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课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometry and itsApplications课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press※课题背景人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。
但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。
分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。
它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。
它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。
但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。
也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。
其实不然。
在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。
由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。
但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。
研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。
研究方法：研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一种研究自相似性形态的数学工具，指的是通过某种规则将形状无限细分而形成的一类具有自相似和自同构特性的几何对象。
分形几何研究的对象是具有复杂结构，但又存在某种“无限重复”的特征的物体。
分形几何的发展始于20世纪60年代末，由波兰数学家曼德布洛特提出的“曼德布洛特集合”起始。
曼德布洛特集合是一种通过迭代算法生成的美丽几何图形，具有自相似性和自同构性。
分形几何的应用极为广泛，涉及到艺术、自然科学、经济学、社会学等多个领域。
在艺术领域，分形几何被称为“几何里的艺术家”。
分形艺术家使用计算机软件，通过迭代重复和自相似性的特征，制作出多样化、繁复而又富有自然美感的几何图案。
著名的分形艺术家有迈克尔·波斯纳和罗杰·潘罗斯等。
他们的艺术作品对自然界的模仿、对礼物生命的呈现，精细而获得了广泛而热烈的反响。
此外，在科学领域，分形几何的应用也十分广泛。
例如，在天体物理学中，人们发现短时尺度的火花电放电现象，既有类似闪光灯光亮、语言简单、明显可见的特点，也有类似雷电光展现、花式炫耀的特点。
而通过分形几何方法，人们发现闪电显示具有分形特性，即闪电能从云层中一点开始向不同方向分支扩散，直至铺满整片云层。
而这种分形几何的特性，也被应用在气象学、地质学、分子物理学等学科中，对于研究高分辨率细节提供了一些新的思路和方法。
总之，分形几何的研究和运用，具有广泛的科学和文化意义。
它不仅为我们揭示了许多自然规律和物理特性，也为我们提供了艺术表达和审美的另一种视角。
几何里的艺术家，为我们打造了一个充满神秘美学的世界。
对分形理论的综述一、分行理论产生的背景二、分形理论的概念三、分形理论的应用一、分型理论产生的背景长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型，把问题纳入可以解决的范畴。
线性近似方法在许多学科得到广泛的应用，解决了许多理论问题和实际问题，推动了各学科的发展。
但是，在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，如流体中的湍流、对流等等。
而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这是分形理论与线形近似处理本质上的区别。
从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学—分形几何学。
然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(chaos)现象的重要工具。
众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。
除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力。
从气象、生态，直到图形压缩、城市规划，在许多相距甚远的领域里，都发现了分形的概念与方法的用武之地。
人们惊奇地发现，分形现象在自然界是普遍地、大量地存在着。
分形概念的产生与发展，进一步拓宽了我们的视野，使人类的科学思想登上了一个新的台阶。
二、分形理论的概念分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。
当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。
从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。
例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。
它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。
通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。
例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。
分形理论及其应⽤分形⼏何及其在城市研究中的应⽤⼀、分形概述1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形⼏何学的诞⽣。
