湖北省高考数学试卷(文科)

2022高考湖北数学文科试题含详细解答（全word版）080628绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注间事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a(1,2),b(3,4),c(3,2),则(a2b)cA.(15,12)B.0C.3D.11解：a2b(1,2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)3，选C2.(2某312某2)的展开式中常数项是105210A.210B.解：Tr1C10(2某)(r3rC.rr14D.-105，令3r202r0得r412某4)210rC102(12)10412)10r某3r202r所以常数项为T5C102(410523.若集合P{1,2,3,4},Q{某0某5,某R},则A.“某R”是“某Q”的充分条件但不是必要条件B.“某R”是“某Q”的必要条件但不是充分条件C.“某R”是“某Q”的充要条件D.“某R”既不是“某Q”的充分条件也不是“某Q”的必要条件解：某P某Q反之不然故选A安徽省泾县中学查日顺整理第1页共10页2022.6.284.用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为A.323B.83C.82D.823解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为1球的半径是2，4R33所以根据球的体积公式知V823，故D为正确答案．某y,5.在平面直角坐标系某Oy中，满足不等式组的点(某,y)的集合用阴影表示为下列图中的某1解：在坐标系里画出图象，C为正确答案。

2008 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟.★祝考试顺利★注间事项：1.答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上指定地点2. 选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5 毫米的黑色墨水署名笔答在答题卡上每题对应的答题地区内，答在试题卷上无效 .4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.设a (1, 2), b ( 3,4), c (3,2), 则 (a 2b)gcA. ( 15,12)B.0C.-3D.-112. (2 x3 1 ) 的睁开式中常数项是2x2105 1A.210 D.-105B. C.2 43.若会合P {1,2,3,4}, Q { x 0 x 5, x R}, 则A. “ x R ”是“x Q ”的充足条件但不是必需条件B. “ x R ”是“x Q ”的必需条件但不是充足条件C. “x R ”是“x Q ”的充要条件D. “x R ”既不是“x Q”的充足条件也不是“x Q ”的必需条件4.用与球必距离为 1 的平面去截面面积为，则球的体积为A. 32 8C. 8 28 2 3B. D.335.在平面直角坐标系xOy 中，知足不等式组x y ,x p 1的点 (x, y) 的会适用暗影表示为以下图中的6.已知f (x)在 R 上是奇函数，且 f (x 4) f (x),当 x (0, 2)时， f (x) 2x2 , 则f (7)A.-2B.2C.-98D.987.将函数y sin( x ) 的图象F向右平移个单位长度获得图象 F′，若 F′的一条对称3轴是直线 x , 则的一个可能取值是5 15 11 11C.A. B.12 D.121 12 128. 函数f ( x) 1n( x2 3x 2) x2 3x 4 的定义域为xA. ( , 4][2, )B. ( 4,0) (0,1)C. [ 4,0)(0,1]D. [ 4,0) (0,1]9.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的竞赛，此中起码有一名女生当选的组队方案数为A.100B.110C.120D.18010.以下图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球邻近一点P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞翔，以后卫星在P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞翔，最后卫星在P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞翔，若用2c1和 2c2分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：① a1 c1 a2 c2; ② a1 c1 a2 c2 ; ③ c1a2 a1c2 ; ④c1 c2 . 此中正确式子的序号是a1 a2A. ①③B. ②③C.①④D. ②④二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分，把答案填在答题卡相应地点上.11. 一个企业共有 1 000 名职工， 下设一些部门， 要采纳分层抽样方法从全体职工中抽取一个 容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名职工，那么从该部门抽取的工人数是 . 12. 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ，B ， C 所对的边，已知 a3, b 3, c 30 , 则A ＝.13.方程 2 x x 23的实数解的个数为.14. 明日上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 假定甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟起码有一准时响 的概率是.x 3 4cos ,，和圆 C 对于直线15.圆 C2 4sin ( 为参数 ) 的圆心坐标为 yx y 0 对称的圆 C ′的一般方程是.三、解答题：本大题共6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满 12 分）已知函数 f ( x) sin xcosxcos 2x2.2 2 2（Ⅰ）将函数 f (x) 化简成 Asin( x) B(A 0,0,[0,2 )) 的形式，并指出f ( x) 的周期；（Ⅱ）求函数f ( x)在[ ,17] 上的最大值和最小值1217.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)x 3 mx 2 m 2 x 1 （ m 为常数，且 m>0）有极大值 9.（Ⅰ）求 m 的值；（Ⅱ）若斜率为 -5 的直线是曲线 yf (x) 的切线，求此直线方程.18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1 中，平面 A 1 BC侧面 A 1 ABB 1.（Ⅰ）求证：ABBC ;（Ⅱ）若AA 1AC a，直线AC与平面A 1BC所成的角为，二面角A 1BCA 的大小为, 求证：2.19.（本不题满分 12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两 个矩形栏目（即图中暗影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm 2,周围空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，如何确立广告的高与宽的尺寸（单位： cm），能使矩形广告面积最小？20（本小题满分13 分）已知双同线x2 y 2的两个焦点为 F : ( 2,0), F : (2,0), 点 P(3, 7) C :a2 b21(a0, b 0)的曲线 C 上.（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；（Ⅱ）记 O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 订交于不一样的两点E、F，若△OEF 的面积为22, 求直线l的方程21.（本小题满分14 分）已知数列{ a n} 和{ b n }知足： a1 , an 1 2a xn 4n , b n ( 1)n (a n 3n 21) ,其3中为实数， n 为正整数.（Ⅰ）证明：当18时，数列 { b n } 是等比数列；（Ⅱ）设 S n为数列 { b n } 的前n项和，能否存在实数，使得对随意正整数n，都有S n12? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明原因.2008 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：此题考察基础知识和基本运算 .第小题 5 分，满分 50 分 .1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.D 9.B10.B二、填空题：此题考察基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分.11.1012.30°（或） 13.2615.（ 3，－ 2），（ x ＋ 2） 2＋（ y － 3） 2＝ 16（或 x 2＋ y 2＋4x － 6y － 3＝ 0）三、解答题：此题共 6 小题，共 75 分.16.本小题主要考察三角函数的恒等变换、周期性、单一性和最值等基本知识和运算能力.（满分 12 分）1 1 cos x 13 2 sin( x 3 解： (Ⅰ )f(x)= sinx+22(sin x cos x)22 4).222故 f(x)的周期为 2k π｛ k ∈Z 且 k ≠0｝ .(Ⅱ )由 π≤x ≤17π ，得5x45 .因为 f(x)＝2sin( x) 3 在 [ , 5]124324 2 4上是减函数，在 [5, 17]上是增函数 .412故当 x=5时， f(x)有最小值－32；而 f(π )=－ 2， f(17π)＝－6 6＜－2，42124因此当 x=π 时， f(x)有最大值－ 2.17.本小题主要考察应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力解： (Ⅰ ) f ’(x) ＝ 3x 2+2mx －m 2=(x+m)(3 x － m)=0, 则 x=－ m 或x= 13.（满分 12 分）m,当 x 变化时， f ’(x)与 f(x) 的变化状况以下表：x( －∞ ,－ m)－ m(－ m, 1m )1 m( 1m ,+∞ )333f ’(x) +0 －0 +f (x)极大值极小值进而可知，当 x=－ m 时，函数 f(x)获得极大值 9，即 f(－m)＝－ m 3+m 3+m 3+1=9, ∴ m ＝2. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， f(x)= x 3+2x 2－ 4x+1,依题意知 f ’(x) ＝3x 2＋ 4x － 4＝－ 5，∴ x ＝－ 1 或 x ＝－ 1. 3又 f(－1)＝ 6， f(－ 1 )＝68，327因此切线方程为 y － 6＝－ 5(x ＋ 1),或 y － 68＝－ 5(x ＋ 1)，273即 5x ＋ y － 1＝ 0，或 135x ＋27y － 23＝0.18.本小题主要考察线面关系、 直线与平面所成角、 二面角等相关知识， 考察空间想象能力和推理论证能力.（满分 12 分）(Ⅰ )证明：如右图，过点 A 在平面 A 1ABB 1 内作 AD ⊥ A 1B 于 D ，则由平面 A 1BC ⊥侧面 A 1ABB 1,且平面 A 1BC ∩侧面 A 1ABB 1＝A 1B ，得 AD ⊥平面A 1 BC.又 BC 平面 A 1BC 因此 AD ⊥ BC.因为三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 是直三棱柱 , 则 AA 1⊥底面 ABC,因此 AA 1⊥ BC.又 AA 1∩ AD =A,进而 BC ⊥侧面 A 1ABB 1,又 AB 侧面 A 1ABB 1， 故 AB ⊥BC.(Ⅱ )证法 1：连结 CD,则由 (Ⅰ )知∠ ACD 就是直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角，∠ ABA 1 就是二面角 A 1 －BC － A 的颊角，即∠ ACD ＝ θ，∠ ABA 1 = .于是在 RtADC 中， sin θ=ADAD,在 Rt ADA 1 中， sin ∠AA 1D ＝AD AD,ACaAA 1 aθ1θ1θ1∴ sin =sin ∠ AA D ,因为 与∠ AA D 都是锐角，因此 ＝∠ AA D. 又由 Rt A 1 AB 知，∠ AA 1 D ＋ ＝∠ AA 1B ＋ ＝ ，故 θ＋ ＝ .22x 轴、 y证法 2：由 (Ⅰ )知，以点 B 为坐标原点，以 BC 、 BA 、 BB所在的直线分别为1轴、 z 轴，成立以下图的空间直角坐标系.设 AB =c （c ＜ a ＝，则 B(0,0,0) ， A(0,c,0)， C( a 2 c 2 ,0,0 ),A 1(0,c,a) ，于是 BC( a 2 c 2 ,0,0) ， BA 1 ＝（ 0， c,a ） ,AC ( a 2 c 2 , c,0) AA 1c,a 设平面 A 1BC 的一个法向量为n=(x,y,z),n ? BA 10, cy az0,则由得c 2 xn ? BC0,a 20.可取 n ＝（ 0，－ a ， c ），于是n · AC =ac ＞ 0， AC 与 n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角sin =cos =n ? AC(0,a,c) ? ( a 2c 2 , c,0)c ,a2c2 ?(a2c 2 ) c 2a 2| n | ? | AC |c 2BA 1 ? BA( 0, a,c) ? (0,0, a)c,cos =a 2c 2 ? aa 2c 2|BA 1 |?| BA|因此 sin =cos =sin(2),又0＜，＜，因此 += .2219.本小题主要考察依据实质问题成立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实质问题的能力 .（满分 12 分）解法 1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则 ab=9000. ①广告的高为 a+20 ，宽为 2b+25 ，此中 a ＞0， b ＞ 0.