湖北省武汉市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

湖北省武汉市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383 B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C 【解析】 【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。

2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩ . ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A 51 B ．2C 3D 5【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴51e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.A ．12B ．1-C ．±1D ．12±【答案】C 【解析】 【分析】 设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.5．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A 【解析】方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 6．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】 解：22x a ≤，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.7．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） AB．C D ．5由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则221x y +=，从而()()()()222223221232x y x y +++-=+++-+-a c a b c()()()22222234132x y x y x x y =++++++-+-()()()2222222325229x y x y =+++-+-≥+=，等号可取到．故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 8．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=∴+=∴=±>∴=，选B.9．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEFSEF BB =⨯⨯=为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且tan 3AGAEG GE∠===，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 10．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 11．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ） A ．12,p p B ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.1(,),25,x y D y x p ∀∈-为真命题；2(,),22,x y D y x p ∃∈-为真命题；34,p p 为假命题.故选：A【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 12．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B ．223C ．22D ．13【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【详解】显然直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭过抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭如图，过A,M 作准线的垂直，垂足分别为C ，D ，过M 作AC 的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF ，AC=AF ，又AM=MN ，所以M 为AN 的中点，所以MD 为三角形NAC 的中位线，故MD=CE=EA=12AC 设MF=t ，则MD=t ，AF=AC=2t ，所以AM=3t ，在直角三角形AEM 中，2222922AM AE t t t -=-=故选：C 【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖北省武汉市高考数学质检试卷（4月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ，B 满足{1A B =，2，3，4，5，6}，{2AB =，4}，{2A =，3，4，5}，则(B = ) A ．{2，4，5，6}B ．{1，2，4，6}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4}2．（5分）复数z 满足|1|||z i z +-=，若z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y ++=D ．10x y +-=3．（5分）设0.2log 0.3a =，2log 3b =，4log 6c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．（5分）被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献．我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示．如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“〇”表示．按照李治的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂．如图2所示表示方程为327203364184883200x x x x++++=．根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为( )A ．43-和52-B ．56-和4-C ．53-和2-D ．203-和12- 5．（5分）已知平面向量||3a =，||2b =，()8a a b ⋅-=，则cos a <，(b >= ) A ．13B 6C ．16D ．236．（5分）一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A ，直线1AF 与双曲线的另一个交点为B ，若1||3BF =，2||5AF =，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．53C D 8．（5分）在四棱锥P ABCD -中，3DC AB =，过直线AB 的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC 交于点E ，则(PEPC= )A ．12B C D ．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省荆门市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.2．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u ur ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ,依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.3．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．5．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.6．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②， 由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 7．若圆锥轴截面面积为360°，则体积为( ) A 3B ．6 C 23D 26【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，123232r r ⨯=2r = 所以圆锥的体积2133V r r π==26. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 8．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.9．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．10．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A．25B．1325C．35D．1925【答案】D【解析】【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有223133 535233 2222C C C CA A A A+150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P=-=.本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度. 11．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断. 【详解】51212z i i==-+Q ，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得,12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知()1212||||||22p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 3．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.4．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B ．51RQ + C 51RD - D 51- 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】 解：515122AT ES SD SR RD QR -+-=-==. 故选：A本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．5．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <，函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．7．已知三点A(1,0)，B(0，3 )，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213C ．253D ．43【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】选B.考点：圆心坐标8．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 10．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．e C ．24e D ．21e 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，()()xg x f e=，由()()()120f x g x k k ==<可得出101x<<，20x <，利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，进而可得出21xx e =，由此可得出()22221x x x g x k x e ===，可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解.【详解】()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x-'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8- C ．4 D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)xy ax e =+，所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．)1±C ．)1±D ．【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖北省武汉市高考数学质检试卷（3月份）一、选择题（共8小题）.1．复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．实轴D．虚轴2．“tanθ＝”是“sin2θ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a＝30.5，b＝40.4，c＝50.3，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b4．已知正整数n≥7，若（x﹣）（1﹣x）n的展开式中不含x4的项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（）A．B．C．D．6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B．C．D．17．过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若△ACF与△BDF的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1 B．±C．±2 D．±28．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁AUB A10．已知函数f（x）＝，则有（）A．存在x0＞0，使得f（x0）＝﹣x0B．存在x0＜0，使得f（x0）＝x02C．函数f（﹣x）与f（x）的单调区间和单调性相同D．若f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，则x1+x2≤011．两个等差数列{a n}和{b n}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为S n和T n，则下列命题中正确的是（）A．若{}为等差数列，则d1＝2a1B．若{S n+T n}为等差数列，则d1+d2＝0C．若{a n b n}为等差数列，则d1＝d2＝0D．若b n∈N*，则{a}也为等差数列，且公差为d1+d212．设函数f（x）＝e2x﹣8e x+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（）A．﹣ln2 B．ln2 C．ln4 D．ln5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，113QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B．(2⎤⎦C．12⎛⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m的取值范围,进而求得()222422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ；由11QF PF ≥,1m n≤<,由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得()222mn a c=-②,由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m ,令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以1432,3t v v ⎛⎤=+∈ ⎥ ⎝⎦, 即()222443232c a c <≤-, 所以()22222233a c c a c -<≤-, 所以()22223113e e e -<≤-, 所以214232e <≤-, 解得2312e <≤-. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.2．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.3．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ． 4．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.6．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 7．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2）于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.8．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，21[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，即22214(6)(4)2642c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．10．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．11．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 12．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故选：D 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄冈市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．CD ．5 【答案】A【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可．【详解】 解：55(34)4334255i i i i z i +-+===-，1z ∴==，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．2．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】 ()()()()32122111111i i i i i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.3．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002x x+=，解得()10021x =； 且满足2100y x =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米. 故选：B【点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．23π 【答案】A【解析】【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 【答案】C【解析】【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围.【详解】 {}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒ 【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =±C ．y =D ．y =【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】Q 双曲线2212y x -=,∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.8．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】【分析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k ≥，解得9k ≥． 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52【答案】C【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-， 因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C.【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.10．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=， ∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=， ∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-， 当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．12．过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r ，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．2+C ．2或2D ．21 【答案】A【解析】【分析】 利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线y 为圆2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0设PQ 与曲线y =Q ， 则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB =1sin 2APO ===∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30-=-==+⨯o oo o oo o 故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。