§ 3.2 可测函数的收敛性

可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： uk f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有uk f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0． 1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞=则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a ek f f −−→ 若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ． 1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i ik j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i ij j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i ix f x x f x j j ε∈-≥=∈=+=的测度非常小．事实上1({[0,1)()0})2k im x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->=则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.mk f f −−→ 2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道uk f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1． 反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序． 2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上 a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数． 2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，(1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩．然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j nj j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),nn n n x f x f x f x f x f(1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]nn j j- (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤(当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0mn j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()mn x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件： 设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=>这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ，即(())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥=这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6． [3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7． [6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

§3.2可测函数的收敛性83§3.2 可测函数的收敛性教学目的使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(μF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若存在一个零测度集N , 使得当N x ?时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ?), 则称P (关于测度μ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.?μ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x μ 特别地, 当测度空间),,(μF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ?时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ?时,+∞<="" p="" 则称f="" 是几乎处处有限的,="" 记为+∞注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ?时.+∞因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N ?)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ?时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥?+∞→εμf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → μ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δμδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥?=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ?上一致收敛于0.由于δδ=?])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=?=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥?n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X μ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥?∞=∞→U n i i n f f εμ 证明设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥?x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥?1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ?由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥?∞=∞=IU n n i i f f εμ 由于+∞<)(X μ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥?= ≥?∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εμεμ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X μ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X μ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明设+∞<)(X μ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥?∞=∞→U n i i n f f εμ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δμ< ≥?∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥?=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有.2}1{)(11δδμμδ=≤ ≥?≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<??=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k< p=""> 则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<?kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X μ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X μ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → μ证明设+∞<)(X μ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥?∞=∞→U n i i n f f εμ 由测度的单调性立即得到()≤≥?∞→}{lim εμf f n n .0}{lim =≥?∞=∞→U n i i n f f εμ 即.f f n → μ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X μ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → μ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明设.f f n → μ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεμ<≥?})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥?μ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{==i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E μ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥?==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E μ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥?≤ ≥?=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k μμμU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X μ. 则f f n → μ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明必要性(此时不需设+∞<)(X μ). 设.f f n → μ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥?εμf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得.})({δεμ≥≥?f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → μ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(μF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → μ .g g n → μ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → μ特别地, .fg g f n n → μ证明不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → μ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → μ ■小结本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题习题三, 第18题—第28题.</k<>。

77. 函数的收敛性如何判断？77、函数的收敛性如何判断？在数学的广阔天地中，函数的收敛性是一个非常重要的概念。

它就像是一把钥匙，能帮助我们打开理解函数行为的神秘之门。

那么，究竟如何判断一个函数的收敛性呢？这可不是一个简单的问题，但别担心，让我们一起来慢慢探索。

首先，咱们得弄清楚什么是函数的收敛性。

简单来说，当函数在某个特定的过程中，其值越来越接近某个固定的值，我们就说这个函数是收敛的。

比如说，当自变量趋于无穷大或者某个特定的点时，函数的值会趋近于一个确定的数。

要判断函数的收敛性，一个常见的方法是利用极限的概念。

极限是数学分析中的核心概念之一。

如果当自变量趋近于某个值时，函数的极限存在且唯一，那么我们就可以说这个函数在这个点是收敛的。

举个例子，对于函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1)，当 x 趋近于 1 时，分母和分子都趋近于 0 。

但通过约分，我们可以得到 f(x) ＝ 1 ，所以当 x 趋近于 1 时，这个函数的极限是 1 ，因此函数在 x ＝ 1 处收敛。

再比如说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／ x ，当 x 趋近于无穷大时，函数的值会越来越接近 0 ，所以这个函数在 x 趋于无穷大时收敛到 0 。

除了通过极限来判断，还有一些其他的方法和定理能帮助我们。

比如夹逼定理，如果有两个函数 g(x) 和 h(x) ，并且对于某个区间内的所有 x ，都有 g(x) ＜＝ f(x) ＜＝ h(x) ，而且当 x 趋近于某个值时，g(x)和 h(x) 的极限都相等且为 L ，那么 f(x) 在这个点的极限也为 L ，从而判断函数的收敛性。

单调有界定理也是一个有力的工具。

如果一个函数在某个区间内单调递增（或递减），并且有上界（或下界），那么这个函数在这个区间内一定收敛。

比如说，考虑一个数列 a_n ＝ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋＋ 1/n ，我们可以通过证明它单调递增且有上界，从而得出它是收敛的。

数学函数级数收敛与发散判断方法在数学中，函数级数是由无穷多个函数项的和所组成的。

判断一个函数级数是收敛还是发散，是数学中的一个重要问题。

本文将介绍几种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

一、极限判别法极限判别法是判断函数级数收敛与发散的基本方法之一。

它利用函数项的极限来判断级数的性质。

1. 首先，考察函数项的极限是否存在。

计算函数项的极限值，如果存在有限的值，则可以说级数可能是收敛的。

2. 其次，如果函数项的极限不存在或为无穷大，则级数可能是发散的。

3. 在一些特殊情况下，函数项的极限为0，并不能确定级数是收敛还是发散，此时需要进一步应用其他的方法进行判断。

二、比较判别法比较判别法是另一种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

它将待判定的级数与已知性质的级数进行比较。

1. 比较判别法的基本思想是，如果待判定的级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么待判定的级数也是收敛的。

