疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,我们把数量|a ||b |cosθ叫向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b , 即a ·b =|a ||b |cosθ.我们规定零向量与任一向量的数量积为0. 误区警示 两个向量的数量积称为内积,写成a ·b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ·b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替,用a ×b 或ab 表示两个向量的数量积都是错误的. 辨析比较 (1)在实数中,若a ≠0,且a ·b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ·b =0,不能推出b =0,因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc ⇒a =c .但是a ·b =b ·c 并不一定能得到a =c .两向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定. 2.两个非零向量的夹角已知非零向量a 与b ,作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角. 当θ=0时,a 与b 同向;当θ=π时,a 与b 反向;当θ=2π时,a 与b 垂直,记作a ⊥b . 学法一得 在利用两向量的夹角定义求两个向量的夹角时,两个向量必须是同起点的,当起点不同时可通过平移移到同一个起点. 3.两个向量的数量积的性质(1)当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |;特别地,a ·a =|a |2或|a |=a a ∙. 该条性质实现了实数与向量的联系,我们在求向量模时,往往先求模的平方,借助向量的数量积运算进行.设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. (2)a ⊥b ⇔a ·b =0. 若a ⊥b ,则a 与b 的夹角θ=90°,所以a ·b =|a ||b |cos90°=0; 反过来,a ·b =|a ||b |cosθ=0, 因|a |≠0,|b |≠0,所以cosθ=0. 所以θ=90°,则a ⊥b .数量积的这条性质,是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.深化升华 利用性质(2)把平面中几何关系问题转化成向量的计算问题,数与形结合起来. (3)cosθ=||||b a ba ∙.这条性质是数量积定义式a ·b =|a ||b |cosθ的等价变形式,侧重于两向量的夹角问题. (4)|a ·b |≤|a ||b |.由数量积的定义a ·b =|a ||b |cosθ可知 |a ·b |=|a ||b ||cosθ|. ∵0≤θ≤180°, ∴|cosθ|≤1. ∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |,当且仅当两个向量共线时“等号”成立.特别地,对于(1)、(2)、(3)三条性质,用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题.辨析比较(1)在实数中|ab|=|a||b|,而在向量中|a·b|≤|a||b|,这是向量与实数的区别.(2)在实数中a2=|a|2,在向量中也有a2=|a|2,这是向量和实数类似的一个性质.4.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.证明:设a、b夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ,b·a=|b||a|cosθ,∴a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明:若λ＞0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a(λb)=λ|a||b|cosθ,若λ＜0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.如图2-4-2,在平面内取一点O,作=a,AB=b,=c,图2-4-2∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b,即(a+b)·c=a·c+b·c.误区警示在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是(a·b)c=a(b·c)不一定成立.因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.学法一得平面向量数量积的运算就类似于多项式的乘法,展开后再合并同类项.这样就可以很好地理解公式的来龙去脉.从系统的角度讲,我们所学的知识都是紧密联系的.把我们未知的东西转化到已知内容上去,这是我们学习的一种方法.5.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),试用a和b的坐标表示a·b.设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,它们的方向分别和x、y轴的正向相同,那么a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2,又i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.深化升华引入坐标后,实现了向量的数量积的运算与两个向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来,为计算和证明带来了方便,实现了数与形的结合.6.平面内两点间的距离公式(1)设a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.当平面向量用坐标表示而求模时可代此公式.深化升华 求向量的模通常有两种方法:一是通过数量积的坐标表示推导向量的模;二是向量的模的平方等于向量的平方,即利用向量的数量积来求.(2)如果表示向量AB 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么|AB |=221221)()(y y x x -+-(平面内两点间的距离公式).这是因为,若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则a =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1),由(1)可得|a |=221221)()(y y x x -+-.即平面内两点之间的距离等于相应坐标的差的平方和的算术平方根. 向量a 的模也具有一定的几何意义,即|a |=2222)0()0(-+-=+y x y x ,通过简单的构造,体现点(x,y)到原点(0,0)的距离.