苏教版数学高一苏教版必修1指数函数

2.2.2 指数函数整体设计教材分析本节主要学习指数函数的概念、图象、性质及性质的简单应用.学习过程中，可以让学生通过画出具体的指数函数的图象，观察其特征，将表达图象特征的通俗语言，归纳、转化为数学符号语言，从而得出指数函数的性质.在这一过程中，体现数形结合的数学思想，用到了分类讨论的数学方法及从特殊到一般的类比研究的方法.所以本节的教学重点是指数函数的图象与性质.根据前面的分析，对本节的学习提出如下的建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过画指数函数的图象，来归纳指数函数的性质.可以根据学生探索新知的情况，在适当时机，利用现代化的教学设备演示，帮助学生理解指数函数的性质.让学生在自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学的美，同时激发学生对数学学习的兴趣.在应用性质的过程中，对学习有困难的学生，时时提醒他们注意底数a对指数函数的性质的影响.三维目标1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性的特殊点.2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.利用计算工具，比较指数函数增长差异；体会指数等不同函数的类型增长的含义.4.通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想方法.5.利用计算机技术及相关的教学软件探讨指数函数的图象和性质，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识，培养学生良好的心理素质，优化学生个性品质，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.重点难点教学重点：1.指数函数的图象和性质.2.通过数形结合，利用图象来认识、掌握函数的性质，增强学生分析问题、解决问题的能力.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质.课时安排3课时教学过程第一课时指数函数(一)导入新课设计思路一(实际问题导入)从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始量为1，则经过x年后的残留量为y=a x这里a为常数，0＜a＜1.设计思路二(情境导入)相传达依尔是国际象棋的发明人，同时也是古印度的宰相，达依尔聪明能干，国王要奖赏他，问他需要什么，达依尔就对国王说：“国王，你只需在象棋的第一格放1粒麦子，在第二格放2粒麦子，在第三格放4粒麦子，以后按比例每一格是前一格的两倍，一直放到第64格，这就是我的要求，如能满足我的这个要求，我就感激不尽了，其他的我就什么都不要了.”国王心想，这有什么难的，不就是一点麦子吗，满足他就是了，于是下令，按照宰相的要求去做，谁知道，全国的粮食用完了还不够.国王很是奇怪，他怎么也想不明白，那么你能用数学知识帮助国王解决这个问题吗？另外按宰相达依尔的要求共需多少粒小麦？ 再看下面的一个例子： 背景(实际问题)：某细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，第三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系式是什么？(答案：y=2x ) 推进新课 新知探究指数函数的概念根据上述例子，我们得到了形如y=a x 的函数，这些函数的自变量是指数，因此我们把这种函数称为指数函数.一般地，函数y=a x (a ＞0,a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，x 的取值范围是R .为了对指数函数的形式有较为深刻的印象，不妨请同学思考下面的问题： ①函数y=x 2与函数y=2x 有什么区别？(答：函数y=x 2与函数y=2x 的区别是：函数y=2x 的指数为自变量，底数为常数，而函数y=x 2的底数为自变量，指数为常数)②为什么要规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数？(答：如果a=0,⎪⎩⎪⎨⎧≤>;,0,0,0无意义时当恒等于时当xxa x a x如果a ＜0，例如y=(-2)x ，这时对于x=21,41,…,y=(-2)x 在实数范围内函数值不存在； 如果a=1，y=1x 是一个常数1，对于常数1没有研究的必要.为了避免上述情况，所以规定a ＞0，a≠1)下面我们来研究指数函数的性质：(在初中学生已经学过描点法画函数的图象，因此先让学生按照描点法的一般步骤：列表—描点—连接来画函数的图象)在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y=10x ; (2)y=2x ; (3)y=(21)x .我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：图象特征 函数性质a ＞1 0＜a ＜1 A ＞1 0＜a ＜1 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0，1) a 0=1自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x ＜0,a x ＜1 x ＜0,a x ＞1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a,b]上，f(x)=a x (a ＞0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； (2)若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x ∈R ； (3)对于指数函数f(x)=a x (a ＞0且a≠1)，总有f(1)=a ； (4)当a ＞1时，若x 1＜x 2，则f(x 1)＜f(x 2). 应用示例思路1例1 指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值.分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的解析式，也就是要先求a 的值.根据函数图象经过定点(3,π)这一个条件，可以求得底数a 的值. 解：设f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)， 所以f(3)=π，即a 3=π，解得a=π31， 于是f(x)=π3x ，所以，f (0)=π0=1，f(1)=π31=3π，f(-3)=π-1=π1. 点评：从本题看出，要想确定一个指数函数，只需一个条件即可，因为表达式中只有1个参数a.例2 比较下列各组数中两个值的大小.(1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2分析：比较数的大小，可以利用函数的单调性，所给的几组数都是指数式，所以考虑利用指数函数的单调性来解.解：(1)考察指数函数y=1.5x ，因为1.5＞1，所以指数函数y=1.5x 在R 上是单调增函数.又因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x ，因为0＜0.5＜1，所以指数函数y=0.5x 在R 上是单调减函数.又因为-1.2＞-1.5，所以0.5-1.2＜0.5-1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，所以1.50.3＞0.81.2.点评：比较两数的大小，一般方法是将其转化为同一函数的两个不同的函数值，利用函数的单调性进行比较，如果出现不能直接看成同一函数的两个值时，通常可在这两个数之间找一个中间值比如数1，然后将这两个数与1进行比较，从而比较出两个数的大小. 例3 (1)已知5x ≥50.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.25x ＜16，求实数x 的取值范围.分析：因为5x 、50.5的底数相同，而0.25x 、16可以将底数化为相同的底数0.25，所以可以考虑用指数函数的单调性来求解.解：(1)因为5＞1，所以指数函数f(x)=5x 在R 上是单调增函数.由5x ≥50.5，可得x≥0.5，即x 的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为0＜0.25＜1，所以指数函数f(x)=0.25x 在R 上是单调减函数. 因为16=(41)-2=0.25-2，所以0.25x ＜0.25-2，由此可得x ＞-2，即x 的取值范围为(-2,+∞). 点评：在解指数不等式(方程)时，可以考虑运用指数函数的单调性来解.对于(2)我们还可以将底数化为4来解.可参照课本第51页例2. 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y=241-x ；(2)y=(32)-|x|；(3)y=4x +2x+1+1；④(4)=10112-+x x .分析：由于指数函数y=a x (a ＞0,且a≠1)的定义域为R ，所以函数y=a f(x)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.解：(1)令x-4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x ∈R ,且x≠4}.∵41-x ≠0,∴241-x ≠1,∴y=241-x 的值域为{y|y ＞0,且y≠1}.(2)定义域为R . ∵|x|≥0，∴y=(32)-|x|=(23)|x|≥(23)0=1，故y=(32)-|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为R .