2. 如果待判定的级数的每一项都大于或等于一个已知发散级数的对应项，那么待判定的级数也是发散的。

3. 比较判别法中常用的比较级数有调和级数、几何级数和正项级数等。

三、积分判别法积分判别法是判断正项级数收敛与发散的一种重要方法。

它利用函数的积分值来确定级数的性质。

1. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要小，那么该级数是收敛的。

2. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要大，那么该级数是发散的。

3. 积分判别法需要熟练运用积分计算，因此在应用时需要注意对函数的积分运算。

四、根值判别法根值判别法也是判断正项级数收敛与发散的一种常用方法。

它通过取函数项的n次方根来判断级数的性质。

1. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于0，则级数是收敛的。

2. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于无穷大，则级数是发散的。

3. 根值判别法中的n通常取为2或者3，具体取决于待判定级数的形式。

综上所述，极限判别法、比较判别法、积分判别法和根值判别法是常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

判断发散和收敛的方法及比较法判断发散和收敛的方法及比较法在数学中，判断函数序列的收敛性是非常重要的。

函数序列的收敛性与其在实际问题中的应用密切相关。

本文将介绍如何判断函数序列的收敛性，包括发散和收敛的方法及比较法。

一、发散和收敛的定义1. 发散：如果一个函数序列无论取什么值都无法趋近于一个极限值，则称该函数序列是发散的。

2. 收敛：如果一个函数序列存在一个极限值，且当n趋近于无穷大时，该函数序列会趋近于这个极限值，则称该函数序列是收敛的。

二、发散和收敛的方法1. Cauchy准则：若对于任意正数ε，存在正整数N，使得当m>n>N 时，|an-am|<ε，则称an是柯西数列。

若柯西数列有极限，则称它是收敛数列；否则就是发散数列。

2. 夹逼准则：若对于所有n>N，有bn<=an<=cn，并且lim(bn)=lim(cn)=L，则lim(an)=L。

若不存在L使得上述条件成立，则该函数序列为发散。

3. 收缩映射原理：设f(x)是[a,b]上的连续函数，且f([a,b])⊆[a,b]。

若存在0<k<1，使得对于所有x∈[a,b]，有|f(x)-f(y)|<=k|x-y|，则f(x)在[a,b]上有唯一的不动点c（即满足f(c)=c的点），并且xn+1=f(xn)收敛于c。

4. 单调有界原理：如果一个函数序列是单调递增或单调递减，并且有一个上界或下界，则该函数序列收敛。

如果没有上界或下界，则该函数序列发散。

三、比较法1. 比较法：设an和bn是两个函数序列，如果存在正整数N，使得当n>N时，|an|<=bn，则：① 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；② 如果∑an发散，则∑bn也发散。

2. 比值法：设an是一个正项函数序列，则：① 若lim(an+1/an)=L<1，则∑an收敛；② 若lim(an+1/an)=L>1或lim(an+1/an)=无穷大，则∑an发散；③ 若lim(an+1/an)=1，则不能确定∑an的收敛性。

