知识点057 完全平方公式几何背景(选择)

《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。

2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。

掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。

（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。

（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。

能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。

3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。

4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。

直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。

并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。

最后通过变式训练进行练习和巩固。

二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。

本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。

对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。

为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。

三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。

数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。

本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。

完全平方公式知识点1 完全平方公式222a b a ab b-=-+，()2()2a b a ab b+=++；222即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】例1化简：（x﹣2）2+（x+3）（x+1）．【方法总结】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘多项式，熟记相关公式和运算法则是解题的关键．例2已知a+b＝8，ab＝15，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【方法总结】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．例3下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x＝（x2+2xy）﹣（x2+2x+1）+2x第一步＝x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第二步＝2xy+4x+1第三步（1）小颖的化简过程从第步开始出现错误，错误的原因是．（2）写出此题正确的化简过程．【方法总结】本题考查完全平方公式，整式的加减以及单项式乘多项式，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．例4已知（x﹣p）2＝x2+mx+36，则m＝．【方法总结】本题考查了完全平方公式的运用，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【随堂练习】1．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．2．计算：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）．3．已知x+y＝7，xy＝﹣8，求（1）x2+y2的值；（2）（x﹣y）2的值．知识点2 利用完全平方公式进行整式与数的运算利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b()2-=-+的掌握情况.()2a b a ab b+=++；222【典例】例1计算：2002﹣400×199+1992．【方法总结】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．例2已知实数m，n满足m+n＝3，mn＝﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m﹣n的值．【方法总结】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【随堂练习】1．若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝．2．已知x﹣y＝3，x2+y2﹣3xy＝4．求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．知识点3 完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”【典例】1．要使x2+kx+4是完全平方式，那么k的值是（）A．k＝±4B．k＝4C．k＝﹣4D．k＝±2【方法总结】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．例2已知x2﹣2mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．±3B．3C．±6D．6【方法总结】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．【随堂练习】1．已知y2﹣6y+m是完全平方式，则m＝（）A．6B．﹣6C．9D．﹣9 2．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．±4B．4C．±8D．8 3．下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+14B．1+4x2C．a2+ab+b2D．x2+2x﹣1知识点4 完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）【典例】例1 有一张边长为a的正方形桌面，因实际需要，需将正方形边长增加b，木工师傅设计了如图所示的方案，该方案能验证的等式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab+b2【方法总结】考查完全平方公式的几何背景，通过不同方法计算面积，通过面积之间的关系得出等式是常用的方法．例2如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．【方法总结】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能对整式结论变式应用．例3如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为．（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．【方法总结】本题考查完全平方公式的背景及其应用，将同一个图形的面积用两种方法表示是求解本题的关键．例4如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：；方法二：；（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．【方法总结】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出结论的关键．【随堂练习】1．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a +b ）2＝a 2+2ab ﹣b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ﹣b 22．如图，将长方形ABCD 的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．32C ．5D ．63．图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形． （1）图2中间空白的部分的面积是 ；（2）观察图2，请你写出代数式（a +b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系式 ；（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x +y ＝﹣4，xy ＝3，求x ﹣y 的值．4．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．综合运用1．若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则常数k的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．±42．已知关于x的多项式16x2+mx+1是一个完全平方式，则常数m的值是．3．计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．4．计算：（a﹣2b﹣1）2．5．已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．6．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？7.如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．8．1）请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间数量关系式．（2）应用上一题的关系式，计算：xy＝﹣3，x﹣y＝4，试求x+y的值．（3）如图：线段AB＝10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2＝32，求阴影部分△ACF面积．。

【学习课题】七年级下册 第一章 整式的运算 第八节 完全平方公式（1）【内容分析】本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。

是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础。

它是数学方法中配方的依据，能解决许多数学问题，是中考考察重点，有选择题和解答题。

初学完全平方公式时，由于对公式理解不深、记忆不牢，容易丢掉“加上（或减去积的2倍）”必须引起高度重视。

【学习目标】 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算3、了解完全平方公式的几何背景【学习重点】对完全平方公式的理解，以及公式的运用【学习难点】（1） 完全平方公式进行计算时，如何从广义上理解公式中的字母。

