三随机事件发生的概率考试结束了,小明急匆匆地对我说:“完了,这次考试太难了,我百分之一万的不及格.”问题1小明考得好不好?会不会补考?问题2任意事件A发生的概率有多大?例3先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上面的点数.(1)写出对应的样本空间;(2)用集合表示事件A:点数之和为3,事件B:点数之和不超过3;(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(用≤或≥指出大小关系即可).跟踪训练3先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上面的点数,用集合表示事件A:点数之和为6,B:点数之和不超过6,从直观上判断P(A)和P(B)的大小(用≤或≥指出大小关系即可).课堂练习1.指出下列试验的结果.(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果;(2)某人射击一次命中的环数;(3)从集合A={a,b,c,d}中任取两个元素构成的A的子集.2.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件?(1)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形;(2)长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形;(3)在乒乓球比赛中,运动员小张取胜;(4)常温下,焊锡熔化.3.甲同学在计算随机事件A的概率时算得P(A)=1.2,乙同学看了后说:”你一定做错了.”请问乙同学说的有道理吗?为什么?核心素养专练1.先后抛掷一枚均匀硬币三次,至多有一次正面向上是()A.必然事件B.不可能事件C.确定事件D.随机事件2.下列说法正确的是()A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.买了一注彩票就得了特等奖D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.投掷两枚骰子,点数之和为8所含的基本事件有种.5.从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的基本事件空间为,“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为.6.一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号数后放回.再取出1个,记下号数后放回,按顺序记录为(x,y),试写出“所得两球的和为6”所包含的基本事件.7.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的基本事件空间;(2)求这个试验的基本事件的总数;(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个基本事件?“x<3且y>1”呢?(4)“xy=4”这一事件包含哪几个基本事件?“x=y”呢?参考★答案★自主预习1.随机现象(或偶然现象)必然现象(或确定性现象)2.样本点样本空间3.(1)随机事件(2)ΩΩ必然事件(3)⌀⌀不可能事件(4)基本事件4.事件5.0≤p(A)≤1课堂探究探究点一问题1都是必然现象.因为这些现象事先能够确定结果.问题2当在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果会出现.问题3略例1解:(1)随机现象.因为硬币出现正面反面是不可预知的;(2)随机现象.因为考试的结果事先不确定.(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码,本身是无法预测,是不可预知的.(4)必然现象.因为标准大气压下,水加热至100 ℃时沸腾这个结果一定会发生,是确定的.(5)随机现象.因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的,是无法确定的.跟踪训练1C解析:由随机现象的定义知②③④正确.探究点二问题1“他投进6次”是不可能事件;“他投进的次数比6小”是必然事件;“他投进3次”是随机事件.问题2“抽到3个次品”是不可能事件;“至少抽到1个正品”是必然事件;“没有抽到次品”是随机事件.例2解:考虑到有先后顺序,可以用(Z,F)表示第1枚硬币出现正面第2枚硬币出现反面,其他样本点用类似的方法表示,则样本空间为Ω={(Z,Z),(Z,F),(F,Z),(F,F)}.跟踪训练2解:(1)用类似一先一后掷两枚硬币时样本点的记法,这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).探究点三问题1不好;他的说法不准确(百分之一万),会补考的.问题20≤P(A)≤1.例3解:(1)用(1,2)表示第一次掷出1点,第二次掷出2点,其他的样本点用类似的方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.因此,样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N}.(2)不难看出A={(1,2),(2,1)},B={(1,1),(1,2),(2,1)}.(3)因为事件A发生时,事件B一定发生,也就是说事件B发生的可能性不会比事件A发生的可能性小,因此,直观上可知P(A)≤P(B).跟踪训练3P(A)≤P(B).课堂练习1.解:(1)结果:正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.(2)0环,1环,2环,3环,4环,5环,6环,7环,8环,9环,10环.(3){a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.2.解:(1)必然事件;(2)不可能事件;(3)随机事件;(4)不可能事件.3.解:有.因为任意事件A发生的概率为0≤P(A)≤1.核心素养专练1.D2.B3.C4.55.Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 56.解:7.解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)基本事件的总数为16.(3)“x+y=5”包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“x<3且y>1”包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).(4)“xy=4”包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1);“x=y”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).