函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε<-ana,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，并记作limn→∞an=a,或()∞→→naan.定义2：设f为定义在[)+∞,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limn→∞ fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)−→−uc f(x)）=0，（其中“−→−uc”表示不一致收敛于），则称{fn (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作limn→∞fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn−→−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有limnmE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)⇒ f(x).6、近乎收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→−c f(x) (在E- Eσ上)，则称函数列{fn (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)−→−c n. f(x)或简记为fn−→−c n. f.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→−c u. f(x)在E- Eσ上），则称函数列{fn (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)−−→−c u n.. f(x)或f n−−→−c u n.. f.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn (x)，f(x)属于L p,若fn(x)，f(x)得距离)()(f xfxn-敛于0（当n→+ ∞）,则称fn (x)强收敛于f(x),简记为：fn−→−强 f.二、几中收敛的关系1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=⎧⎨⎩⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21x,0,21,01x，f（1）2(x)=⎧⎨⎩.1,21,1,21,0x⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈x，然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j (x)=⎧⎨⎩.2,21,0,2,21x1⎥⎦⎤⎝⎛-∉⎥⎦⎤⎝⎛-∈nnnnjjxjj，j=1,2,…,2n.把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x), (1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,E[|f（n）j -0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j（当0<σ≤1），所以m(E[|f（n）j -0|≥σ])≤n21(当σ＞1时，左端为0).于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见lim N→∞ m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)⇒0.但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x0∈(]1,0,无论n多么大，总存在j,使x0∈⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j,因而f（n）j (x)=1，然而f（n）j+1(x)=0或f（n）j-1(x)=0，换言之，对任何x0∈(]1,0，在{f（n）j (x)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在(]1,0上任何点都是发散的.2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.例2 取E=(0,+∞),作函数列：f（n）(x)=⎧⎨⎩(](),,,0,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,….显然fn (x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.这说明{ fn}不依测度收敛于1.2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn }测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.定理2(勒贝格Lebesgue) 设（1） mE<∞;（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；（3） {fn }在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）⇒f(x).定理3设fn（x）⇒f(x)， f n（x）⇒g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.3 几乎处处收敛与近一致收敛3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limn→∞f n(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集Eσ⊂E,使得m Eσ<σ,且在E-Eσ上{ f n(x)}一致收敛于f(x).3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例fn (x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x∈(0, ∞).它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：fn (x)=⎧⎨⎩[)().,,0;,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,…, limn→∞fn(x)= f(x)≡1 (0<x<∞)取δ=1, 则对任何可测集Eδ⊂E，若m Eδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-Eδ无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x∈E-Eδ时，| fn(x)-f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.设可测集E上可测函数列fn (x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).4 近一致收敛与依测度收敛4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x)⇒ f(x).证明由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集Eδ，且m Eδ=δ,当n≥N时，对一切x∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意x 0∈E-Eδ，x∈()()∞=<-NnxfxfEn,σE-Eδ()∞=<-⊂NnnfxfE.x)(σ于是对任何x∈E- ∞=<-NnffEnσ= ∞=≥-NnnffEσ,必有x∈Eδ,即∞=≥-Nn nf fE σ⊂E δ综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n ≥N 时，m( ∞=≥-Nn n f f E σ)≤m E δ<δ,从而mE[|f n -f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，f n (x)⇒ f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.5 几乎处处收敛与强收敛5.1几乎处处收敛不一定强收敛例 f n (x) =⎧⎨⎩.110,0,10,n ≤≤=<<x n x n x 及，显然在[]1,0上f n 处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上f n -f ={dx n n ⎰12}21=n →∞（n →∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛例 )(f k i = ⎧⎨⎩.,1,0,,1,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i x令Φn (x)= )(f k i,Φ(x)=0.则：()()x x n φφ-={()⎰1x n φ}21=k1→0(n →∞),Φn (x)−→−强 Φ(x),而Φn (x)在任一点都不收敛.6 依测度收敛与强收敛6.1强收敛一定依测度收敛可证明，对任何ε>0,设E n (ε)=E{x:|f n (x)-f(x)|≥0},),(|)()(|)(|)()(f|22εεεn n n nmE dx x f x f E dx x f x E ≥-≥-⎰⎰f n →f,∴mE n (ε)→0,即f n (x)⇒f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛例 E=[]10，，在E 上作函数列如下： f 1(1)(x)=1 x ∈[)10，, f 1(2)(x)= ⎧⎨⎩01 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121,0x x … f i (k)(x)= ⎧⎨⎩01[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i ,11,0,1x (i=1,2…,k) 上述的函数列记为Φ1（x ）, Φ2（x ）, Φ3（x ）,…, Φn （x ）,…,可证Φn （x ）⇒Φ（x ）≡0，但却处处不收敛于Φ（x ）.证明 若ε>1, E n (ε)为空集，显然lim n →∞E n (ε)=0；若0<ε≤1,则E n (ε)=E{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=⎪⎭⎫⎢⎣⎡k i k ,1-i ,所以mE{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=k1，于是当n →∞,显然k →∞.故lim n →∞E n (ε)=0，从而Φn （x ）⇒Φ（x ），而对任x 0∈[)10，,Φn （x 0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn （x ）}处处不收敛.三、相关命题及证明命题1 f n ..a c E −−→ f ⇔ f n ..n c E−−→ f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E−−→ f ，则∀K ，∃E k ⊂E,使得m E k <k1,且 f n .kc E E -−−−→f 记 E 0= ∞=1k k E ，则m E 0=0,E- E 0= ∞=-1)(k k E E∴ f n .kc E E -−−−→f 且m E 0=0 即f n ..a c E −−→ f 证毕命题 2 f n ...n u c E −−−→f ⇔f n ..n c E−−→f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E −−→f ，则由命题1知 f n ..a c E−−→ f 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 f n ...n u c E−−−→ f 证毕命题 3 若f n ...n u c E−−−→f ，则f n ⇒f命题 4 若f n ⇒f ，则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证明 任取定{εk }→0,{δk }→0,且∑∞=1k k δ<∞，则由“⇒” 的定义知：可取定 n 1>N(ε1, δk )，使得 m E(|1f n -f|≥ε1)< δ12n > n 1, 2n > N(ε2, δ2), 使得 m E(|1f n -f|≥ε2)< δ2… … …∀ δ>0,由∑∞=1k k δ<∞知，∃K 1，使得∑∞=1k k δ<δ记 E δ=)|(|1k k k n f f E k ε≥-∞= 则 m E δ<δ又∀ δ>0，由{εk }→0，知∃K 2，使得εk 2<ε,于是当k ≥k 0=max{k 1,k 2},且x ∈(E- E δ)时，有 |k n f （x ）-f(x)|< εk <ε∴k n f （x ）..u c E Eδ-−−−→f (k →∞) 且m E δ<δ 即 k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证毕命题 5 f n ⇒f ⇔ {k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）证明∀ σ>0,记a n=m E(|f n -f|≥σ) (n=1,2,…)∀ δ>0, f n ⇒f,则由“⇒”的定义有 lim n →∞a n =lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0故∀ {k n a }⊂{a n },∃ {i n a }⊂{k n a },使得 lim n →∞k n a =0即∀{kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得lim n →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0 亦即1f k n ⇒f （i →∞）“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得lim i →∞i n a =lim i →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0∴ lim n →∞a n =0 即 lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0亦即 f n ⇒f 证毕命题 6 ∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则有{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 证明“⇒”设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则由命题4知：{1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 综上所述，结论成立.“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则由命题3知： 1f k n ⇒f （i →∞）综上述，结论成立.命题7 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ...n u c E−−−→f （m →∞）命题8 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得1f k n ..a c E−−→ f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ..a c E−−→ f （m →∞）. 