发散思维

发散思维与数学教学
金龙小学 李海军
内容提要：中学数学教学的根本目的是培养学生的正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和想象能力、分析问题和解决问题的能力,使学生的思维能力得到充分的发展,为培养学生的创新思维和创新能力奠定坚实的基础。

为了更好地培养学生的创新思维能力,激发学生积极主动地创新,就必须充分重视学生发散思维能力的训练和培养。

关键词：发散思维 兴趣性 灵活性 习惯性
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

中学数学教学的根本目的是培养学生的正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和想象能力、分析问题和解决问题的能力,使学生的思维能力得到充分的发展,为培养学生的创新思维和创新能力奠定坚实的基础。

教育心理学认为:创造性思维有赖于发散思维和集中思维的协调结合。

集中思维是人们依据已知信息、问题求得唯一或最佳方案的思维。

发散思维是指考虑问题时,没有一定的思考方向,可以突破固有的知识结构和认知框架、自由思考、任意想象,从而获得大量的设想,提出多种多样的想法和做法。

简单的说,发散思维是不依常规,寻求变异,从多方面寻求问题答 案的思维方式。

一般来说,设想愈多,发散量愈大,创新出现的概率也愈大。

可见,创新思维更多的是和发散思维结合在一起的,思维的创新水平更多的是通过思维的发散水平反映出来的。

发散思维是创新思维的核心,是测定创新力的主要指标之一。

因此,为了更好地培养学生的创新思维能力,激发学生积极主动地创新,就必须充分重视学生发散思维能力的训练和培养。

那么怎样对学生发散思维能力进行训练和培养呢？我个人认为要注意以下个方面。

一、抓好双基训练,激发发散思维的兴趣性
课堂教学是教师有目的、有意识地对学生进行传授知识、培养能力的活动。

教师在上课前，要认真备课、精心设计，要认真学习中学数学新课程标准,精心钻研教材,把握教材的重点、难点,明确教材在哪些地方要引导和培养学生的发散思维能力。

在日常的教学活动中,要从抓学生的基础知识和基本技能入手,不断优化课堂结构,营造良好的教学氛围,针对课堂教学内容精心设计教学范例,采用一题多解、一题多变和改变条件编造问题等方法,引导学生理 解基本概念,反复记忆数学法则和公式,并启发学生积极思考,认真讨论,踊跃回答问题,积极主动地发表自己的见解。

学生回答的问题无论正确与否,教师都要鼓励其积极思考的热情,既要因势利导肯定成绩,又要由浅入深,耐心诱导。

对学生一时难以理解的问题,教师要给学生思考的时间，并适当降低难度,减缓坡度,悉心指导,认真答疑解惑。

让学生在主动、热情的学习氛围中,学习知识,活跃思维,提高分析问题、解决问题的能力。

例如，在学习平方差公式22))((b a b a b a -=-+时,可以由浅入深、由易到难、由正而反地设计练习题：
（1）（2x-5）(2x+5)=
(2) )23)(23(2
2n m n m -+=
(3) (a-b+c)(a-b-c)=
(4) 22y x -=
（5）298×302=
又如：在学习运用勾股定理解决实际问题时，讨论从正方体一个点到相对的另一个点怎样走最近，教师最好准备正方体模型，把正方体展开，根据“两点之间，线段最短”连结，可（1）最短路线有几条？（2）这些路线有什么关系？
（3）怎样计算最短路线的长度？（4）如果是长方体呢？、、、、、、这样，由一个小小的提示，给学生打开一片开阔的视野。

二、克服思维定势,培养发散思维的灵活性
思维的灵活性是指思维过程的多样性和多面性,它是发展创造性思维的一个条件,它表现为对问题能够迅速、全面、正确地作出判断,从而灵活地找出解决问题的各种办法。

在数学教学中,讲了一种类型的题目以后,教师往往喜欢用大量的同类型的题目给学生练习,这对巩固知识,形成技能来说当然是必要的。

但是,这样做也会带来一定的副作用。

因为在这种练习中,用的是同一思路、同一方法,解决的是同一类问题,这就容易产生固定不变的思维模式或思维框架,造成心理上的思维定势。

这对我们培养思维的发散性和创新性是极为不利的。

所以教师在教学过程中经常在概念、法则、思路等方面做一些变式和变形的练习,做一些类比和对比的训练,以消除学生思维定势的消极影响。

例1, 己知两个同心圆（如图1），其中大圆半径为7，小圆半径为5，
大圆的弦AD 与小圆交于点B 、C ，则AB•BD 的值是
解法一：（分析：若要从“相交弦定理”入手，就必须过点B 作大圆的
直径）. 如图2，过点B 作大圆直径EF ，交小圆于点G ，由相交弦定理
得AB•BD=BE•BF=（7-5）（7+5）=24.
解法二：（分析：若要应用“割线定理”，应过点D 作大圆的直径）.
如图3，过点D 作大圆的直径DE ，交小圆于F 、G.由割线定理有
D B•DC=D F•DG=（7-5）（7+5）
=24；再说明 AB=CD ，所以AB•BD=AB•AC=24.
解法三：（分析：若要应用“切割线定理”，就必须过点A 作小圆的切
线）.如图4，过点A 作小圆的切线AE ，切点为E ，连结OE 、OA ，则
OE ⊥AE ，可求222OE AO AE -==24，AB•AC= 2AE =24；由解法
二可知AB•BD=AB•AC ，故AB•BD=24.
此题考查了学生对“和圆有关的比例线段”这节知识的灵活应用。