∵y=4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2，且2x ＞0，∴y ＞1. 故y=4x +2x+1+1的值域为{y|y ＞1}. (4)令12+x x ≥0，得11+-x x ≥0，解得x ＜-1或x≥1，故y=10112-+x x 函数定义域为{x|x ＜-1或x≥1}，值域为{y|y≥1,且y≠10}.点评：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意充分考虑并利用指数函数本身的要求和所具有的性质，例如指数函数的单调性等.例5 作出下列函数的图象，并说明它们之间的相互关系. (1)y=3x ；(2)y=3x-1；(3)y=3x+1.分析：画函数的图象常用的方法是描点法，描点法的一般步骤是：列表—描点—连线. 当我们熟悉了一些基本的初等函数的图象特征后，可以考虑运用图象的变换的方法来实现作函数的图象.解：运用描点法可以作出函数(1)y=3x ;(2)y=3x-1;(3)y=3x+1的图象，如右图所示.由图象可以得知：函数y=3x+1的图象是由函数y=3x 的图象向左平移一个单位得到的；函数y=3x-1的图象是由函数y=3x 的图象向右平移一个单位得到的.点评：本题主要考查函数的图象及其平移变换，其变换的一般规律是：设a ＞0. (1)将函数y=f(x)的图象向左平移a 个单位，就得到函数y=f(x+a)的图象； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移a 个单位，就得到函数y=f(x-a)的图象； (3)将函数y=f(x)的图象向下平移a 个单位，就得到函数y=f(x)-a 的图象； (4)将函数y=f(x)的图象向上平移a 个单位，就得到函数y=f(x)+a 的图象. 简单地说就是“左加右减，上加下减”.拓展思维：函数图象的变换除了平移变换外还有其他的变换，例如对称变换等，对于对称变换：一般地，函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称，函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.思路2例1 指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e)，求f(0)、f(1)、f(-π)的值. 分析：要求函数值，只要求出函数的解析式就可以了.解：设y=f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为y=f(x)的图象经过点(π,e)，所以e=a π，得a=e π1，于是f(x)=(e π1)x .所以，f(0)=(e π1)0=1，f(1)=(e π1)1=e π1，f(-π)=(e π1)-π=e1. 例2 将下列各数由小到大排列起来：(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(-3)31,(31-)3,(23)34,(21-)-2.分析：这些数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是先将这些数进行分类：首先可考虑是正数还是负数，如果是负数，则再进一步分成小于-1还是介于-1与0之间，是正数的再进一步分成0与1之间的及大于1的，然后再将以上各类数中的每一类数作进一步的比较，最后将它们由小到大排列起来.解：在所给的数中，负数有:(-3) 31,(31-)3，且(-3) 31＜-1，-1＜(31-)3＜0，所以(-3)31＜(31-)3＜0. 正数有:(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(23)34,(21-)-2，且(-3)32=332,(32)21,(32)31,(-32)32-=(23),(23)34,(21-)-2=(-2)2=4，其中大于0而小于1的有:(32)21,(32)31=(23)32，且(32)21＜(32)31，大于1的有：(-3)32=332,(-32)32-=(23)32,(23)34,(21-)-2=4.综上所述，所给的数由小到大排列的顺序为：(-3)31＜(31-)3＜(32)21＜(32)31＜(-32)32-＜(23)34＜(-3)32＜(21-)-2.点评：多个幂值的比较大小，常常采取先分组再比较的方法，即先将所给的各个数值进行分类，在每类数值中比较大小，若底数相同可利用指数函数的单调性进行比较；若底数、指数都不相同时，可以利用中间量搭建“桥梁”进行比较.若数值中含有字母，应对所含字母的取值进行讨论.例3 求下列函数的定义域和值域：(1)y=xx 212+;(2)y=2713-x. 解：(1)函数y=x x212+的定义域为R .∵y=xx212+，∴(y-1)2x =-y ，即(1-y)2x =y ， 显然，y≠1，∴2x =y y-1＞0，∴函数y=xx 212+的值域为(0,1). (2)∵3x -271≥0，∴3x ≥3-3，∴x≥-3.∴函数y=2713-x的定义域为{x|x≥-3|，函数y=2713-x值域为[0,+∞).点评：一般来说，函数y=a f(x)的定义域就是f(x)的定义域，其值域不但要考虑f(x)的值域，还要考虑a ＞1还是0＜a ＜1，例如f(x)∈[-4,+∞)时，若a ＞1，则a f(x)∈[a -4,+∞)，若0＜a ＜1，则a f(x)∈(0,a -4]. 例4 利用函数f(x)=(21)x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)f(x)-1. 分析：作图前先分别探究每一个函数的定义域和值域以及单调性，再研究探索各个函数的图象间是否有对称性及平移的相互关系，从而掌握图象的大致变化趋势，利用函数图象的相应变化，作出相应的函数图象. 解：各函数的图象如下图：点评：利用熟悉的函数图象作图，主要是利用图象的平移变换,平移需分清平移的方向以及平移的量，即平移多少个单位. 知能训练课本第52页练习1、2、3、4、5. 解答：1.C(提示：0＜a-1＜1).2.(1)3.10.5＜3.12.3；(2)(32)-0.3＞(32)-0.24； (3)2.3-2.5＜0.2-0.1(提示：2.3-2.5＜2.30=1,0.2-0.1＞0.20=1).3.(1){x|x≠0,x ∈R }；(2){x|x≥0,x ∈R }.4.(1)x ＞3；(2)x ＜-3；(3)x ＜21；(4)x ＜0. 5.A(提示：y=2-x ，即y=(21)x ). 点评：进一步熟练掌握指数函数的图象及其性质的应用. 课堂小结指数函数是中学阶段所学的重要的初等函数之一，因此在学习中要特别注意，尤其是指数函数是新接触的函数，所以要特别加以重视.本节课的重点内容是指数函数的定义、图象和性质，要求能熟记指数函数的图象特征以及指数函数的基本性质，这是学好指数函数的关键.除此之外，还要学会根据指数函数的图象特征来探究指数函数的性质，并能根据实际需要，对指数函数的底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合的思想和分类讨论的思想，通过图象变换的讨论研究，懂得世界上的万事万物之间存在必然的、内在的联系，因此，在研究图象的平移和对称变换的时候，注意对变换的方法和规律的总结，并能正确地运用这些方法和规律解决有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解. 作业一、习题2.2(2)第1、2、4、5题. 二、阅读课本第49页至第53页内容.设计感想在设计本节课的教学过程时，围绕以下几点进行：一是以《新课程标准》的基本理念为指导，着眼于培养学生自主学习的能力，因此在设计教学过程时，注意让学生多动手实践，使学生从动手操作的过程中体会函数问题研究的方法和过程；二是从学生现有的认知基础出发，在课堂教学中以本节课的知识结构为主线，充分发挥学生学习的主观能动性，让学生自主探索并获取新的知识和应用新的知识解决实际问题；三是采用层层深入的方式，分散学生学习时可能遇到的难点；四是教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化，从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.(设计者：赵家法)第二课时 指数函数(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上一节课中，我们学习了指数函数的概念、图象以及性质，下面我们一起来回顾一下相关的内容.(由学生回答，再由教师归纳总结) 设计思路二(习题导入) 请同学们完成下列习题：1.形如y=a x 的函数叫做______________函数，其中底数a 满足的条件是_____________；2.已知函数y=(m 2-3m-3)·3x 为指数函数，则m=_________；3.若-1＜x ＜0，则2x ，(21)x，0.2x 由小到大的排列顺序是__________. 答案：1.指数，a ＞0,且a≠1；2.m=-1或4；3.2x ＜(21)x＜0.2x . 思考如何判断函数y=1212-+x x 的奇偶性以及单调性？推进新课 新知探究复习指数函数的相关知识： 1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质：指数函数y=a x 的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)图象过定点(0，1)(4)在(-∞，+∞)上是单调增函数 在(-∞，+∞)上是单调减函数应用示例思路1例1 求函数y=(21)232+-x x 的定义域、值域及单调区间.分析：这是一个求复合函数的单调性的问题，对于这类问题必须弄清楚函数是由哪几个函数复合而成，这些函数的单调性如何，这样才能正确求解.解：函数y=(21)232+-x x 的定义域为R . 设u=x 2-3x+2=(x-23)2-41，所以u=x 2-3x+2的值域为[-41,+∞)，减区间为(-∞,23]，增区间为[23,+∞).