§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数．．从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现． 随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量．在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾．这样，分数就应运而生．据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题．引进分数,这是数的概念的第一次扩展． 最初人们在记数时，没有“零” 的概念．后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法．有了这种记数法，零的产生就不可避免的了．我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事．引进数0，这是数的概念的第二次扩充． 以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了．我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载．在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识．引进负数，这是数的概念的第三次扩充． 数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生．当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来．引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充． 数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾．16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案．由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位．引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充． 上面,我们简要地回顾了数的发展过程．必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的．例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了． 直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过．后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构．从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G．Peano，1855～1939)、康托尔(G．Cantor，1845～1918)、戴德金
§3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 知识点一 复数的有关概念 1．复数 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集 (1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示方法：通常用C 表示． 3．复数的分类 复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )??? 实数(b ＝0). 虚数(b ≠0)??? ?? 纯虚数(a ＝0)， 非纯虚数(a ≠0). 思考 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系． 答案 如图所示．
知识点二 两个复数相等 复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别对应相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . 思考 两个复数能否比较大小？若a ＋b i>0，则a ，b 的取值范围是什么？ 答案 两个复数若不全是实数，则不能比较大小． 由a ＋b i>0，知b ＝0，a >0. 1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × ) 3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ ) 4．复数可以分为两类：实数与虚数．( √ ) 一、复数的概念 例1 (1)若复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－1 D ．－2 答案 A 解析 由????? lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得????? m ＝3或m ＝－1， m ≠－2且m ≠－1， 即m ＝3. (2)下列说法正确的是( ) A ．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B ．若复数z ＝3m ＋2n i ，则其实部与虚部分别为3m,2n C ．在复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )中，若x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数 D ．若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数 答案 C 解析 A 错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B 错，只有当m ，n ∈R 时，才能说复数z ＝3m ＋2n i 的实部与虚部分别为3m,2n . C 正确，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )为纯虚数的条件是x ＝0且y ≠0，只要x ≠0，则复数z 一定
第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i )2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 5、设i 是虚数单位，则5i 2－i 等于( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．1－2i D ．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么( ) A ．z 1－z 2－z 3＝0 B ．z 1＋z 2＋z 3＝0 C ．z 2－z 1－z 3＝0 D ．z 2＋z 4－2z 3＝0 7、设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1 D ．4 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i
C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算????a c b d ＝ad －bc ，则符合条件??? ?1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±33 C ．±3 D ．±32 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3) 12、已知z 是纯虚数， z ＋21－i 是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 二、填空题 13、设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 14、若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量所在直线的倾斜角θ＝________. 15、下列命题，正确的是________．(填序号) ①复数的模总是正实数； ②虚轴上的点与纯虚数一一对应； ③相等的向量对应着相等的复数； ④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数． 16、在复平面内，复数 2i 1－i 对应点的坐标为________． 三、解答题
《数系的扩充与复数的概念》 教学设计 -----高中人教A版选修2-2 王 海 艳
唐山市第六十二中学 【教材分析】 本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。 【学情分析】 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 【三维目标】 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。 情感、态度与价值观：
（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法； （２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点； （３）感受人类理性思维的作用。 【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 【教学难点】数集扩充的必要性和过程 【教学设计】 设计思想 知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。 媒体设计 本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。 设计特色 （１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题
第1节数字的发展史 数字可谓是数学大厦的基石，也是人们最早研究的数学对象。在几百万年前。我们的祖先还只知道“有”、“无”、“多”、“少”的概念，而不知道数为何物，完全没有数量的概念。在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古 代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该 得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。在公元前6世纪的古希腊，有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
（发展战略）数学的发展历 史
七年级九班 李蕙茹 一、探究背景： 研究数学发展历史的学科，是数学的壹个分支，也是自然科学史研究下属的壹个重要分支。和所有的自然科学史壹样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这壹点上，它和通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它和通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既能够在数学中学到历史，又能够在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，且不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有壹个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，和现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。
2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用的资料，进行整理，这是壹种比较常见的方法。 四、探究结果： （壹）数学的起源和早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从壹到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但能够肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横俩种方式： 表示壹个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：壹纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，且以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，且早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观：1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践水平，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会使用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的相关概念． 难点：复数的相关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
【问题探究】 探究一、复数的引入 引导1：因为解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定： （1）=2i 1- ； （2）实数能够与i 实行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为：i a +； 实数b 与数i 相乘记为：bi ； 实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +； （3）实数与i 实行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 引导2：复数的相关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式： 复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这个表示形 式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。 例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。 引导：考虑复数的相关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解： 变式再练：请说出复数)12(,231, 0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础. ；，虚部是的实部是虚部是的实部是； ，虚部是的实部是3 1031;0,553232----+i i . 120)12(5;2 3212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（； ，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i
课题：数系的扩充 授课教师：吴晶 教材：苏教版选修1-2第三章第一节 【教材分析】 教材地位和作用： 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备. 教材处理办法： 精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了. 重点： 数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点： 数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 【教学目标】 知识目标： 了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念. 能力目标： 发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识. 情感目标： 初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观. 【教学方法】 教学方法： 开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价. 学习方法： 自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结. 教学手段： 结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台. 【教学程序】 以问题为载体，以学生活动为主线. 创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业
创设情境： 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔. 名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型. 建构数学： 数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数. 数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程： 1x 2x 1201x 22 =+===+x 规定： （1）i 2=-1 虚数单位：i （2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 找到了方程012=+x 的解. 试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数. 设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课. 设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.
