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二元一次不等式

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二元一次不等式（组）表示的平面区域教学设计的说明辽宁省实验中学李振江一、教材分析1.教学背景分析不等关系与相等关系都是客观事物的基本关系，不等式则是刻画现实世界中这些不等关系的数学模型，是进行数学研究、解决许多实际问题的数学工具，因而关于不等式的知识是高中数学学习的重要内容。

本节课是不等式的第五大节的第一课时，通过探究二元一次不等式的解集的几何意义，了解不等式是刻画区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

通过本节课的学习为后面寻求“最优解”的线型规划问题奠定基础。

在本节课的学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，在由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。

学生在之前的学习中已经学习了不等式的一些知识，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系中的图像是一条直线，通过类比的思维方式就可引入本节的教学。

2.教学目标知识与技能目标：（1）理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法；（2）能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

过程与方法目标：（1）增强学生数形结合的思想；（2）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（2）体会数学的应用价值；（3）体会由一般到特殊，由特殊到一般的思想。

3.教学重、难点重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域难点：寻求二元一次不等式（组）表示的平面区域二、教法、学法设计1.教法设计本节知识的形成过程是“猜想、验证、证明、形成、应用”，非常适合采用探究式的学习方法：通过类比让同学们猜想出结论；思考验证方案；利用联系、转化的方法探讨问题的逻辑证明；形成问题的解决方法；自己在知识应用的过程加深对于方法的理解。

让学生经历知识的形成过程，使其不至于感觉到结论就像从魔术师帽子里飞出的鸽子那样令人惊讶，体验探索的乐趣。

这不仅有利于知识的掌握，也有利于培养他们的创新能力。

所以本节课的教学采用了探究式，启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透，以多媒体作为教学辅助手段。

从实际问题出发，逐步探讨了二元一次不等式（组）表示的平面区域。

2.学法设计在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。

经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

三、教学过程设计元一次不等式有什么关选择直线在直线的同一侧任取四、板书设计二元一次不等式（组）表示的平面区域同侧同号证明过程（图像）例1：判断方法五、教学思考在探求“同侧同号”教学过程中，与教材处理不同的是在验证完猜想后，我引导同学们得到了其严格的逻辑证明。

这样做主要基于以下几点的考虑：（1）根据学生的状况，过点P做坐标轴垂线的这种证法学生还是可以探求到，并理解和接受的。

（2）在这个过程鼓励学生继续大胆的想象,合理的论证；培养学生运用联系转化的方法来处理新问题的数学思维方法。

（3）让学生经历了一个数学问题的完整的探究过程“猜想、验证、证明”，以及由特殊到一般的升华。

同时考虑到学生的接受能力，关于“向量内积”的证明方法，在引导学生考虑到“垂线联系”的方式后并没有展开，而是让学生在课下结合书上的证明继续探究。

本文转自“第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动”“二元一次不等式(组)所表示的平面区域”的教学设计与思考发布时间：2010-11-02【收藏此页】【设为首页】【打印】【关闭】二元一次不等式(组)所表示的平面区域，是新教材新增加的内容，是直线方程的简单应用，融数、形于一体，具有代数形式与几何形式的双重身份。

也是后续内容——简单的线性规划的基础，其掌握程度直接影响着线性规划问题中可行域的确定。

课本上仅给出了“同侧同号”原理确定平面区域位置的方法，但这个方法必须先在坐标系内画出直线，再根据直线一侧的某点的坐标代入判断，使用多有不便，且不能直接反映平面区域与二元一次不等式(组)的关系。

针对当前的教学情况和考试要求，通过对教材的进一步理解，我决定在要求学生理解掌握教材所给方法的同时，适当补充易于接受、应用方便的另一方法——通过二元一次不等式直接判断的方法。