又因为函数y=(21)u 是减函数，所以函数y=(21)232+-x x 的值域为(0,42]，单调减区间为[23,+∞)，单调增区间为(-∞,23].点评：对于形如y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的函数，根据例题可以得出以下结论：①函数y=a g(x)的定义域与g(x)的定义域相同；②应先求函数的g(x)值域，再根据指数函数的单调性及其值域来求y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的值域；③对于函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性有：当a ＞1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相同；当0＜a ＜1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相反. 例2 设a 是实数，f(x)=a-122+x(x ∈R )，(1)试证明：对于任意实数a ，函数f(x)为增函数；(2)试确定a 值，使f(x)为奇函数. 分析：题中函数f(x)=a-122+x (x ∈R )的形式较为复杂，而题目要求证明函数的单调性和奇偶性，因此，只要严格按照函数的单调性、奇偶性的定义进行证明就能证得结论. (1)证明：设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(a-1221+x )-(a-1222+x )=1222+x -1221+x =)12)(12()22(22121++-x x x x ，由于指数函数y=2x 在R 上是增函数,且x 1＜x 2,所以12x＜22x，即12x-22x＜0， 又由2x ＞0得12x+1＞0，22x+1＞0，所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2). 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f(x)为增函数.(2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)即a-122+-x =-(a-122+x )，变形得：2a=xx x2)12(22+•-+122+x =12)12(2++x x ， 解得：a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.点评：(1)在题(1)的证明过程中，在对作差的结果进行正、负号判断时，利用了指数函数的值域及单调性.这也提醒我们在解这类题目时，注意运用已经掌握的函数的奇偶性及单调性来解题.(2)解题时应要求学生注意不同题型采用不同的解题方法.如题(2)，此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导得a 值. 例3 设函数f(x)=1+11-x ，g(x)=f(2|x|).(1)求函数f(x)和g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性；(3)求函数g(x)的单调递增区间.分析：对于函数g(x)，它是一个由f(x)与x=2|x|复合而成的函数，因此，可以通过这种复合关系得到函数g(x)的解析式，从而可以解决相应的问题；函数的单调区间也可以考虑用定义解决.解：(1)由x-1≠0得x≠1，所以函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 因为f(x)=1+11-x ，所以g(x)=f(2|x|)=1+121||-x ， 由于2|x|-1≠0，所以x≠0，所以函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，它不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即f(x)是非奇非偶函数.因为函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，它关于原点对称，且 g(-x)=1+121||--x =1+121||-x =g(x)，所以g(x)是偶函数. (3)设x 1、x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，则 g(x 1)-g(x 2)=(1+121||1-x )-(1+121||2-x )=121||1-x -121||2-x ==---12112121x x)12)(12(222112---x x x x . 因为0＜x 1＜x 2，所以22x-12x＞0，12x-1＞0，22x-1＞0，所以g(x 1)-g(x 2)＞0，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，又因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞,0)上是增函数.所以g(x)的单调增区间是(-∞,0).点评：(1)研究函数的单调性和奇偶性，不能忽视函数的定义域，特别是在研究函数的奇偶性时，如果函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必定是非奇非偶函数；(2)本题(3)的解答过程中，在研究函数的单调性时，巧妙运用了函数的奇偶性，起到了事半功倍的效果；(3)本题是一个比较综合的问题，我们在解决这类问题时，要紧紧抓住题目条件，联系相关定义、概念以及公式等，环环相扣，步步为营，最终自然而然地解决问题. 例4 已知函数f(x)=x(131-x+21). (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)证明：函数f(x)在定义域上恒大于0.分析：本题中求函数的定义域从分母不为0入手；对于函数奇偶性的讨论可以直接由函数奇偶性的定义来判断.解：(1)定义域为{x|x≠0}.(2)因为f(x)=x(131-x +21)，所以f(x)=x(131-x +21)=13132-+•x x x .因为f(-x)=131323131213132-+•=-+•-=-+•---x x x x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数.(3)当x ＞0时，3x ＞1，所以3x -1＞0.所以131-x ＞0，从而有131-x+21＞21.所以x(131-x +21)＞2x ＞0，即当x ＞0时，f(x)＞0； 当x ＜0时，1＞3x ＞0，所以0＞3x -1＞-1.所以131-x ＜-1，从而有131-x +21＜21-. 所以x(131-x +21)＞-2x ＞0，即当x ＜0时，f(x)＞0. 综上所述，函数f(x)在定义域上恒大于0.点评：(1)判断函数的奇偶性可以直接运用定义来判断，也可以运用函数奇偶性定义的等价形式：若函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为奇函数；函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为偶函数.因此对于本题中的(2)还有以下解法：因为f(x)-f(-x)=x(131-x +131--x +1)=x(1331--x x +1)=0. 所以得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)证明函数在定义域上恒大于0的问题，可以运用分类讨论来逐步求解，也可以转化为先证明函数f(x)在(0,+∞)上值域为(0,+∞)，再根据函数是偶函数得到函数f(x)在(-∞,0)上值域为(0,+∞)，从而证得结论.思路2例1 对于函数f(x)=(31)122--x x ，(1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)确定函数f(x)的单调区间.分析：这是一个复合函数的问题，因此，可以将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.解：函数f(x)=(31)122--x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝(31)u 复合而成. (1)由u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ∈R 时，u≥－2，此时函数y ＝(31)u 总有意义，所以函数f(x)定义域为R ；又由u≥－2，所以0＜(31)u ≤9，所以原函数的值域为(0，9]. (2)因为函数u ＝x 2－2x －1在[1，＋∞)上递增， 所以对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，所以有(31)1u ＞(31)1u ，即y 1＞y 2. 所以函数f(x)=(31)122--x x 在[1，＋∞)上递减. 同理可得函数f(x)=(31)122--x x 在(－∞，1]上递增. 点评：形如y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数f(x)定义域相同；(2)先确定函数u ＝f(x)的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝a u (a ＞0，a≠1)的定义域求得函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的值域；(3)函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的单调性，可以由函数u ＝f(x)与y ＝a u (a ＞0，a≠1)按照“同增异减”即“单调性相同为增函数，单调性相异为减函数”的原则来确定.