计算物理基础课件

➢ 理论物理 ➢ 实验物理 ➢ 计算物理？？？
2020/4/2
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1.1 什么是计算物理？
理论物理是分析的科学，它从一系 列的基本原理和基本假设出发，列出相 应的数学方程，运用传统的或现在的数 学方法求出问题的显式解析解，用这些 解析解的结论去解释物理现象，预见新 的现象，指导实验。
2020/4/2
Computational Physics
计算物理基础
➢ 34 学时: 24学时课堂，10学时上机 ➢ 每隔两周，上机一次，30人/组
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课程目的
计算物理是以电子计算机为工具、采用数学方 法解决物理问题的应用科学。
本课程的目的在于对计算物理进行一些入门指 导，使大家在学完本课程后，在组织一些较大 规模的计算时心中有数，少走弯路。
牛顿力学方程只有二体问题是可解得，三体以 上的问题折磨了全世界许多优秀的数学家和理论物 理学家，仍然没有解析解。
量子力学的薛定谔方程，除了氢原子和简谐振 子外没有一个真实的物理问题可以找到解析解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
20世纪40年代初，在由于战争的需要开始了核 武器研制。涉及的问题：流体动力学过程、核反应 过程、中子输运过程、光辐射输运过程、物态变化 过程等；都是十分复杂的非线性方程组，不可能用 传统的解析方法求解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作， 于1955年5月写出Los Alamos 研究报告LA1940。这篇秘密报告历经多年、解密后被正式 收入《费米全集》。这篇具有重大意义的报告， 被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它 提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的 重大发展。

n r n r
第11章 泊松方程的边界元方法 代入式(11.3)可得
2
D
ln rd
ln r n
ds
1 r
cosds
1 r
rd
2π
(11.4)
第11章 泊松方程的边界元方法
根据式(11.1)~(11.3)的结果可知
(11.5(a))
1 2π
2
ln
r
, 0,
r0 r0
D
1 2π
2
ln rd
1
(11.5(b))
设在每一段上u、q近似为常数并等于该段中点处的值。 对于 给定的点i，(11.12)式可离散为
N
Ciui
{u
j 1
j
j
q*ds
qj j
u*ds} Bi
(11.13)
第11章 泊松方程的边界元方法
令 (11.14)
Hij q*ds C jij , Gij u*ds
j
j
Hij和Gij均可以通过计算得到，式(11.13)可重写为
Gij ] j 2
0 u1
1
u2
0 q3
其中
A= [ Gij j 1
Hij ] j 2
q1 1
X=
q2
R= [ Hij
u3 2
j 1
0 u1
Gij
]
1
u2
j 2 0 q3
第11章 泊松方程的边界元方法
即有
-1.693 - 0.822 -1.107 A - 0.561 -1.904 -1.571
向为n。 当Γi较小时，可认为n与该边界元垂直，即图中的r不 随n
i
q*ds

