2007年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

2007年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A．3 B．5 C．6 D．102．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A．B．C．D．3．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且xQ}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′m⊥n；②m⊥nm′⊥n′；③m′与n′相交m与n相交或重合；④m′与n′平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）若数列{a n}满足（p为正常数），则称{a n}为“等方比数列”．甲：数列{a n}是等方比数列；乙：数列{a n}是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于（）A．﹣1 B．xOy C．D．8．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．72条D．78条二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a= ；b= ．12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是．（写出一个有序实数对即可）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为．14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2的最大值与最小值．17．（12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py （p＞0）相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．21．（14分）已知m，n为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．2007年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．【解答】解：由展开式通项有=C n r3n﹣r（﹣2）r x2n﹣5r由题意得，故当r=2时，正整数n的最小值为5，故选项为B【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．2．（5分）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选A法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．故选A．【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C．为简单题．3．（5分）【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且xQ}，求出P﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且xQ}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．4．（5分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：∵AC⊥BD但A1C，BD1不垂直，故①错；∵A1B⊥AB1但在底面上的射影都是AB故②错；∵AC，BD相交，但A1C，BD异面，故③错；∵AB∥CD但A1B，C1D异面，故④错故选D【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．5．（5分）【考点】极限及其运算．【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．【解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，则，可见应选C法二∵∴（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]令，m分别取p和q，则原式化为∵，所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）故选C．【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D．6．（5分）【考点】数列的应用．【分析】由题意可知，乙甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．【解答】解：由等比数列的定义，若乙：{a n}是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列{a n}是等方比数列，即即公比不一定为q，则命题乙不成立，故选B【点评】本题是易错题．由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C7．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|MF1|和|MF2|，代入答案可得．【解答】解：由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得故原式=，故选A．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性．8．（5分）【考点】等差数列的前n项和．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n ∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．9．（5分）【考点】数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．【点评】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．（5分）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A【点评】本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．是较难问题．易错点：不能准确理解题意，甚至混淆．对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）【考点】反函数．【分析】本题考查对互为反函数的两个函数关系的理解，可有两种方法，其一，求出y=2x﹣a的反函数令其与y=bx+3的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，取特殊点求解．【解答】解：法一：函数y=2x﹣a的反函数为y=x+a，与y=bx+3对照可得a=6，b=法二：在y=bx+3上取点（0，3），得点（3，0）在y=2x﹣a上，故得a=6；又y=2x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=bx+3由此可得a=6，b=答案：a=6；b=【点评】本题主要考查反函数的概念及其对称性的应用．直接求反函数也可，较为简单．该题的易错点：运算错误导致填写其他错误答案．12．（5分）【考点】复数的基本概念．【分析】本题主要考查复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题．在解答过程中要注意本题的易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出a=2b，不合题意要求．【解答】解：由复数运算法则可知z2﹣4bz=a2﹣b2﹣4ab+（2ab﹣4b2）i，由题意得2ab﹣4b2=0（b≠0），∴a=2b（a≠0，b≠0），则有序实数对（a，b）可以是（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对故答案为：（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．13．（5分）【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点时，z取得最小值为；故答案为：【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域②求出可行域各个角点的坐标③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优解．14．（5分）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．【解答】解：∵由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次∴本题是一个独立重复试验∴所求概率故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率，直接用公式解决．易错点是把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性．15．（5分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得k，得到直线方程；当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．（2）根据题意可知y≤0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．【解答】解：（I）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，∴k=10；同理，当t＞0.1时，可得（II）由题意可得，即得或或t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出θ的取值范围；（Ⅱ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f（θ）=2sin2为一个角的一个三角函数的形式，根据（Ⅰ）的范围，求出函数的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴．（Ⅱ）====．∵，，∴．即当时，f（θ）max=3；当时，f（θ）min=2．【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．17．（12分）【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（I）条件的表中给出了分组和频数，要完成频率分布表，需要把频率做出来，列出频率分布表，写上每一个频数对应的频率．（II）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10，而要求的纤度小于1.40的数据有一部分需要把一个分组分成两部分，使得这两部分的概率相等，得到结果．（III）要做纤度的期望，需要有各组数据的平均值，同一组数据常用该组区间的中点值做平均值，利用期望的公式，写出这组数据的期望．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，纤度小于1.40的概率约为．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．【点评】本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．18．（12分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】法一：（Ⅰ）要证平面VAB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．求出，使得直线BC与平面VAB所成的角为．法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD．（Ⅱ）求出平面VAB的一个法向量，利用，求出使得直线BC与平面VAB所成的角为的θ的值．【解答】解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意，所以在Rt△CHD中，；在Rt△BHC中，，∴，∵，∴，故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，于是，，，．从而，即AB⊥CD．同理，即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z）则由，得可取，又，于是=，即，∵，∴，故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），，，，，于是，，．从而，即AB⊥DC，同理，即AB⊥DV．又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），则由得取n=（tanθ，0，1），又，于是，即．又∵，∴．故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．【点评】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力19．（12分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B （x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx ﹣2p2=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x ﹣0）（x﹣x1）﹣（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．【解答】解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得，消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p2．于是==，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为（）．∵，，∴|PH|2=|O'P|2﹣|O'H|2==，∴|PQ|2=（2|PH|）2=．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．从而，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x ﹣0）（x﹣x1）+（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则|x1﹣x2|2=．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），则有．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．【点评】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．20．（13分）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F （x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）﹣g（x）大于等于0，得证．【解答】解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．∵f'（x）=x+2a，，由题意f（x0）=g（x0），f'（x0）=g'（x0）．即由得：x0=a，或x0=﹣3a（舍去）．即有．令，则h'（t）=2t（1﹣3lnt）．于是当t（1﹣3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；当t（1﹣3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．故h（t）在为增函数，在为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为．（Ⅱ）设，则F'（x）=．故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）﹣g（a）=a2+2a2﹣3a2lna+a2﹣3a2lna=0，故当x＞0时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．21．（14分）【考点】用数学归纳法证明不等式；数学归纳法．【分析】解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；（Ⅱ）对于n≥6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2…，n；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3n+4m+…+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数n．解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．【解答】解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，x≠0时，证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得，于是=，m=1，2，n．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，，∴．即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立；当n=2时，32+42=52，等式成立；当n=3时，33+43+53=63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n只有n=2，3．解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x＞﹣1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx．①（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，因为x＞﹣1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵，∴，而由（Ⅰ），，∴．（Ⅲ）解：假设存在正整数n0≥6使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得=，与②式矛盾．故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．下同解法1．【点评】本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．注意放缩法的应用．。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案选择题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1.B2.A3.B4.D5.C6.B7.A8.D9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分25分。