(4)从本题中的解答过程，可以体会到换元法在解决复合函数问题时的作用.例2 若函数f(x)=1212---•x x a a 为奇函数， (1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.分析：这是一个研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，可以由函数的单调性、奇偶性的定义来解决相应的问题.解：先将函数f(x)=1212---•x x a a 化简为f(x)= a-121-x . (1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a-121--x ＋a-121-x ＝0，因为2a ＋x x 2121--＝0，所以a ＝－21. (2)因为f(x)＝－21－121-x ，所以2x －1≠0，即x≠0. 所以函数f(x)＝－21－121-x 的定义域为{x|x≠0}. (3)方法一：(逐步求解法)因为x≠0，所以2x －1＞－1.因为2x -1≠0，所以0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.所以－21－121-x ＞21，－21－121-x ＜－21， 即函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). 方法二：(利用函数的有界性)由y=f(x)＝－21－121-x ≠－21，可得2x ＝2121+-y y . 因为2x ＞0，所以2121+-y y ＞0，可得y ＞21或y ＜-21,即f(x)＞21或f(x)＜－21， 所以函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). (4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=a-1211-x -(a-1212-x )=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x.∴12x －22x ＜0，12x －1＜0，22x －1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，因此f(x)＝－21－121-x 在(0，＋∞)上递增. 同样可以得出f(x)＝－21－121-x 在(－∞，0)上递减. 点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.例3 若不等式3x +6x +9x ·a ＞-1对(-∞,1]上任意的x 恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题可以将不等式变形为a ＞f(x)或a ＜f(x)的形式，因为所给不等式恒成立，因此，实数a 的取值范围为a ＞[f(x)]max 或a ＜[f(x)]min ，这样就将问题转化为求f(x)的最大值或最小值.解：将不等式3x +6x +9x ·a ＞-1化为a ＞-[(31)x +(32)x +(91)x ]， 因为函数y=(31)x ,y=(32)x ,y=(91)x 在(-∞,1]上都是减函数，所以函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]在(-∞,1]上是增函数.所以当x=1时，函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]有最大值910-，所以，所求实数a 的取值范围为a ＞910-. 点评：(1)在解决有关恒成立问题时的常用方法之一是“变量分离法”，即将变量x 与参数a 分离后分别放在不等式或等式的两边，然后，再来求相关函数的最值.(2)在求函数的最值时，运用函数的单调性来求解是常用的方法之一.例4 已知函数f(x)=a x +12+-x x (a ＞1).(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；(2)证明：方程f(x)=0没有负数根.分析：要证明函数在某一个区间上的单调性，常用的方法是应用函数单调性的定义来证明.要证明方程没有负数根，可以先假设方程存在负数根，然后根据题目条件推出矛盾，从而证得结论.证明：(1)设x 1、x 2∈(-1,+∞)，且x 1＜x 2，f(x 2)-f(x 1)=)1)(1()(31212121211221112++-+-=+---+-+x x x x a a x x a x x a x x x x ， 因为x 1＜x 2，a ＞1，所以12x x a a >，又因为x 1、x 2∈(-1,+∞)，所以x 2+1＞0，x 1+1＞0.从而有f(x 2)-f(x 1)＞0，所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)设x 0(x 0＜0)是方程f(x)=0的根，则0x a +1200+-x x =0， 即0x a =1200+-x x .因为x 0＜0，所以0x a ∈(0,1). 又因为1200+-x x =130+x -1，若x 0＜-1，则130+x ＜0，所以130+x -1＜-1，即1200+-x x ＜-1； 若-1＜x 0＜0，则0＜x 0+1＜1，所以130+x ＞3，即1200+-x x ＞2. 所以1200+-x x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞). 综上所述，满足0x a =1200+-x x 的x 0不存在，即方程f(x)=0没有负数根. 所以，方程f(x)=0没有负数根.点评：(1)对于函数单调性的证明或判断，利用函数单调性的定义是常用的证明或判断方法，另外，还有其他的方法，例如可以通过复合函数来判断或证明.(2)对于方程是否在某一个区间的根的存在性的判断，除了用本题的方法之外，还可以运用函数的单调性求出区间上的最值的方法来解决.知能训练1.已知函数f(x)是偶函数，且当x ＞0时，f(x)=10x ，则当x ＜0时，f(x)等于( )A.10xB.10-xC.-10xD.-10-x解答：B2.已知函数f(x)=a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于( )A.251+B.251+-C.251±D.215+ 解答：D3.函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3解答：D4.函数y=π-|x|是( )A.奇函数，且在(-∞,0]上是增函数B.偶函数，且在(-∞,0]上是减函数C.奇函数，且在[0,+∞)上是增函数D.偶函数，且在[0,+∞)上是减函数解答：D5.函数f(x)=(31)22++-x x 的单调增区间为____________. 解答：[21,2] 6.函数y=(41)2122+-x x 的值域为____________. 解答：(0,2]7.已知函数y=a+141+x 为奇函数，则a=____________.解答：21- 点评：进一步掌握指数函数的图象与性质.课堂小结1.指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)是在定义域上的单调函数，复合函数y=a u [其中u 是关于x 的函数u(x)]的单调性，由函数y=a u 和u=u(x)的单调性综合确定.2.通过观察指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，不难发现：当⎩⎨⎧<<<<⎩⎨⎧>>10,101,1y a y a 或时，均有x ＞0；当⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><<10,101,10y y a 或时，均有x ＜0.这一性质可以归结为“底幂同，大于零；底幂异，小于零”.熟悉这一性质，对于解决有关指数函数的问题非常有用.作业课本第55页习题2.2(2)第6、7、8题.设计感想本节课的内容主要是结合指数函数的性质来研究一些复合函数的性质，譬如研究复合函数的单调性和奇偶性，研究复合函数的单调区间以及函数的最值等等.其中复合函数的性质对于学生来说是难点，因此，在研究复合函数的性质时，注意归纳总结.一般地，函数y=f(u)和u=g(x)，设函数y=f[g(x)]的定义域为A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称为外函数)与u=g(x)(称为内函数)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递增函数，如果单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递减函数.这一个结论可以简记为“同增异减”.另外，在研究复合函数的性质时必须在函数y=f[g(x)]的定义域内研究.(设计者：王银娣)第三课时 指数函数(三)导入新课设计思路一(实际问题导入)当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=(21)5730t，考古学家根据上面的这个式子依据生物体内的碳14含量P 的值，可以知道生物死亡的年数t.式子P=(21)5730t 是一个生物体内碳14含量P 关于生物死亡年数t 的函数，而且是一个指数函数形式的函数.这一节课我们来研究与指数函数相关的实际问题，也就是指数函数的实际应用问题.设计思路二(情境导入)请看下面的问题：某厂引进一个产品的生产线，第一个月这种产品的产量是100件，由于技术的不断熟练和更新，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，按照这样的生产速度，问第十个月这种产品的产量是多少件？问题的解决：因为第一个月这种产品的产量是100件，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，所以，可以得出这样的结论：后一个月的产量是前。