ii
第一章 基本数学运算
本章将介绍数值计算中一些基本的运算，例如插值、拟合、数值微分、数值积分和求根等．
第一节 插 值 (Interpolation)
当我们要从一组不完全的或离散的数据中获取某些局部的信息时， 需要使用函数的插值． 也就是说， 对于函数 y = f ( x ) （通常是一个未知的或是一个较复杂的函数）， x ∈[ a , b] ，若已知 [ a , b] 上一系列点
x − x1 x − x0 ， l1 ( x ) = ， 被称为线性插值的基函数． 误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ 1 ( x ) = O h 2 ， x 0 − x1 x1 − x 0
( )
其中 h = x1 − x0 为步长． (2) 二次插值 已知函数表
x y
x0 y0
x1 y1
n 次插值多项式为
ϕ n ( x ) = ∑ y i li ( x )
n
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − x n ) ， i = 0,1,2,L , n ，被称为 n 次插值的基 ( xi − x 0 )( xi − x1 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L( xi − x n ) 函数．误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ n ( x ) = O(h n +1 ) ，其中 h 为步长．
目
录
目
录
第一章 基本数学运算 .................................................................... 1 第一节 插值 ........................................................................ 1 第二节 拟合 ........................................................................ 3 第三节 数值微分 .................................................................... 7 第四节 数值积分 .................................................................... 9 第五节 求根 ....................................................................... 15 第二章 常微分方程的初始问题 ........................................................... 23 第一节 几种简单的数值解法 ......................................................... 23 第二节 Runge-Kutta 方法 ............................................................ 28 第三节 多步法 ..................................................................... 36 第四节 稳定性 ..................................................................... 40 第五节 动力学中的有序和混沌 ....................................................... 44 第三章 边值问题和本征值问题 ........................................................... 51 第一节 物理学中出现的边值问题和本征值问题举例 ..................................... 51 第二节 Numerov 算法 ............................................................... 52 第三节 边值问题的 Green 函数法 ..................................................... 57 第四节 打靶法 ............................ ........................................ 64 第五节 一维 Schrödinger 方程的定态解 ................................................ 69 第四章 特殊函数和 Gauss 求积法 ......................................................... 74 第一节 特殊函数 ................................................................... 74 第二节 Gauss 求积法 ............................................................... 81 第三节 量子散射的 Born 近似和程函近似 .............................................. 86 第五章 矩阵中的数值计算方法 ........................................................... 96 第一节 物理学中的矩阵 ............................................................. 96 第二节 矩阵的基本运算 ............................................................. 98 第三节 一般矩阵的本征值问题 ...................................................... 104 第四节 对称矩阵的本征值问题 ...................................................... 108 第六章 椭圆型微分方程 ................................................................ 117 第一节 离散化和变分原理 .......................................................... 117 第二节 求解边值问题的一种迭代方法 ................................................ 119 第三节 关于离散化的进一步讨论 .................................................... 127 第四节 二维定态流体力学 .......................................................... 132 第七章 抛物型微分方程 ................................................................ 139 第一节 简单的离散化和条件稳定性 .................................................. 139 第二节 隐式格式和回代法 .......................................................... 143 第三节 高维扩散 .................................................................. 151 第四节 本征值问题的迭代方法 ...................................................... 155 第五节 含时间的 Schrödinger 方程 ................................................... 162

计算物理
有限差分方法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限差分方法

物理问题和数学方程 有限差分原理 矩形区域中的泊松方程 迭代解法 非矩形区域中的泊松方程 一维扩散方程 二维扩散方程 一维波动方程
√
物理问题和数学方程(1/5)

求解一维扩散方程。取 a1=b1=a2=-b2=1, c1=c2=0, l=1, tmax=10, D=0.1, h=0.1, t=10-4。并与解析解 u=e x0.1t 比较
√
迭代解法(3/6)

矩形区域的第二和三类边界条件

当 a 和 b 是 x, y 的函数时，应 a=a(xi, yj) 和 b=b(xi, yj) 对第二边界条件，令 a=0
√
迭代解法(4/6)

不规则区域

第一类边界(不对称网格方法)

第二类边界 结点在边界上 结点不在边界上：过结点 P 向边界作垂线， 交于 P' 点，以 P 代替 P' 第三类边界 前两类边界条件的组合

二维扩散方程
2u 2u u , 0 < x < l x , 0 < y < l y , 0 < t < t max D( 2 2 ) = y t x u ( x, y,0) = u0 ( x, y ) u a1u b1 n = c1 ( y, t ), x = 0 u a u b = c2 ( y, t ), x = l x 2 2 n a3u b3 u = c3 ( x, t ), y = 0 n u a4u b4 = c4 ( x, t ), y = l y n