11.6；12.（2，1）（或满足a=2b的任一组非零实数对（a,b））13.- 14. 15. ；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16.本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。

解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,则由.(Ⅱ) ＝即当.17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.分组频数频率4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合计100 1.00 （Ⅱ）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+ ×0.30＝0.44. (Ⅲ)总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02＝1.4088.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.解法1：（Ⅰ）是等腰三角形，又D是AB的中点，又(Ⅱ)过点C在平面VD内作CH⊥VD于H，则由（Ⅰ）知CH⊥平面V AB.连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角在Rt△CHD 中，设,即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.解法2：（Ⅰ）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D( )，从而同理＝即又(Ⅱ)设直线BC与平面V AB所成的角为φ,平面V AB的一个法向量为n=(x,y,z)则由n·19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py 联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是=(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则= 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得＝又由点到直线的距离公式得.从而，得可取于是.即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.解法：（Ⅰ）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如衅所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,- )，于是∴平面V AB⊥平面VCD.(Ⅱ)设直线BC与平面V AB 所成的角为，平面V AB的一个法向量为则由得可取厂是又0 即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）解法4：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D( )，设V(0,0,t)(t>0).(Ⅰ) 即又(Ⅱ)设直线BC与平面V AB所成的角为设n(x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量，则取z=a,得x=y=t,可取于是即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立.(Ⅱ)证：当n≥6,m ≤n 时，由（Ⅰ）得于是( Ⅲ) 解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，3≠ 4 ，等式不成立；当n=2时，32+42＝52，等式成立；当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x ≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.综上所述，所证不等式成立.(Ⅱ)证：当而由（Ⅰ），（Ⅲ）解：假设存在正整数成立，即有（）+ ＝1.②又由（Ⅱ）可得（）+ + 与②式矛盾，故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.下同解法1，（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有令为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线.20. 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学。

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；VAx（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．样本数据18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 22a aVD θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥． 同理2211(0)tan 0022222a aABVD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··． ADBCHV得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x yz =，，n，则由00AB DV ==，··n n ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，．可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin sin 2BC a BC θϕθ===n n ···，π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CBa =，，， A于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，． 12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--，222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm mm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤．（Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ②又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。