广告的面积S＝ ( a+20)(2 b+25)＝2ab+40b+25a+500＝ 18500+25a+40b≥ 18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab 24500.当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时b= 5a ,代入①式得 a=120，进而 b=75. 8即当 a=120，b=75 时 ,S获得最小值 24500.故广告的高为 140 cm, 宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 .解法 2：设广告的高为宽分别为x cm， y cm，则每栏的高和宽分别为x－ 20，y 25,此中2x＞ 20， y＞ 25两栏面积之和为 2(x－ 20) y25 18000 ,由此得y= 18000 25,2 x 20广告的面积 S=xy=x( 1800025 )＝18000 25 x,整理得S= 360000 x 20 x 20 25(x 20) 18500.x 20因为 x－ 20＞ 0，因此 S≥2 36000025( x 20) 18500 24500 . x 20当且仅当 360000 25( x 20) 时等号成立，x 20此时有 (x－ 20)2＝ 14400( x＞20)，解得 x=140，代入 y= 18000+25,得 y＝ 175，x 20即当 x=140， y＝ 175 时， S 获得最小值24500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 .20.本小题主要考察双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线地点关系等平面分析几何的基础知识，考察待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分 13 分）(Ⅰ )解法 1：依题意，由x2 y 21 （0＜a2＜4＝，a2+b2=4，得双曲线方程为4 a 2a 2将点（ 3，7）代入上式，得9 71 .解得 a2=18 （舍去）或 a2＝ 2，a 2 4 a 2故所求双曲线方程为x2 y 21.2 2解法 2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF 1|－ |PF 2|= (3 2)2 ( 7 ) 2 (3 2)2 ( 7)2 2 2 , ∴ a2 =2， b2=c2－ a2=2.∴双曲线 C 的方程为x2 y 2 1.2 2(Ⅱ )解法 1：依题意，可设直线l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得 (1－ k2)x2－ 4kx－ 6=0.∵直线 I 与双曲线 C 订交于不一样的两点E、 F,1 k2 0, k 1,∴2 2＞，＜ k＜3,( 4k ) 4 6(1 k ) 0 3∴k∈ (－3, 1 )∪ (1, 3 ).设 E(x1 ,y1),F(x2,y2) ，则由①式得 x1 +x 2= 4k 2 , x1x216 2 ,于是1 k k |EF|= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 (1 k 2 )( x1 x2 ) 2= 1 k 2( x1 x2 ) 2 4x1 x2 1 k 22 23 k 2? ?| 1 k 2 |而原点 O 到直线 l 的距离 d＝2 ,1 k 2∴ S OEF = 1d?| EF | 1?2 ? 1 k 2 ? 2 23 k 2 2 2 3 k 2 .2 2 1 k 2 |1 k 2 | |1 k 2 |若S OEF＝2 2，即22 3 k 2 2 2 k 4 k 2 2 0, 解得k=± 2 , | 1 k2 |知足② .故知足条件的直线l 有两条，其方程分别为y= 2x 2 和 y 2x 2. 解法 2：依题意，可设直线l 的方程为 y=kx+2, 代入双曲线 C 的方程并整理，得 (1－ k 2)x 2－ 4kx － 6＝ 0.①∵直线 l 与比曲线 C 订交于不一样的两点 E 、 F ，1 k 20,k1,∴22＜ k ＜( 4k ) 4 6(1 k ＞ ，3.) 03 ∴ k ∈ (－ 3, 1 )∪ (1, 3 ).②设 E(x 1,y 1),F(x 2,y 2) ，则由①式得|x 1－ x 2|＝ ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 22 23 k 2|1 k 2 ||1 k 2 .③|当 E 、 F 在同一支上时（如图 1 所示），S OEF ＝ |S OQF －S OQE |=1| x 2 ||1x 2 | ；| OQ | ?|| x 1 | | OQ | ?| x 122当 E 、 F 在不一样支上时（如图 2 所示），S OEF ＝ S OQF ＋S OQE ＝1| x 2 |)1x 2 | .| OQ | ?(| x 1 || OQ | ?| x122综上得 S OEF ＝ 1| OQ | ? | x 1x 2 |，于是2由|OQ|＝2 及③式，得 S OEF ＝2 23 k 2 .|1 k 2 |若S OEF ＝2 2，即22 3 k 22 2k 4 k 22 0 ,解得 k=±2 ,知足② .| 1 k 2 |故知足条件的直线 l 有两条，基方程分别为y= 2x 2 和 y= 2 2.21.本小题主要考察等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技术，考 查剖析问题能力和推理能力.（满分 14 分）(Ⅰ )证明：假定存在一个实数n2a 1 a 2 ,即，使｛ a ｝是等比数列，则有a 2（23）2= 4 4 4 2 4 9 4 2 4 9 0,矛盾.93 9 9因此｛ a n｝不是等比数列 .（Ⅱ）证明：∵ b n 1 ( 1)n 1[ a a 1 3{ n 1} 21] ( 1)n 1( 2 a n 2n 14)2 (2b n.3 1),( a n 3n 21)3 3又18, b1 ( 18) 0. 由上式知 b n 0, b n 1 2(n N n ),b n 3故当18,时，数列｛b n｝是以（+18）为首项，2为公比的等比数列 .2 3（Ⅲ）当18时，由（Ⅱ）得b n ( 18)g( )n 1 , 于是3 (2) n ],3S n 18)g[1 (5 3当18 时， b n 0 ，进而 S n 0. 上式仍成立 .要使对随意正整数n , 都有 S n 12.即 3 g ( 2 n ] 12 20 18.18) [125 3 1 ( ) n3令 f ( n) 1 (2)n ,则3 5: 当n为正偶数时， 5当 n 为正奇数时，1 f (n) f (n) 1,53 9f (n)的最大值为 f (1).33于是可得20 18 6.5综上所述，存在实数，使得对随意正整数n ，都有 S n12;的取值范围为(, 6).高考数学(湖北文科)(word版)含答案11 / 11。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题及参考答案（湖北文1）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}【湖北文1解答】B U B A =I ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{=I （湖北文2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【湖北文2解答】D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等. 甲（湖北文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q【湖北文3解答】A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .（湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④【湖北文4解答】D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.（湖北文5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【湖北文5解答】C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.（湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【湖北文6解答】B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称. （湖北文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为ABC． D． 【湖北文7解答】A =（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. （湖北文8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【湖北文8解答】D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.（湖北文9）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 【湖北文9解答】C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示. 将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： 3680012240051600=⨯+⨯=k （元）.（湖北文10）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【湖北文10解答】B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. 二、填空题：（湖北文11） i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .【湖北文11解答】23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i.（湖北文12） 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 【湖北文12解答】（Ⅰ）7 ()747109459787101=+++++++++； （Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. （湖北文13）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .【湖北文13解答】4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4.（湖北文14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 【湖北文14解答】4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.（湖北文15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .【湖北文15解答】3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.（湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【湖北文16解答】3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）. 否A A m =⨯ 1i i =+ 输入m1, 1, 0A B i ===开始 结束是 ?A B <输出i第13题图B B i =⨯（湖北文17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.【湖北文17解答】（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6； （Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. （湖北文18）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值.【湖北文18解得】（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由1133sin 53,22S bc A bc bc ==⋅==得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故21a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.（湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【湖北文19解答】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . （湖北文20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.【湖北文20解得】（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥.第20题图由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估. （湖北文21）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.【湖北文21解答】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式， 得b x a ≤≤x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式， bx a ≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. （湖北文22）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 【湖北文22解答】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.第22题图（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