命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.命题9 若f n ..n c E −−→f,则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→f(k →∞）命题10 ∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f （k →∞）⇔{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→ f （k →∞）命题11∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） ⇔ {kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得 1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）. 由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.参考文献[1] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [2] 周明强. 实便函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2007. [3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社,2001. [5] 赵焕光. 实变函数[M]. 成都：四川大学出版社,2004.。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.可测函数列几种收敛的定义 (1)1.1 一致收敛 (1)1.2 点点收敛 (1)1.3 几乎一致收敛 (2)1.4 几乎处处收敛 (2)1.5 依测度收敛 (2)2.可测函数列几种收敛的关系 (3)2.1 点点收敛与一致收敛的关系 (3)2.2 点点收敛与几乎处处收敛的关系 (3)2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系 (3)2.4 几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系 (3)2.5几乎处处收敛与依测度收敛的关系 (4)参考文献 (6)可测函数列的收敛性摘 要:本文介绍了可测函数列常见的几种收敛:一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等,以及它们之间的关系.关键字:可测函数列;一致收敛;几乎一致收敛;几乎处处收敛;依测度收敛.Convergence of Measurable Function SequenceAbstract :This article introduces several common convergences of the measurable functionsequence :uniform convergence ,almost uniform convergence,almost everywhere converge- nce,convergence in measure and the relations about them .Key words :Measurable functions ;Uniform convergence ;Almost uniform convergence ; Almost everywhere convergence ;Convergence in measure前言在数学分析中我们知道,一致收敛是函数列很重要的性质,它能保证极限过程和一些运算的可交换性.但一般而论,一个收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的.其实这一现象在某种意义下是带有普遍性的.1.可测函数列几种收敛的定义1.1一致收敛设()()()() ,,,,,21x f x f x f x f k 是定义在点集E 上的实值函数.若对于0>∀ε存在0>εN ,使得对于εN n ≥∀,E x ∈∀都有()(),ε<-x f x f k则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x .记作:uk f f −−→(其中u 表示一致收敛).1.2点点收敛若函数列()()()() ,,,,,21x f x f x f x f k 在点集D E ⊂上每一点都收敛,则称它在D 上点点收敛．即E x ∈∀,0>∀ε,()0,>∃x N ε,对()x N n ,ε≥∀, 有()()ε<-x f x f k ,记作 f f k →于E ．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 ()⎩⎨⎧<<==.10,0,0,1x x x f 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ,但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x . 1.3几乎一致收敛设E 是可测集,若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<且在E δ上有uk f f −−→,则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ,并记作...a u k f f −−→(其中..u a 表示几乎一致收敛).即去掉某个零测度集,在剩下的集合上一致收敛.例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛.但是只要从[]0,1的右端点去掉任意小的一段成为[]()0,10,0δδδ->→,则{()}k f x 在其上就一致收敛了,像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛于0. 1.4几乎处处收敛设()()()() ,,,,,21x f x f x f x f k 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数.若存在E 中点集Z ,有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈有lim ()()k x f x f x →∞=,则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛于()f x ,并简记为..,e a f f k →于E 或..a e k f f −−→即去掉某个零测度集,在剩下的集合上处处收敛.上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛于()f x . 1.5依测度收敛设{}n f 是q R E ⊂上的一列..e a 有限的可测函数,若有E 上..e a 有限的可测函数()x f 满足下列关系:对任意0>σ有[]0lim =≥-σf f mE n n,则称函数列{}n f 依测度收敛于f ,记为:()()x f x f n ⇒.改用N -ε说法:对任意0>ε及0>σ,存在正数()σε,N ∃,使()σε,N n ≥时,[]εσ<≥-f f mE n .依测度收敛用文字叙述,就是说,如果事先给定一个（误差）0>σ,不论这个σ有多么小,使得()()x f x f n -大于σ的点x 虽然可能很多,但这些点所成之集合的测度随着n 无限增大而趋于零.从而可知,不依测度收敛的定义为:0>∃σ,使得[]σ≥-f f mE n 不收敛于0,即0>∃σ,0>∃ε, 对0>∀N 都N n ≥∃,使得[]εσ≥≥-f f mE n .2.可测函数列几种收敛的关系2.1点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道uk f f −−→,必有{()}k f x 点点收敛于()f x ,如例1,反之则不一定成立.2.2点点收敛与几乎处处收敛的关系由定义易知,点点收敛必几乎处处收敛,反之则不然. 2.3几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知,一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→,反之则不然,如例2.而且还可以得到:若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列,则极限函数()f x 也是可测函数.2.4几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理 设(),{}n m E f <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数f 的可测函数,则对于任意的0δ>,存在子集E E δ⊂,使{}n f 在E δ上一致收敛,且(\)m E E δδ<.注 定理中“()m E <∞”不可去掉.如 例3 定义在(0,)E =+∞的函数列()(]()⎩⎨⎧=∞∈∈=.,2,1,,,0,,0,1 n n x n x x f n显然n f 在(0,)+∞上处处收敛于1,但对于任何正数δ及任何可测集E δ,当(\)m E E δδ<时,n f 在E δ上不一致收敛于1,这是因为,当(\)m E E δδ<时,E δ不能全部含于(]n ,0中,必有()∞⋂∈,n E x n δ,于是有()0=n n x f .()().111sup =-≥-∈n n x n E x x f f δ所以()x f n 在E δ上不一致收敛于1,也即定理中“()m E <∞”不可去掉.由定义我们知道,一致收敛必是几乎处处收敛的,反之则不成立.但它们又有密切的关系,即上述定理告诉我们几乎处处收敛是“基本上”一致收敛 (在除去一个测度为任意小集合的子集上一致收敛)的.应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”:设()f x 是E 上..e a 有限的可测函数,则对于任意的0δ>,存在闭子集E F δ⊂,使()f x 在F δ上是连续函数,且(\)m E F δδ<.简言之:在E 上..e a 有限的可测函数是“基本上连续” (在除去一个测度任意小集合的子集上连续)的函数,则我们可以用连续函数来逼近..e a 有限的可测函数. 2.5几乎处处收敛与依测度收敛的关系 例4 依测度收敛而处处不收敛的函数列 取(0,1]E =,将E 等分,定义两个函数:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈=.1,21,0,21,0,111x x x f ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈=.1,21,1,21,0,012x x x f 然后将(0,1]四等分、八等分,等等.一般地,对每个n ,作2n 个函数:()().2,,2,1.2,21,0,2,21,1n n n n n n j j j j x j j x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛-∉⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈=我们把(){}n n i j f 2,,2,1, =先按n 后按j 的顺序逐个的排成一列:(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),nn n n x f x f x f x f x f(1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数.可以证明这个函数序列是依测度收敛于零的.这是因为对于任何的0σ>,()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>),或是1,22(]n n j j - (当01σ<≤),所以()102([])n j nf m E σ-≥≤(当时1σ>时,左端为0). 由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+== 趋于∞时,n →∞,由此可见()[]()00lim =≥-∞→σn j n f E m ,即()().0⇒x f n j但是函数列(1)在](1,0上的任何一点都不收敛.事实上,对任何点0(0,1]x ∈,无论n 多么大,总存在j ,使01(,]22n nj jx -∈,因而()0()1n j x f =,然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=,换言之,对任何0(0,1]x ∈,在()0(){}n j x f 中必有两个子列,一个恒为1,另一个恒为零,所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的.这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛,也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛.但仍有里斯(F.Riesz):设在E 上{}n f 测度收敛于f ,则存在子列{}i n f 在E 上..e a 收敛于f .例5 如例3,显然()()∞→→n x f n 1,当x E ∈.但是当01σ<<时,[]()+∞=≥-,1n f E n σ,且()∞=+∞,n m .这说明}{n f 不依测度收敛于1.这个例子又说明了一个..e a 的函数列也可以不是依测度收敛的,但是有下述关系: 勒贝格(Lebesgue)设mE <∞,{}n f 是E 上..e a 有限的可测函数列, {}n f 在E 上..e a 收敛于..e a 有限的函数f ,则()()x f x f n ⇒.此定理中的“mE <∞”不可去掉（例1）.定理也说明在的在的条件mE <∞下,依测度收敛弱于..e a 收敛.由以上勒贝格(Lebesgue)定理又可得出一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件,即:设mE <∞,{}n f 是E 上的可测函数列,那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是:{}n f 的任何子函数列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列.证明 （必要性）由于{}n f 依测度收敛于f ,知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ,由里斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列.（充分性）用反证法,即如果{}n f 不依测度收敛于f ,则存在一个0σ>,使得()n f f m E σ-≥不趋于0.则必有子序列{}kn f ,使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=>又由已知,在E 上必存在{}k n f 的子列几乎处处收敛于f ,又mE <∞,由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ,即(())0.lim k n k m E f f σ→∞-≥=这与上式矛盾,所以{}n f 依测度收敛于f .注 上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的,而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛,它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛.各种收敛都有不同的意义,在各种实践中作用也各不同.参考文献:[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M] (第三版).北京:高等教育出版社,2010.[2] 程其襄,张奠宙,魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M] (第三版).北京:高等教育出版社,2010.6.。