“黑水湾”变了今天星期六，我来到外婆家。

外婆见了我总是非常高兴，看见我胖墩墩的模样，当然乐得合不拢嘴。

今天，我一到外婆家，刚放下沉甸甸的书包，汗珠还没来得及擦，外婆就急匆匆的一个劲地把我往门外拉，嘴里还不住地自言自语道：“我晓得你是从东头进村的。

今个，我一定要带你去看看西边的黑水湾……”“啊！”看着外婆那眉飞色舞的样子，我不由得大吃一惊。

一说起黑水湾，我浑身就起了一层鸡皮疙瘩。

那个塘啊，四周低，中间高，好像一只埋在泥土里的大乌龟。

黑水湾由于缺乏管理，高的部分被一堆堆碎石乱瓦，一簇簇菜皮烂叶占领了；低洼处积满了脏水，一些死掉的小狗小猫也总爱悄悄靠上来，寻找它们的同伴。

一到夏天，只要有人走过，一群苍蝇一哄而起，简直就是黑压压的一片。

夜幕降临，蚊子猖狂的嗡嗡声犹如飞机轰鸣。

每当人们绕道而行或掩鼻而过的时候，他们总要叹息道：“唉，这黑水湾啥时才能换个样呢？”转眼间，我们已经来到了昔日的黑水湾塘，却不见了它旧时的踪影。

展现在我们眼前的是一个大爱心形的大花坛，里面栽起了清翠高雅的石竹，种上了挺拔高大的雪松，还扦插了瑰丽多姿的月季。

它们娇美的风姿，吸引了许多人驻足观赏。

外地来参观学习的人们都不约而同地举起了照相机，对准了这块曾是垃圾成堆、蚊蝇乱舞，而现在已成为有名的“百花园”的大花坛。

只见镇里的人们一个个更是喜笑颜开，老年人正坐在花坛边谈天说地，小孩子们在花丛中嬉戏玩耍。

“百花园”--昔日的黑水湾，我由衷地热爱你，是人民的勤劳，使你旧貌变新颜！你如同一朵艳丽的花朵，在祖国万紫千红的大地上，也在我们的心坎上含笑怒放！“黑水湾”变了泰安市泰山区御碑楼小学五年级张鑫颖指导教师：梁兴涛2006、4。