2019 年湖北高考试题（文数，word 剖析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思虑，多理解！数学〔文科〕本试题卷共 4 页，共 22 题。

总分值150 分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★本卷须知1、答卷前，考生务必然自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地址。

用一致供应的2B 铅笔将答题卡上试卷种类框涂黑。

A 后的方2、选择题的作答：每题选出答案后，用一致供应的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

答在试题卷、底稿纸上无效。

3、填空题和解答题的作答：用一致供应的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题地区内。

答在试题卷、底稿纸上无效。

4、考生必定保持答题卡的齐整。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

【一】选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1、会合A{ x | x23x 20, x R}，B { x | 0x5, x N}，那么知足条件AC B的会合C的个数为A、 1B、 2C、 3D、42、容量为20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10, 20)[20,30)[30,40)[40,50)[50, 60)[60,70)频数234542那么样本数据落在区间[10, 40)的频次为A、 0.35 B 、 0.45C 、 0.55D、 0.653、函数f ( x) x cos2 x 在区间[0,2π] 上的零点的个数为A、 2B、 3C、 4D、 5A、随意一个有理数，它的平方是有理数B、随意一个无理数，它的平方不是有理数C、存在一个有理数，它的平方是有理数D、存在一个无理数，它的平方不是有理数5、过点 P(1,1) 的直线，将圆形地区 {( x, y) | x y4} 分为两部分，使得这两部分的面积之22差最大，那么该直线的方程为A、x y 2 0B、y 10C、x y0D、x 3 y 4 0y6、定义在区间 [0, 2] 上的函数1yf (x) 的图象以以下列图，那么 y f (2 x) 的图象为O 1 2x 17、定义在 (,0) (0,第 6题图{ a n } ，{ f (a n )} 仍) 上的函数 f (x) ，若是对于随意给定的等比数列是等比数列， 那么称 f (x) 为“保等比数列函数” . 现有定义在 ( ,0) (0, ) 上的以下函数：① f ( x)x 2；②f ( x) 2x；③f ( x)| x | ；④ f ( x) ln | x |.那么其中是“保等比数列函数”的 f ( x)的序号为A 、①②B 、③④C 、①③D 、②④8、设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c . 假定三边的长为连续的三个正整数，且A B C ，3b 20a cosA ，那么sin A:sin B:sin C为A 、4:3: 2B 、5:6:7C 、5: 4:3D 、6:5: 49、设a,b, cR ，那么“ abc 1”是“1 1 1 ”的aba b ccA 、充足条件但不是必要条件B 、必要条件但不是充足条件C 、充足必要条件D 、既不充足也不用要的条件10、如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆 . 在扇形 OAB 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A 、 1 1B 、 12 ππC 、2 D 、 21 ππ第10题图【二】填空题：本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分 . 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上 . 答错地址，书写不清，模棱两可均不得分. 11、一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人 . 现用分层抽样的方法抽取假定干人，假定抽取的男运动员有 8 人，那么抽取的女运动员有人、12、假定 3bi〔 a ， b 为实数， i 为虚数单位〕，那么 ab.1 a bii13、向量 a(1, 0) ， b (1, 1)，那么〔Ⅰ〕与2a b 同向的单位向量的坐标表示为；〔Ⅱ〕向量 b 3a 与向量 a 夹角的余弦值为 .14、假定变量 x, y 知足拘束条件x y1, 那么目标函数 z 2x3 y 的最小值是 .x y 1,3x y 3,15、某几何体的三视图以以下列图，那么该几何体的体积为 .16、阅读以以下列图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s .17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过以以下列图的三角形数：将三角形数 1，3， 6， 10， 记为数列 { a } ，将可被5 整除的三角形数按从小到大的 n次序组成一个新数列{ b n } . 能够推断：···〔Ⅰ〕 b是数列 { a } 中的第 ________项；2012n361〔Ⅱ〕 b1表示〕________. 〔用 k2 k 1第 16题图【三】解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18、〔本小题总分值 12 分〕设函数 的图象对于直线x对f ( x) sin x 2 3sin x cos( x R )x cos x称，其中 ， 为常数，且 1., 1)(2〔Ⅰ〕求函数f (x) 的最小正周期；〔Ⅱ〕假定 y f (x)的图象经过点( π，求函数 f ( x) 的值域 .,0)419、〔本小题总分值 12 分〕某个实心零部件的形状是以以下列图的几何体， 其下部是底面均是正方形， 侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A 1 B 1C 1 D 1 ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 .D 2C 2A 2B 2〔Ⅰ〕证明：直线B 1D 1平面ACC 2 A 2 ；〔Ⅱ〕现需要对该零部件表面进行防腐办理.AB 10，AB 20，AA 30 ， AA 13 〔单位：厘米〕 ，每平方1 121厘米的加工办理费为0.20 元，需加工办理费多少元？D C20、〔本小题总分值 13 分〕A B3，前三项的积为 8 .等差数列 { a }前三项的和为D 1 C 1n〔Ⅰ〕求等差数列{ a n } 的通项公式；A 1B 1〔Ⅱ〕假定 a 2 ， a ， a 成等比数列，求数列{| a |} 的前 n 项和 .第 19题图31n21、〔本小题总分值14 分〕设 A 是单位圆 x 2y 21 上的随意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x轴的交点， 点 M 在直线 l 上，且知足 | DM | m | DA | ( m 0, 且m 1) . 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C 、〔Ⅰ〕求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；〔Ⅱ〕过原点斜率为k 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点N ，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 可否存在 m ，使得对随意的 k 0，都有PQ PH ？假定存在，求 m 的值；假定不存在，请说明原因. 22、〔本小题总分值 14 分〕b ( x 0) ， n 为正整数， a ， b 为常数 . 曲线 y f (x) 在 (1, f (1))设函数f ( x) ax n (1 x)处的切线方程为 x y 1 .〔Ⅰ〕求 ， 的值；a b〔Ⅱ〕求函数f ( x)的最大值；〔Ⅲ〕证明：1 .f ( x)ne2018 年一般高等学校招生全国一致考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参照答案【一】选择题：A 卷： 1、D2、B3、 D4、B5、 A6、 B7、 C8、 D9、 A10、C【二】填空题：11、 612、 313、〔Ⅰ〕3 10 10 ；〔Ⅱ〕 2 5(,)5 101014、 215、 12π16、 917、〔Ⅰ〕 5030；〔Ⅱ〕 5k 5k 12【三】解答题：sinx cosx 2 3 sinx cos x18、解：〔Ⅰ〕因为 f ( x)22cos2x3 sin 2 x2sin(2 xπ.)6由直线 xπ是y f ( x)图象的一条对称轴，可得sin(2 所以，即k 1 、 2 π πk π π(k Z )( k Z )6 22 3又1 ， k Z ，所以 k1，故5 .(, 1)626π.所以 f ( x) 的最小正周期是5〔Ⅱ〕由 yf (x) 的图象过点 π，得π ，( ,0)f ()442.即5 π π 2sinπ ，即2sin(2 )4266故2sin(5 π，函数 f ( x) 的值域为 [ 2 f (x)x)23 6π，π )162,22].19、解：〔Ⅰ〕因为四棱柱 ABCDA 2B 2C 2D 2 的侧面是全等的矩形，所以AA 2AB， AA 2AD .又因为ABAD A，所以AA 2平面 ABCD .连结 BD ，因为 BD 平面 ABCD ，所以 AA 2BD.因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC BD .依照棱台的定义可知， BD 与 B 1D 1 共面 .又平面 ∥平面 ，且平面BB 1D 1D平面ABCD BD ，ABCD A 1B 1C 1D 1平面 BBDD 平面 A B C 1 D1B D ，所以 B 1D 1∥ BD . 于是1 11 111由AABD ，ACBD ， B 1D 1∥ BD ，可得 AA B D，ACB D .22 1 111又因为AA 2ACA ，所以B 1 D 1平面ACC 2 A 2.