平均数(2)m

第2课时 算术平均数与加权平均数的应用1．会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响；理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．2．通过探索算术平均数和加权平均数的联系与区别的过程，培养学生的思维能力；通过有关平均数的问题的解决，发展学生的数学应用能力．3．通过解决实际问题，体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．重点会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响．难点理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．一、复习导入师：什么是算术平均数？什么是加权平均数？请同学们各举一个有关算术平均数和加权平均数的实例，与同伴进行交流．在学生的复习交流中引入课题：本节课将继续研究生活中的加权平均数，以及算术平均数和加权平均数的联系与区别．二、探究新知课件出示教材第139页学校广播操比赛题．对于第(1)问，让每一位学生动手计算，然后教师抽取几个不同层次的学生做的结果投影展示，进行评价．解：一班的广播操成绩为：9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%＝8.4(分)．二班的广播操成绩为：10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%＝8.1(分)．三班的广播操成绩为：8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%＝8.6(分)．因此，三班的广播操成绩最高．对于第(2)问，让学生先在小组内各抒己见，然后在全班交流体会，归纳：以上四项所占的比例不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结果有影响．三、举例分析小颖家去年的饮食支出为3 600元，教育支出为1 200元，其他支出为7 200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由．小明：13(9%＋30%＋6%)＝ 15%. 小亮：9%×3600＋30%×1 200＋6%×7 2003 600＋1 200＋7 200＝9.3%. 学生分组讨论，全班交流，说明理由：由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额 3 600，1 200，7 200分别视为三项支出增长率的“权”，从而求出总支出的增长率所以小亮的解法是对的．四、练习巩固1．教材第139页“议一议”．2．教材第140页“随堂练习”第1，2题．注意事项：对学生的解题过程和结果做适当的评价，特别要关注中下等生，对他们点点滴滴的进步都要给予鼓励．五、小结师：说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？教师引导学生比较、议论、交流、总结出结论：算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数，而加权平均数不一定是算术平均数．由于权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响．六、课外作业教材第140～141页习题6.2的第1～6题．数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式．本节课的几个教学环节通过想一想、议一议、做一做等数学活动来引导学生探索和交流，体会权的差异对平均数的影响，认识算术平均数和加权平均数的联系与区别．在改变学生学习方式的同时让学生增强数学的应用意识，了解数学的价值，提高思维能力，增进学好数学的信心.第十一章三角形周周测2一、选择题1、三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有（）A、5个B、6个C、7个D、12个2、三角形的边三边长为15，20，25，则此三角形是A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定3、△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．a＋b=c B．a＋b>cC．a＋b<c D．a2＋b2=c24、下列关于三角形的中线，角平分线，高的说法中错误的是（）A、三角形的高一定在三角形内B、三角形的中线是线段C、三角形的角平分线一定在三角形内D、等边三角形三线合一5、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）A．2a B．－2b C．2a＋2b D．2b－2c6、下列是利用了三角形的稳定性的有（）个①自行车的三角形车架；②长方形门框的斜拉条；③照相机的三脚架；7、有一种三条腿的圆凳，这是利用了三角形的下列哪一个性质A．等边三角形三条边相等B．三角形任何两边之和大于第三边C．三角形具有稳定性D．三角形内角和是180°8、下列叙述中正确的是（）（A ）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的射线，叫做三角形的角平分线。

一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算 加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf x m m x频数也称次数。

在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。

再如在3.14159265358979324中，…9‟出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7% 一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。

频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。

而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。

在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。

频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。

掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中…正面朝上‟的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上的频数为____.解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算 加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxxx 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。

加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。

比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。

依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。

加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。

加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf xm m x 加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计算内容和结果都是相同的。

平均数与中位数的计算知识点总结在统计学和数学中，平均数和中位数是常用的统计指标，用于描述一组数据的集中趋势。

本文将对平均数和中位数的计算方法进行总结，并说明它们的应用场景和特点。

一、平均数的计算方法平均数，也称为算术平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。

平均数的计算方法如下：1. 给定一组数据集{x1，x2，x3，…，xn}，其中n表示数据的个数。

2. 将所有数据相加，即x1+x2+x3+…+xn。

3. 将上述和除以数据的个数n，得到平均数M。

平均数的计算可以用以下数学公式表示：M = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n二、中位数的计算方法中位数是一组数据按照升序或降序排列后，位于中间位置的数值。