2007年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A．3 B．5 C．6 D．102．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A．B．C．D．3．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m⊥n；②m⊥n⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）若数列{a n}满足（p为正常数），则称{a n}为“等方比数列”．甲：数列{a n}是等方比数列；乙：数列{a n}是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于（）A．﹣1 B．xOy C．D．8．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．72条D．78条二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a=；b=．12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是．（写出一个有序实数对即可）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为．14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2的最大值与最小值．17．（12分）分组频数[1.30，1.34） 4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54） 2合计100在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．（Ⅰ）求证：平面V AB⊥平面VCD；（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面V AB所成的角为．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．21．（14分）已知m，n为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．2007年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．【解答】解：由展开式通项有=C n r•3n﹣r•（﹣2）r•x2n﹣5r由题意得，故当r=2时，正整数n的最小值为5，故选项为B【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．2．（5分）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选A法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．故选A．【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C．为简单题．3．（5分）【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P ﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．4．（5分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：∵AC⊥BD但A1C，BD1不垂直，故①错；∵A1B⊥AB1但在底面上的射影都是AB故②错；∵AC，BD相交，但A1C，BD异面，故③错；∵AB∥CD但A1B，C1D异面，故④错故选D【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．5．（5分）【考点】极限及其运算．【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．【解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，则，可见应选C法二∵∴（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]令，m分别取p和q，则原式化为∵，所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）故选C．【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D．6．（5分）【考点】数列的应用．【分析】由题意可知，乙⇒甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．【解答】解：由等比数列的定义，若乙：{a n}是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列{a n}是等方比数列，即即公比不一定为q，则命题乙不成立，故选B【点评】本题是易错题．由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C7．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|MF1|和|MF2|，代入答案可得．【解答】解：由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得故原式=，【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性．8．（5分）【考点】等差数列的前n项和．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．9．（5分）【考点】数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．【点评】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．（5分）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A【点评】本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．是较难问题．易错点：不能准确理解题意，甚至混淆．对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）【考点】反函数．【分析】本题考查对互为反函数的两个函数关系的理解，可有两种方法，其一，求出y=2x ﹣a的反函数令其与y=bx+3的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，取特殊点求解．【解答】解：法一：函数y=2x﹣a的反函数为y=x+a，与y=bx+3对照可得a=6，b=法二：在y=bx+3上取点（0，3），得点（3，0）在y=2x﹣a上，故得a=6；又y=2x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=bx+3由此可得a=6，b=答案：a=6；b=【点评】本题主要考查反函数的概念及其对称性的应用．直接求反函数也可，较为简单．该题的易错点：运算错误导致填写其他错误答案．12．（5分）【考点】复数的基本概念．【分析】本题主要考查复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题．在解答过程中要注意本题的易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出a=2b，不合题意要求．【解答】解：由复数运算法则可知z2﹣4bz=a2﹣b2﹣4ab+（2ab﹣4b2）i，由题意得2ab﹣4b2=0（b≠0），∴a=2b（a≠0，b≠0），则有序实数对（a，b）可以是（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对故答案为：（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．13．（5分）【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y 的最小值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点时，z取得最小值为；故答案为：【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．（5分）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．【解答】解：∵由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次∴本题是一个独立重复试验∴所求概率故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率，直接用公式解决．易错点是把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性．15．（5分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得k，得到直线方程；当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．（2）根据题意可知y≤0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．【解答】解：（I）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，∴k=10；同理，当t＞0.1时，可得（II）由题意可得，即得或或t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出θ的取值范围；（Ⅱ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f（θ）=2sin2为一个角的一个三角函数的形式，根据（Ⅰ）的范围，求出函数的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴．（Ⅱ）====．∵，，∴．即当时，f（θ）max=3；当时，f（θ）min=2．【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．17．（12分）【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（I）条件的表中给出了分组和频数，要完成频率分布表，需要把频率做出来，列出频率分布表，写上每一个频数对应的频率．（II）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10，而要求的纤度小于1.40的数据有一部分需要把一个分组分成两部分，使得这两部分的概率相等，得到结果．（III）要做纤度的期望，需要有各组数据的平均值，同一组数据常用该组区间的中点值做平均值，利用期望的公式，写出这组数据的期望．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，纤度小于1.40的概率约为．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．【点评】本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．18．（12分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】法一：（Ⅰ）要证平面V AB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角．求出，使得直线BC与平面V AB所成的角为．法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面V AB⊥平面VCD．（Ⅱ）求出平面V AB的一个法向量，利用，求出使得直线BC与平面V AB所成的角为的θ的值．【解答】解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面V AB．连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角，依题意，所以在Rt△CHD中，；在Rt△BHC中，，∴，∵，∴，故当时，直线BC与平面V AB所成得角为．解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，于是，，，．从而，即AB⊥CD．同理，即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）设平面V AB的一个法向量为n=（x，y，z）则由，得可取，又，于是=，即，∵，∴，故当时，直线BC与平面V AB所成得角为．解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），，，，，于是，，．从而，即AB⊥DC，同理，即AB⊥DV．又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）设平面V AB的一个法向量为n=（x，y，z），则由得取n=（tanθ，0，1），又，于是，即．又∵，∴．故当时，直线BC与平面V AB所成的角为．【点评】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力19．（12分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）﹣（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．【解答】解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得，消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p2．于是==，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为（）．∵，，∴|PH|2=|O'P|2﹣|O'H|2==，∴|PQ|2=（2|PH|）2=．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．从而，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）+（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则|x1﹣x2|2=．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），则有．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．【点评】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．20．（13分）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）﹣g（x）大于等于0，得证．【解答】解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．∵f'（x）=x+2a，，由题意f（x0）=g（x0），f'（x0）=g'（x0）．即由得：x0=a，或x0=﹣3a（舍去）．即有．令，则h'（t）=2t（1﹣3lnt）．于是当t（1﹣3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；当t（1﹣3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．故h（t）在为增函数，在为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为．（Ⅱ）设，则F'（x）=．故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）﹣g（a）=a2+2a2﹣3a2lna+a2﹣3a2lna=0，故当x＞0时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．21．（14分）【考点】用数学归纳法证明不等式；数学归纳法．【分析】解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；（Ⅱ）对于n≥6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2…，n；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3n+4m+…+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数n．解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．【解答】解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，x≠0时，证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得，于是=，m=1，2，n．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，，∴．即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立；当n=2时，32+42=52，等式成立；当n=3时，33+43+53=63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n只有n=2，3．解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x＞﹣1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx．①（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，因为x＞﹣1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵，∴，而由（Ⅰ），，∴．（Ⅲ）解：假设存在正整数n0≥6使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得=，与②式矛盾．故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．下同解法1．【点评】本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．注意放缩法的应用．第21页（共21页）。