目录1．前言 (1)2．概念 (1)2.1 几乎处处收敛 (1)2.2 几乎一致收敛 (1)2.3 依测度收敛 (2)3．三种收敛性之间的区别 (2)3.1 存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛 (2)3.2 存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛 (2)3.3 存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛 (4)4．三种收敛性的充要条件 (4)4.1 几乎处处收敛的充要条件 (4)4.2 几乎一致收敛的充要条件 (4)4.3 依测度收敛的充要条件 (6)5．三种收敛性之间的联系 (6)5.1 几乎一致收敛与几乎处处收敛 (6)5.2 依测度收敛与几乎处处收敛 (8)5.3 依测度收敛与几乎一致收敛 (10)5.4 三种收敛之间的关系图： (11)6．结论 (11)7．致谢 (12)8．参考文献 (13)n f 可测函数列三种收敛性的区别与联系摘 要： 对于可测集合E 上的几乎处处有限的可测函数列n f 来说有三种常见类型的收敛：几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛。

本文首先介绍可测函数列三种收敛的概念，并讨论几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛三者之间的关系。

这几种概念是伴随测度的建立而产生的新的收敛性，相对其他两种收敛性来说，依测度收敛的收敛条件是比较弱的，与熟知的处处收敛有很大的差异。

Egorov 定理、Riesz 定理和Lebesgue 定理等揭示了这几种收敛之间的关系。

关键词： 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 中图分类号：O 17Difference and Connection between Three Types of Convergence of Measurable Function SequenceJiang Zhong (Tutor ：You Xuexiao)(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi Hubei435002,China)Abstract : For the measurable function sequencewhich is finite almost everywhere on the measurable set E ,there are three types of common convergence: convergence almost everywhere, convergence almost uniform and convergence in measurable. This article has first described the concepts of those three types of convergence, and then discussed the relationship among convergence almost everywhere,convergence almost uniform and convergence in measurable . Those concepts are the new convergence,which are arised with the establishment of measure. Comparing with the other twotypes of convergence, the conditions of convergence inmeasurable are relatively weak, and has large differencewith the well-known convergence almost everywhere. TheEgorov theorem, Riesz theorem and Lebesgue theorem and soon reveal the relationship among these types of convergence.Keywords: Convergence almost everywhere Convergence almost uniform Convergence in measurable可测函数列三种收敛性的区别与联系蒋忠（指导教师，游雪肖）（湖北师范学院 数学与应用数学 湖北 黄石 435002）1．前言本文介绍了几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛，它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性。

可测函数列的几种收敛的关系
1. 一致收敛：如果函数列 {fn(x)} 对于任意给定的ε > 0，都存
在一个 N，使得当 n > N 时，对于任意的 x ∈ E，都有|fn(x) − f(x)| < ε，则称函数列 {fn(x)} 在 E 上一致收敛于 f(x)，记作
fn(x) → f(x) (x ∈ E)。