数字设计的发展 --2011091020006 张优劲“数字设计”(也称“数码设计”)是20世纪90年代以来设计领域出现的一种新的设计方式，它跨越“艺术学”和“计算机科学与技术”两个性质完全不同的一级学科，涉及到包装、广告、印刷、出版、影视、游戏、互联网、建筑、室内装饰、工业设计、纺织、服装等绝大部分相关视觉设计的行业 数字电路的发展与模拟电路一样经历了由电子管、半导体分立器件到集成电路等几个时代。但其发展比模拟电路发展的更快。从60年代开始，数字集成器件以双极型工艺制成了小规模逻辑器件。随后发展到中规模逻辑器件；70年代末，微处理器的出现，使数字模拟电路的性能产生质的飞跃。数字集成器件所用的材料以硅材料为主，在高速电路中，也使用化合物半导体材料，例如砷化镓等。逻辑门是数字电路中一种重要的逻辑单元电路。TTL逻辑门电路问世较早，其工艺经过不断改进，至今仍为主要的基本逻辑器件之一。随着CMOS工艺的发展,TTL的主导地位受到了动摇，有被CMOS器件所取代的趋势。近年来,可编程逻辑器件PLD特别是现场可编程门阵列FPGA的飞速进步，使数字电子技术开创了新局面，不仅规模大，而且将硬件与软件相结合，使器件的功能更加完善，使用更灵活。数字电路有很广泛的应用，这也是数字设计的重要性的体现，数字电路与数字电子技术广泛的应用于电视、雷达、通信、电子计算机、自
动控制、航天等科学技术领域。数字电路的分类：包括数字脉冲电路和数字逻辑电路。前者研究脉冲的产生、变换和测量；后者对数字信号进行算术运算和逻辑运算。数字电路中对于数的存储只有0和1，故数字系统是由来处理二进制数码0和1的电路所构成的。但如果一个比较大的数值用二进制表示，那么产生的数的表达形式就会十分冗杂，所以也可以用8进制和16进制表达。 关于数字电路，用数字信号完成对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路，或数字系统。数字系统又名数字电路，它是指用数字信号完成对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路。由于它具有逻辑运算和逻辑处理功能，所以又称数字逻辑电路。现代的数字电路由半导体工艺制成的若干数字集成器件构造而成。逻辑门是数字逻辑电路的基本单元。存储器是用来存储二值数据的数字电路。从整体上看，数字电路可以分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。 数字电路有很广泛的应用，这也是数字设计的重要性的体现，数字电路与数字电子技术广泛的应用于电视、雷达、通信、电子计算机、自动控制、航天等科学技术领域。数字电路的分类：包括数字脉冲电路和数字逻辑电路。前者研究脉冲的产生、变换和测量；后者对数字信号进行算术运算和逻辑运算。 关于本课程，我认为本课程重点在原理与实践。应该把本课程的“实践”性材料看成是加强和巩固原理的一种方法，通过例
数的起源与发展 摘要：数，从我们懂事开始，就天天和我们打交道的对象，但是你知道数是怎样产生,又是如何发展成为今天这个模样的吗？数是人类文明的伟大创造，人类在长期的实践中，由于生活的需要产生了数。在人类几千年的发展历程中，人类对数的认识一步步深入，到现在数已经涉及到社会的各个领域，本文旨在介绍数的起源，数的发展的几个阶段，以及数的衍生。 关键词：数起源发展远古时期罗马时期筹算0的引进阿拉伯数字 正文： （一）数的起源 数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。 数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。 1.数的概念的产生 原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别。然后又从多到二、三等单个数目概念的形成，是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人也必须知道他的羊群里的羊是不是少了。这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。 数的产生，标志着人类的思维逐步由事件的直观思维走向形式或抽象思维。
但当代科学界多称为数量的形式思维，标志着人们的思维由朴素的“低级”思维向“高级”思维发展。无疑，由此就形成了认识的差别性。实际上，形式思维在于笼统性，事件的直观思维在于事件的具体性。显然，“低级、高级”的区分，是将“事件的具体性”深层次性贬低的错误认识。因为任何将物质或事件的深层次性揭示清楚的分析，无疑具有本质性；而形式的笼统性，只能停留在表面的一般性。所以，将形式的数量分析称为“高级”性，是来自毕达哥拉斯学派的认识观，尔后流行的“量化可比性是科学的唯一标准”的由来。无疑，“数或数量”来自物质或事件的计量，尔后扩展为计时、编序或丈量土地面积、计算财富等日常生产和生活的需要。正如英国哲学家伯特兰?罗素所说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时，数学就诞生了。”最早发明的数是自然数。但也局限于分辨一、二等数量的增多。当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，便开始采用“石头记数”、“结绳记数”和“刻痕记数”等记数方法。 2.计数方法 考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异，但在采用计数方法时，都不约而同地使用过“一一对应”的方法。关于这个方法，在我国还有一则流传已久的笑话：从前，有个目不识丁的大财主，请了一位教书先生来教他儿子识字。第一天，先生在纸上画了一横，说,这是“一”。第二天，先生在纸上画了两横，说：，这是‘二’。第三天，先生在纸上画了三横，说，这是‘三’。财主的儿子学到这儿，便把笔一扔，跑过去对他爹说：“识字真是太容易了，我已经全学会了”。财主自然十分高兴，便把先生辞退了。过了几天，财主要请一位姓万的亲戚到家里做客，就让儿子写一份请帖。谁知财主左等右等，从早上一直等到晌午，还不见请帖送来，他只好亲自上房去催。儿子看见父亲来了，便埋怨地说“天下姓氏那么多，偏偏拣个姓‘万’的。从早上到现在，我才画了五百多划，离一万还远着呢……。”这虽然是一则笑话，但这种画杠的方法曾经被多个民族所采用。关于这个一一对应的方法，可以举出许多别的例证，如一些美洲的印第安人通过收集每个被猎杀者的头皮来计数他们杀敌的数目；一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他们所捕野猪的数目；居住在乞力马扎罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女，习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。几乎所有的人都常常扳着指头计数较小的数目。1937年，人们在捷克斯洛伐克发现了一根大约三万
