第4章-2.pdf
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设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。
即确定 k 转换为相应的 k
高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计
Ha(s) H(z)
② 直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换 关系，一步完成各种数字滤波器的设计。
频率变换
模拟原型
数字低通、高通、带通、带阻
这里只讨论第二种方法。变换方法的选用：
1.0
T ctg 2 2
0 1.0 图1 高通变换频率关系
0 映射到 即 z 1 映射到 0 即 z 1
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲 线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接 将模拟低通变为数字高通。
1 1.571 1.571 0.5541z 1 H ( z) 1 T 1 0.2079 z 1 0.1905 z 1 0.2079 z 2
H(z)与采样周期T有关，T越小， H(z)的相对增益越大，这是 不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修 改，即求出H(z)后，再乘以因子T ，使H(z)只与 c 有关，即 只与fc和fs的相对值 f c / f s 有关，而与采样频率fs无直接关系。
1 H a (s) 1 2s 2s 2 s3
以 s / c 代替其归一化频率，得：
1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2(s / c ) 2 ( s / c )3
将 c 2f c代入，就完成了模拟滤波器的设计。但为简 化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。
1 3 1 2 1 2 1 1 3
2 3
1 z 1 z 1 z 1 z
1 3
1 3
1 3
1
3 z
2
1 z 21 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 41 z 1 z 1 z 1 z 1 2 z z 2 2 z 1 z 2 2 z 1 2 z 1 z 1 1 z 1 z 1 z 2 3 z
原型变换
也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通 过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计。
4.4.1 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1 ）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率 {ωk}。 2 ）由变换关系将 {ωk} 映射到模拟域，得出模拟滤 波器的临界频率值{Ωk}。
3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数）
例1: 设采样周期 T 250 s( f s 4kHz ) ，设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器，其3dB截止频率 fc=1kHz。分别用脉冲响应不 变法和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按 Ωc =2πfc设计 Ha(s)。以截止频率 Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波 器的传递函数为：
A 1 c , s1 c ; A 2 c / 3e j /6
s2 c (1 j 3) / 2; A3 c / 3e j /6 , s3 c (1 j 3) / 2
将上式的系数代入数字滤波器的系统函数：
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e
N
极点si
并将 c c / T 代入，得：
H ( z)
c / T
1 e
c
z
1
(c / 3T )e j /6 1 e
c (1 j 3)/2
z
1
(c / 3T )e j /6 1 ec (1 j
3)/2
z 1
合并上式后两项，并将 c 2f cT 0.5 代入，计算得：
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(s)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3e j /6 c / 3e j /6 H a (s) s c s c (1 j 3) / 2 s c (1 j 3) / 2
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ，有
e j 2 2e j cos o 1 e j e j 2 cos o s j 2 e 1 e j e j
s j cos 0 cos , 又 s j sin
因此带通变换关系
cos 0 cos sin
脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，
或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，对脉冲响应 不变法要有许多特殊的考虑。
双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多
数情况也是如此。
基于双线性变换法的高通滤波器设计： 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是s变 量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变 换式中的s代之以1/ s ，就可得到数字高通滤波器。即
T k k ctg 2 2
不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。
例 设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500 Hz ，通带内容许有 0.5dB的波动，阻带内衰减在小 于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。
T 2 400 T c ctg 0.32492 rad / s 2 2 1000 2 T 2 317 T r ctg 0.6498rad / s 2 2 1000 2 c s ~ ~ ~ c 0.32492 rad / s r 0.6498 2 c rad / s T /2 T /2
1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 2 1 1 1 1 3 1 1 3 2 1
1
z 2
脉冲响应不变法
双线性变换法
图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响
对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的 衰减越来越快，最后在折叠频率处 z 1, 形成一个 三阶传输零点，这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的 三阶传输零点通过映射形成的。
其中分子永远非负的，r 2 1 2r (1 cos o ) 0 正负决定于分母 r 2 1
r 1 时， 0 r 1 时， 0
s左半平面映射在单位圆内，右半平面映射在单位圆外，这 种变换关系是稳定的变换关系，可用来完成带通变换。
j0 z e 即将s的原点映射到 ，而将 s j 点映射到 z 1， 满足这一要求的双线性变换为：
z e z s
j o
z 2 2 z cos o 1 e j o z 1( z 1) z 2 1
当 z e j 时
图2
高通原型变换
应当明确：
数字高通滤波器，并不是ω高到 ，由于数字频域存在 折 叠频率 ，对于实数响应的数字滤波器，由 ~ 2 部分只是 由 ~ 0的镜象部分，因此有效的数字域仅是 0 ~ ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止 的部分。
高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模换的频率关系 图中 0 点正好映射在 0 上，而 映射在 0, 两端，因此满足带通变换的要求。 问题: 能满足稳定性要求?
稳定性证明： 设 zr0
r 2 2r cos 0 1 s r 2 1 由于上式完全是实数，所以是映射在s平面 轴上。 r 2 1 2r cos 0 (r 1) 2 2r (1 cos 0 ) 2 r 1 r 2 1
4.4.3 带通变换
如果数字频域上带通的中心频率为 0 ，则带通变换的目的 是将模拟低通 0 0
0 映射 0 0 映射 0 0 0 （频率映射关系具有周期性,，幅频响应具有原点对称性）。
并将Ωc =2/T代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(z)。
H ( z ) H a (s)
s
2 1 z 1 T 1 z 1
1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 2 2 1 1 1 1 z 1 z 1 z
4.4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频 率变换（原型变换）
对模拟滤波器，已形成了成熟的设计方案，只要掌握原型 变换，就可通过归一化低通原型的参数，设计低通、高通、 带通或带阻滤波器。
这一设计方法，也可应用于数字滤波器的设计，过程如下：
原型变换 模拟原型 模拟低通、高 通、带通、带阻 映射变换 数字低通、高 通、带通、带阻
b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率
c 2f cT 0.5
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临 界频率 2 c 2
c tg T 2 T
（三）以s/Ωc代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数
1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2( s / c ) 2 ( s / c )3
T 1 z 1 s 2 1 z 1
由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会 影响双线变换后的稳定条件，而且jΩc轴仍映射在单位圆上， 只是方向颠倒了。即
j T 1 e T j z e 时, s jctg j j 2 1 e 2 2 T ctg 2 2
三阶模拟切比雪夫低通原型
s 1 z 1 T / 2 1 z 1
