2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(文科)
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2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a为正实数，i为虚数单位，z=a﹣i，若|z|=2，则a=（）A．2 B．C．﹣D．12．（5分）在下列函数中，图象关于原点对称的是（）A．y=xsinx B．y=C．y=xlnx D．y=x3﹣2sinx+tanx3．（5分）请按照如图的程序进行计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（）A．6 B．21 C．156 D．2314．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=4，=2.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+0.9 B．=2x﹣5.5 C．=﹣2x+10.5 D．=﹣0.3x+4.75．（5分）已知（）sin2θ＜1，则θ是（）A．第一或第二象限的角B．第二或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第三象限的角6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+127．（5分）双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．911．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）12．（5分）已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线的顶点在原点，准线平行于x轴，且焦点在3x﹣2y﹣6=0上，则此抛物线的方程是．14．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．15．（5分）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是．16．（5分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n+1=2log3，求数列{a n b n}的前n项和S n．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD，M为PD的中点，过A，B，M的平面记为α．（1）平面α与四棱锥P﹣ABCD的面相交，交线围成一个梯形，在图中画出这个梯形；（不必说明画法及理由）（2）求证：AB⊥平面PBC；（3）若CD=1，求三棱锥M﹣ACD的体积．19．（12分）为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．（1）由茎叶图判断A班和B 班的平均分，的大小（只需写出结论）；（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为‘种子’选手”与班级有关？（3）在获市级一等奖的同学中选出3人，求至少含有1名A班同学的概率．下面临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20．（12分）如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，）和点P都在椭圆C1上，椭圆C2方程为+=4．（1）求椭圆C1的方程；（2）过P作椭圆C1的切线l交椭圆C2于M，N两点，过P作射线PO交椭圆C2于Q点，设=λ；（i）求λ的值；（ii）求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．请考生在22,23,24题中任选一题，如果多做，按第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a为正实数，i为虚数单位，z=a﹣i，若|z|=2，则a=（）A．2 B．C．﹣D．1【分析】由复数求模公式结合已知条件即可得到a的值．【解答】解：由z=a﹣i，若|z|=2，则，即a=，又a为正实数，∴a=．故选：B．【点评】本题考查复数求模公式的应用，是基础题．2．（5分）在下列函数中，图象关于原点对称的是（）A．y=xsinx B．y=C．y=xlnx D．y=x3﹣2sinx+tanx【分析】由条件判断各个选项中函数的奇偶性，再根据奇函数的图象特征，得出结论．【解答】解：由于y=xsinx、y=都是偶函数，它们的图象关于y轴对称，故排除A、B；由于y=xlnx的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数，它的图象不关于原点对称，故排除C．由于y=x3﹣2sinx+tanx为奇函数，它的图象关于原点对称，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇、偶函数的性质，属于中档题．3．（5分）请按照如图的程序进行计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（）A．6 B．21 C．156 D．231【分析】求出各次循环输出的结果，直到满足条件，退出循环．【解答】解：∵x=3，，不满足条件条件；∵x=6，=21，不满足条件条件；∵x=21，=231，满足条件，退出循环．故选D【点评】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．4．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=4，=2.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+0.9 B．=2x﹣5.5 C．=﹣2x+10.5 D．=﹣0.3x+4.7【分析】根据负相关的回归方程的一次项系数为负，及样本数据中心点坐标为（4，2.5）利用排除法，可得答案．【解答】解：由已知中变量x与y负相关，故回归方程的一次项系数为负，故排除A，B，由样本平均数=4，=2.5，故回归直线过（4，2.5）点，故排除D，故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，正确理解正负相关与回归系数的关系，及回归直线方程必过样本数据中心点，是解答的关键．5．（5分）已知（）sin2θ＜1，则θ是（）A．第一或第二象限的角B．第二或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第三象限的角【分析】求解指数不等式可得sin2θ＞0，进一步得到，则答案可求．【解答】解：由（）sin2θ＜1=，得si n2θ＞0，∴2kπ＜2θ＜π+2kπ，即，∴θ是第一或第三象限的角．故选：C．【点评】本题考查指数不等式的解法，考查了三角函数的象限符号，是基础题．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S==10，底S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．7．（5分）双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】通过双曲线的基本性质，直接求出a，b，c，然后求出m，求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为6，所以a=2，c=3，所以b=，所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．