高中数学人教B版选修2-2 第一章1.1.3 导数的几何意义 课件(共16张PPT)

x
【解析】y′|x=1=f′(1)=
lim
x0
y x
lim
x0
f
1 x
x
f
1
1 1 lim 1 x lim
1
1,
x0
x
x0 1 x
则切线方程为y－1=－(x－1)，即x+y－2=0.
【答案】x+y－2=0
类型二：求切点的坐标 求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
课堂探究
类型一：求切线方程 1.求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的三个步骤 （1）求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即切线的斜率 （关键词：斜率）. （2）根据直线的点斜式方程，写出切线方程: y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)（关键词：写方程）. （3）化简直线方程成一般式（关键词：化简）.
1.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通 过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
重点难点
1.本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 2.本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.
基础梳理
1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_斜__率__. （2）相应的切线方程：___y_-_f(_x_0_)=_f_′(_x_0_)(_x_-x_0_)_y____f___x____l_ixm _0__f __x____x_x___f__ _x_ __.

数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.3 导数的几何意义
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[思路点拨]
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用

x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
练习2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:(1)①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
y
y=f(x)
Q
割 线
T P
切 线
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.

1．知识与技能 理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．
2．过程与方法
经历导数几何意义的学习过程，感受极限思想，体会用 导数的几何意义求曲线的切线方程的方法，体会用导数的几 何意义分析图象上点的变化情况的方法． 3．情感态度与价值观
通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步认识数
学的科学价值，发展理性思维能力.
[ 分析] 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求
出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐 标．
[ 解析]
fx＋Δx－fx f′(x)＝Δ lim x→0 Δx
x＋Δx2－x2 ＝Δ lim ＝2x. x→0 Δx 设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
－1 1 ＝Δ lim ＝－ 2， 2 x→0 x ＋xΔx x 1 ∴切线的斜率k＝y′|x＝ ＝－4. 2 1 ∴切线方程为y－2＝－4x－2， 即4x＋y－4＝0.
求切点坐标
在曲线y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135° 的倾斜角．
义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与 曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．
已知曲线 y ＝2x3 上一点 A(1,2) ，则点 A处的切线斜率等于 ( ) A．2 C．6＋6Δx2 [答案] D B．4 D．6
[ 解析]
∵y＝2x3，
2x＋Δx3－2x3 Δy ∴y′＝Δ lim ＝Δ lim x→0 Δx x→0 Δx Δx3＋3xΔx2＋3x2Δx ＝2lim Δx→0 Δx