（2）在运算时明确是哪两数的和或差的平方。

【学习过程】学习准备：（1）学习本节内容需要熟悉‘多项式乘多项式’、‘幂的乘方’和‘积的乘方’的运算法则，学习前可先检查自己是否熟悉这几个法则；（2）利用多项式与多项式的乘法法则，前面已经推导出重要的乘法公式—平方差公式 （3）平方差公式大大提升了计算的难度和计算的准确度，是否渴望多一点这样的乘法公式呢？学完本节内容后你的这一愿望就会如愿以赏了！阅读理解：（一）解读教材1、请同学们阅读书上40页，观察下图回答问题： （1）第1块实验田面积为（ ）米2； （2）第2块实验田面积为（ ）米2； （3）第1块实验田面积为（ ）米2； （4）第1块实验田面积为（ ）米2； 这四块实验田总面积为（ ）米2。

若将这四块实验田看成一个大正方形，则其边长为（ ）米，面积为（ ）米。

可以得到结论： 请同学们想一想，能不能用多项式乘多项式得到这个结论呢？()()2a b b a b ++-思考：()2a b -=？有两种方法：①利用多项式乘法 (a-b)2=(a-b)(a-b) ②利用换元法 (a-b)2=[a+(-b)]22、通过以上的推导，得到两个完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2用自己的语言描述完全平方公式： 填空： (x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2(2x-5y)2=( )2-2( )( )+( )23、仔细阅读下面的例题，然后仿照例子即时练习：例子：利用完全平方公式计算：（1）(a+2b)2（2）(a-2b)2解：∵ (a + b)2 =a 2+2 a b + b 2 ∵ (a - b)2 =a 2-2 a b+ b 2（a +2b)2=a 2+2 a (2b)+ (2b)2(a -2b)2=a 2-2 a (2b)+(2b)2= a 2+4ab+4b2= a 2-4ab+4b2遮住例1的答案，自已做一遍，然后对答案。

1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。

分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。

专题：计算题。

分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。

分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。

完全平方公式的几何背景（两大类型）【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方法②；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（）A．10B．1 1C．12D．13【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）A．mn B．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2【典例2】（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x ﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【变式2】（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x ﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．1．（2022春•盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（）A．4B．6C．7D．82．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则长方形ABCD 的面积为（）A．10B．20C．40D．803．（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（）A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b24．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．5．（2022秋•上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；（2）利用你发现的结论，解决下列问题：①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．6．（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b 米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：.方法②：.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：．（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．7．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，则x﹣y＝．（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求的值．8．（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．9．（2022•平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．10．（2022春•江都区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图①，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）（i）由图②，可得等式：；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝；（2）如图③，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积；（3）图④中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．（i）请用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图①②画出拼法并标注a、b；（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b2．11．（2022秋•高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．。