一致收敛意味着收敛速度足够快，也意
味着极限函数与原函数的交换次序是可以进行的。

2. 逐点收敛：如果对于任意的 x ∈ E，函数列 {fn(x)} 都收敛
于 f(x)，即lim_n→∞ fn(x) = f(x)，则称函数列 {fn(x)} 逐点收
敛于 f(x)，也叫点态收敛。

3. 均方收敛：如果对于任意的ε > 0，有lim_n→∞ ∫[a,b] |fn(x)
− f(x)|² dx = 0，则称函数列 {fn(x)} 在 [a,b] 上均方收敛于 f(x)，记作 fn(x) ⇀ f(x) (a ≤ x ≤ b)。

均方收敛意味着收敛速度足够快，但是极限函数与原函数的交换次序一般是不可进行的。

4. 平均收敛：如果对于任意的ε > 0，有lim_n→∞ ∫[a,b] |fn(x)
− f(x)| dx = 0，则称函数列 {fn(x)} 在 [a,b] 上平均收敛于 f(x)，记作 fn(x) ⟶f(x) (a ≤ x ≤ b)。

平均收敛比逐点收敛更强，但是
收敛速度可能不够快。

收敛判断指标i收敛判断指标是一种用来评估数列或函数是否趋向于一个确定的极限值的方法。

在数学和物理学等领域中，收敛是一个重要的概念，它关注的是序列或函数是否能够在无限次迭代后趋于一个固定值。

在数学中，我们常常使用极限来判断一个数列或函数的收敛性。

如果一个数列或函数存在极限，且该极限可以通过有限次的操作得到，那么我们说该数列或函数是收敛的。

相反，如果一个数列或函数不存在极限，或者极限无法通过有限次的操作得到，那么我们说该数列或函数是发散的。

在实际应用中，我们经常需要判断一些序列或函数的收敛性，以便进行进一步的分析和计算。

收敛判断指标就是通过一些特定的方法和准则来判断一个序列或函数是否收敛。

常见的收敛判断指标有以下几种：1. 有界性判断：如果一个数列或函数的取值都在一个有界区间内，那么我们可以认为它是收敛的。

这是因为有界性是收敛的必要条件之一。

例如，对于一个递增的数列，如果我们能够找到一个上界，使得数列的所有值都小于等于这个上界，那么我们可以说这个数列是收敛的。

2. 单调性判断：如果一个数列或函数是单调递增或单调递减的，并且存在一个上（下）界，那么我们可以认为它是收敛的。

这是因为单调性和有界性是收敛的充分条件之一。

例如，对于一个递增的数列，如果我们能够证明它的所有项都小于等于一个上界，并且数列是单调递增的，那么我们可以说这个数列是收敛的。

3. Cauchy收敛判别准则：如果一个数列满足Cauchy收敛准则，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项之差的绝对值小于ε，那么我们可以认为这个数列是收敛的。

这是因为Cauchy收敛准则是收敛的充分条件之一。

例如，对于一个数列，如果我们能够找到一个正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项之差的绝对值小于任意给定的正数ε，那么我们可以说这个数列是收敛的。

4. 收敛级数判断：对于一个级数，如果它的部分和数列是收敛的，那么我们可以认为这个级数是收敛的。

如何证明收敛函数要证明一个函数的收敛性，首先需要明确该函数的定义域和值域。

一般来说，收敛函数是从实数集到实数集的映射。

在证明过程中，我们可以使用数列的性质来推理函数的收敛性。

下面我将介绍一种基本的方法来证明函数的收敛性。

该方法称为"ε-δ证明"，其中ε代表一个任意小的正实数，δ代表一个任意正实数。

步骤1：定义函数和收敛点首先，要明确所要证明的函数和其收敛的点。

设函数为f(x)，收敛点为a。

我们的目标是证明：对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε，其中L是f(x)当x趋近于a时的极限值。

步骤2：推导数列收敛性接下来，我们将证明存在一个数列{x_n}，它在x趋近于a时收敛于L。

我们可以通过使用数列的定义来完成这一步骤。

步骤3：使用ε-δ定义来推导收敛性根据步骤2中得到的数列收敛性，我们可以将ε-δ定义应用于函数f(x)上。

这意味着对于给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。

步骤4：证明过程通过数学推理和运算，使用步骤3中得到的ε-δ定义，我们需要证明当，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。

在证明过程中，可能需要使用不等式性质、函数极限的性质或导数的性质等。

步骤5：总结证明在这一步，我们总结证明的结果，强调存在一个δ>0，使得当，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。