联想发散 有关二次式的平方和问题,大部分可考虑转化为两点间距离问题,借“形”直观理解“数”的问题.7.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,若设它们的夹角为θ,则有 cosθ=||||b a b a ∙=222221212121y x y x y y x x +++.利用此公式,可直接求出两向量的夹角.利用向量的数量积来求两向量夹角的方法是:先利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积,再利用|a |=22y x +计算出这两个向量的模,然后由公式cosθ=||||b a ba ∙直接求出cosθ的值,进一步求出θ的值.求几何图形中的内角也常用类似的方法.深化升华 运用向量知识求解几何问题的方法称为向量法.向量是沟通数和形内在联系的有力工具,具有多方面的功能.用向量解几何题的主要思想是:将直线形的各边视为向量,把线段的关系式化为向量的关系式,从而把几何问题转化为向量问题,运用向量运算法则,通过向量的化简与计算,推出结论完成解题. 8.向量垂直的判定由于两个非零向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为零,若设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则可得a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.向量垂直的坐标表示是判定两个向量垂直的非常好用的条件,在实际中应通过训练达到灵活运用它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形.误区警示 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0;a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.对于初学者来说,这两个充要条件极易混淆,因此对于这两个充要条件要对比记忆,关键是从公式的推导过程记忆. 典题·热题知识点1 向量的数量积例1 判断正误,并简要说明理由.①a ·0=0;②0·a =0;③0-=;④|a ·b |=|a ||b |;⑤若a ≠0,则对任一非零b 有a ·b ≠0;⑥a ·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦对任意向量a ,b ,c 都有(a ·b )c =a (b ·c );⑧a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2.思路分析:利用向量数量积的定义、性质和运算律. 解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有a ·0=0; 对于②,应有0·a =0;对于④,由数量积定义有|a ·b |=|a |·|b |·|cosθ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a ·b |=|a |·|b |;对于⑤,若非零向量a 、b 垂直,有a ·b =0; 对于⑥,由a ·b =0可知a ⊥b ,可以都是非零向量; 对于⑦,若a 与c 共线,记a =λc , 则a ·b =(λc )·b =λ(c ·b )=λ(b ·c ), ∴(a ·b )c =λ(b ·c )c =(b ·c )λc =(b ·c )a . 若a 与c 不共线,则(a ·b )c ≠(b ·c )a .方法归纳 这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 误区警示 如果不注意零向量与实数零的区别,则易出现“①②正确”的错误结论.例2 已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角. 思路分析:利用两个向量垂直及两向量夹角公式. 解:因为a +3b 与7a -5b 垂直, 则有(a +3b )·(7a -5b )=0, 即7a 2+16a ·b -15b 2=0. ① 又a -4b 与7a -2b 垂直, 则有(a -4b )·(7a -2b )=0, 即7a 2-30a ·b +8b 2=0. ② 两式相减2a ·b =b 2, 代入①或②得a 2=b 2,设a 、b 的夹角为θ,则cosθ=22||2||||b b b a b a =∙=21, ∴θ=60°.方法归纳 向量的数量积是一个实数,充分利用两向量垂直的条件,把问题转化到实数集中去求解是解本题的关键.误区警示 由于a -4b 与7a -2b 都是向量,在求它们数量积时不能书写成(a -4b )(7a -2b ),这种表示方法是错误的,应书写为(a -4b )·(7a -2b ). 例3 已知|a |=|b |=5,a 与b 的夹角为3π,求|a +b |,|a -b |的值. 思路分析:先求|a ±b |2,再求|a ±b |. 解:∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2 =25+25+2|a ||b |cos 3π=75, ∴|a +b |=35.同理|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2 =25+25-2|a ||b |cos3=25. ∴|a -b |=5.方法归纳 求向量模的问题往往先求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模以及向量的数量积联系起来了.例4 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角为120°. (1)求证:(a -b )⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1(k ∈R ),求k 的取值范围.思路分析:证明向量垂直问题,一般考虑利用向量的数量积为零.要解决模的问题,往往转化成与模平方有关的问题来解决.(1)证法一:∵|a |=|b |=|c |=1且a 、b 、c 之间的夹角均为120°, ∴(a -b )·c =a ·c -b ·c =|a ||c |cos120°-|b ||c |cos120°=0. ∴(a -b )⊥c .证法二:如图2-4-3,设=a ,=b ,=c ,图2-4-3由题意可知,连结AB 、AC 、BC 的三条线段围成正三角形ABC,O 为△ABC 中心. ∴OC ⊥AB.又∵=a -b ,∴(a -b )⊥c .(2)解:∵|k a +b +c |＞1, ∴(k a +b +c )·(k a +b +c )＞1, 即k 2a 2+b 2+c 2+2k a ·b +2k a ·c +2b ·c ＞1. ∵a ·b =a ·c =b ·c =cos120°=-21, ∴k 2-2k ＞0.解得k ＜0或k ＞2,即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.方法归纳 证明向量的垂直或判定几何图形中线的垂直关系,往往转化成向量的数量积等于零来证明.