〔Ⅱ〕因为四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1 S 四棱柱上底面 S 四棱柱侧面 (A 2B 2)24 AB AA 2 1024 10 30 1300 (cm 2) .又因为四棱台 ABCD ABCD 的上、下底面均是正方形， 侧面是全等的等腰1 1 1 1梯形，所以S 2S 四棱台下底面S 四棱台侧面 ( A 1B 1)241( ABA 1B 1 )h 等腰梯形的高2.1(10[1(20202420) 13210)]21120 (cm 2)22于是该实心零部件的表面积为 SS S1300 11202420 (cm 2) ，12故所需加工办理费为 0.2S 0.2 2420 484〔元〕.20、解：〔Ⅰ〕设等差数列 { a } 的公差为 d ，那么 a 2 ad ，aa2d ，n131由题意得3a 1 3d 3, 解得a 1 2, 或a 14,a 1 (a 1 d )( a 1 2d )8.d3,d3.所以由等差数列通项公式可得a 2 3(n 1) 3n 5，或a n 4 3(n1) 3n7.n故 a3n5 ，或an3n 7 .n〔Ⅱ〕当 a n 3n 5 时，a 2 ， a 3 ，a 1 分别为 1，4 ， 2 ，不可以等比数列；当 a n 3n 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 1， 2，4 ，成等比数列，知足条件 .故 3n 7, n 1,2,| a n | | 3n 7 |3n 7, n 3.记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n .当 n 1 时， S 1 | a 1 | 4 ；当 n 2时， S 2| a 1 | | a 2 | 5；当 n3 时，S n S 2 | a 3 | | a 4 || a n | 5(3 3 7) (3 47)(3n 7)5(n2)[2 (3n 7)] 3n 21110. 当 n 2 时，知足此式 .222 n综上，4,n1,S n3 n 2 11n 10, n 1.2 221、解：〔Ⅰ〕如图1，设M (x, y) ， A( x 0 , y 0 ) ，那么由 | DM |m | DA | (m0, 且 m 1)，可得 x x 0，| y | m | y 0 |，所以 x 0 x ，| y 0 |1. ①| y |m因为 A 点在单位圆上运动，所以 x 0 2 y 0 21 . ②.将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2x 2y 2 1 ( m 0, 且 m 1)因为 m) ，所以m(0, 1) (1,当 0 m1时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 ( 1 m 2 , 0) ， ( 1 m 2 , 0) ；当 m 1时，曲线C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,m21) ， (0,m21).〔Ⅱ〕 解法 1：如图 2、 3， k，设P( x , kx ) ，H (x, y ) ，那么 Q(x ,kx )，112211N(0, kx )，1直线 QN 的方程为 y 2kx kx 1 ，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 (m24k 2 ) x24k 2 x x k 2 x 2 m20 .11依题意可知此方程的两根为x 1 ，x 2 ，于是由韦达定理可得2 ，即 2. x 1 x 24k x 1x 2m x 1m 2 4k 2m 2 4k 2因为点 H 在直线 QN 上，所以2 .y 2 kx 1 2kx 22km x 124k 2m.于是 PQ ( 2 x 1 ,2kx 1 )，PH(x 2x 1, y 2kx 1) (4k 2x 12 ,2km 2x 1m 2 4km 24k2 )而PQPH 等价于PQ4(2 m 2 )k 2 x 1 2，PH24k 2即2 m0 ，又m 0，得mm2，2故存在 m2 ，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0，x21PH.都有 PQ yyy HA解法 2：如图 2、3，x 1 (0, 1) ，设, y 1 ) ，H ( x 2 , y 2 ) ，那么Q(P x 1 , y 1 ) ，H P( x1NMNPO ， xOxODxN (0, y 1 )QQ因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以m 2 x 12y 1 2m 2 , 两式相减可得图 1图 2(0 m 2 x 22y 22m 2 ,图 3(m1)m 1) m ( x 1 x 2 2 ) ( y 1y 2 )0 第 21 题解答图 2222. ③依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合，故 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )0 . 于是由③式可得( y 1y 2 )( y 1y 2 ) m 2 . ④( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )又Q ， N ， H三点共线，所以k QNkQH，即2y 1y 1 y 2 .x 1x 1 x 2于是由④式可得yyy2 1 ( yy 2)( yy )m 2 .k PQ k PH11112x 1 x 1 x 2 2 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )2而 PQPH等价于k PQk PH1 ，即 m 2，又 m 0，得m2，21故存在 m 2，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0 ，都有x2 1PQPH.22、解：〔Ⅰ〕因为 f (1) b，由点(1, b) 在xy1 上，可得 1 b1，即b 0.因为 f ( x) anxn1a(n1)x n ，所以 f(1)a.又因为切线 x y 1 的斜率为 1 ，所以 a 1，即a 1. 故a 1，b 0 .〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知， n (1 x) x n n 1 ，n 1 n .f ( x) x x f (x) ( n 1) x ( x)n 1 . 令 f ( x) 0 ，解得 n ，即 f (x) 在(0, ) 上有唯一零点x 0 nx n 1n 1在 (0, n 上， f (x) 0 ，故 f ( x)单一递加；)n 1 0 ， f ( x) 单一递减 .而在 ( n , ) 上， f (x)n 1 ) 上的最大值为. 故f (x) 在 (0,nf ( n ) ( n )n (1n ) nn 1 n 1n 1( n 1)n 1〔Ⅲ〕令1，那么11t1.(t ) ln t 1+ (t0) 0)t(t)2 =2( tt tt在(0, 1) 上，(t ) 0 ，故 (t ) 单一递减；而在 (1, ) 上 (t ) 0 ，(t ) 单一递加 .故 (t) 在(0, ) 上的最小值为 (1) 0.所以 (t) 0 (t1)，即 ln t 1 1 (t 1) .t令 t 1 1 ，得 ln n 1 1 ，即n 1 n 1 ，n n n 1ln( ) ln e1 . n所以 n 1 n 1 ，即 n n()e(n 1)n 1 nen由〔Ⅱ〕知，f ( x)n n1 ，故所证不等式建立 .( n1)n 1ne。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】试题分析：因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ． 134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞， 00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A .考点：1、线性回归方程；5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C . 【解析】试题分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .考点：1、函数的定义域求法； 7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率2S p S=，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B .考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10. 【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点(3,1)B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 【解析】试题分析：由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD =_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.ABCD【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a为实数，函数2g a. 当a=_________时，f x x ax()||=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a的值最小.()【答案】22.考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-.20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．第20题图【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为，短半轴长为，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①第22题图1 第22题图2第22题解答图又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