学习目标初步认识有限样本空间、随机事件,以及随机事件的概率.任务一:思考课本93页“尝试与发现”提出的问题并阅读课本93页“1.样本点和样本空间”的内容,说出以下概念:随机试验(简称为试验):.样本点:.样本空间:.例1一个盒子中装有10个完全相同的小球,分别标有号码1,2,…,10,从中任取一球,观察球的号码,写出这个试验的样本点与样本空间.巩固练习:课本97页练习A1题任务二:(1)阅读课本94页“2.随机事件”的内容,理解并记住以下概念:随机事件:.必然事件:.不可能事件:.基本事件:.(2)小组讨论:在生活中,有许多必然事件、不可能事件及随机事件.你能举出现实生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗?例2张华练习投篮10次,观察张华投篮命中的次数,写出对应的样本空间,并用集合表示出事件A:投篮命中的次数不少于7次.例3从含有3件次品的100件产品中任取5件,观察其中次品数,写出对应的样本空间,并说明事件A={0}的实际意义.任务三:阅读课本95页“3.随机事件发生的概率”并回答下面的问题:(1)必然事件发生的概率是多少?不可能事件发生的概率是多少?(2)任意事件发生的概率应满足什么条件?例4先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数.(1)写出对应的样本空间;(2)用集合表示事件A:点数之和为3,事件B:点数之和不超过3;(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可).巩固练习:课本97页练习A4.课堂练习课本97页练习A3题、练习B3题课后作业课本97页练习练习A2题,练习B1,2,4,5题参考★答案★学习目标任务一在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验随机试验中每一种可能出现的结果所有样本点组成的集合,通常用Ω表示例1解:样本点有:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.巩固练习(1)Ω={发芽,不发芽}(2)Ω={甲胜乙败,甲败乙胜,平局}任务二(1)样本空间的一个非空真子集任何一次试验一定发生的事件每次试验一定不发生的事件只含有一个样本点的事件(2)略例2解:样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},事件A={7,8,9,10}.例3解:样本空间Ω={0,1,2,3},事件A={0}表示的实际意义是:抽取的5件产品中,没有次品.任务三(1)P(Ω)=1P(Φ)=0(2)0≤P(A)≤1例4解:(1)用(1,2)表示第一次掷出1点,第二次掷出2点,其他的样本点用类似方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.因此,样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N}.(2)事件A={(1,2),(2,1)},B={(1,1),(1,2),(2,1)}.(3)事件A发生时,B事件一定发生,B事件发生的可能性不会比A事件可能性小,所以P(A)≤P(B).巩固练习错,概率不会超过1.课堂练习练习A(1)Ω={0,1,2,3}(2)A={0}(3)3件产品中至多有1件次品.练习B∵A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},∴P(A)≤P(B).课后作业练习A A={1,3,5},B={2,4,6}练习B1.(1)Ω={(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),(2,1)}(2)A={(2,0),(2,1)}2.Ω={(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}4.(1)A=Ω(2)B=⌀5.(1)Ω={t|t≥0,t∈R}无数个样本点(2)A={t|t>5 000,t∈R},B={t|0≤t<1 000,t∈R}感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

解析：(1)因为U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，所以A＝{0,1,3}，所以集合 A的真子集共有7个．
(2)借助数轴得∁UA＝{－3}∪(4，＋∞)．
类型 二
典例剖析
交集、并集、补集的综合运算
典例 2 (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－
3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. (2)全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B
解析：因为A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}， 我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围， 在数轴上表示集合A，B，如图所示．
由aa≤2＋21，≥4，
a≤2， 得a≥ 3或a≤－
3.
故 a≤－ 3或 3≤a≤2，
即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为{a|a≤－ 3或 3≤a≤2}，
故 A∩B≠∅时，a 的取值范围为{a|a>2 或－ 3<a< 3}．
易混易错警示
典例剖析
忽视全集
典例 5 已知集合A＝{x|x2－4mx＋1＝0，x∈R}，B＝(－∞，0)，若 A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
错因探究：本题容易忽略全集的范围，误认为 U＝R，从而得到错误 答案：实数 m 的取值范围是 m<12.
(2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示． 由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}． 方法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}， (∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}． 又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}． ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}． ∴A＝{1,3,9}．