与模有关的问题,常先考虑模的平方.深化升华 利用向量的有关知识,可以通过数形结合,提供平面几何中许多问题的新颖、直观、简捷的解法.知识点2 平面两向量数量积的坐标表示例5 设a =(m+1,-3),b =(1,m-1),若(a +b )⊥(a -b ),求m 的值.思路分析:解题时可根据已知条件求出a +b 与a -b ,再利用垂直求得m 的值即可. 解:∵a +b =(m+2,m-4),a -b =(m,-m-2), 又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=0,即m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0. ∴m=-2.方法归纳 解题时可利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示,列出方程解方程即可求解. 例6 已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.思路分析:本题利用向量垂直的坐标表示,设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组解之即可.解法一:设e =(x,y),据题意x 2+y 2=1. ① 又a ⊥e ,∴a ·e =0,即4x+2y=0. ②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧=+=+,024,122y x y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552,5511y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=552,5522y x , 即e=(55,-552)或(-55,552).解法二:如图2-4-4,=a =(4,2).过圆点与垂直的直线与单位圆交于B 、C 两点,则与OC 即为所求.图2-4-4cosα2=sinα1=55,sinα2=cosα1=552. 依据三角函数的定义,可求得B(-55,552), 即=(-55,552). ∵与互为相反向量, ∴=(55,-552).方法归纳 要求的单位向量即为以与a 垂直的直线与单位圆相交的交点为终点,原点为起点的两向量,可通过解直角三角形或三角函数的定义求解.例7 已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的夹角是多少?思路分析:要求a 与b 夹角,需先求a ·b 及|a ||b |,再结合夹角θ的范围确定其值. 解:由a =(1,3),b =(3+1,3-1),则 a ·b =3+1+3(3-1)=４,|a |=2,|b |=22, 记a 与b 的夹角为θ,则cosθ=||||b a b a ∙=22,又∵0≤θ≤π,∴θ=4π. 方法归纳 已知三角函数值求角时,应注重角的范围的确定.例8 在△ABC 中,=(3,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.思路分析:由于没指出哪个内角是直角,故需分别讨论,借助向量减法的运算法则求出△ABC 是一边BC 对应的向量,再用两个向量垂直的充要条件,构造出k 的方程,从而求出k 的值. 解:(1)当∠A=90°时,图2-4-5∵·=0, ∴3×1+3k=0,解得k=-1. (2)当∠B=90°时,-==(1-3,k-3)=(-2,k-3),∵AB ·BC =0,∴2×(-2)+3(k-3)=0,解得k=313. (3)当∠C=90°时, ∵AC ·BC =0,∴-2+k(k-3)=0,即k 2-3k-2=0,解得k 1=2173-或k 2=2173+.综合(1)(2)(3)可知k 的值为k=-1或k=313或k=2173±. 方法归纳 本题在△ABC 的一个内角为直角,但不知道哪个角为直角的情况下,进行分类讨论,分类讨论的数学思想贯穿于中学数学的各门具体课程,在不断总结的基础上,根据具体情况,把握分类的标准.例9 如图2-4-6,在Rt △ABC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·的值最大？并求出这个最大值.图2-4-6思路分析:本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标的转化,与向量的联系. 解法一:∵⊥AC ,∴·AC =0. ∵-=,-=,-=,∴·=(-)·(-) =·-·-·+· =-a 2-AP ·AB AC +·AP =-a 2+(-) =-a 2+21PQ · =-a 2+a 2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与BC 方向相同)时,BP ·最大,其最大值为0.解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-4-7所示的平面直角坐标系.图2-4-7设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0)、B(c,0)、C(0,b), 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y). ∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-,∴cx-by=a2cosθ.∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.方法归纳设定OM的坐标(x,y),用坐标表示出MA与MB的数量积,整理成MA·MB是OM的纵坐标的二次函数,通过二次函数知识求MA·MB的最小值.深化升华与最值有关的问题,往往是先选取适当的变量,建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式),通过求最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.问题·探究思维发散探究问题设a、b是不相等的实数,试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法,即求出不等式两边式子的差,再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示,因此可以根据不等式结构构造向量利用向量知识来达到证明不等式的目的.方法一:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.由于a、b是不相等的实数,则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2＞0,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.方法二:设m=(a2,b2),n=(a,b),则m·n=a3+b3,又a、b是不相等的实数,则a2b-ab2≠0,即向量m、n不共线,所以有|m·n|＜|m||n|,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.。