这对加深学生对教材的理解，发展学生的能力都有好处。

一、指导思想与理论依据本节课以探究性理论“在问题解决中自主学习”为指导思想，即建构主义所倡导的一种教学方式——“问题学习”。

在对本节课的教学设计中，突出体现在：（一）鼓励学生探索问题在课堂教学中，教师要善于挖掘素材，努力创设各种问题情境，鼓励、引导学生多角度、多层次地深入探索问题，用疑问开启学生思维的心扉，启迪学生智慧，帮助他们不断挑战自我，挑战极限，享受到探索问题给自己所带来的快乐。

从而在探索问题的过程中，将知识的理解引向深入。

（二）引导学生解决问题教学过程实际上就是设疑、质疑、释疑的过程，也是教学生学会学习，提高学习能力的过程，同时也是培养学生创新能力和实践能力的过程。

解决问题的过程，也就是学生学会学习的过程。

教师要引导、培养学生从不同的角度去思考、判断和解决问题，从而在问题的解决中学会学习，学会创新。

二、教学背景分析（一）学情分析1、学生已有直线方程、不等概念的基础，但不善于运用图形仍然是他们的一个弱点。

作为新知识的二元一次不等式(组)所表示的平面区域，对于数学中数形结合、化归等思想的要求较高，在接受上有一定的难度。

2、由于教师平时比较注意学生自学能力的培养，有些力所能及的教材内容敢于放手让学生自主学习，因此，学生具备一定的自学能力。

（二）教材的地位和作用二元一次不等式(组)所表示的平面区域是在学习了直线方程的基础上安排的内容，是关于基础知识的教学。

对于这一部分内容的掌握程度，直接影响着线性规划问题中可行域的确定。

因此，这一内容在本章中起着承前启后的作用。

（三）教学目标设计根据本节内容特点及教学大纲对本节的教学要求及学生身心的发展的合理要求，从三个方面确定以下教学目标：1、知识目标：了解二元一次不等式(组)的几何意义；掌握用平面区域表示二元一次不等式(组)的方法步骤，画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域；渗透数形结合、化归的数学思想。

2、能力目标：培养学生的识图、画图的观察能力和联想能力；通过对平面区域与二元一次不等式(组)关系的探索，发展学生的探究能力；通过由特殊到一般，由一般到特殊，由直觉猜想到推理论证等思维方法的训练，提高学生的数学科学素养。

3、情感目标：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，使学生历数学思维过程，获得成功的体验。

（三）教学的重点和难点重点：根据二元一次不等式(组)画出平面区域难点：如何确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域在直线的哪一侧三、教学方法和教学手段的说明（一）教学方法本节课采用了“启发探究”式的教学方法，根据本节课教材的特点和学生的实际情况，在教学中，重点突出以下两点：1、由教材内容的特点确定以“问题探究”为教学的主线。

创设问题情景，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题；创设问题情景，让学生在对一连串问题的探究解决过程中，体会数学知识的发生与发展过程。

2、由教材内容的难易程度及学生的接受能力确立自主探索式的学习方法。

在教学中，从提出学习课题，到最后的课堂小结，通过创设问题情景，启发引导学生运用科学的思维方法，进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。

（二）教学手段本节课的教学应突出数学的化归思想、数形结合思想，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力。

因此，在教学中，除经常使用的常规教具外，还使用多媒体投影仪和计算机来辅助教学，其作用主要有个：1、将数学问题直观形象地展示出来，帮助学生思考；2、快速展示问题及解决过程，提高课堂效率，节约授课时间。

四、教学过程与教学资源设计为达到本节课的教学目标，我把教学过程设计为五个阶段。

在知识引入阶段，通过对一个问题的提出，引出本节课题。

在知识自主探索阶段，对两个内容进行探索：第一探索直线Ax+By+C=0同侧点的坐标对二元一次式Ax+By+C的影响；第二探索根据“同侧同号”原理确定平面区域位置的解题步骤。

在补充知识、引导学习阶段，对三个内容进行引导探索：第一引导探索y＞kx +b、y＜kx +b、x＞ly+b、x＜ly+b （其中k、l存在）与其表示的平面区域位置的关系；第二引导证明“y＞kx +b表示的平面区域在直线y=kx +b的上方”；第三自主探索用“斜截式”确定平面区域位置的步骤。