3.1.2指数函数（1）新课引入：设计一个游戏情境，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系。

授课过程：一、1、创设情境，形成概念问题：庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

其含义是什么呢？能否给出表达式？问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果分裂一次需要10min，那么，一个细胞1h后分裂成多少个细胞？教师给出指数函数的定义，即形如 (a>0且a≠1)的函数称为指数函数，定义域为R。

如：函数y=2xy=(1/2)x学生分组，动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系为学生分组讨论，先分析其含义，再转化为现代语言，建立数学模型，给出结论。

学生思考后回答并说明。

函数解析式是什么？2()xy x N=∈学生理解概念，并展开讨论，为什么定义中规定a>0且a≠1呢？（1）若a<0, ax不一充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力。

在学生动手操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。

让学生动手操作，动脑思考，培养学生勇于探索的精神。

进一步探索问题，发现规律。

对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和第一次第二次第三次第四次y=10x都是指数函数，它们的定义域都是实数集R，提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数定有意义.如a=-2,当x=1/2,（2）若a=0,则当x>0时，ax=0; x≤0时，ax无意义.（3）若a=1,则对于任意x∈R,ax=1为常量。

性质埋下了伏笔。

在学生判断的过程中教师给予适时指导，学生体会哪些是指数函数的过程也是学生头脑中不断完善对定义理解的过程。

2、发现问题，探求新知（1）怎样得到指数函数的图像？（2）指数函数图像有什么特点？（3）通过图像，你能发现指数函数的那些性质？教师在用电子表格软件EXCEL的图表演示给学生。

指数函数及其性质：：【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：1（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y=2⋅3x，y=2x，y=3x+1等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：⎧⎪x>0时，a x恒等于0，①如果a=0，则⎨⎪⎩x≤0时,a x无意义.②如果a<0，则对于一些函数，比如y=(-4)x，当x=11,x=,⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．24③如果a=1，则y=1x=1是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③a x=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑥既不是奇函数，也不是偶函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§2.2 指数函数 2．2.1 分数指数幂课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果一个实数x 满足________________，那么称x 为a 的n 次实数方根． 2．式子na 叫做______，这里n 叫做________，a 叫做__________． 3．(1)n ∈N *时，(na )n ＝____.(2)n 为正奇数时，n a n ＝____；n 为正偶数时，na n ＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝__________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝____________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)a r a s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝______(a >0，b >0，r ∈Q )．一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________． 3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是______________________________．4．化简3a a的结果是________．5．下列各式成立的是________．(填序号)①3m2＋n2＝()23m n+；②(ba)2＝12a12b；③6(－3)2＝()133-；④34＝132.6．下列结论中，正确的个数为________．①当a<0时，()322a＝a3；②na n＝|a|(n>0)；③函数y＝()1 22x-－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.7. 614－3338＋30.125的值为________．8．若a>0，且a x＝3，a y＝5，则22yxa+＝________.9．若x>0，则(214x＋323)(214x－323)－412x-·(x－12x)＝________.二、解答题10．(1)化简：3xy2·xy－1·xy·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．能力提升12．化简：413322333842a a bb ab a-++÷(1－23ba)×3a.13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值．1.n a n 与(na )n 的区别(1)na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R ，但这个式子的值受n 的奇偶性限制：当n 为大于1的奇数时，na n ＝a ；当n 为大于1的偶数时，na n ＝|a |.(2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定：当n 为大于1的奇数时，(n a )n ＝a ，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，(na )n ＝a ，a ≥0，由此看只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a . 2．有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．3．有关指数幂的几个结论 (1)a >0时，a b >0； (2)a ≠0时，a 0＝1； (3)若a r ＝a s ，则r ＝s ；(4)a ±212a 12b ＋b ＝(12a ±12b )2(a >0，b >0)； (5)(12a ＋12b )(12a －12b )＝a －b (a >0，b >0)．§2.2 指数函数 2．2.1 分数指数幂知识梳理1．x n ＝a (n >1，n ∈N *) 2.根式 根指数 被开方数 3.(1)a (2)a |a | 4.(1)na m (2)1m na(3)0 没有意义 5.(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r作业设计 1．③④解析 ①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2；②错，416＝2，而±416＝±2. 2．1解析 原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 3．1212-⎛⎫⎪⎝⎭解析 ∵(－12)－1＝－2, 122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，且2>22>12>－2， ∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.4．12a解析 原式＝132aa ＝332a ＝12a .5．④解析 ①被开方数是和的形式，运算错误；(b a )2＝b 2a2，②错；6(－3)2>0，()133-<0，③错． 6．1解析 ①中，当a <0时，()322a ＝[()122a ]3＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1，④正确． 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3 ＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a +＝(a x )2·()12ya＝32·125＝9 5. 9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()113212xy xy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦·()12xy ·(xy )－1 ＝13x ·23y16x16y-·12x-·12y-＝13x ·13x-＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 (－3<x <1)－4 (1≤x <3).12．解 原式＝()1321123333842aa b b a b a-++÷1133132a b a-×13a＝()1321123333842aa b b a b a -++·1311332aa b-·13a ＝()33113382a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a (a －8b )a －8b＝a .13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。