专题4 乘法公式一完全平方公式----⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式利用公式进行数的运算乘法公式完全平方公式利用公式进行整式的运算完全平方公式几何背景知识点1 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】1.x 2﹣4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A. 2 B . ﹣2 C. 2和﹣2 D. 4【答案】C.【解析】解：∵x 2﹣4x+m 2=x 2﹣2×2×x +m 2， ∴m 2=22，解得m=2或﹣2． 故选：C【方法总结】满足222a ab b ++的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．【随堂练习】1．（2018春•灌云县期末）已知（a+b ）2=17，（a ﹣b ）2=13，求a 2+b 2与ab 的值． 【解答】解：由（a+b ）2=17可得：a 2+2ab+b 2=17①， 由（a ﹣b ）2=13可得：a 2﹣2ab+b 2=13②， ①+②得：a 2+b 2=15，①﹣②得：ab=1．2．（2018春•高新区校级期中）已知a+b=5，ab=﹣14，求：①（a﹣b）2②a2+b2；【解答】解：①∵a+b=5，ab=﹣14，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=52﹣4×（﹣14）=25+56=81；②∵a+b=5，ab=﹣14，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=52﹣2×（﹣14）=25+28=53．知识点2 利用完全平方公式进行数的运算利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b-=-+的掌握情况.()2()2a b a ab b+=++；222【典例】1.利用完全平方公式计算1012+992得（）A. 2002B. 2×1002C. 2×1002十1D. 2×1002+2【答案】D.【解析】解：1012+992=（100+1）2+（100﹣1）2=1002+200+1+1002﹣200+1=2×1002+2．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际应用.222a b a ab b()2-=-+，()2+=++；222a b a ab b即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.【随堂练习】1．（2017•福州模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=100，则（x﹣2016）2= _____．【解答】解：设x﹣2016=a，则（a+1）2+（a﹣1）2=100，则2a2+2=100，解得：a2=49，故（x﹣2016）2=49．故答案为：49．2．（2017春•宝丰县月考）利用乘法公式计算：1012+992=_____．【解答】解：原式=（101+99）2﹣2×101×99=2002﹣2×（100+1）×（100﹣1）=40000﹣2×9999=40000﹣19998=20002， 故答案为：200023．（2015秋•丛台区期末）计算：1022﹣2×102×104+1042的结果为____． 【解答】解：原式=（102﹣104）2=（﹣2）2=4， 故答案为：4知识点3 利用完全平方公式进行整式的运算利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+的掌握情况.【典例】1.已知a ﹣=2，则a 2+的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D.【解析】解：把a ﹣=2，两边平方得：（a ﹣）2=a 2+﹣2=4，则a 2+=6．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的运用. 当题干中出现“a+”（或者a -），问题中出现“a 2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a ﹣）2= a 2+ - 2、（a+）2= a 2+ + 2，从而得到a 2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？【解析】解：题干是对一个三项式进行平方，可以先对3x+4y﹣6做一个简单的分组，分为3x+4y和-6，这样式子就变成（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2，然后再按照完全平方公式进行计算，计算如下：（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）×6+62=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，常数项为36.【方法总结】完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.【随堂练习】1．（2017秋•河口区期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为___．【解答】解：∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，∴k=±12，故答案为：±122．（2018春•玄武区期末）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m=___．【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，∴﹣mxy=±2×2x×3y，∴m=±12．3．（2018春•成都期中）若多项式a2+2ka+1是一个完全平方式，则k的值是___．【解答】解：∵a2+2ka+1是一个完全平方式，∴2ka=±2a•1，解得：k=±1，故答案是：±1．知识点4 完全平方公式的应用【典例】1.设一个正方形的边长为acm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（）A. 9cm2B. 6acm2C. （6a+9）cm2D. 无法确定【答案】C.【解析】解：根据题意得：（a+3）2﹣a2=a2+32+6a﹣a2=6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，故选：C【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果.对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（）A. 15B. 5C. 12D. 10【答案】B.【解析】解：∵2a2+4ab+2b2 =18∴a2+2ab+b2=9∵（a+b）2= a2+2ab+b2∴原式=a2+2ab+b2﹣4，=9﹣4，=5．故选：B【方法总结】问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（）A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【答案】C.【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积等于4个小图形的面积和等于a2+b2+ab+ab，∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C【方法总结】这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A. 2mB. （m+n）2C. （m﹣n）2D. m2﹣n2【答案】C.【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．故选：C【方法总结】此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.【随堂练习】1．（2018春•叶县期中）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为_____（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：____方法二：______（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）方法一：∵图2中阴影部分为正方形边长为：m﹣n∴图2中阴影部分的面积是：（m﹣n）2方法二：图2中阴影部分的面积=边长为（m+n）的正方形的面积﹣4个小长方形的面积和即：（m﹣n）2﹣4mn（3）关系为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）∵（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；∴有（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab又∵a+b=7，ab=5∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=72﹣4×5=49﹣20=29．2．（2017春•杭州期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中间的小正方形（即阴影部分）面积可表示为_____．（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系式：________．（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_____．（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（m+n）（m+2n）=m2+3mn+2n2．【解答】解：（1）图②中阴影部分的边长都等于小长方形的长减去小长方形的宽，即m﹣n，由图可知，阴影部分的四个角都是直角，故阴影部分是正方形，其边长为m﹣n，则其面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）大正方形的面积边长的平方，即（m+n）2，或小正方形面积加4个小长方形的面积，即4mn+（m﹣n）2，故可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）由（2）知（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=36﹣4×2.75=25，∴x﹣y=±5，故答案为：±5；（4）如图所示：综合运用1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______【答案】7或﹣1【解析】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3=±4，解得：m=7或﹣1，2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=．【答案】0【解析】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a﹣2007+a）2=（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________【答案】2a+2【解析】解：依题意得剩余部分面积为：（a+2）2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4，∵拼成的矩形一边长为2，∴另一边长是（4a+4）÷2=2a+2．4.利用完全平方公式计算：（1）982（2）10032．【解析】解：（1）982=（100﹣2）2，=10000﹣400+4，=9604；（2）10032=（1000+3）2，=1000000+6000+9，=1006009．5.运用完全平方公式计算（1）（a+b+c）2；（2）（a+2b﹣1）2；【解析】解：（1）（a+b+c）2=（a+b）2+2c（a+b）+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；（2）（a+2b﹣1）2=（a+2b）2﹣2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1；6.已知，，求x2+的值．【解析】解：将x+=9两边平方得：（x+）2=81，整理得：x2++2=81，则x2+=79．。