行车操作基础安全知识起重机械是一种空间运输工具，主要作用完成物体位移，它不仅可减轻体力劳动，还将极大提高劳动生产率。

桥式起重机安全操作规程一、总则1．年满18周岁的男女工人，经身体检查合格，受过专门的安全教育和操纵起重机的专门培训，在老工人带领下，实习一年期满，经劳动局培训考试合格，取得特殊工种操作证者，方可独立操纵起重机投入工作。

2．司机应具有对起重机全部机构及装置的性能和用途以及全部电气设备常识，要有具有对全部机构的操作维护知识和实际操作技能，并熟悉各种起重指挥信号涵义。

3．司机操作时应严格遵守劳动纪律。

二、起重机械伤害形式：1、重物坠落；2、碰撞；3、脱钩；4、钢丝绳折断；5、安全装置失灵；6、起重机失稳倾翻；7、挤压；8、高处跌落；9、触电；10、其它伤害。

三、对司机操作的基本要求起重机司机在严格遵守各种规章制度的前提下，在操作中应做到以下五点。

1．稳。

司机在操作起重机的过程中，必须做到起动，制动平稳、吊钩、吊具和吊物不游摆。

2．准。

在操作稳的基础上，吊钩、吊具和吊物应准确地停在指定位置上方降落。

3．快。

在稳、准的基础上，协调相应硌机构动作，缩短工作循环时间，保证起重机不断连续工作，提高生产效率。

4．安全。

确保起重机在完好情况下可靠有效地工作，在操作中，严格执行起重机安全技术操作规程，不发生任何人身和设备事故。

5．合理。

在了解掌握起重机性能和电动机的机械特性的基础上，根据吊物的具体状况、正确地操纵控制器并做到合理控制。

四、司机在工作中的职责1．严格遵守交接班制度，作好交接班工作。

2．对起重机作全面检查，在确认一切正常后，即推合保护柜总刀闸，对各机构进行空车试运转几次，仔细检查各安全联锁开关及限位开关动作的灵敏可靠性，并记录于交接纪录本中。

五、司机在操作工作中的职责1．在下列情况下，司机应发出警告信号⑴起重机起动后即将开动前；⑵靠近同层其它起重机时；⑶在起吊下降吊物时；⑷吊物在吊运中接近地面工作人员时；⑸起重机在吊运通道上方吊物运行时；⑹起重机在吊运过程中设备发生故障时。

增加危机意识，提高应对实力,防止和正确处理因平安生产事故引发的群体性事务--------------------------------------------------------------------------------来源：煤监科更新时间：2010-4-27 9:29:17 点击数：70增加危机意识，提高应对实力防止和正确处理因平安生产事故引发的群体性事务荆门市安监局局长王春光随着我国政治体制、经济体制改革不断深化，速度不断加快，个人利益发生巨大改变，各种社会冲突日益凸显，由此而引发的各类群体性事务也呈易发多发之势。

现实中，由平安生产事故引发的群体性事务也已渐渐成为影响社会稳定和谐的突出问题。

正确处理好每一起平安生产事故，进而有效避开由其引发的群体性事务，既是深化实行科学发展观、构建和谐社会的内在要求，也是维护社会稳定和谐的现实要求，更是社会各界的职责。

全社会都要高度重视，增加危机意识，提高应对和解决问题的实力。

要以维护社会稳定为考量，深化“四点”相识，切实把正确处理平安生产事故作为从源头预防群体性事务发生的重点工作来对待从平安生产事故本质特征看，平安生产事故已成为引发群体性事务的重要诱因之一。

一是平安生产事故的干脆破坏性已成为引发群体性事务的重要危急源。

人是构成社会的细胞，家庭是组成社会的基本单位，人的平安与健康、家庭的平安华蜜是社会安定的基础。

2002年以来，我市已有1644人死于平安生产事故，致伤致残者更是在此之上，每年都有200多个家庭支离破裂，还有一些事故肇事者论为阶下囚。

有的因为一把大火、一场爆炸而败尽家业，有的因为人员死伤、财产毁损而背上沉重包袱，不少单位发生重特大恶性事故后，只能依靠政府“埋单”，给一方经济和社会的发展带来严峻影响。

特殊是对事故受害者来说，一旦发生事故，不单意味着受害者本人身体的残缺或生命的消逝，更意味着一个或多个家庭“精神和经济顶梁柱”的倒塌，把受害者的妻子、儿女、父母、岳父母、兄弟姐妹等亲人的生活推向无望的境地。