利用不同的解题依据得到不同的解法，既系统地复习了“和圆有关的比例线段”的全部内容——相交弦定理、割线定理、切割线定理，又培养了学生分析、探索问题的能力.其中解法一应用相交弦定
理而直接得出AB• BD的值，方法较为简便.对于一道题的分析，因考
虑的角度不同，而得到不同的解法及解题依据，这是几何题一题多证的
特点，从而对基础知识有效地复习，激发思维火花，培养了学生探索问
题的能力和解决问题的能力.
例2：如图5，已知AB是⊙O的切线,切点为B,OA交⊙O于D,连
结BD,
BC⊥AO于点C,求证:∠1=∠2.
分析一:利用条件(AB是⊙O的切线)的方法有多种,若要利用“弦切
角定理”证明此题,就必须作出所对的圆周角，作法有如下三种：
证法一：如图6，延长AO交⊙O于点E，连结BE，则∠2=∠E，
∠DBE=90°，又∠1+∠BDE=90°，∠E+∠BDE=90°，所以∠1=
∠E，故∠1=∠2.
证法二：如图7，延长BC交⊙O于点E,连结ED，由弦切角定理可
得∠2=∠E；又由垂径直定理可知∠1=∠E，故∠1=∠2.
证法三：如图8，连结BO并延长BO，交⊙O于点E，连结DE，由
弦切角定理可得∠2=∠E=∠ODE；又∠ODE+∠CDB=90°，∠1+∠
CDB=90°，所以∠1=∠ODE，从而可得∠1=∠2.
分析二：若要使条件（AB是⊙O的切线）满足“切线的性质定理”，就
必须过切点B作⊙O的半径.
证法四：如图9，连结OB，由切线的性质定理可得OB⊥AB，即∠A+∠O=90°，又∠OBC +∠O=90°,则∠OBC=∠A.又因为∠A+∠2=∠ODB =∠OBD=∠OBC+∠1，所以∠1=∠2.
分析三：利用条件（AB是⊙O的切线），若从“切线长定理”入手，则必须再作一条切线与切线AB相交.
证法五：如图10，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，则∠2=∠BDE，DE⊥OA，因为BC⊥OA，所以CB//DE，因而可得∠1=∠BDE=∠2.
此题的三种分析及五种证法，既有效地复习了“切线有关的性质”——切线的性质定理、弦切角定理、切线长定理，又提高了学生应用切线性质的能力，培养了学生思维的广阔性和灵活性.同时，通过多种解法的比较，提炼出最佳解法，从而达到优化学生解题思路的目的.
三、开拓学生视野,养成发散思维的习惯性
著名心理学家吉尔福特认为,发散思维就是要不拘一格地去分析、研究问题,寻求解决的最佳方法。

教师在课堂教学中,要从学生的年龄特征和接受能力出发,从数学教学的概念、语言、问题以及问题的条件、方法、情节等方面进行全方位的拓展和发散。

数学的概念教学中,要在尽量让学生弄清概念的内涵的情况下,多举实例让学生能说出属于某一概念的外延中的
事物,同一个问题用不同的语言去描述,尽量从多角度,多方面去探讨,从而开拓解题思考,学会分析、研究问题的方法,要选择学生熟悉的典型材料,精心指导学生,通过实物感知、观察,并用听、闻、尝等行之有效的方法去亲身感受,从而得到理性上的启发和联想,使思维活动更加深刻、更广泛。

例如，在学习勾股定理时，教师可以从古人证明勾股定理开始，介绍人们认识勾股定理的历程，并指导学生去了解除教材介绍的勾股定理证明方法外其他的证明方法，；并引导学生用勾股定理去解决一些实际问题，从而开阔学生的视野，养成学生发散思维的习惯。

使学生视野远大,心胸开阔,思维活跃,学习主动,逐步达到培养学生的创新性和实践性之目标
总之,在课堂教学中,教师只要牢记中学数学新课程标准的要求,坚持以人为本,不断转变教育观念,充分尊重学生的个性,信任学生,做学生的知心朋友。

抓住学生的个性特征,狠抓“双基”训练,与学生密切配合,诱发学生的学习动机,克服学生一贯的思维定势,充分调动学生学习的积极性、主动性,坚持激发学生的思维热情,培养学生思维的灵活性、灵敏性和独创性,学生的思维能力一定会得到不断提高。