分形⼏何学是相对于传统欧⽒⼏何学的不⾜⽽建⽴的，由此发展起来的分形理论是现代⾮线性科学研究中的⼀门新兴数学分⽀，在众多学科领域中有着⼴泛的应⽤。
普通的⼏何对象，具有整数维数。
零维的点、⼀维的线、⼆维的⾯、三维的体、四维的时空等。
⽽分形则是具有⾮整数的分维的⼏何对象。
其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了⼀种可能性。
其显著的特征是：看来⼗分复杂的事物，事实上⼤多数均可⽤公含很少参数的简单公式来表达。
1、科赫曲线分形⼏何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚⾄⽀离破碎的空间⼏何形态。
分形的典型例⼦，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学⽅法构造的⼀类处处不可导。
构造过程如下图：取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3⽤⼀个隆起等边三⾓形的另两边替代，得到⼀条由四个等长直线段构成的折线，称为⽣成元（generator）。
再将⽣成元中的四个直线段中的每⼀个，都⽤⼀个缩⼩为1/3的⽣成元代替，从⾯形成了⼀条有次级隆起的折线。
这样⼀直进⾏下去，得到科赫曲线。
显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。
2．⾃相似性与标度不变性如果⼏何对象的⼀个局部放⼤后与其整体相似，这种性质称为⾃相似性，⽐如树。
地质现象的描述离不开标度，在地质上，对⼀些地质现象拍照时，⼀定要放上⼀个能表⽰尺度⼤⼩的物体，如⼀枚硬币，⼀把锤⼦等。
因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照⽚是反映什么尺度范围内的现象，可能是10⽶还是10公⾥等。
当观测标度变化时，⼏何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。
具有⾃相似性或标度不变性的⼏何对象，我们说它们是分形的。
3.分形的定义1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。
（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样⼀种集合，它⽐传统⼏何学研究的所有集合更加的不规则，⽆论是放⼤还是缩⼩，这种集合的不规则性仍然是明显的。
新探分形理论的应用引言分形理论是一种新兴理论，具有较大的应用潜力，在自然科学和社会科学领域均有不同程度的应用。
本文重点论述分形理论在水文水资源中的应用。
1 分形理论的概念传统的欧几里德几何学研究的图形都是具有规则形状的物体，如圆、正方形、球和圆锥体等等，构成这些图形的边缘都是连续且光滑的。
通过传统的欧几里德几何学，人们可以方便地描述大量规则形状的物体。
但是，自然界中仍然还是存在许多有着不规则形状的物体，如天空中的云彩不是球体，地面上的海岸线不是圆弧，山脉不是锥体，树皮不是光滑的曲面，动物体内的血管的分布更是错综复杂。
这些不规则的几何形状也经常出现在自然科学的各个领域中，如流体力学中的湍流，物理学中的布朗运动，化学中酶的构造，生物学中细胞的生长，非线性动力学中的奇怪吸引子以及工程中的信号处理等等。
为了研究这些大自然的几何学，就诞生了一门新的分支———分形几何学。
“分形（fractal）”一词来源于拉丁语“FRACTUS”，含有“不规则”和“破碎”的意思。
分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在自然学科、经济和社会学科中都有广泛的应用。
2 水文现象的分形特征2.1 流域地貌、水系的分形特征分形理论在水文学中的早期应用，主要是分析流域地貌、水系的分形特征（空间分形）。
分形分析为流域水文学提供了新的研究方法。
许多学者研究了流域形态的分维，比如：傅军等对嘉陵江流域形态及流量过程分维进行了研究。
冯平等运用分形的基本定义及河系定律探讨了河长和河网结构的分维。
海河水系河长的分维在 1.01-1. 14 之间，河网的分维在 1.50-1.69 之间。
随着其它学科的发展，分形的应用也不断被更新。
王秀春等应用地理信息系统（GIS）提取河流信息，并在此基础上改进了传统的计盒方法，将其应用于泾河流域水系分形分析。
分析表明水系分维反映了水系分布的复杂程度，它与研究区域的环境状况有很大关系。
2.2 洪水的分型特征在空间分配上，主要集中于极值量（洪水）的研究，即洪水区域分析。
生物学中的分形理论应用分形理论是一种研究自然界中的自相似性质的理论，而在生物学中，分形理论的应用也越来越广泛。
在此，我们将介绍生物学中的分形理论应用，包括分形结构、分形动力学以及生态系统的分形特性。
分形结构生物体内有很多复杂的结构，比如肺的结构、心脏的结构、血管的结构等等，而这些结构中，很多都是分形结构。
分形结构具备自相似性质，也就是说，无论你放大或缩小这个结构，它的形态都是一样的。
以肺为例，肺的结构是由许多分支的气管组成的，而这些气管内部也可以分支成很多小气管，形成了多层分支的结构。
这样的结构设计，使得氧气可以最大限度地进入肺部，从而提供更多的氧气给身体细胞使用。
分形动力学生物学中的许多现象都与分形动力学有关。
分形动力学是研究动态系统的动力学规律的一种理论，这些动态系统可能会出现复杂的行为，甚至会出现变态行为。
比如，心脏的跳动就是一个分形动力学的例子。
在正常情况下，心脏跳动的节律非常稳定。
但是当心脏遭受外界干扰或者受到内部异常的刺激时，就会出现心跳失常的现象，这就是心脏跳动的分形动力学特征。
生态系统的分形特征生态系统是由很多生物群落组成的，而这些生物群落之间的联系复杂而微妙。
通过研究这些生物群落的分形特征，我们可以了解到这些生物群落之间的联系以及生态系统的稳定性和可持续性。
比如，研究植物的叶子分布规律，可以了解到不同物种之间的竞争关系以及其在生态系统中的地位。
另外，通过研究生态系统的分形特征，还可以预测生态系统的变化和演化趋势，这对于环保和自然资源管理具有重要意义。
总结生物学中的分形理论应用十分广泛，从生物体内的分形结构，到生物学现象的分形动力学特征，再到生态系统的分形特征，都可以通过分形理论进行研究和分析。
分形理论的发展，为我们了解生命和自然界提供了一个全新的视角，也为我们保护自然环境提供了更为精准的方法。