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，2），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣b n2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．2﹣b n2那么，b n+1=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣b n2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：t（﹣∞，0）0（0，a）a（a，+∞）g′（t）+0﹣0+g（t）极大值a+b 极小值b﹣f（a）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。

2007湖北高考数学理科2007年湖北高考数学理科试卷共分为选择题和非选择题两部分，题型涉及了常见的代数、几何、概率等数学知识。

下面将分别对选择题和非选择题进行解析。

选择题部分共有25小题，每小题4分，共100分。

以下是其中几个题目的解析：第1题：若sinα+sinβ=√2cos(α−β)，则tanα+tanβ的值为（）。

A.1B.0C.−1D.undefined解析：首先，根据三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，将√2用cos(α-β)表示，得：sinα+sinβ=cos(α-β)。

然后，利用三角恒等式sinα+sinβ = 2sin(α+β)/2cos(α-β)/2，将cos(α-β)用sin(α+β)进行替换，得：2sin(α+β)/2cos(α-β)/2 = cos(α-β)。

再将等式两边平方，得：4sin^2(α+β)/2 = cos^2(α-β)。

根据三角恒等式cos^2x - sin^2x = cos2x，得：4cos^2(α+β)/2 -4sin^2(α+β)/2 = cos2(α-β)。

最终，根据cos2θ=1-2sin^2θ，得：2-4sin^2(α+β)/2 = 1-2sin^2(α-β)。

整理后得：sin^2(α+β)/2 = sin^2(α-β)/2。

根据左右两边的含义可知，左右两边的正负号相同，故sin(α+β) = sin(α-β)。

根据余角公式sin(π/2-θ) = cosθ，可知α+β = α-β+π/2+2kπ（k为整数）。

因此，tanα+tanβ的值为tan(α+β)。

根据tan(α+β)的公式，得：tan(α+β) = tan(α+β+π) = tan(α-β+π/2) = cot(α-β) =−1。

因此，答案选C.−1。

第6题：已知函数f(x) = x^2 - bx + 1，其中b是常数，若对所有实数x都有f(x)≥4，则b的取值范围是（）。

A.(-∞,2)B.[-1,1]C.[0,2]D.[1,∞)解析：根据题意，对于所有实数x都有f(x)≥4，即x^2 - bx +1 ≥ 4。

2007年（理）湖北卷1一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．102．将π2c o s 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=--⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q-等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤ Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥；②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合；④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q --6．若数列{}n a 满足212n na p a+=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．双曲线22122:1(00)x y C a b ab-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F M F M F M F -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n nA nB n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x y a b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设A B C △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤． 即当5π12θ=时，m ax ()3f θ=；当π4θ=时，m in ()2f θ=．16．（本小题满分12分）已知A B C △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB和A C 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V A B C -中，V C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是A B 的中点，且A CBC a ==，VD C θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭． （I ）求证：平面V A B ⊥V C D ；（II ）当解θ变化时，求直线B C 与平面V A B 所成的角的取值范围．A样本数据18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，A C B ∴△是等腰三角形，又D 是A B 的中点，C D A B ⊥∴，又V C ⊥底面ABC ．V C A B ⊥∴．于是AB ⊥平面V C D ．又A B ⊂平面V A B ，∴平面V A B ⊥平面V C D ．（Ⅱ） 过点C 在平面V C D 内作C H VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知C D ⊥平面V A B ． 连接B H ，于是C B H ∠就是直线B C 与平面V A B 所成的角． 在C H D R t △中，sin 2C H a θ=；设CBH ϕ∠=，在B H C R t △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=∴．π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线B C 与平面V A B 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a aC A a B aD V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，(0)AB a a =- ，，． 从而2211(0)0002222a a AB C D a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭ ，，，，··，即AB C D ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即A B V D ⊥．又CD VD D = ，A B ⊥∴平面V C D ． 又A B ⊂平面V A B ．∴平面V A B ⊥平面V C D ．（Ⅱ）设直线B C 与平面V A B 所成的角为ϕ，平面V A B 的一个法向量为()x y z =，，n ，ADBCH V则由00AB VD == ，nn ··．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =- ，，，于是sin 2B CB C ϕ===n n ··π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线B C 与平面V A B 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a Ca ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22D V a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，002D C a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，．从而(00)A B D C = ，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即A B D C ⊥．同理(00)0tan 022AB D V θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即A B D V ⊥． 又DC DV D = ，A B ⊥∴平面V C D ．又A B ⊂平面V A B ，∴平面V A B ⊥平面V C D ． （Ⅱ）设直线B C 与平面V A B 所成的角为ϕ，平面V A B 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB D V == ，··n n，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 于是tan sin sin 2a BC BCθϕθ=== n n ··， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴，即直线B C 与平面V A B 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)22a a C A a B a D ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，．设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a C V t C D AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，(0)(00)0000AB C V a a t =-=++= ，，，，··，即AB C V ⊥．22(0)0002222a a a a AB C D a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB C D ⊥．又CV CD C = ，A B ⊥∴平面V C D ．又A B ⊂平面V A B ，∴平面V A B ⊥平面V C D ．（Ⅱ）设直线B C 与平面V A B 所成的角为ϕ，设()x y z =，，n 是平面V A B 的一个非零法A向量，则()(0)0()(0)0A B x y z a a ax ay A V x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩ ，，，，，，，，，，nn ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)C B a =，，，于是sin C BC B ϕ====··n n ，(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t递增．0sin ϕ<<∴π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴．即直线B C 与平面V A B 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求A N B △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以A C 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，， 直线A B 的方程为y kx p =+，与22x py =x联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-． 于是12122A B N B C N A C N S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p==，∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，A C 的中点为O '，l 与A C 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P A C '===∵，111222y p O H a a y p +'=-=--，222PHO P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQPH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时P Q p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 12AB x =-==2=d =．