2.2 指数函数2.2.1 分数指数幂整体设计教材分析“分数指数幂”这一节的主要内容是根式和分数指数幂的概念以及有理数指数幂的运算性质.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应通过多举一些实际例子让学生反复理解分数指数幂的意义，让学生明白分数指数幂不是表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法.或者通过根式和分数指数幂的相互转化来巩固和加深对分数指数幂这一概念的理解. 由于学生已经学习了负整数指数幂，正分数指数幂的概念引入后学生也就不难理解负分数指数幂的意义，在教学过程中，可以引导学生得出 m na=nma1(a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1)这一结论. 三维目标1.理解根式的概念，掌握n 次方根的性质.2.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义.3.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用公式进行有理数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.4.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充和不断完善的过程，使学生深深体会认识客观世界的一般规律是呈不断上升的趋势，认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的. 重点难点教学重点：正确理解根式以及分数指数幂的概念，根式与分数指数幂的互化，运用分数指数幂进行简单的运算. 教学难点：根式的概念以及分数指数幂的意义. 课时安排 2课时教学过程第一课时 分数指数幂(一)导入新课设计思路一(复习导入)在初中我们已经学过平方根和立方根的概念，我们复习一下平方根和立方根的概念. 平方根的概念：如果x 2=a ，那么我们称x 为a 的平方根；如果x 3=a ，那么我们称x 为a 的立方根.相仿地，我们就有n 次实数方根的概念. 设计思路二(问题导入)在日常生活中，衣服用去污剂洗过以后，要用清水漂洗.假如每次清水漂洗能漂去残留去污剂量的43，写出残留去污剂量y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，则至少要漂洗多少次？ (答案：函数关系式是：y=(1-43)x =(41)x，使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，至少漂洗4次)推进新课 新知探究根据引入，可以得到如下n 次实数方根的概念： 一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n ＞1,n ∈N *)，那么我们称x 为a 的n 次实数方根(nth root).当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数.这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na ，例如，23=8⇒2=38;(-3)3=-27⇒-3=327-;b 5=7⇒b=57.当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号-n a 表示.正数a 的n 次实数方根我们可以把它们合并而写成±n a (a ＞0)的形式，例如， x 4=4⇒x=±44;y 2=3⇒y=±3.特别需要注意的是，当a 等于0时，0的n 次实数方根等于0.我们把式子n a 叫做根式(radical)，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.对于根式，我们要注意以下几点：(1)关于n 次实数方根的定义：n 次实数方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，将n 次实数方根的概念与平方根、立方根的概念进行对比，不难发现：①在实数范围内，正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数，零的奇数次方根是零，设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是n a .②在实数范围内，正数的偶数次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的奇数次方根是零，负数的偶数次方根没有意义.设a≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是±n a . (2)开方与乘方：求a 的n 次方根的运算叫做开方，开方运算与乘方运算是互为逆运算，不能把开方运算与乘方运算混为一谈.例如:求2的四次方，其运算结果是24=16，而求2的四次方根，其运算结果是±42. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)33)6(-；(2)2)7(-；(3)44)3(π-；(4)2)(b a -(b ＞a).分析：根式的求值，通常从根式的性质入手. 解：(1)33)6(-=-6;(2)2)7(-=|-7|=7;(3)44)3(π-=|3-π|=π-3;(4)2)(b a -=|a-b|=b-a(b ＞a).点评：根式的求值与化简，通常都是运用根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 一般来说，根指数n 为奇数时比较简单，而根指数n为偶数时很容易出现错误，为了避免错误的产生，可以先写成n n a =|a|，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号. 例2 化简222y xy x ++.分析：通过观察根式中的被开方式x 2+2xy+y 2是一个完全平方式，因此可以先将x 2+2xy+y 2转化为完全平方，再来根据根式的意义求解. 解：222y xy x ++=2)(y x +=|x+y|=⎩⎨⎧<+--≥++).0(,),0(,y x y x y x y x点评：因为(x+y)2是开平方，所以根据根式的意义，注意讨论x ＋y 的正负.例3 化简下列各式：(1)442+-x x +|1-x|，其中1＜x ＜2； (2)2)(a b b a b a ---•--|b-a|.解：(1)由根式的性质当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥0,,0,a a a a 可知，442+-x x +|1-x|=2)2(-x +|1-x|=|x-2|+|1-x|.因为x-2＜0,1-x ＜0，所以原式=2-x+x-1=1.(2)要使b a -有意义，必须a-b≥0，所以2)(a b -=a-b,|b-a|=a-b ，所以b a -·b a --2)(a b --|b-a|=(b a -)2-(a-b)-(a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a.点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简. 例4 计算： (1)2115141032++++;(2)63121823346+++++.分析：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后，再化简.解：(1)2115141032++++=)75)(32(32)75(3)75(232+++=++++2575757751-=--=+ (2)63121823346+++++=)36)(23()3221(6)23(3)23(623346++++=+++++.26)1223(2)121231(2)12)(23(3)3221(6-=-+-=+++=+++++点评：对于分子和分母都带有根号的式子，在化简或计算时一定要注意分子和分母的化简，还要注意将分母有理化.思路2例1 化简下列各式： (1)yxx y •; (2)2)2(+a ;(3)246347625---+-.分析：注意观察所给题目的特征，运用根式的性质来解题.另外化简的方向是脱去根号，方法是配方，而且配方的方法也是脱去根号的常用的技巧与手段. 解：(1)yx x y y x xy •=•=1. (2)2)2(+a =|a+2|=⎩⎨⎧-<---≥+).2(,2),2(,2a a a a(3)246347625---+- =222)22()32()23(---+- =|22||32||23|---+-=)22()32()23(---+- =0.点评：(1)在解有关根式的问题时，注意体会根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥,0,,0,a a a a 同时与(n a )n =a 进行比较，并且加以区别，不能将二者混为一谈.(2)解题中运用的配方的技巧适用的范围十分广泛，掌握并能熟练地运用这一技巧，从而提高运算能力.例2 已知4x 2－4x －15≤0，化简：25204912422+-+++x x x x .分析：通过已知条件4x 2－4x －15≤0，求出x 的范围，再运用配方的方法以及完全平方公式等来求解.解：∵4x 2－4x －15≤0,∴－23≤x≤25,∴2x ＋3≥0,2x －5≤0, ∴2222)52()32(252049124-++=+-+++x x x x x x ＝|2x ＋3|＋|2x －5|＝2x ＋3＋5－2x ＝8.点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，这种题型的一般解题方法是：先求出已知条件对字母的限制范围，在此字母的限制范围内，再依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论.例3 化简：a aa a a a a -+--⨯+-+-123962322. 分析：对于根式的化简，经常采用配方的方法，运用根式的运算性质来解答.解：a a a a a a a -+--⨯+-+-123962322=a aa a a a -+--⨯---123|3|)2)(1(,因为1-a≥0，2-a ＞0,所以a≤1，所以a-1≤0,a -2＜0,a-3＜0. 原式=a a a aa a a a -+--=-+--⨯--•-11123321=0.点评：在根式化简时，一要注意根指数是奇数还是偶数，二要注意被开方数的符号也就是被开方数是正数还是负数，特别是被开方数含有字母，必要时要对字母的取值进行讨论或由题目条件得到字母的取值范围，再进一步对题目所给根式化简. 知能训练一、课本第47页练习1. 解答：1.(1)5a ;(2)43a ;(3)57a ;(4)31a.二、补充练习：1.已知a 、b ∈R ,则等式(a-b)·2)(b a -＝－(b －a)2成立的条件是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.a ＝b D.a≤b 解答：D2.下列运算正确的是( )A.(－a 2)3＝(－a 3)2B.(－a 2)3＝－a 5C.(－a 2)3＝a 5D.(－a 2)3＝－a 6 解答：D 3.设n ∈N *,则81[1－(－1)n ](n 2－1)的值( ) A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 解答：B4.若102x ＝25，则10-x 等于( ) A.-51 B.6251 C.501 D.51 解答：D5.625625++-=________________. 解答：32提示：原式＝322323)32()32(22=++-=++-.6.已知实数a 、b 在数轴上所对应的点分别为A(在原点的左边)、B(在原点的右边)，则222)(b a b a -+-＝___________.解答：－2a7.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝______________. 解答：54 课堂小结1.本节课的主要内容是根式及根式的运算性质.要求掌握的知识内容比较简单，只要能准确理解根式的概念和掌握根式的运算性质，抓住取值的正负情况，有关根式的问题就能很便捷地解决.2.根式的运算性质中，当n 为偶数时，常常将n n a 先写成|a|的形式，然后再根据a 的正负来确定运算结果，如果a 的正负情况不确定，就必须根据a 的正负情况进行分类讨论.3.配方、分母有理化是解决根式的求值和化简等问题时常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想方法. 作业课本第48页习题2.2(1) 1.