绝密★启用前2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共 5 页， 22 题。

全卷满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前， 考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。

用一致供给的2B 铅笔将答题卡上试卷种类A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用一致供给的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

答在试题卷、底稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答： 用一致供给的署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。

答在试题卷、底稿纸上无效。

4．考生一定保持答题卡的整齐。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知全集 U{1,2,3,4,5} ，会合 A {1,2} ， B{2,3,4} ，则 B I e U AA ． {2}B ． {3,4}C ． {1,4,5}D ． {2,3,4,5}π22222．已知 0xyyx1 的，则双曲线 C 1 ：cos 21与 C 2：sin 24sin2cos 2A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲下降在指定范围” ，q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为A ． ( p ) ∨ ( q )B ． p ∨ ( q )C ． ( p) ∧ ( q)D ． p ∨ q4．四名同学依据各自的样本数据研究变量x, y 之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获得以下四个结论：① y 与 x 负有关且 $；② y 与 x $3.476x 5.648 ； y 2.347x 6.423 负有关且 y③ y 与 x 正有关且 $； ④ y 与 x $4.326x 4.578 .y 5.437x 8.493 正有关且 y此中必定不正确 的结论的序号是．．．A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学， 开始时匀速行驶， 途中因交通拥塞逗留了一段时间，后为了赶时间加迅速度行驶 .与以上事件符合得最好的图象是距学校的距离距学校的距离O时间O时间AB距学校的距离距学校的距离O时间O时间CD6．将函数 y3cos x sin x (x R ) 的图象向左平移 m (m0) 个单位长度后，所获得的图象对于y轴对称，则 m 的最小值是A ． πB ．πC ．πD ．5π1263uuur 67．已知点 A( 1, 1) 、 B(1, 2) 、C( 2,uuur1) 、 D(3, 4) ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为A ．3 2B ．3 15C ． 3 2D ． 3 1522228． x 为实数， [ x] 表示不超出 x 的最大整数，则函数f ( x) x [ x] 在 R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅游社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅游， A 、 B 两种车辆的载客量分别为36人和 60 人，租金分别为 1600 元 / 辆和 2400 元 / 辆，旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为A ． 31200 元B ． 36000 元C ． 36800 元D ． 38400 元10．已知函数 f ( x) x(ln xax) 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．( ,0)B ．(0, 1 C ． (0, 1) D ． (0,))2二、填空题：本大题共 7小题，每题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上 . 答错．．．．．．．地点，书写不清，含糊其词均不得分.11．i为虚数单位，设复数z1， z2在复平面内对应的点对于原点对称，开始若z1 2 3i ，则 z2.输入 m12．某学员在一次射击测试中射靶10 次，命中环数以下：7， 8，7， 9， 5，4， 9， 10， 7， 4 A 1, B 1, i0则（Ⅰ）均匀命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序.若输入 m 的值为2，则输出的结果 i.14．已知圆O： x 2y25 ，直线l： x cos y sin1（ 0π2） .O 上到直线 l 的距离等于1的点的个数为 k ，则 k.i i1A A mB B i否设圆A B ?是输出 i15．在区间 [ 2,4] 上随机地取一个数x，若 x 知足| x | m的概率为5，6结束则 m.第 13题图16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平川降雨量是寸 .（注：①平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点P(x, y) 的坐标 x ，y均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全部是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，界限上的格点数记为L .比如图中△ABC 是格点三角形，对应的S 1，N 0，L 4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S, N , L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c ，此中 a，b， c 为常数.若某格点多边形对应的N 71， L 18，则 S（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共 5 小题，共65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12 分）在△ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ，b，c .已知 cos2 A3cos( B C ) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S 5 3 ， b 5 ，求sin B sin C的值 .19．（本小题满分13 分）已知S n是等比数列{ a n } 的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A处正下方的矿层厚度为A1A2d1．相同可得在 B，C处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2 d3，且 d1 d2 d 3 . 过AB，AC的中点M，N且与直线 AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2 C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC中，记 BC a ， BC边上的高为 h ，面积为 S .在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2C2的体积V）时，可用近似公式 V估S中 h 来估量 . 已知1V( d1 d2 d3 )S ，试判断 V估与V的大小关系，并加以证明 .3第20题图21．（本小题满分 13 分）设 a 0 ， b0，已知函数 f (x)ax b .x1（Ⅰ）当 a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f ( x)为a、 b 对于x的加权均匀数.（ i ）判断 f (1) , f (b) ,f (b) 能否成等比数列，并证明f (b) f (b) ；a a a a（ ii ）a、b的几何均匀数记为.称 2ab为a、b的调解均匀数，记为.G Ha b若 H f (x) G ，求 x 的取值范围 .22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点O，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n (m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线l与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A， B， C， D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第 22题图2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：1．B 2．D3．A4．D5．C 6．B7．A8．D9．C10．B二、填空题：11． 2 3i12．（Ⅰ） 7 （Ⅱ） 213 ． 414． 415． 316． 317．（Ⅰ） 3, 1, 6（Ⅱ） 79三、解答题：18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B C ) 1 ，得 2cos 2 A 3cos A2 0 ,即 (2cos A 1)(cos A 2)0 ，解得 cosA1 或 cosA2 （舍去） .2由于 0 A，所以ππA.3（Ⅱ）由 S1bc sin A1bc 3 3bc 53, 得 bc 20 . 又 b 5 ，知 c4 .22 24由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 25 16 20 21, 故 a21 .又由正弦定理得 sin B sin Cb csin Abc 2A20 3 5 sin Aa a 2 sin 21 4.a719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 1 0 ， q0 . 由题意得S 2 S 4 S 3 S 2 ,a 1q 2a 1q 3a 1q 2 ,a 2 a 3 a 4 即q 2 )18, a 1q(1q 18,解得a 1 3,q2.故数列 { a n } 的通项公式为 a nn 1.3( 2)（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n 3 [1( 2)n ] 1 ( 2) n .1 ( 2)若存在 n ，使得 S n 2013 ，则 1 nn2012.( 2) 2013 ，即 (2)当 n 为偶数时， ( 2) n 0 ， 上式不建立；当 n 为奇数时， (2) n2n2012 ，即 2n2012 ，则 n 11.综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的 n 的会合为 { n n2k 1, k N, k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A 1A 2平面 ABC ， B 1 B 2 平面 ABC ， C 1C 2平面 ABC ，所以1 2∥ 12∥12. 又A 1A 2 d 1 ，B 1 B 2 d 2 ，C 1C 2 d 3 ，且 d 1d 2d 3 . AA BB CC所以四边形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2C 1 均是梯形 .由 AA 2 ∥平面 MEFN ， AA 2平面 AA 2 B 2 B ，且平面 AA 2 B 2 B I 平面 MEFNME ，可得 AA 2∥ ME ，即 A 1A 2∥ DE . 同理可证 A 1A 2∥ FG ，所以 DE ∥ FG .又M 、N 分别为 AB 、AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 A 1B 1 、 A 2B 2 、 A 2C 2 、 A 1C 1 的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2 C 1 的中位线 .所以 DE1( A 1A 2 B 1 B 2)1d 2 ) ， FG1(A 1A 2 C 1C 2)1 d 3 ) ，2 ( d 12 (d 122而 d 1d 2d 3 ，故 DE FG ，所以中截面 DEFG 是梯形 . （Ⅱ）V 估 V.证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2 MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FNMN .由 MN 是△ ABC 的中位线，可得MN1 BC 1 a 即为梯形 DEFG 的高，22所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d 3 ) aa(2 d 1 d 2 d 3 ) ，2 2 2 2 8即 V 估 S 中 h ah d 2 d 3 ) .(2 d 18又 S 1 1 d 2 d 3 )S ah d 2 d 3 ) .ah ，所以 V (d 1 (d 12 3 6于是 VV 估ah(d 1d 2 d 3 )ah(2d 1 d 2 d 3 )ah[( d 2d 1 ) ( d 3 d 1 )] .6 8 24由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21．（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1)U ( 1, )，f (x)a( x 1) (axb)a b .( x 1)2 (x 1)2当 ab 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1, ) 上单一递加； 当 ab 时， f (x)0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1) ab 0b 2ab b 0 .2， f ( )a 0， f ( )ababa故 f (1) f ( b) a b 2abab [ f (b)] 2 , 即a 2 a baf (1) f ( b ) [ f ( b)] 2 . ①a a所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因 a b ab ，即 f (1) f (b 由①得 f ( bf (b2) . )) .aaa（ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得a af ( b) f (x)f ( b) .②aa当 ab 时， f ( b)f ( x) f ( b)a .aa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b 在 (0,) 上单一递加与②式，a a，由 f ( x)a得bxb，即 x 的取值范围为b , b ；aaaa当 ab 时，b1 b b ) 上单一递减与②式，，进而，由 f (x) 在 (0,a aa得 bxb，即 x 的取值范围为b , b.aaaa22．依题意可设椭圆C1和 C2的方程分别为C1：x22222y 21， C2：x2y2 1 . 此中a m n 0，m 1.a m a n n（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线l与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x0 ，则S1111|AB| |ON|1，所以S1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB |S2 222在 1 和 2 的方程中分别令x 0，可得y A m ， y B n ， y D m ，C C于是| BD | | y B y D |m n1. | AB | | y A y B | m n1若S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则2 1.解法 2：如图 1，若直线l与y轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | m n ；S1111|AB| |ON |1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB | . 222所以 S1|BD|m n 1 .S2|AB|m n1若 S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21|BD|. | AB|2 1 .2 1 .故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则 2 1.y yAABBM O N x M N xOC CD D第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2 . 依据对称性，不如设直线 l ：y kx ( k0) ，点 M (a, 0) ， N (a, 0) 到直线l的距离分别为 d1， d 2，则由于 d1| ak 0 |ak， d2| ak0 |ak，所以 d1 d2 .1 k2 1 k 2 1 k 21 k 2又 S111| AB | d2，所以S1|BD |，即 |BD ||AB|.| BD | d1， S2S2|AB|22由对称性可知 | AB ||CD |，所以 | BC ||BD ||AB|( 1)|AB |，|AD||BD| |AB|(1) | AB |，于是|AD | 1 . ①|BC |1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam， x Ban.a2 k2m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x Dx A ，于是2m a 2 k2n2|AD |1 k | x A x D | 2x A.②|BC|1 k2 | x Bx C |2x B222n a km进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21 . ③a 2k 2 m 2 (1)令 t(1 ，则由 m n ，可得 t 1 ，于是由③可解得 k 2n 2 ( 2 t 2 1) .1)a 2 (1 t 2 )由于 k0，所以2. 于是③式对于k 有解，当且仅当 n 2 ( 2t 21)0 ，k 0a 2(1 t 2 )等价于 (t 21)(t 210 . 由11 ，2 )1 ，可解得t即 1( 1 1 ，由 1 ，解得12 ，所以1)当 1 12 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S 1 S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx ( k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0 |ak ， d 2 | ak 0 |ak ，所以 d 1 d 2 .1 k21 k21 k21 k 2又 S 11| BD | d 1 ， S 21S 1|BD | .2| AB | d 2 ，所以|AB|2S 2|BD |2x D | x A x Bx A1 由于1 k | x B，所以.|AB|2x B |x Ax Bx B11 k | x A由点 A( x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2x B 2k 2 x B 21，两式相减可得x A 2x B 2k 2 ( x A 2 2 x B 2 )，221 ，22220 amanam依题意 x Ax B 0 ，所以 x A 2x B 2 . 所以由上式解得k2m 2(x A 2x B 2) .a 2( 2 x2x2 )B A2 2 x B 2)x A由于 k 20 ，所以由m (x A.a 2 (2x B 20 ，可解得 1x Bx A 2 )2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)进而11，解得 1 2，所以1当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 S1S2.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）一、选择题1．已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则()C A B U U =A.{6,8}B. {5,7}C. {4,6,7}D. {1,3,5,6,8}答案：A解析：因为{1,2,3,4,5,7}A B =U ，故(){6,8}u C A B =U ，所以选A.解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A 、B 、F (,0)2P，依题意可知，A 、B 必关于x轴对称，故设200(,)2y A y P 0(0)y >，则200(,)2y B y P -，则0||2AB y =，故由抛物线定义可得20||22y P AF P =+，则由||||AB AF =，解得220040y Py P -+=，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为 A.18B.36C.54D.72答案：B解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为12(0.020.050.190.15)0.18-⨯+++=，故其频数为2000.1836⨯=，所以选B. 