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相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形知识讲义（第一课时）一： 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.二：相似变换 由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。
图形相似变换的性质 1.图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；2.图形相似变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫相似比。
三：相似三角形成比例线段一： 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． (3) 比例内项、比例外项、比例中项相关概念练习.下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm二: 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．《比例的性质》练习题一、填空题1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
相似三角形一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 （2）合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等.● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:B位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
初中相似三角形知识点一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边长成比例的三角形。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE、边BC与边EF、边CA与边DF之间的长度成同一比例。
二、相似三角形的标记在标记相似三角形时，我们通常使用一个字母来表示一个三角形，例如三角形ABC。
如果两个三角形相似，我们可以用一个比例系数（通常用字母k表示）来标记它们的对应边。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么我们说三角形ABC与三角形DEF相似，并且边长比例为k。
三、相似三角形的性质1. 角的对应性：相似三角形的对应角相等。
2. 边的成比例性：相似三角形的对应边成比例。
3. 面积的比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
即，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比为k，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k^2。
4. 周长的比例：相似三角形的周长比也等于它们边长的比例。
四、相似三角形的判定1. 三角形相似判定定理：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
2. 边角边（SAS）判定定理：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形相似。
3. 边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的所有对应边分别成比例，那么这两个三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形的概念在解决实际问题中非常有用，例如在测量、建筑、设计和其他领域。
通过使用相似三角形的性质，我们可以解决涉及长度、面积和角度的问题，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
六、练习题1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm，DE = 3cm，求EF的长度。
2. 如果三角形PQR的面积是24平方厘米，并且与三角形ABC相似，且三角形ABC的面积是144平方厘米，求三角形PQR的边长。
相似三角形分类整理(超全)第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A D aB E bC F cAB DE AB DE BC EF BC EF AB BC或或或或可得BC EFEF AC DF AB DF AC DF DE等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB CAD AE BD EC AD AE或或由DE∥BC 可得：ACDB EC AD EA AB.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果abcd，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d 都不等于0），那么abcd。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②合比性质：如果abcd，那么a b cdbd。
③等比性质：如果abcd= ???=mn(b+d+ ???+n≠0)，那么abcd??????mnab2＝ad.④b 是线段a、d 的比例中项，则 b典例剖析例1：①在比例尺是1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若ab =23则a bb=__________.③若a2a 2bb=95则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
例如，三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'，并且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形ABC 相似于三角形A'B'C'，记作“三角形ABC ∽三角形A'B'C'”。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么可以得出三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
比如在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。
比如三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
2、相似三角形的对应边成比例。
若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，就有 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'。
ECDAF BABC E DABCE D 相似三角形知识讲义一．相似三角形的概念及特征 二．相似三角形的性质（功能） 三．常见的相似三角形1.如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD = ．2、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC // 且1ADE DBCE S S :=:8, 四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 23、如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点, 作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -4、如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．11 : 205、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长A E CB D DCBAA B C D OGABDCOD PAEF CB四．相似三角形的应用1、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°， 过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm 2. ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一 动 点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．CBA O y x图1DM 3、在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S ＝36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．A BDEFC OMNxy图2O 1A 1O y xB 1C 1DM。
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△与△相似，记作: △∽△。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：〔1〕相似比是有顺序的。
〔2〕对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比拟容易找到相似三角形的对应角和对应边。
〔3〕顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，假设△∽△，相似比为k，那么△与△的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系〔1〕两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
〔2〕两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
〔3〕二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段分成两条线段和，使2·，叫做把线段黄金分割，C 叫做线段的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b c dad bc =⇔=②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理〔1〕平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.〔2〕推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由∥可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.〔3〕推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.〔4〕定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边长度之比相等。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用1、测量高度在测量一些无法直接测量高度的物体时，如大树、高楼等，可以利用相似三角形的原理。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的位置，立一根已知长度的标杆，然后测量标杆的影子长度和大树的影子长度。
由于太阳光线是平行的，所以标杆和大树与各自影子构成的三角形相似。
设标杆长度为 a，标杆影子长度为 b，大树影子长度为 c，大树高度为 h，则根据相似三角形的性质可得：a/b ＝ h/c，从而可以计算出大树的高度 h ＝ ac/b。
2、测量距离在测量一些无法直接到达的距离时，也可以运用相似三角形。