从而1122222ABN p S d AB p===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以A C 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以A C 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时P Q p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线．20．（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13l n )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x xx-+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥． 21．（本小题满分14分）已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m x m x ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132mmm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n = ，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnnmn n ++++=+ 的所有正整数n ．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x ≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1k x kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133nnmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mnmn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n = ，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n n nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 2131333nnnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)n n n nn n ++++<+ ．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立；当2n =时，222345+=，等式成立；当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立；当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1m x m x +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1k x kx +>+，则当1m k =+时， 因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >． 于是在不等式(1)1k x kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)kx x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥，1111332nn mmm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤．（Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00034(2)(3)n n n n n n ++++=+ 成立，即有000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ②又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭0011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾．故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法1．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷（河北 河南 山西 广西）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k n ，⋯=-=-球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52 C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案一、选择题： 1．【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > 2．【答案】：D【分析】：1322-=a b (12).-，3．【答案】：A【分析】：π()sin 2,32f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ， π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

4．【答案】：D【分析】：1101011()105(10)70 4.2a a S a a +⨯==+=⇒=1012.93a a d -∴==5．【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯= 6．【答案】：C 【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2132FP FP FP =+．7．【答案】：D【分析】：,,a b x y cd xy +=+=22()() 4.a b x y cd xy ++∴=≥=8．【答案】：B 【分析】：如图，18000202020.33V =⨯⨯⨯= 9．【答案】：C【分析】：22cos 2cos )π2sin 4αααα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+= 10．【答案】：D【分析】：11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程 为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以： 221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=11．【答案】：B【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯==甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得12．【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ， 则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，于是1,2h a ==12::2:2.h h h ∴= 二、填空题：13．【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ， 则：||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14．【答案】：-1 【分析】：(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-15．【答案】：12i + 【分析】：510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i ii i i i -+-+-+===+++-16．【答案】：240【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC u u u r u u u r g ≤≤，设AB u u u r 和AC u u ur 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；VAx（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =L ，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnnmn n ++++=+L 的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率样本数据约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，(0)AB a a =-u u u r ，，． 从而2211(0)0002222a a ABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．ADBCHV∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==u u u r u u u r ，nn ··．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-u u u r，，，于是sin sin 2BC BC ϕθ===u u u r u u u r n n ··， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(00)AB =u u u r，．从而(00)AB DC =u u u r u u u r ，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==u u u r u u u r ，··n n，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n，又0BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，于是tan sin 2a BC BC θϕθ===u u u r u u u r n n ··， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=u u u r u u u r ，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，A则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩u u u r u u u r，，，，，，，，，，n n····取z a =，得x y t ==． 可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =u u u r，，，于是sin CB CB ϕ====u u u ru u u r ··n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增．0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-=2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =L ，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n n nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 2131333n n nn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ∴．即34(2)(3)nnnnn n ++++<+L ．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴，而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm mm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤．（Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nnn n n n ++++=+L 成立，即有00000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． ②又由（Ⅱ）可得0000000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L0000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，与②式矛盾．故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。