实验数据的统计处理
统计直方图：y=hist(x,10), hist(x,10)画直方图 平均值 方差 标准偏差：标准差:std( ), 方差:var( ), 最大 值:max( )，最小值:min( ), 平均值:mean( ), 求和:sum( ),求积: prod( ) 错误值的剔除：拉依达方法，肖维勒方法，一阶差分法
...... a0+a1 xn+a2 xn2+· · · +an xnn =
yn
系数行列式
, 则(a0, a1 ,…, an)的解唯一
计算物理 (Computational Physics)
目录 实验数据的插值
n 次拉格朗日插值
n 次拉格朗日插值的关键是要构造出n + 1 个节点上的 n 次插值 基函数。 如何确定基函数 Aj (x) ( j = 0, 1, · · · , n) ？？
插值法
函数可以未知， 只需已知若干点 上的值。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应 用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的 若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数
(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。
有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值 和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常 用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。
计算物理 (Computational Physics)
目录 实验数据的插值
例1：已知 解：由题意，两个插值节点
代入拉格朗日线性插值公式，得 线性插值基函数
线性插值方程 故 ≈ y(115) = 225/21 = 10.7 14285· · ·

2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)

理论
计算
• 从事教学
做课件
工具
• 毕业论文
科学计算问题的数值解,
科学计算结果的可视化
数据处理，作图
第一章 绪论及计算物理课程相关背
9
景介绍
5.学习与考核
• 学习方法 多练习,勤上机; 多动脑,找课题;
• 考核方法 平时(作业,课题) 报告(互评),论文(争取发表) 期末考
第一章 绪论及计算物理课程相关背
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
二、主要内容
计算机资源与计算程 串行计算概念，并行计算概念，高级算法语言 4
射和吸收问题等
数值计算概念性方案 几种主要数值计算方案选择介绍
6
• 依据“ 高等学校物理学本科指导性专业规范”中对计算物理基础的叙
述
第一章 绪论及计算物理课程相关背
5
景介绍
三.开课背景介绍
1.科学研究手段的发展 实验 伽利略 等
计算机在实验物理中的应用 （在线分析和离线分析） 理论 拉普拉斯 等 普朗克 等
Email:
2011年9月 第一章 绪论及计算物理课程相关背
1
景介绍
一、课程描述
• 计算物理是用数值方法求解典型物理问题的一门实
用性专业基础课程。该课程使学生掌握线性代数、
常微分方程、逼近与插值、非线性方程组等常见计
算问题的通用数值解法和编程技巧。本课程结合典
型物理问题，有选择地介绍若干主要数值方法（如
变分法、有限元方法、多重散射方法、密度泛函方

《计算物理第一章》PPT 课件
计算物理是研究物理问题的数值计算方法和技术应用的学科。它广泛应用于 天文学、材料科学、等离子体物理学等领域，为解决复杂问题提供了强大的 工具。
计算物理的定义
计算物理是一门跨学科的学科，结合物理学和计算机科学，通过数值模拟和 计算来研究物理问题。它使用数值方法和计算机程序对物理过程进行模拟和 分析。
有限差分法
将连续物理问题转化为差分形 式，通过差分近似求解。
迭代法
通过反复迭代更新解，逐步逼 近精确解。
优化算法
寻找问题的最优解，如遗传算 法、模拟退火算法。
计算物理的编程语言和工具
Python
开源语言，简洁易学，拥有丰富 的科学计算库。
MATLAB
Julia
广泛应用于科学工程计算和数据 可视化，有强大的数值计算能力。
计算物理的应用领域
天文学
模拟星系演化、宇宙学，探索宇宙的奥秘。
等离子体物理学
研究等离子体的行为和相互作用，推动核聚变 等能源研究。
材料科学
研究材料的性质、结构和相变，加速新材料的 开发。
量子力学
研究微观领域的粒子行为和量子系统的演化。
计算物理的基本原理
1 数值计算
应用数值方法将连续物理问题离散化，通过数值计算求解。
2 数学建模
将物理问题抽象为数学模型，用数学语言描述。
3 计算机编程
使用编程语言实现数值计算和模拟物理过程。
计算物理的数值模拟方法
1
有限元法
将物体划分为有限数量的元素，建立方程组求解。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
蒙特卡罗方法
通过随机抽样，统计物理问题的平均性质。
3
分子动力学模拟