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：A解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.7．设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是A. V 1比V 2大约多一半B. V 1比V 2大约多两倍半C. V 1比V 2大约多一倍D. V 1比V 2大约多一倍半答案：D解析：设球半径为R ，其内接正方体棱长为a 2222a a a R ++=，即23,3a R =由 3331248,339v R v a R π===，比较可得应选D.8．直线与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨-≥-⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个答案：B解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, 203), E(0,10),故由图知有唯一交 点，所以选B.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A. 1升B.6766升C.4744升 D.3733升答案：B解析：设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：56766a=，所以选B.二、填空题11. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家. 答案：20解析：应抽取中型超市100400202004001400⨯=++（家）.解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为227230281145CPC=-=.14. 过点(－1,－2)的直线l被圆222210x y x y+--+=2则直线l的斜率为答案：1或177解析： 依题意直线l 斜率存在，设为k ，则l 方程为2(1)y k x +=+，圆方程化简为22(1)(1)1x y -+-=，由弦长为2及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l 的距离22221()22d =-=，根据点到直线距离公式可计算得1717k =或.（1）∵22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯=∴2c =.∴△ABC 的周长为a+b+c =1+2+2=5.（2）∵1cos ,4C = ∴22115sin 1cos 1()4C C =--∵15sin 154sin ,2a C A c === ∵,a c A C <∴<，故A 为锐角. ∴22157cos 1sin 1().88A A =-=-=∴71151511cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C -=+=⨯+⨯=17. （本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的245b b b 、、(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列5{}4n S +是等比数列.18. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BE ==. (Ⅰ)求证：1CF C ⊥(Ⅱ)求二面角1EE CF C --的大小.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.19. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（1）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+ 再由已知得2000,2060.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（2）依题意并由（1）可得60, 020, ()1(200), 20200.3xxf xx x x≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当020x≤≤时，()f x为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200)[].3323x xf x x x+-=-≤=当且仅当200x x=-，即100x=时，等号成立.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20. （本小题满分13分）（2）由（1）得22()452f x x x x=-+-，所以32()()32.f xg x x x x+=-+依题意，方程2(32)0x x x m-+-=有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程2320x x m-+-=的两相异的实根.所以△=9-4（2-m）>0，即1.4m>-又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x∈+<-成立.特别地，取1x x=时，111()()f xg x mx m+-<-成立，得m<0.由韦达定理，可得121230,20,x x x x m+=>=->故120x x<<对任意的12[,]x x x ∈，有20x x -≤，10x x -≥，x >0.则12()()()()0.f x g x mx x x x x x +-=--≤又111()()0,f x g x mx +-= 所以函数()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0.于是当m<0时，对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立.综上，m 的取值范围是（1,04-）.21. （本小题满分13分）（2）由（1）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=；当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，C 2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F a m F m -++. 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0 121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由①得00||y a <≤，由②得0||.1y m=+当0,1a m<≤+即1502m -≤<，或1502m +<≤时. 存在点N, 使2||;S m a =,1a m>+即151m --<15m +>时， 不存在满足条件的点N.当1515[m ++∈U 时，由100200(1,),(1,)NF a m x y NF m x y =-+-=+-u u u u r u u u u r， 可得22221200(1).NF NF x m a y ma ⋅=-++=-u u u u r u u u u r 令112212||, ||, F NF =NF r NF r θ==∠u u u u r u u u u r则由21212cos ,NF NF r r ma θ⋅==-u u u u r u u u u r 可得212cos ma r r θ=，从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2||.S m a =可得221tan ||2ma m a θ-=，即2||tan .m mθ=-综上可得：当15[m -∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =当15m +∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =-； 当1515(()m -+∈-+∞U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N. ① ②。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则UB A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=地 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q4．四名同学根据各自地样本数据研究变量,x y之间地相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且$ 2.347 6.423=-；②y与x负y x相关且$ 3.476 5.648=-+；y x③y与x正相关且$ 5.4378.493=+；④y与x正y x相关且$ 4.326 4.578=--.y x其中一定不正确．．．地 结论地 序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好地 图象是6．将函数sin ()y x x x =+∈R 地 图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到地 图象关于y 轴对称，则m地最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A-、(1,2)B、(2,1)C--、(3,4)D，则向量AB u u u r在CD u u u r方向上地投影为A．BC．D．8．x为实数，[]x表示不超过x地最大整数，则函数()[]f x x x=-在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数 D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号地客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆地载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)=-有两个极值点，则实数a地取f x x x ax值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1) D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．地位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i为虚数单位，设复数z，2z在复平面内对应地点1关于原点对称，若123iz=-，则2z= . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数地标准差为 .13．阅读如图所示地程序框图，运行相应地程序.若输入m地值为2，则输出地结果i= .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 地 距离等于1地 点地 个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤地 概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形地 天池盆第13题图接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y地坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形地顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形地面积记为S，其内部地格点数记为N，边界上地格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应地1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应地,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形地面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应地71N=，18L=，则S=（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应地边分别是a，b，c.已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A地大小；（Ⅱ）若△ABC地面积S =5b =，求sin sin B C 地 值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 地 前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}na 地 通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件地 所有n 地 集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方地 矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方地 矿层厚度分别为122B Bd =，123C Cd =，且123d dd <<. 过AB ，AC 地 中点M ，N 且与直线2AA 平行地 平面截多面体111222A B C A B C -所得地 截面DEFG 为该多面体地 一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上地 高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方地 矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -地 体积V ）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S=++，试判断V 估与V 地 大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x+=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 地 单调性； （Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 地 加权平均数.（i ）判断(1)f ， ()bf a，()b f a是否成等比数列，并证明()()b bf f a a≤；（ii ）a 、b 地 几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 地 调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 地 取值范围.22．（本小题满分14分）第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 地 中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合地 直线l 与1C ，2C 地 四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN地 面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ地 值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3， 1， 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,ab c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}na 地 公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}na 地 通项公式为13(2)n na-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)n nn S ⋅--==----.若存在n ，使得2013nS≥，则1(2)2013n--≥，即(2)2012.n-≤-当n 为偶数时，(2)0n->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012nn -=-≤-，即22012n≥，则11n ≥.综上，存在符合条件地 正整数n ，且所有这样地 n 地 集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B Bd =，123C Cd =，且123d dd << .因此四边形1221A AB B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 地 中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 地 中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A AB B 、1221A A C C 地 中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+， 而123d dd <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）VV<估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥.而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC地 中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 地 高，因此13121231()(2)22228DEFGd d d d a aSS d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahVS h d d d =⋅=++估中.又12S ah =，所以1231231()()36ahV d dd S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d dd <<，得210dd ->，310d d ->，故VV<估.21． （Ⅰ）()f x 地 定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b abf f ab f a a b+=⋅==+， 即2(1)()[b f f f a =.①所以(1),()b f f f a成等比数列.因2a b +≥(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()b f H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤.②当a b =时，()()b f f x f a a===.这时，x 地 取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01b a<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤x 地取值范围为,b a⎡⎢⎣；当a b <时，1b a>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a≤≤，即x 地取值范围为b a ⎤⎥⎦.22． 依题意可设椭圆1C 和2C 地 方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 地 方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =.在C 1和C 2地 方程中分别令0x =，可得Aym=，Byn=，D y m=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---.若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n=+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=.所以12||1||1SBD m n SAB m n λλ++===--.若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=.由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-.①将l 地 方程分别与C 1，C 2地 方程联立，可求得A x =Bx=. 根据对称性可知CBxx =-，DAxx =-，于是2||||2A B x AD BC x ===②从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-.③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ> 当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11ABxxλλ+=-.由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0AB xx >>，所以22AB xx >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.。