2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．5．（4分）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（4分）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．【分析】根据tanα=，sin2αcos2α=1，即可得答案．【解答】解：α是第四象限角，=，sin2αcos2α=1，sinα=﹣．2．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．2【分析】复数分母实数化，化简为abi（a、bR）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：向量，，得，⊥，4．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得ab=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又a≠0，a+b=0，即a=﹣b，，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x ﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y1=0的距离都为，但，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．4【分析】因为a1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．a＞1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，loga2a﹣logaa=，，a=4，故选D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2x，g（x）=2﹣x，h（x）=x22是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=315，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（﹣1，2），AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31?A42=34×3=36种．14．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（xR）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S13S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S13S3，即4（a1a1q）=a13（a1a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosAsinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosAsinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由ABC为锐角三角形知，0A＜，0﹣A，＜A＜，，所以．由此有，所以，cosAsinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）P（ξ=3）=0.20.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．η的分布列为η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，说明SO 底面ABCD．利用三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，设ADBC，连接SE．说明ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SABC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又ABC=45°，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由，，．又，作DEBC，垂足为E，则DE平面SBC，连接SE．ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又ABC=45°，AOB为等腰直角三角形，AOOB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SABC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用ab≥2当且仅当a=b时取等号．得到f''（x）2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f''（x）=exe﹣x．由于，故f''（x）2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g''（x）=f''（x）﹣a=exe﹣x ﹣a，（ⅰ）若a2，当x0时，g''（x）=exe﹣x﹣a2﹣a0，故g（x）在（0，）上为增函数，所以，x0时，g（x）g（0），即f（x）ax．（ⅱ）若a2，方程g''（x）=0的正根为，此时，若x（0，x1），则g''（x）0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，与题设f （x）ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣，2．21．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知BD|=再求出AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y=k （x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，AC|=．四边形ABCD的面积?BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007?全国卷Ⅰ）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即an的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；VAx（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[， 1.40的概率约为10.040.252++⨯1.320.04 1.360.25 1.4088⨯+⨯=．18．解法1：（Ⅰ）AC =∵ CD AB ⊥∴，又VC ⊥ 又AB ⊂平面VAB ，∴（Ⅱ） 过点C 在平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CACB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，样本数据ADBCHV于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··．得0tan 022ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan V θ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是0tan DV θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，00DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()xy z =，，n，则由00ABDV ==，··n n ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n ，又022BC a ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin sin 2BC a BC θϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CACB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，． （Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．A22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACNS S S p x x =+=-△△△·．2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴，而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm mm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ② 又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。

2007湖北高考数学理科2007湖北高考数学理科试卷是考生们备战高考的一道重要命题。

该试卷旨在考察考生的数学基础知识、解题能力和思维灵活性。

本文将从试卷的整体结构、各大题型、难点及解题技巧等方面，对2007湖北高考数学理科试卷进行解析和剖析。

一、试卷整体结构2007湖北高考数学理科试卷总共分为两部分：选择题和非选择题，共计150分。

其中选择题占总分的65%，非选择题占总分的35%。

选择题根据难易程度分为A、B、C三个档次，分别为30分、45分和70分。

非选择题有6道大题，每题10分。

二、选择题解析1. 选择题的基本特点选择题是数学试卷中的重点和难点，也是考生们拿分的关键。

在2007湖北高考数学理科试卷中，选择题共计有30小题，包括单选题和多选题。

选择题对考生的基础知识要求较高，涉及面广，需要考生具备扎实的数学功底。

2. 单选题解析单选题是选择题中的一类，要求考生从给定的选项中选择出一个正确答案。

在2007湖北高考数学理科试卷中，单选题占选择题总分的60%。

这一部分题目主要覆盖基础知识和计算题两个方面，考察考生的记忆力和计算能力。

3. 多选题解析多选题是选择题中的另一类，要求考生从给定的选项中选择出多个正确答案。

在2007湖北高考数学理科试卷中，多选题占选择题总分的40%。

这类题目主要考察考生的逻辑思维和解决实际问题的能力。

三、非选择题解析1. 非选择题的基本特点非选择题是数学试卷中另一个重要的部分，也是考生们必备的一项技能。

在2007湖北高考数学理科试卷中，非选择题共计有6道大题，每题10分。

这类题目更加注重考察考生的解题思路和分析能力。

2. 解答题解析解答题是非选择题的一类，要求考生通过对问题的分析和思考，给出详细的解题过程和结果。

在2007湖北高考数学理科试卷中，解答题的主要形式是证明题和计算题。

这类题目对考生的理解能力和推理能力有较高的要求。

3. 应用题解析应用题是非选择题的另一类，要求考生将数学知识应用到实际问题中，解决实际问题。