设计感想根式的概念及其性质是中学阶段重要的知识点之一.通过课堂教学和学生的习题训练，发现学生在运用这一知识时很容易产生错误，特别是n n a 的解答，学生在解题时常常会忘记对于n 取奇数和偶数时的不同，当n 取偶数时还把它当作奇数时来求解.因此，在教学的过程中，一是要注重知识结构的科学传输即根式的由来；二是要强调严密完整的解题步骤，突出当n 为偶数时，必须将n n a 先写成|a|的形式；三是通过不同形式的例题和习题的讲解和训练，强化这一知识点.(设计者：王国冲)第二课时 分数指数幂(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课中，主要学习了根式的概念及根式的性质，请同学们回忆所学内容.(将相关内容归纳板书)1.n 次实数方根;2.根式的概念;3.根式的性质.设计思路二(习题导入) 完成下列习题：1.若x 3=27，则称x 为27的_________次方根，此时x=_________；若a 4=256，则称a 为256的_________次方根，此时a=_________；(3,3;4,4).2.当n 为奇数时，实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________；当n 为偶数时，正实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________.(1,n a ;2,±n a ). 通过上述习题，复习有关根式的概念及性质，由学生归纳总结，然后板书. 推进新课 新知探究 根式的概念看下列变化过程：因为(24)2=28，所以82=24，又因为4=28，所以82=228.类似地有：5103=3510,4165=5416.由上可知：当m 能n 被整除时，就有n m a =a nm . 一般地，我们规定：a nm=n m a (a ＞0，m ，n 均为正整数). 这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 类似负整数指数幂的意义，我们规定：m na=nm a1(a ＞0，m ，n 均为正整数)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 根据规定，分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式，与以前所学的整数指数幂相比，分数指数幂a nm不是nm个a 相乘，而是根式的一种表示方式，因而通过分数指数幂的学习，将指数概念作了推广，即将整数指数推广到了有理数指数. 以前所学的整数指数幂的运算性质仍然保持不变，也就是说原来的整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数的范围，即对于有理数指数幂的运算有如下性质： ①a s ·a t =a s+t ，②(a s )t =a st ，③(ab)s =a s ·b s其中s 、t ∈Q,a ＞0,b ＞0. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)10021;(2)832;(3)923-;(4)(811)43-.分析：本题可以先将底数化成幂的形式，如100=102，然后再根据指数运算性质进行运算.解：(1)10021=(102)21=10212⨯=10.(2)832=(23)32=322⨯=22=4.(3)923-=(32)23-=3-3=271. (4)(811)43-=(3-4)43-=33=27.点评：熟练掌握分数指数幂的运算从最基础的入手，能将简单的数字的幂的形式转化为指数形式进行运算.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a ＞0)： (1)a 2a ;(2)a a .分析：弄清根式与分数指数幂的关系，从而实现根式与分数指数幂的互化. 解：(1)a 2a=a 2a 21=a212+=a 25.(2)a a =(a a )21=(aa 21)21=(a 23)21=a 43.点评：在实际问题中常常将根式化为分数指数幂进行运算，在转化过程中弄清分数指数幂与根式之间的关系，特别是根指数与分数指数之间的关系尤为重要. 例3 求下列各式的值： (1)65312121132)(ba bab a ••••---;(2)1075325555••;(3)111)(---+ab b a ;(4)2)(b a -(a ＞b). 分析：对于既含有根式又含有分数指数幂的式子，把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.如果根式中的根指数不同，也化成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质进行计算.解：(1)65312121132)(b a bab a ••••---=653121612131-+---•ba=a -1=a1. (2)1075325555••=107215325555••=5107215322555=--+.(3)abab b a ab b a ab b a 1111)(111+=+=+---=a+b. (4)2)(b a -=|a-b|=a-b(a ＞b).点评：根式运算或根式与指数的混合运算时通常将根式化为分数指数幂的形式，这样计算较为方便.另外对于(3)还可以有如下解法：11111111111)()()(---------+=+=+ab ab b ab a ab b a =a+b. 例4 已知x 21+x21-=3，求32232322-+-+--xx x x 的值.分析：注意已知条件和所求结论之间的关系，通过将条件作适当的变形、转化，使所给条件和所求结论统一起来，并注意整体代入方法的恰当应用. 解：由x 21+x 21-=3，得x 23+x23-=(x 21+x 21-)(x+x -1-1)=(x 21+x21-)[(x 21+x21-)2-3]=3×(32-3)=18，x 2+x -2=(x+x -1)2-2=[(x 21+x 21-)2-2]2-2=47，所以，原式＝318247--=3.点评：这道题可以通过已知x 21+x 21-=3解得x 的值，然后将x 代入计算，但这种解法太繁琐，而用整体思想来考虑，则比较简单.整体代换的思想是常见的数学思想.思路2例1 求下列各式的值： (1)432416⨯;(2)63125.132⨯⨯;(3)433)279(÷-;(4)322aa a •(a ＞0).分析：有关根式的运算可以将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关运算.解：(1)432416⨯=[24×(234)21]41=(2324+)41=241314•=267=622.(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311+-×3613121++=2×3=6.(3)433)279(÷-=(332-323)÷341=332÷341-332÷341=34132--34132-=3125-345=4512533-.(4)322a a a •=a 2·a21-·a32-=32212--a=6565a a=(a ＞0).点评：(1)解既含有分数指数幂又含有根式的问题，一般情况下，都统一将根式化为分数指数幂的形式，从而方便计算;(2)在求值运算时，如果只含有根式，但根指数不同，常常将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关的运算. 例2 化简下列各式： (1)ab abab ••-312;(2)4332yxx y y x ••.分析：对于有关根式的运算，只要把根式化成分数指数幂的形式，再运用有理数指数的运算性质进行计算. 解：(1)ab abab ••-312=a 31·b 32·(a 21)31·(b 21-)31·a 21·b 21=a216132216131+-++•b=ab;(2)4332yxx y y x ••=81411813413212)()()(+-=••x y x x y y x ·y 834321-+-=x 87·y 81-=y y x 877. 点评：(1)分数指数幂是指数概念的扩充，分数指数幂的意义并不表示相同因式的乘积，而是根式的又一种表示方法；(2)根式与分数指数幂可以相互转化，根式转化为分数指数幂的形式之后，可以运用有理数指数幂的运算性质进行运算；(3)分数指数幂与根式的运算结果不要求形式的统一，但结果要求不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数. 例3 已知3x +3-x =5，求下列各式的值：(1)9x +9-x ;(2)27x +27-x ;(3)3x -3-x .分析：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解. 解：(1)9x +9-x =(3x )2+(3-x )2=(3x +3-x )2-2·3x ·3-x =52-2=23; (2)27x +27-x =(3x )3+(3-x )3=(3x +3-x )[(3x )2-3x ·3-x +(3-x )2]=(3x +3-x )(9x +9-x -1)=5(23-1)=110; (3)3x -3-x =±=-+±=+••-±=-----299)3(332)3()33(222x x x xxx x x21±.点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率.另外，对于本题，也可以将3x 看成整体作为一个未知数，先求出3x 的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法.例4 已知x=278-，y=7117，求333131343233232793yx xyx x y xy x -÷-++的值. 分析：本题可以先将x 、y 代入求值，也可以先将所要求值的式子化简再代入计算. 解：因为x≠0， 所以，原式=313131313131323)27(3xy x y x x yx x -⨯-+.又因为x-27y≠0，所以，原式=49)23()32()278()27()3()(22323223331331=-=-=-==-----xy x x y x .点评：在求解本题时，容易出现直接将x 、y 的值代入，进行计算，但这样做不仅运算量大，过程繁杂，而且容易产生错误，不易得到正确的结果.如果先化简，再代入求值，这样解不仅运算方便，而且过程简捷. 知能训练课本第48页练习2、3、4. 答案：2.(1)x 32;(2)x 2y 23;(3)m 23.3.(1)125;(2)1258;(3)6. 4.(1)a 83;(2)x 3y -2;(3)x 2y 34.课堂小结本节课的重点是分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，难点是根式与分数指数幂的互化，对于分数指数幂其实质是根式的另一种表示形式，所以根式的运算常常利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行.我们在解题时要注意解题的策略，一般是先化简再求值，同时还要注意一些公式特别是乘法公式的灵活运用，从而使运算过程简化，达到事半功倍的效果. 作业课本第48页习题2.2(1)5，6.设计感想由于学生刚刚接触分数指数以及分数指数幂的运算，特别是一下子还不能马上接受分数指数幂是根式的另一种表示形式，因此造成在计算时经常产生错误的结果，所以在教学时要适当地在分数指数幂与根式的关系上多花一些时间，讲清楚分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式；另外，由于将整数指数幂推广到了有理数指数幂，因此，在这方面尤其是计算方面要有比较多的变化形式呈现出来，注意与乘法公式的结合，运用整体思想来解决相关问题.习题详解课本第48页习题2.2(1)1.(1)100;(2)-0.1;(3)x-y;(4)-(2x+y).2.(1)原式=a 31+a41=a127；(2)原式=a814121++=a87；(3)原式=a2332+=a613；(4)原式=2132+a·b 23=a 67b 23.3.(1)1.709 976；(2)46.881 700；(3)11.447 609；(4)58 241.224 3.4.(1)原式=a 654332-+=a127；(2)原式=a 4·a 9=a 13；(3)原式=-6a3231+·b3131+-=-6a ；(4)原式=(2a 21)2-(3b 41-)2=4a-9b 21-；(5)原式=(a-a -1)2÷(a-a -1)(a+a -1)=112211+-=+---a a a a a a . 5.因为(a 21-a 21-)2=a-2+a -1=1,所以a 21-a21-=±1.6.(1)x=29. (2)x=24.。

