高三数学第一轮复习 第二十课时定积分

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

第二十讲 定积分的定义与性质（理科）一、知识梳理1.定积分的概念：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分成n 分小区间，每个小区间长度为x ∆(x ∆= ),在每个小区间上取一点，依次为12,,,,i n x x x x L L ，作和n S = .如果x ∆无限趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为S = ，其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限，2.微积分基本定理：对于被积函数()f x ，如果()()F x f x '=，则()b a f x dx ⎰= .3.定积分的运算性质：⑴()b akf x dx ⎰= ； ⑵[()()]b a f x g x dx ±=⎰ ；⑶()b a f x dx =⎰ .()a c b <<4.定积分的几何意义：在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a xb a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义. ⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a xb a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 .⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b a f x dx ⎰表示介于直线,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 .5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分，即s = . ⑵变力做功公式，一物体在变力()F x (单位：N )的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位：m )，则力F 所作的功为W = .二、同步练习1. 求定积分：（1）0(sin cos )x x dx π-⎰；（2）2211()x x dx x -+⎰；（3）0(cos )x x e dx π-+⎰2. 若y=f(x)与y=g(x)是［a,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b 所围成的平面区域的面积为 （用定积分表示）.3.根据π20⎰sinxdx=0推断，直线x=0，x=2π，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x 轴上方的面积 在x 轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）4. 若10⎰f(x)dx=1, 20⎰f(x)dx=-1,则21⎰f(x)dx= .5. 若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( )A ．0.05 JB ．0.5 JC ．0.25 JD ．1 J6.如图，函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( )A ．1 B.43 C. 3 D ．27.已知函数y ＝x2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为43，则k ＝________.8.已知f(x)为偶函数且60⎰f(x)dx ＝8，则66-⎰f(x)dx 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．169. 0cos xdx π=⎰ ；10. 已知质点的速度10v t =，则从0t =到0t t =质点所经过的路程是 .11. 已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-101012x x x ，求11-⎰f(x)dx 的值.12. 已知f （x ）=ax2+bx+c ，且f （-1）=2，f′（0）=0，10⎰f （x ）dx=-2，求a 、b 、c 的值.13. 30⎰29x -dx= ;14.222cos 2x dx ππ-=⎰ ；15. 曲线y=cosx （ 0≤x≤23π）与坐标轴所围成的面积是 .16．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P 的坐标为________．。

数学高三定积分知识点在高三数学中，定积分是一个重要的概念，也是学生们常常遇到的题型之一。

定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解曲线的弧长、质心等一系列数学问题。

本文将介绍高三数学中关于定积分的基本概念、性质和应用。

一、定积分的基本概念1. 无穷小量与无穷大量在定积分的定义中，我们需要先了解无穷小量与无穷大量的概念。

无穷小量指的是当自变量趋于某个值时，依附于其而趋于零的量；而无穷大量则是当自变量趋于某个值时，逐渐无限增大的量。

2. 定积分的定义定积分的定义是通过分割求和的方式来计算曲线与坐标轴之间的面积。

对于一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分表示为∫[a,b] f(x) dx，其中 f(x) 为被积函数，dx 为积分变量。

3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴之间包围的面积。

当被积函数 f(x) 大于零时，定积分表示曲线所围成的面积；当被积函数 f(x) 小于零时，定积分表示曲线下方所围成的面积。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性定积分具有可加性，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx +∫[a,b] g(x) dx。

这意味着我们可以将被积函数进行分解，然后对每个部分进行积分，最后将结果进行求和。

2. 定积分的线性性质定积分还具有线性性质，即∫[a,b] (cf(x)) dx = c∫[a,b] f(x) dx，其中 c 为常数。

这意味着可以将常数提取出来，然后对函数进行积分。

3. 定积分的区间可加性定积分的区间可加性表示对于一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，可以分为两部分进行计算，即∫[a,b] f(x) dx= ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx，其中 c 为 [a, b] 上的某一点。

三、定积分的应用1. 几何应用定积分在几何中有广泛的应用，可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

高考数学一轮总复习积分与定积分的常见错误与解析积分与定积分在高考数学考试中占据着重要的位置。

然而，由于积分与定积分的概念较为抽象，经常会引发一些常见的错误。

本文将对高考数学一轮总复习中与积分与定积分相关的常见错误进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。

1. 混淆积分与求和许多同学在计算积分时，常常将其与求和混淆。

积分是对函数在某个区间上的连续值进行求和的过程，而不是简单地对一组数值进行求和。

一个常见的错误是在进行积分计算时忘记加上微元符号“dx”，或者将它们错误地写成“∆x”。

解析：积分的本质是对函数曲线下面的面积进行求和，而不是对一组离散的数值求和。

在计算积分时，务必牢记加上微元符号“dx”，并正确运用积分的定义和性质。

2. 式子的不正确分解有些同学在遇到较复杂的函数式子时，常常将其不正确地分解，导致计算结果错误。

例如，在计算一定积分时，将被积函数错误地分解成两个互相独立的部分。

解析：正确分解被积函数是计算积分的关键步骤。

在分解过程中，应根据需要运用函数的性质，将其分解成更简单的形式，使得计算更加容易。

同时，要注意避免将不同区间上的积分误认为是互相独立的。

3. 忽略常数项在计算定积分时，有些同学经常会忽略掉函数中的常数项，从而导致最终结果错误。

这种错误通常出现在没有进行恰当的变量代换时。

解析：在计算定积分时，常数项是不容忽视的。

要通过变量代换等方法将常数项纳入计算，并在计算过程中对常数项进行正确处理。

4. 使用错误的积分公式使用错误的积分公式是一个常见的错误，特别是在遇到非常规的函数时。

有些同学可能会仅仅凭借模仿或记忆错误公式的方法计算积分。

解析：掌握正确的积分公式对于解决问题至关重要。

在积分计算中，需要熟练掌握常用的基本积分公式，并能够根据具体函数的特点选择合适的公式进行计算。

5. 积分上下限错误在计算定积分时，有些同学常常出现上下限设置错误的情况。

他们可能会将上下限的顺序写反，或者将变量混淆。

一、知识结构二、重点叙述1.定积分①定积分的背景Ⅰ、求曲边梯形的面积:Ⅱ、汽车行驶的路程:②定积分概念Ⅰ、定积分的定义:如图,曲边梯形面积;如图,变速运动的路程。

一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点,做和式,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即,这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。

Ⅱ、定义的说明:(1)定积分数值只与被积函数及积分区间[a, b] 有关, 与积分变量记号无关,即(2)定义中区间[a.b]的分法和的取法是任意的。

(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上可积。

③定积分的几何意义定积分的几何意义是:如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。

④定积分的性质Ⅰ、(k为常数);Ⅱ、;Ⅲ、2. 微积分基本定理①微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且,那么这个结论叫做微积分基本定理。

又叫做牛顿-莱布尼茨公式。

记作,于是②定积分的计算如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且,那么。

3.定积分的应用①定积分的基本运算;②求平面图形面积;③定积分在物理中的应用三、案例分析案例1：求下列定积分：（1）；（2）；（3）（2009福建·理4）等于----------（）A. B.2 C. D.答案：(1);(2);(3)D。

难度：未设置考查点：暂无解析：分析：根据微积分基本定理，先求出函数，使得，进而计算。

解：(1) ∵，∴。

(2) ∵,∴。

(3)∵，∴。

案例2：（1）设则等于_________。