2020高考数学一轮复习第7章不等式第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划分层演练文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第7章不等式第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划分层演练文
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24，7) B．(－7，24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选 B.根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.
2．已知实数x，y满足则z＝3x－y的最小值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．2
解析：选C.如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x－y的几何意义是直线3x－y－z＝0在y轴上截距的相反数，故当直线在y轴上截距取得最大值时，目标函数z取得最小值．
由图可知，目标函数对应直线经过点A时，z取得最小值．
由解得A(1，0)．
故z的最小值为3×1－0＝3.
故选C.
3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )
A．(0，3] B．[－1，1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，
由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，
此时kCM＝＝3，
因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.
4．已知点P(1，1)在关于x，y的不等式组表示的平面区域内，则( )
A．1≤m2＋n2≤4且0≤m＋n≤2
B．1≤m2＋n2≤4且1≤n－m≤2
C．2≤m2＋n2≤4且1≤m＋n≤2
D．2≤m2＋n2≤4且0≤n－m≤2
解析：选A.点(1，1)在不等式组表示的平面区域内，
可得，
不等式组表示的可行域如图：
m2＋n2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，显然(0，1)到原点的距离最小，最小值为1，
(0，2)到原点的距离最大，最大值为4，
则1≤m2＋n2≤4，0≤m＋n≤2.故选A.
5．实数x，y满足(a<1)且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) A． B.1
4
C． D.3
4
解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括
边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.
6．若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为( )
A．B．2
3
C．1 D．2
解析：选D.由选项得m>0，作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y ＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.由得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.
二、填空题
7．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1，1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：－1
8．若变量x、y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C、D间的距离最小，此时z最小．由得即C(0，1)，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.
答案：5
9．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．
解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．
目标函数z ＝表示过点Q(5，－2)与点(x ，y)的直线的斜率，且点(x ，y)在△ABC 平面区域内．
显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为＝－. 答案：－1
2
10．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z ＝ax ＋by(a>1，b>2)的最大值为5，则＋的最小值为________．
解析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A(1，1)． 由z ＝ax ＋by(a>1，b>2)，得y ＝－x ＋，
由图可知，zmax ＝a ＋b ＝5.可得a －1＋b －2＝2.
所以＋＝(a －1＋b －2)＝1
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5＋b －2a －1
＋4（a －1）b －2
≥＝.
当且仅当b ＝2a 时等号成立，并且a ＋b ＝5，a>1，b>2即a ＝，b ＝时上式等号成立．
所以＋的最小值为. 答案：9
2 三、解答题
11.如图所示，已知D 是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D 的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．
解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y
＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，
解得－18<a<14.
故a 的取值范围是(－18，14)．
12．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y.
考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－x ＋， 这是斜率为－，随z 变化的一族平行直线.为直线在y 轴上的截距，当取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距最大，即z 最大．
解方程组得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。