当数据的个数为奇数时，中位数是排列后的中间值；当数据的个数为偶数时，中位数是排列后中间两个值的平均数。

中位数的计算方法如下：1. 给定一组数据集{x1，x2，x3，…，xn}，首先将数据按照升序或降序排列。

2. 针对数据的个数n进行判断：- 当n为奇数时，中位数为排列后的第(n+1)/2个数。

- 当n为偶数时，中位数为排列后的第n/2个数和第(n/2+1)个数的平均值。

例如，对于数据集{3, 5, 1, 4, 2}，按照升序排序后为{1, 2, 3, 4, 5}。

由于数据的个数为奇数，因此中位数为第(5+1)/2=3个数，即3。

三、平均数与中位数的应用场景平均数和中位数在实际应用中有不同的应用场景和特点。

1. 平均数的应用场景：- 对于一组数据的集中趋势进行描述时，平均数常常被用作最初的参考指标。

- 在统计分析中，平均数可以提供数据的总体平均水平，帮助我们了解整体数据特征。

- 平均数对数据极值点的敏感度较高，当数据中存在极端值时，平均数可能会被拉偏。

2. 中位数的应用场景：- 当数据集存在极端值或不满足正态分布假设时，使用中位数可以更好地描述数据的集中趋势。

- 对于有序的数值数据，中位数可以提供一个较为稳健的估计。

1、简单算术平均数简单算术平均数主要用于未分组的原始数据。

有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。

缺点是对孤立点（比方说有个数比其他的数大很多）很敏感。

计算公式为M=(X1+X2+...+Xn)/n2、加权算术平均数加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。

设原始数据为被分成K 组，各组的组中的值为X1，X2，...，Xk，各组的频数分别为f1，f2，...，fk，加权算术平均数的计算公式为：M=(X1f1+X2f2+...+Xkfk)/(f1+f2+...+fk)二、调和平均数调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。

（数值倒数的平均数的倒数。

）在某些情况下，调和平均提供了最佳平均值，最适宜用于某些经济指标的逆指标。

这样计算得出的调和平均数和用正指标计算的算术平均数完全一致。

例如，行程问题，计算电阻，计算经济学中的股东分红问题。

调和平均数被极端数值左右的程度比几何平均数还小。

二、几何平均数几何平均数被极端数值左右的程度比算术平均数小。

设一组数据为X1，X2，...，Xn，且均大于0，则几何平均数Xg为：位置平均数：是指按数据的大小顺序或出现频数的多少，确定的集中趋势的代表值，主要有众数、中位数等。

1、算术平均值：有样本标志值的总和除以样本数据个数得出。

它是描述样本集中区是最常用的统计量。

它的指标仅适用于定比数据和定距数据。

2、中位数：一组数据按从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数据中）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值得影响，有时也会成为优点。

在奇偶数中：第N/2 、N/2 +1项分别是中位数。

3、众数：是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。

用M表示。

理性理解：简单的说，就是一组数据中占比例最多的那个数。

b aab D'D ABC 课 题：2.1不等式的性质--算术平均数与几何平均数（2） 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值并解决一些简单的实际问题教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2ba +，显然，它不小于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭2． baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第14页指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥nn a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a,b,c,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而准确使用，同时增强对均值不等式定理的条件的理解证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥>0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在使用时，常需先凑形后使用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++=240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯=当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx == 所以，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相对应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)准确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x ＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281x x ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ,即x ＝±3时取“＝”号.故x=±3时,x 2+281x的值最小,其最小值是182一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定准确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x 即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第16页3设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值 解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 即x ＝34时取“＝”号,故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业：(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值 分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3·329当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212x x =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ·x ·（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1,当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0 ∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立，∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93(5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1 ∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ， 当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法八、课后记：。