在知识应用阶段，通过对例题的分析求解让学生体会两种方法差异及优劣。

在学习小结阶段带领学生对所学的知识和方法进行梳理、归纳和总结。

具体过程如下：（一）知识引入阶段在本阶段的教学过程中，借助集合这一工具，通过提出的问题，引出本节课题，并引出半平面、不等式的图象两个概念。

具体的教学安排：1、问题的提出：集合{（x，y）| x＋y－1=0}表示何中种图形？集合{（x，y）| x＋y－1＞0}呢？2、提出新课题——二元一次不等式（组）所表示的平面区域，同时引出相关概念开（闭）半平面、不等式的图象（不等式表示的区域），指出这就是我们这一节要研究的内容。

在此基础上，我启发学生思考：如何求二元一次不等式（组）在直角坐标平面上表示的区域呢？下面请同学们通过阅读教材及参考投影仪展示的问题自己探求，课本上是如何来解决的，进入下一阶段的教学。

设计意图用问题引入，激发学生的求知欲，引发他们的学习兴趣，明确本节课要研究的内容。

（二）知识自主探索阶段在本阶段，学生借助投影仪上展示的实例与问题，通过阅读教材，自主探索教材解决“求二元一次不等式（组）在直角坐标平面上表示的区域”的过程，初步掌握借助“同侧同号”原理解决问题的方法、步骤。

1、自主探索直线Ax+By+C=0同侧点的坐标对二元一次式Ax+By+C的影响y实例：在直角坐标系内作直线x＋y－1=0，并在其上方、下方分别取点：上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）下方：（－1，2），（0，0），（0，－2），（1，－1）分别代入二元一次式x＋y－1得出数值。

x问题：（1）直线x＋y－1=0上方的点：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）是否使二元一次式x＋y－1具有相同的符号？下方的点：（－1，2），（0，0），（0，－2），（1，－1）呢？两组点得出的符号是否相同？（2）通过对问题（1）的回答，你能否得出一个一般的结论？我们能否用几个字就将这个结论概括出来？通过本环节，引导学生得出结论：同侧同号。