比如，要测量一条河流的宽度，在河的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达 A 点的点 B，接着在河的这一侧再选一点 C，使得AC 垂直于河岸。
测量 AC 和 BC 的长度，以及角 BAC 的大小。
因为三角形 ABC 和三角形 ABD（D 为过点 C 作与 AB 平行的线与对岸的交点）相似，所以可以通过相似三角形的性质计算出河流的宽度 BD。
3、计算角度在一些几何问题中，通过相似三角形可以计算出某些角度的大小。
例如，在一个复杂的图形中，如果能够找出相似三角形，根据已知角的大小和相似三角形对应角相等的性质，就可以求出其他角的度数。
4、地图比例尺地图上的比例尺也是基于相似三角形的原理。
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的性质一、知识点讲解1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析(一)相似三角形对应线段的比例1如图，i∆ABCs^k A'B'C',相似比为k,AD、N D z分别是边BC、B'C'上的中线，求证:AD, =K OA,D,变式练习：1、∆ABC</>∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心，假设BC=IoCm,B zC f=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()16 21 35A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 32、如图，在aABC中，点D在线段BC上，且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O5 6 6 10A、—mB、—m C^—m D、一tn6 7 5 34、如下图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点，F为BC的中点，NDCB=30°,求DE：DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比例2如图，在正方形网格上有ZXABC和4DEF0(1)求证：^ABC S∕∖DEF;(2)计算这两个三角形的周长比；(3)根据上面的计算结果，你有何猜测？变式练习：1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2：3,那么S MB C：S ADEF为0A、2：3B、4：9C、72:73D、3：2ΔΓ)12、如图，在AABC中，DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2AE1 A、 --- =—AC2DE 1 ZXADE的周长 1 ZXADE的面积 1 B、= Cx ,. ,—Ds —BC 2 4ABC的周长 3 ZXABC的面积 3第2题第3题第4题第5题3、如图，在aABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC,且那么aADE的周长3与aABC的周长之比为。
1．相似三角形相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。
为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例。
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
另外，相似三角形具有传递性（性质）。
注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
思考问题：（1）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？2．相似比的概念相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。
注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。
②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。
教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合5．2节例6定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的。
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，除教材中两种情况外还有如左图所示的情形，它可以看成 BC截△ADE 两边所得，其中BC//DE，本质上与右图是一致的。
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现的错误，如出现错误，教师要及时予以纠正。
（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置。
相似三角形的判定与性质讲义一、比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.A此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。
证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。
这就是勾股定理的结论。
判断相似三角形的几条思路：1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。
（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。
5条件中若∴ △BCE ∽△ACB ． ∴BC AC CE BC ， ∴BCACCD BC2 ∴BC 2＝2CD ·AC ．针对练习：证法二（构造2AC ）：证法三（构造BC 21）： 典型例题．如图，AD 为ABC 的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E ，AD CF 于F ，BF ，EC 的延长线交于点P ，求证：AP CF //证明AD CF ，AD BE ， 90CFA BEA ，BE CF //. PECP BE CF 又 CAF BAE ， ABE ∽ACF AF AE CF BE ， 即AE AF BE CF . AE AF PE CP AP CF //针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？ 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。
针对练习：如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AGAF；AA BCDE（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。
求多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC 与CAD 中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1: EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1 ADE S 。
求BCE S 和AEF S解答： BC DA //， ADE ∽BCE 22::BE AE S S BCE ADE又 2:1: BE AE ， 4:1: BCE ADE S S1 ADE S ， 4 BCE SBC EF //， AEF ∽ABC AB AE BC EF :: 2:1: EB AE ， 3:1:: AB AE BC EF又 ADE ∽BCE ， 2:1: BC AD ，AD BC 2 3:2: AD EF EF AD //， ADE 与AEF 等高3:2:: AD EF S S ADE AEF 32AEF S针对练习．如图，已知，在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若COD 的面积为2a ，AOB 的面积为2b ，其中0 a ，0 b .求：梯形ABCD 的面积S典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为2cm 36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：如图，ABC 中， 90A ，AC AB ，内接矩形DEFG由等腰直角三角形和矩形的性质，得FC GF DE BE 2:5: DE EF ，2:5:2:: FC EF BE设AB 为x ，则36212x S ABC由勾股定理得222x BCD C M P N Q A BADEF1442 BC12 BC38129292 BC DE320129595BC EF 矩形DEFG 面积)cm (9717320382漏解：如图所示的情况时，2:5: EF DE ，同理可得2cm 10 DEFG S 矩形针对练习1：如图所示直角ABC 中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。
试比较这两种情况中正方形的大小。
针对练习2：AD 是ABC 的高，E 是BC 的中点，BC EF 交AC 于F ，若15 BD ，27 DC ，45 AC ，求AF一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ， 以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，ABCDE F G 1234（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ） A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米课堂练习练习题1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 2.如图2,AD ∥EF ∥BC,则图的相似三角形共有_____对.3.如图3,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BM ⊥CE,AB=6,CE=35 ,则BM=______.4.ΔABC 的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC ∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4:: c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：155.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.6.如图4,RtΔABC 中,∠C=900,D 为AB 的中点,DE ⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC 的面积为__________.7.如图5,RtΔABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.8.如图6,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,EF 垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______.10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S四边形DFGE ∶S四边形FBCG=_________.14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE-=________.15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.16.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:AB·BC=AC·CD.17.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。