2022年湖北省高考文科数学试题及答案(word完整版)数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,2,3,4,5,6,7,8,A1,3,5,7,B2,4,5,AB1．已知U则ðUA．6,8C．4,6,7B．5,7D．1,3,5,6,8341,2,1,12．若向量ab，则2a+b与ab的夹角等于A．B．C．D．3．若定义在R上的偶函数f()和奇函数g()满足f()g()e，则g()= A．eeB．(ee)C．(ee)D．(ee)．将两个顶点在抛物线y22p另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，(p0)上，则A．n0B．n1C．n2D．n35．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,12内的频数为A．18B．36C．54D．726．已知函数f(，若f()1，)inco,R的取值范围为A．，2k2k,kZ则B．，kk,kZC．D．，2k2k,kZ，kk,kZ6666557．设球的体积为V，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是A．V比V大约多一半C．V比V大约多一倍B．V比V大约多两倍半D．V比V大约多一倍半8．直线2y100与不等式组0y0y243y20表示的平面区域的公共点有A．0个B．1个C．2个D．无数个9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A．1升B．6766升C．474升D．3733升10．若实数a，b满足a0,b0，且ab0，则称a与b互补，记(ab,)ab,那么(a,b)0是a与b互补的A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，共22题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方块涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A{x| 2x-3x +2=0,x∈R } ，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C的个数为A 1B 2C 3D 42 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A 0.35B 0.45C 0.55D 0.653 函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为A 2B 3C 4D 54.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数5.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=06．已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）1.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2.B 【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.3.D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos 20=x ；其中，由cos 20=x ，得()22x k k ππ=+∈Z ，故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是R ,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.4.B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.5.A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.6.B 【解析】特殊值法：当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；当1x =时，()()()22111y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 7.C 同理7【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nn a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===是常数，故③符合条件;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.8.D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20bA a =②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc +-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.9.A 【解析】当1abc ==+= 而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立）a b c +=≤++；但当取2a b c ===,显然有a b c a b c ++≤++,但1abc ≠,即由a b c a b c++≤++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c a b c++≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）等的结合考查. 10.C 同理8【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4，形OAB=221(2)4a a ππ=①,则S 1+S 2+S 3+S 4=S扇而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3+S 2+S 32a π=②.①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影. 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2020奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 12. 3【解析】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.13.（Ⅰ）31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）25- 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯g g b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.14.2 【解析】（解法一）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.可知当直线23z x y =+经过1,33x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点()1,0M 时，23z x y =+取得最小值，且min 2z =.（解法二）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.目标函数23z x y=+在ABM ∆的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.15.12π【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是222121412V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=. 【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积. 16. 同理12【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,n=1<3满足判断条件,继续循环; 第二次:n=n+1=2,s=s+a=1+3=4,a=a+2=5,n=2<3满足判断条件，继续循环;第三次:n=n+1=3,s=s+a=4+5=9,a=a+2=11,n=3<3不满足判断条件，跳出循环，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.17.（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2n n n a +=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======. 从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===， 故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.18.【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 19.【解析】【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 20. 同理18 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.21. 同理21 【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,2}A=，{2,3,4}B=，则UB A=A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}2．已知π4θ<<，则双曲线1C：22221sin cosx yθθ-=与2C：22221cos siny xθθ-=的A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图距学校的距离距学校的距离距学校的距离时间时间时间时间OOO O距学校的距离象关于y轴对称，则m的最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A-、(1,2)B、(2,1)C--、(3,4)D，则向量AB在CD方向上的投影为A 32B315C．32D．3158．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为f x x xA．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .否A A m =⨯ 1i i =+ 输入m1, 1, 0A B i ===开始 结束是 ?A B <输出i第13题图B B i =⨯14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x，若x满足||x m≤的概率为56，则m= .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的1S=，0N=，4L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的71N=，18L=，则S=（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S=，5B C的值.b=，求sin sin19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为121A A d=．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为122B B d=，123C C d=，且123d d d<<. 过AB，AC的中点M，N且与直线2AA平行的平面截多面体111222A B C A B C-所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC a=，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C-的体积V）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S=++，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , ()b f a ,()bf a是否成等比数列，并证明()()b b f f a a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．O x yBA 第22题图CDMN。