这证明了函数f(x)在a处的收敛性。

需要注意的是，这只是一种基本的方法来证明函数的收敛性。

不同的函数可能需要使用不同的方法和技巧来证明其收敛性。

同时，该方法也只适用于证明其中一点的收敛性，对于整个定义域的收敛性还需要更多的证明。

除此之外，还可以使用其他方法来证明函数的收敛性，例如极限定义、单调有界定理、函数序列收敛的判别法等。

根据具体情况选择合适的方法进行证明。

由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理学院：统计与数学学院 班级：09信息与计算科学摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛等.叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系,那么几乎处处收敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明.关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎处处收敛定义1 如果存在P E ⊂,0P μ=使在E P -上{}n f 收敛于f ,则称{}n f 几乎处处收敛于f ,记为..a e n f f −−→.定义2 (1)如果0ε∀>,∃自然数N ,当n N >时对一切x E ∈,有|()()|n f x f x ε-<,则称{}n f 一致收敛于f .(2)如果0δ∀>,存在可测子集E E δ⊂使()E E δμδ-<且在E δ上n f 一致收敛于f ,则称{}n f 基本一致收敛于f 或几乎处处一致收敛于f .定义3 如果0σ∀>,成立[]lim ||0n n E f f μσ→∞-≥=,则称{}n f 依测度收敛于f ,记为n n f f f f μ⇒−−→或.定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是E 上一列可测函数且..e α收敛于一个..e α有限的可测函数f ,则{}n f 基本一致收敛于f ,即0δ∀>,E E δ∃⊂使()E E δμδ-<且在E δ上一致收敛于f .定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一列可测函数,且在E 上n f 基本一致收敛于f ,则在E 上必有..a e n f f −−→.定理三(黎茨(Riesz)定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一列可测函数,且在E 上n f f ⇒,则存在{}n f 的子序列{}j n f 使在E 上..()ja e n f f j −−→→∞ 定理四(勒贝格(lebesgue)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是定义在E 上的一列可测函数,且在E 上..a e n f f −−→,则n f f ⇒.定理中的条件：1E μ<+∞2{}()n f x 是E 上一列几乎处处取有限的可测函数 3lim ()()..n n f x f x a e →∞=于E ,|()|..f x a e <+∞于E .n f f ⇒的含义是：对于事先给定的无论怎样小的误差σ,使|()()|n f x f x σ-≥那些点x 的集合的测度随n 无限增大而趋于0,[]lim ()0n n E f f μσ→∞-≥=可以用N εσ--语言描述为0σ∀>,0ε>,E 自然数(,)N σε∈当n N ≥时有[]||n E f f μσε-≥<.证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理0ε∀>,∃可测子集E E ε⊂使()E E εμε-<且{}()n f x 在E E ε-上一致收敛于()f x由一致收敛性定义可知：对任意0σ>,∃自然数N 当n N ≥时 恒有|()()|n f x f x δ-<,x E ε∈ 当 n N ≥有[]|()()|n Ef x f x E E εδ-≥⊂-所以 当n N ≥有[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-<所以根据n f f ⇒的含义再由[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-< 可得()()n f x f x ⇒ 即n f f ⇒注意：1定理E μ<+∞的条件不可少 取(0,)E =+∞,令()1f x ≡且n=1,2,3…显然()()n f x f x →在E 上处处成立,但()0,1δ∀∈有()()||,n E f f n δ-≥=+∞,()||n E f f μδ-≥=+∞在E 上{}n f 不依测度收敛于f.2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立取(0,1]E =并令()()n j f x = (n=1,2,3…;j=1,2,3….) 把(){}n j f 中的函数先按n 的大小,再按j 的大小排成(1)1()f x ,(2)1()f x ,….()1()n f x …(1)2()f x ,(2)2()f x …()2()n f x …设()()n j f x 是这序列第N(n,j)项,即()()()n j N f x f x =0δ∀>有[]|0|=|0|nN j E f E f μδμδ⎡⎤-≥-≥≤⎣⎦0(当N →∞)时即0()N f N ⇒→∞ 但当0(0,1]x ∀∈时,无论n 如何j ∃使01(,]22n nj jx -∈ 因()0()1n j f x =而()10()0n j f x +=或()10()0n j f x -=这就是说()0{()}n j f x 中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列 所以它是发散的参考文献：实变函数与泛函分析简明教程 高等教育出版社 张晓岚编著。

如何计算函数收敛如何计算函数收敛在数学中，函数的收敛是一个重要的概念。

它指的是函数在某个值处趋于某个值。

在本篇文章中，我们将讨论如何计算函数收敛。

1. 了解函数收敛的定义要计算函数的收敛，首先需要了解收敛的定义。

当函数的极限存在时，我们说该函数收敛于该极限。

数学上，可以用以下符号表示：lim f(x) = Lx->a其中，lim是极限的符号，f(x)是要计算收敛的函数，a是一个实数，x->a表示x趋向于a的极限。

2. 确认函数是否有极限要计算函数的收敛，首先需要确定函数是否有极限。

通常，我们可以通过以下三种方法来证明函数的极限存在：- 使用代数法推导极限- 使用数学归纳法证明极限- 使用极限定义证明极限如果一个函数满足极限的存在条件，那么我们可以开始计算它的收敛。

