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第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价利用风险中性的方法计算期权定价：ˆ()rt Tf e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，ˆE是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动：dS Sdt sdW μσ=+则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：20exp[()]2T S S r T σ=-+对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：2(/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+-其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。
对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。
例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。
下面用MATLAB 编写一个子程序进行计算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)%蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格%输入参数%s0 股票价格%K 执行价%r 无风险利率%T 期权的到期日%sigma 股票波动标准差%Nu 模拟的次数%输出参数%eucall 欧式看涨期权价格%varprice 模拟期权价格的方差%ci 95%概率保证的期权价格区间randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0,%这样保证每次模拟的结果相同nuT=(r-0.5*sigma^2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K)%期权到期时的现金流[eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff)%在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。
第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。
第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。
谈谈期权的蒙特卡洛定价法蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。
蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，利用随机数（实际应用中通常为伪随机数）来产生随机的基于一定分布假设的数字序列，进而解决各种计算问题。
通过对问题的结果分布进行假设和拟合，利用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。
从理论上来说，蒙特卡洛方法需要大量的实验。
实验次数越多，得到的结果才越精确。
计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。
现代的蒙特卡洛方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。
它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
借助计算机技术，蒙特卡洛方法兼具了两大优点：一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速，简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。
在实际应用中，蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题，提供了近似的解决方案。
在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用，如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。
有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性，事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。
国内期权市场发展落后于欧美发达国家，场内期权数量屈指可数，相关的指数和资产管理产品寥寥无几，同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权（vanilla options）为主，夹杂少量特殊定制的奇异期权。
由于接触的大多是已经有解释解，或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种，无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。
蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若则有显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设为独立同分布的随机变量序列，若则有其等价形式为。
◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。
2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。
3、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5、市场上不存在无风险的套利机会。
6、无风险利率为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。
首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程则有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为，通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：其中，，，，为期权的执行日期，为期权的执行价格。
欧式看跌期权的终边值条件分别为，此外，美式看涨期权的终值条件为，美式看跌期权的终值条件为。
然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。
◆风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。
同理，根据伊藤公式可以得到对数正态分布的概率密度函数：设，，则的密度函数为根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：接下来，求解以上风险中性期望。
首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换和，可以得到再对等式的右边的第二个无穷积分，令，可求得将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：其中，，。
可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。
基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。
蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。
§2.蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量是随机变量的数学期望，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列，并计算样本均值。
那么根据Kolmogorov强大数定律有。
因此，当n充分大时，可用作为所求量的估计值。
由中心极限定理可得到估计的误差。
设随机变量的方差，对于标准正态分布的上分位数，有这表明，置信水平对应的渐近置信区间是。
实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为，误差收敛速度是。
不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。
在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定，将n增大100倍；要么固定n将减小10倍。
若两个随机变量的数学期望，，那么无论从或中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。
比较其误差，设获得的一个抽样所需的机时为，那么在时间T内生成的抽样数，若使，则需使。
因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n 或是减小方差，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差与机时t的乘积尽量的小。
§3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即，其中的表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，是关于标的资产价格路径的预期收益。
由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。
一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间分成n个子区间，标的资产价格过程的离散形式是，(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。
由于，m条路径的收益均值为，m条路径的方差为，则可得95%的置信区间为。
例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年（1年为100时间步），给定数据，，以及＝100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：（1）（2）图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。
若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：（3）（4）图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。
从图中可以看出，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比较大。
这是与股票C 和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。
欧式看涨期权，通过Black-Scholes公式计算得的精确值为，蒙特卡洛模拟的价格为，其蒙特卡洛模拟图如下：（5）上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间§4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。
权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。
权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。
现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind 数据库给出的理论值进行比较。
本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。
现实中用等时间间隔观测股票价格序列，股票投资的连续复利收益率，（），则的样本标准差。
如果用日数据计算波动率，则年度波动率按下式计算：年度波动率＝日波动率*（每年的交易日数）1/2将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟（）蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（）蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（）从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。
为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。
其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。
五粮YGC1价格模拟比较图马钢CWB1价格模拟比较图伊利CWB1价格模拟比较图从图中明显看出，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。
从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。
对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。
◆隐含波动率及其数值计算方法隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。
由于我们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近似解。
下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。
牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。
步骤1.将函数在点附近展开成泰勒级数步骤2.取泰勒级数的前两项作为假设，求解方程，并令其解为，得，这样得到迭代公式，经过n次迭代后，可以求出的近似解。
根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：1.假设其他变量保持不变，认为函数是隐含波动率的一元函数，其中的是市场上观察到的期权价格。
2.求函数的导数3.由迭代公式计算波动率，直至（是期望达到的精度）。
此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。
如Brenner 和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。
1996年，Corrado和Miller在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：§5.服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析◆服从跳扩散过程的期权定价方法正常的波动用几何布朗运动(Brown)来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。