【点评】本题是基础题，考查双曲线的基本性质，双曲线的渐近线的求法，考查计算能力．8．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①，由线面关系得出m∥α或m⊂α；②，由垂直于同一直线的两个平面平行得到；③由面面平行的判定定理得到；④由面面垂直的性质定理得到．【解答】解：对于①，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，①不正确；对于②，若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β，显然成立；对于③，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，由面面平行的判定定理知它是不正确的；对于④，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α，由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B．【点评】本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理．9．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题10．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．9【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，由△ABC为锐角三角形，得A+B，0﹣B＜A，再根据正弦函数，f（x）单调性判断．【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1f（sinA）＞f（sin（﹣B）），即f（sinA）＞f（cosB）故选；D【点评】本题考查了导数的运用，三角函数，的单调性，综合性较大，属于中档题．12．（5分）已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【分析】先由曲线y=x3+ax经过点P（1，2），求得a值，进而利用导数的几何意义求得曲线y=x3+ax经过点P（1，2）的切线方程l；再由y=x2+bx+c经过点P（1，2）的切线方程也是l，可求得b、c的值；最后代入，利用均值定理求最小值即可【解答】解：将P（1，2）代入两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c，得设f（x）=x3+x，g（x）=x2+bx+c∵f′（x）=3x2+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b∵两曲线在点P处有公切线∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，∴b=2，c=﹣1∴==≥log22=1 （当且仅当x=1时取等号）故选B【点评】本题考查了导数的几何意义和均值定理的运用，解题时要抓住要害，准确作答．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线的顶点在原点，准线平行于x轴，且焦点在3x﹣2y﹣6=0上，则此抛物线的方程是x2=﹣12y．【分析】设抛物线的方程为x2=my，求得焦点，代入直线3x﹣2y﹣6=0，解方程可得m，进而得到抛物线的方程．【解答】解：依题意，设抛物线的方程为x2=my，焦点为（0，），由焦点在3x﹣2y﹣6=0上，可得焦点为（0，﹣3），即有=﹣3，解得m=﹣12．则抛物线的方程为x2=﹣12y．故答案为：x2=﹣12y．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点在直线上，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．15．（5分）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是ω≤．【分析】根据题意，得函数的周期T=≥π，解得ω≤2．又因为的减区间满足：（k∈Z），而题中∈（，）．由此建立不等关系，解之即得实数ω的取值范围．【解答】解：∵x∈，ω＞0，∴∈（，）∵函数在上单调递减，∴周期T=≥π，解得ω≤2∵的减区间满足：，k∈Z∴取k=0，得，解之得ω≤故答案为：ω≤【点评】本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的一个单调区间，求ω的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题．16．（5分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V=πR3=π．球故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n+1=2log3，求数列{a n b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用等比中项及a32=9a2a6可知a32=9a42，进而可得q=，利用2a1+3a2=1可知a1=，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n=2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由a32=9a2a6得：a32=9a42，即q2=，∵q＞0，∴q=，又2a1+3a2=1，∴a1=…（3分）∴a n=（）n，…（6分）（2）由b n+1=2log3得：b n=2n﹣1，令c n=a n b n=（2n﹣1）•（）n…（8分）∴S n=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣3）×（）n﹣1+（2n﹣1）×（）n…①S n=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣3）×（）n+（2n﹣1）×（）n+1…②①﹣②得：S n=1×+2[（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）×（）n+1=+2×﹣（2n﹣1）×（）n+1，∴S n=1﹣…（12分）【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD，M为PD的中点，过A，B，M的平面记为α．（1）平面α与四棱锥P﹣ABCD的面相交，交线围成一个梯形，在图中画出这个梯形；（不必说明画法及理由）（2）求证：AB⊥平面PBC；（3）若CD=1，求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（1）取PC中点N，连结MN，AM，BN，则梯形MNBA即为要求的梯形；（2）根据面面垂直的性质即可得出AB⊥平面PBC；（3）作△PBC的中线PE，则M到底面的距离为，代入体积公式计算．【解答】解：（1）取PC中点N，连结MN，AM，BN，则梯形MNBA为要求的梯形（2）∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PBC．（3）∵PB=PC=BC=2CD=2，∴△PBC是等边三角形，过P作PE⊥BC，则PE⊥平面ABCD，且PE=．∴M到平面ACD的距离h=．==1．∵S△ACD∴三棱锥M﹣ACD的体积V===．【点评】本题考查了平面的作法，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．