命题与证明讲义

学生：黄伊凡科目：数学第阶段第次课教师：周青课题命题与证明教学目标了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。

会在简单情况下判断一个命题的真假。

理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。

了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

会根据一些基本事实证明简单命题。

通过实例，体会反证法的含义。

了解反证法的基本步骤。

初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

重点、难点掌握证明的一般步骤与格式考点及考试要求知识框架知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一称或名术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

这样公认为正确的命题叫做公理。

例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”知识点五：：定理要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

定理也可以作为判断其他命题真假的依据。

知识点六：真命题与假命题要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。

相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。

知识点七：证明要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。

（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）知识点八：假命题的判定要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。

知识点九：反证法要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法二、规律方法指导1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．3.反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理。

四、经典例题透析类型一：例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．思路点拨:通过本题熟悉命题的定义解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。

举一反三：【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a＜b，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的内角和等于180°；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。

举一反三： 【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【变式2】判断正误：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

（ ）(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

（ ）(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

（ ）(4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。

（ ）(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。

（ ）(6)如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角。

（ ）(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。

（ ）(8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

类型三：例、证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．” 思路点拨: 总结步骤：1．审题：分清命题的“题设”和“结论”．2．译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证．3．想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路．一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法．4．证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明．解析：已知：//a b ，a c ⊥，求证：b c ⊥证法(一)：∵a ⊥c ，(已知) ∴∠1=90°．(垂直的定义) ∵a ∥b ，(已知) ∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等) ∴∠2=90°，(等量代换) ∴b ⊥c ．(垂直定义)【变式1】求证：同角的余角相等．已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．求证：∠2=∠3．【答案】证明：因为∠2与∠1互为余角， ，(已知)所以∠2+∠1=90°， ．(余角定义)．(等量代换)则 ∠2=∠3．(等量减等量差相等)类型四：（使用反证法)例、已知：如右图，直线123,,l l l 在同一平面内，且12//l l ，3l 与1l 相交于点P .求证：3l 与2l 相交．思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。

解析：证明：假设， ，即 3l ∥ ，又∵12//l l （已知），∴ 过直线2l 外一点P 有两条直线1l ,3l 与直线2l 平行，这与“ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ”相矛盾，∴ 假设不成立，即求证的命题成立，∴ 3l 与2l 相交．【变式1】用反证法证明2不是有理数证明： ，则2可表示为2n m =（，为自然数，且互质） 两边平方，得222nm =∴222m n =由①知2m 必是2的倍数，进而 必是2的倍数．令2m p =代入①式 ②由②知，n 必是2的倍数m 和n 都是2的倍数，则m 、n 不互质， ，2不是有理数．【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日． 证明：所以这367人就会有不同的367天过生日这就出现了与 的矛盾．因此反设不成立。

所以“至少有两个学生在同一天过生日”五、学习成果测评 基础达标：选择题：1、下列语句不是命题的是（ ）A 、两点之间线段最短B 、不平行的两条直线有一个交点C 、x 与y 的和等于0吗？D 、对顶角不相等。

2、命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。

其中假命题有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、如图，△ABC 中，,BE 平分∠ABC ，，垂足为D ，如果，那 么的值为（ ）A 、2㎝B 、3㎝C 、5㎝D 、4㎝4、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）A 、一个角是45°的两个等腰三角形B 、两个等边三角形C 、腰长相等的两个等腰直角三角形D 、各有一个角是40°，腰长都为5㎝的两个等腰三角形 5、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A 、40°B 、100°或40°C 、100°D 、80 6、如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、∠ACD=∠B B 、CH=CE=EFC 、AC=AFD 、CH=HD7、在同一平面内,两条 直线可能的位置关系是（ ） A 、 平行B 、相交C 、平行或相交D 、 平行、相交或垂直8、如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，延长AE 交BC 于D ，则图中全等三角形共有（）A、1对B、2对 C 、3对D、4对填空题：9、把命题：三角形的内角和等于180°改写如果_________，那么__________；并找出结论_________。

10、命题的定义是：_________________________________________________。

11、判断角相等的定理（写出2个）_____________________________________，__________________________________________________________________。

12、判断线段相等的定理（写出2个）___________________________________，__________________________________________________________________。

13、写出下列假命题的反例：1）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。

__________2）相等的角是对顶角。

__________14、已知：如图，直线a,b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b证明：假设__________，则__________，（）这与__________相矛盾，所以__________不成立，所以a不平行b。

15、填空已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴________∥_________（__________）∴_______＝________（两直线平行，内错角相等），_______＝__________（两直线平行，同位角相等）∵__________（已知）∴______________即AD平分∠BAC（__________）一元二次方程复习。