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二元一次不等式组的解法与应用

二元一次不等式组的解法与应用

二元一次不等式组的解法与应用一、引言二元一次不等式组是数学中常见的问题之一，对于解不等式组以及应用于实际问题中具有重要的意义。

本文将介绍二元一次不等式组的解法，并探讨其在实际问题中的应用。

二、二元一次不等式组的解法要解决二元一次不等式组，我们可以通过图像法、代数法和线性规划法等多种方法。

接下来将详细介绍这些方法。

1. 图像法图像法是一种直观的解决二元一次不等式组的方法。

我们可以将每个不等式都转化为一个直线，并找出其解集的交集区域。

通过观察这个交集区域，我们可以得到不等式组的解。

2. 代数法代数法是一种基于代数运算的解决方法。

首先，我们需要将二元一次不等式组进行标准化，即将所有不等式移项并合并同类项。

然后，我们可以通过消元法或代入法来求解。

3. 线性规划法线性规划法是一种用于求解有约束条件的优化问题的方法，也可以应用于解决二元一次不等式组。

我们可以将不等式组转化为线性规划模型，并利用线性规划的理论和算法求解。

三、二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用。

以下是几个常见的例子。

1. 经济学中的应用在经济学中，我们经常会遇到一些涉及资源分配和约束条件的问题。

通过建立二元一次不等式组模型，可以帮助我们解决这些问题。

比如，某企业要通过生产两种产品来最大化利润，但存在资源限制和市场需求的约束，我们可以将这些条件转化为不等式组，并求解最优解。

2. 几何学中的应用几何学中的一些问题也可以通过二元一次不等式组来解决。

比如，某个区域内有一定数量的点，我们想要找到一个点，使得它到这些点的总距离最小。

我们可以将该问题转化为不等式组，并利用解不等式组的方法求解最优解。

3. 生活中的实际问题除了学科领域，二元一次不等式组也经常出现在我们的日常生活中。

比如，我们需要在一定的时间和金钱限制下，找到合适的方式安排旅行行程，或者在购物时选择最优的价格和质量。

通过建立二元一次不等式组模型，我们可以帮助解决这些实际问题。

二元一次联立不等式的图示

二元一次联立不等式的图示

(通常為x、y的一次式) 5. 求出可行解區域頂點所對應的目標函數
值，檢驗其最大值或最小值。
AB (ax1+by1+c)(ax2+by2+c) > 0 若 與L相交，則(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) ≤ 0
線性規劃
1. 線性規劃 2. 可行解與最佳解 3. 可行解區域 4. 線性規劃應用問題求解的一般步驟
線性規劃
「在數對(x , y)滿足一組二元一次聯立 不等式的條件下，求得一個二元一次 函數 f (x , y)的最大、最小值」的問題 ，稱為線性規劃問題。
及直線 L
二元一次聯立不等式的圖示
二元一次聯立不等式
的圖解為 右圖交叉線所覆蓋區域。 二元一次聯立不等式解的圖 形，就是聯立不等式中各不 等式圖形的共同部分。
點在直線的同側、異側
設直線L：ax+by+c=0及A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則 1. A 、B在L的異側
(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) < 0 2. A、B在L的同側
2 x 5 x y 8 x 3y 5
的可行解區域為右圖斜 線覆蓋區域。
線性規劃應用問題求解 的一般步驟
1. 將題目資料列成簡明的表。 2. 依題意列出限制條件，以聯立不等式表示。 3. 圖解限制條件(聯立不等式)，即畫出可
行解區域，並求出各頂點的坐標 。 4. 依題意列出目標函數 f (x,y)。
及直線 L 3. ax+by+c < 0的圖形表直線L的左側半平面 4. ax+by+c ≤ 0的圖形表直線L的左側半平面
解二元一次不等式组

解二元一次不等式组

解二元一次不等式组在学习数学中，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，有着重要的地位。

不等式组可以描述物理实际中非常复杂的问题，对于研究者来说，要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。

本文将介绍二元一次不等式组的概念、解法、应用等内容，以便更好地了解和掌握不等式组的相关知识。

首先，介绍一下什么是二元一次不等式组。

不等式组对于研究者来说是一个很有意义的概念，它指涉及两个未知量的不等式集合，一般表示为：a≤x≤b。

其中，a和b是实数，x是未知量。

另外，不等式组的解法还有几种，具体如下：（1）初等变换法：利用变量替换、交换变量、合并和分解等初等变换来解决不等式组。

（2）图解法：通过把不等式画在坐标系上，来求解不等式组的解。

（3）化为等式法：把不等式组化为一组等式，然后再解出未知量。

（4）解析法：通过解析，利用组合方法，将不等式组转换为方程组，得出未知量的解。

接下来，了解一下不等式组在实际应用中的意义。

不等式组在实际应用中有着重要的意义，比如：在社会科学领域，不等式组可以描述社会的关系；在经济学领域，不等式组可以用来分析宏观经济；在工程技术领域，不等式组可以用来求解工程模型；在控制理论领域，不等式组可以用来分析系统的稳定性等等。

总之，不等式组在实际应用中有着重要的意义，因此，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。

最后，就是本文的结论。

根据以上介绍，不等式组是一种重要的概念，它既可以用初等变换法、图解法、化为等式法、解析法等方法解，也可以在实际应用中描述物理实际中的非常复杂的问题。

研究者要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。

研究者可以利用不等式组把物理实际中复杂的问题进行描述和分析，从而更好地了解和掌握实际问题。

综上所述，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，在实际应用中有着广泛的用途，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。

二元一次不等式组知识点讲解及习题

二元一次不等式组知识点讲解及习题

第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。

（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。

（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。

（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。

（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。