3. 计算极限计算函数的极限是计算其收敛的关键。

要计算函数的极限，通常可以使用以下方法：- 推导极限算式- 代入值法- 导数法- 利用三角函数公式计算不同的函数可能需要使用不同的方法来计算其极限。

因此，在计算极限之前，我们需要确认最适合的算法。

4. 确认收敛性计算出函数的极限之后，我们需要确认函数的收敛性。

确认函数的收敛性有两种方法：- 判断函数的一致性- 判断函数的渐进性如果函数在一定范围内一致且有限，则这个函数是收敛的。

此外，当函数趋近于某个值时，如果其值连续地逼近该值而不发生异常，则该函数也是收敛的。

结语计算函数的收敛是一项重要的任务。

这对于数学领域的专业人士来说是一项基本的技能。

通过掌握精良的技巧，我们可以更好地理解如何计算一个函数的收敛，并更有效地使用它。

第6讲可测函数列的收敛问题研究一个函数列的收敛性1.是在什么意义下收敛?2.各种收敛之间有什么关系?一、函数列的几种收敛1. 函数列的(几乎)处处收敛与一致收敛概念 12(),()(,,)k n f x f x k E 设都是定义在点集上的广义实值函数.定义=⊆{}(1)()()k f x E f x 在上处处收敛于(0,,0, ,,)K K x x E k K εε⇔∀>∀=∈∃>>当时有()(), lim ()(),.k k k f x f x f x f x x E →∞⇔→=∀∈或 ()().k f x f x ε-<(()0),Z m Z ⇔=存在一个零测集即使得{}(2)()()k f x E f x 在上几乎处处收敛于(almost everywhere ）lim ()(),\,k k f x f x x E Z →∞=∀∈()(), lim ()(), a.e. .k k k f x f x f x f x x E →∞→=∈记作 或{}(3)()()k f x E f x 在上一致收敛于0,0, (),,k K x E K K εε⇔∀>>>=∃∀∈当时有()(), uniformly in .k f x f x E →记作()().k f x f x ε-<()sin arctan .1 k x f x x k=+讨论在上例的一致收敛性()1(0,,,),:k K K x εεε⎡⎤∃=⎢∀⎥>∀>∀∈-∞+⎣⎦∞解 1|()arctan |.k f x x kε-≤<11,4,()arctan .44k k f x x ε=>-<对当时有几何直观xy o E ε-=)(x f y ε+=)(x f y )(x f y =()k y f x =εεsup ()( )k k x Ef x f x β∈=-令()(),uniformly in k f x f x E→ lim 0.k k β→∞⇔=一致收敛的几何解释 (),()().k k K K f x f x εε>=-<当时有(),1,2,[0,1]2 k k f x x k E ===在例 上处处收敛于sup ()()1k x k E f x f x β∈=-=因 {()}k f x 故不是一致收敛.0, [0,1)()1, 1x f x x ∈⎧=⎨=⎩0→几何直观1xεyx O2x113xε-{}():1,2,, ()lim (), a.e. ,nk k k f x k E f x f x x E E →∞=⊆=∈设是可测集上 的一列可测函数则也是上的可 测函数.2. 函数列几种收敛性的关系收敛方式由强到弱依次是性质 (几乎处处收敛的可测函数列的极限是可测的)试问 有比几乎处处收敛还弱的收敛方式吗?有, 依测度收敛!一致收敛几乎处处收敛处处收敛⇒⇒{}{}(),()(),0,,(),()()1\.k k m E f x E f x E E m E x f E E f x δδδδδ<∞><设如果在上几乎处处收敛于则对任意存在的可 上一致收测子集使得在于定理 敛,几乎 处处简单地说收敛 在测度有限的集上的近一函数列是的.致收敛注E ,,(1,12],E E δδ=- 在中 为了得到一致收敛我们只需从中挖去一个测度任意小的子集例{}()\([0,1])().k f x E E f x δδ-则在即上一致收敛于1xεyxO2x113xε-几何直观1δ-()m E <∞注定 理中的条件不能去掉.[0,),E =+∞反设例 [0,]1, [0,]()()0, k k x k f x x x kχ∈⎧==⎨>⎩{}()()1,k f x E f x ≡则在上处处收敛于函数,E δ但对于任何一个测度有限的子集{}()\k f x E E δ在上不是一致都收敛的.kyxO{}121 (),()()()() lim ()(), ().nk k k k k f x E x x x x x f x x x E ϕϕϕϕϕϕ+→∞⊆≤≤≤≤≤=∀∈设是可测集上的当且仅当非负可测函数非负可测的简单存在得函数列：使定理2 ()f x E 根据的值域对进行划分分析 ()⇐充分性√()⇒必要性1. 非负函数可测性的等价描述 二、可测函数与简单函数的关系渐升列1 ···E()f x [0,1]y 对轴作二等分1 E 11E 12F 11()x ϕ11102E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭1(1)F E f =≥12112E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭112111()()()2i F E i i x x x ϕχχ=-=+∑E()f x [0,2]y 对轴作八等分2 · 1 2 · · · · ··· · E 21 E 22 E 23 E 24 E 28 F 22()x ϕ依次类推, 得到简单函数列 {}()k x ϕ[0,]2ky k k ⋅对轴作次等分ki E (),k x ϕ作简单函数列其中211()()()2kk ki k k F E k i i x k x x ϕχχ⋅=-=+∑（请读者自行验证）可以证明 {}().k x ϕ即为所求k F 1, 1,2,,2,22kk k i i E f i k -⎛⎫=≤<=⋅ ⎪⎝⎭().E f k =≥(),nf x E ⊆设是可测集上的可测函数定理3 2. 一般函数可测性的等价描述 分析 只需证明必要性即可.()(1)(),k f x f x ≤{}(),k f x 当且仅当存在可测函数列简单使得(2)lim ()(), .k k f x f x x E →∞=∀∈(),.f x E 若在上有界则上述收敛是一致的(),f x E 是定义在上的广义实值函数设令{}max (),(),0f x f x +={}max (),(),0f x x f -=-())()(,f x x f x f -+并分别称为正部函数的与负部.()y f x =()y f x +=()y f x -=(),(,())f x f x E f E x +-⇒在上可测也在上可测注意到 ,0())(0f f x x -+≥≥.2,,(),()f f x x -+根据定理关于非负可测函数有{}{}(1)(2)(),()k kx x ϕϕ存在的简单函数列非负可测：使得(1)(lim , ,)()k k x f x E x ϕ+→∞=∀∈(2)()lim , .()k k x f x x E ϕ-→∞=∀∈,x E ∀∈故（请读者补充证明过程）),((())f x f x x f +-=-再结合(1(2))()(li ()()))m (.k k k x f x x f x f x ϕϕ+→-∞⎡⎤-=-=⎣⎦参考文献1. 周民强. 实变函数论, 北京: 北京大学出版社, 2001.2. 郑维行, 王声望. 实变函数与泛函分析概要, 北京:高等教育出版社, 2010.3. 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础, 北京: 高等教育出版社, 2010.4. 夏道行等. 实变函数论与泛函分析, 北京: 高等教育出版社, 2010.感谢大家的聆听！。