2021年一般高校招生统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕考前须知：1. 答题前，考试务必将自己姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。

2. 选择题每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试完毕，请将本试题和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合要求。

1. 假设向量a=〔1，1〕，b=〔-1,1〕，c=〔4，2〕，那么c=A. 3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b 【答案】B 2. 函数)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且反函数是 A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()1(21≠∈-+=x R x x xy 且 D.)1,()1(21-≠∈+-=x R x x x y 且 【答案】D 3.“sin α=21〞是“212cos =α〞 【答案】A4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有一人参与，星期六有两人参与，星期日有一人参与，那么不同选派方法共有 【答案】C【解析】5人中选4人那么有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人那么有23C ，周日那么有11C 种，故共有45C ×14C ×23C =60种,应选C5. 双曲线22122x y -=准线经过椭圆22214x y b+=〔b ＞0〕焦点，那么b= A.3 B.5 C.3 D.2 【答案】C【解析】可得双曲线准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3.故C.6. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1长为1，那么该三棱柱高等于 A.21 B.22 C.23 D.33【答案】A7. 函数2)62cos(-+=πx y 图像F 按向量a 平移到F /，F /解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于 A.(,2)6π- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6π- 【答案】D8. 在“家电下乡〞活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供运用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，假设每辆车至多只运一次，那么该厂所花最少运输费用为 【答案】B【解析】设甲型货车运用x 辆，已型货车y 04082010100x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩,求Z=400x +300y 最小值.可求出最优解为〔4，2〕故min 2200Z =应选B.9. 设,R x ∈记不超过x 最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，那么{215+}，[215+],215+ 【答案】B【解析】可分别求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，51[]12+=.那么等比数列性质易得三者构成等比数列10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来探讨数，例如：他们探讨过图1中1，3，6，10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中1，4，9，16，…这样数成为正方形数。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==，sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a aC A a B aD V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 002222a aABVD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是πsin62BC BC a θ===n n ···，即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=． 故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥． 同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··nn ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，．可取(tan 01)nθ=，，，又0BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan π2sin 62a BC BC a θθ===n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． A故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2242k =·，于是有6k =，所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0ag g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a aa a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．当a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-1121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．解法2：（I ）同解法1．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I ）证：由1n n b q b +=n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*． （II ）证：22n n a q q -=，22221231n n n a a q a q ---∴===，222222n n n a a q a q --===，22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111n n q a a --=，222211nn q a a-=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24222422121111111111n n a q qq a q qq --⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122311112n q qq -⎛⎫=++++⎪⎝⎭． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦⎩， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a qq ---+=+=， 34212121221234212111n nn n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+==，12k n =，，，．2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++．下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122AMNBCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p==，∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。