（1）由茎叶图判断A班和B 班的平均分，的大小（只需写出结论）；（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为‘种子’选手”与班级有关？（3）在获市级一等奖的同学中选出3人，求至少含有1名A班同学的概率．下面临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【分析】（1）根据茎叶图可知A班数据的重心偏下，可得：故＜；（2）根据茎叶图求出列联表中各个数据，计算出临界值，可得结论；（3）分别计算获市级一等奖的同学中选出3人的总取法，及至少含有1名A班同学的取法，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）茎叶图可知A班数据的重心偏下，故＜（2）由茎叶图可知，“种子选手”共有13名，其中A班3人，B班10人，非种子选手27人，其中A班17人，B班10人，从而2×2联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得…（6分）K2====≈5.584因为5.584＞5.024，所以能够“在犯错误的概率不超过0.025的前提下”认为成为‘种子选手’与班级有关…（8分）（3）由茎叶图知：获市一等奖的学生共6人，其中A班两名同学，记作A1，A2，B班4名同学，记作B1，B2，B3，B4，“从6人中抽取3人”共包含以下基本事件：（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，B3），（A1，A2，B4），（A1，B1，B2），（A1，B1，B3），（A1，B1，B4），（A1，B2，B3），（A1，B2，B4），（A1，B3，B4），（A2，B1，B2），（A2，B1，B3），（A2，B1，B4），（A2，B2，B3），（A2，B2，B4），（A2，B3，B4），（B1，B2，B3），（B1，B2，B4），（B1，B3，B4），（B2，B3，B4）共20个，其中事件“至少含有1名A班同学”包含以下基本事件：（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，B3），（A1，A2，B4），（A1，B1，B2），（A1，B1，B3），（A1，B1，B4），（A1，B2，B3），（A1，B2，B4），（A1，B3，B4），（A2，B1，B2），（A2，B1，B3），（A2，B1，B4），（A2，B2，B3），（A2，B2，B4），（A2，B3，B4）共16个设事件A=“至少含有1名A班同学”．∴P（A）==即在获市级一等奖的同学中选出3人，至少含有1名A班同学的概率为…（12分）【点评】本题考查的知识点是独立性检验，茎叶图，古典概型，是统计和概率的综合应用，难度中档．20．（12分）如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，）和点P都在椭圆C1上，椭圆C2方程为+=4．（1）求椭圆C1的方程；（2）过P作椭圆C1的切线l交椭圆C2于M，N两点，过P作射线PO交椭圆C2于Q点，设=λ；（i）求λ的值；（ii）求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．【分析】（1）由椭圆离心率和点P在椭圆上，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（2）（i）设P（m，n），则由=λ得：Q（λm，λn），由P在椭圆C1上，能求出λ的值．设切线l的方程为：y=kx+t，与椭圆联立，得：（4k2+3）x2+8ktx+4t2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式，能证明△QMN的面积为定值，这个定值为18．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，）和点P都在椭圆C1上，∴e=，∴a2=4c2=4a2﹣4b2，∴3a2=4b2，又由题意知：b=，∴a2=4，∴椭圆C1的方程为：．…（4分）（2）（i）设P（m，n），则由=λ得：Q（λm，λn），∵Q在椭圆C2上，∴=4λ2（+）=4，∵P在椭圆C1上，∴=1，∴λ2=4，又∵λ＜0，∴λ=﹣2，…（7分）证明：（ii）设切线l的方程为：y=kx+t联立方程组：，联立并消元整理得：（4k2+3）x2+8ktx+4t2﹣12=0，△=48（4k2+3﹣t2）=0，∴4k2+3=t2，…②联立方程组：，消元整理得：（16k2+12）x2+32ktx+16t2﹣16×12=0，…①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，|MN|=•==•=•，设O到直线MN的距离为d1，Q到直线MN的距离为d2，则由（i）知：d2=3d1 d2=3d1=，由②知：t=，∴d2=，∴S△QMN =•|MN|•d2=•••=18即△QMN的面积为定值，这个定值为18．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，考查三角形面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+∞）上的单调性，进而证得结论．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数，故x1、x2不可能在同一单调区间内；设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再结合单调性即可证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．（2分）令f'（x）=0，解得x=2．∴f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（4分）（2）证明：，，∴F'（x）=．（6分）当x＞2时，2﹣x＜0，2x＞4，从而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．∴．（8分）（3）证明：∵f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（﹣∞，2）内为增函数，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．（12分）【点评】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．请考生在22,23,24题中任选一题，如果多做，按第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．【分析】欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．【解答】证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）【点评】本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离d，再由弦长公式求得d，再根据这两个d相等，从而求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程是（t是参数），消去参数化为普通方程为y=x﹣m．（Ⅱ）曲线表示一个圆，圆心（2，0）、半径为2，求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离为d=，再由弦长公式求得d==，故有=，求得m=1，或m=3．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