3.1 指数函数-苏教版必修1教案1. 知识点概述指数函数是高中数学中的一重要内容，也是学生在以后学习数理化、工科和金融等领域所必须掌握的基础数学概念。

本教案以苏教版必修1中的指数函数为主要教学内容，为学生系统地讲解指数函数的定义、性质和一些相关的运算及特殊函数。

2. 教学目标1.理解指数运算的定义和性质；2.掌握指数运算的基本法则，包括指数幂、指数根以及指数函数的性质；3.能够解决与指数函数相关的各种应用问题。

3. 教学重点与难点3.1 教学重点1.指数运算的定义和性质；2.指数函数的定义、性质及一些特殊函数；3.应用指数函数解决实际问题。

3.2 教学难点1.合理引导学生理解指数幂、指数根、指数函数等基本概念；2.运用所学知识解决不同类型的实际问题。

4. 教学内容与方法4.1 教学内容4.1.1 指数的定义和性质1.了解指数的定义及相关术语；2.掌握指数运算中的乘方法则、除方法则、幂方法则；3.理解指数函数的定义、性质及指数函数的三要素；4.掌握指数运算中的指数根法则、指数函数的特殊函数。

4.1.2 指数函数1.理解指数函数及其基本性质；2.掌握指数函数的图像及其性质；3.理解指数函数的单调性，麦克劳林级数及指数函数的导数；4.掌握指数函数的极限性质。

4.1.3 指数函数的应用1.熟悉指数函数的实际应用领域；2.掌握指数函数的应用于增长和衰减的计算方法；3.掌握指数函数的应用于复利计算、指数增长及累计函数的方法。

4.2 教学方法1.课堂讲解结合生动的实例，揭示指数函数的本质；2.引导学生实际观察、总结规律、展开讨论；3.利用多媒体教具，结合视频、图表等多种展现形式，直观地呈现知识点。

5. 教学评估1.课堂随堂测试：每节课之后，设置三到五道题目，检验学生对当节内容的掌握情况；2.作业评估：每节课设置适量的作业量，检验学生对知识点的熟练掌握程度；3.期中考试和期末考试：检验学生对整个指数函数的掌握程度。