个性化教学辅导教案学科：数学年级：七年级任课教师：授课时间：教学课题完全平方公式教学目标1、了解完全平方公式的几何背景推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2、会运用完全平方公式进行一些数的简便运算教学重难点重点:会用完全平方公式进行运算，运用完全平方公式进行一些数的简便运算难点:理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算，灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算教学过程【温故知新】（1）(32)(32)a b a b-+=（2）(32)(32)a b a b--=（3）2(1)(1)(1)p p p+=++=（4）2(2)m+=（5）2(1)(1)(1)p p p-=--=（6）2(2)m-=（7）2()a b+=（8）2()a b-=探索学习观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而且用多项式乘以多项式后，中间有：2p= 2*p*1 ，4m=2*m*2 ，恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．因此我们得到完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的倍．公式表示为：2()a b+=2()a b-=口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）例1．应用完全平方公式计算：（1）2(4)m n+（2）21()2y-（3）2()a b--（4）2(2)x y-+K]【针对训练】1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）22(21)221a a a-=-+（2）22(21)41a a+=+（3）22(1)21a a a--=---2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算，把它计算出来（1）()()xyyx+-+（2）()()abba--（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同：222()2a b a ab b±=±+22()()a b a b a b +-=-结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算：（1）2(12)x -- （2）2(21)x -+（3）()()n m n m +--22 （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131例2.计算：（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)321()321(b a b a +-；（3）)432)(432(-++-y x y x .方法小结（1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。

1、（Ⅰ）请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2．（Ⅱ）如图②（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图②（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图②（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程．考点：完全平方公式的几何背景。

专题：常规题型。

分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图②（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解．解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2．推导如下：中间小正方形的边长为（b﹣a），∴大正方形的面积可表示为：c2=4×ab+（b﹣a）2，整理得，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，即c2=a2+b2．点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长．考点：完全平方公式的几何背景。

分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可．解答：解：（1）小正方形的边长为：（a﹣b），∴面积为（a﹣b）2，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=（a+b）2﹣4×ab=（a2﹣2ab+b2），∴小正方形面积为：（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）小正方形的面积为：162﹣4×63=256﹣252=4，∴小正方形的边长为2．故答案为：（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）2．点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm 的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。