2019-2020年高二数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 新课 标 人教版 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.是复数为纯虚数的（ ） A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．（ ） A ． B ． C ． D ． 4．复数z 满足，那么＝（ ） A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23 C.2 D.－23 6.集合｛Z ︱Z ＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝ C.｛0，2，－2，2｝ D.｛0，2，－2，2，－2｝ 7.设O 是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ） 8、复数，则在复平面内的点位于第（ ）象限。 A ．一 B.二 C.三 D .四 9.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ） 10.设i 为虚数单位，则的值为（ ） A ．4 B.－4 C.4i D.－4i 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。） 11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .
12.复数的实部为 ，虚部为 。 13.已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则的面积为 。 三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分12分） 已知复数z=(2+)).当实数m 取什么值时,复数z 是: （1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 2025100)21(])11()21[(16i i i i i +-+-+?+、计算 （本小题满分13分） 17．（本小题满分13分） 设∈++-=m i z m m ,)12(14R ，若z 对应的点在直线上。求m 的值。 18．（本小题满分14分） 已知关于的方程组???-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(, )3()12(有实数，求的值。
数学发展简史 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前 5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》
托勒密——三角学 丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法
实用文档 第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2 i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i)2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i
5、设i是虚数单位，则 5i 2－i 等于( ) A．1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，那么( ) A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z2＋z4－2z3＝0 7、设z＝1＋i (i是虚数单位)，则z z＋z＋z等于( ) A．－1－i B．－1＋i C．1 D．4 实用文档
实用文档 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算?????? a c b d ＝ad －b c ，则符合条件??????1 z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±3 3 C ．± 3 D ．±3 2 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3)
中国数学发展史——宋元数学 中国数学发展史概述 中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝（前2033-前1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年—1066年,共历十七世三十一王）和西周［前1027年—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王］。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝——明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。 中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。 一、中国数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
中国数学发展史 【摘要】数学发展史就是数学这门学科的发展历程。人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。该论文就围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。 【关键词】中国数学；数学发展史；数学思想 一、中国数学的发展历程 1.1中国数学的起源与早期发展 据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，后世圣人易之以书契。其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。这是位值制的最早使用。算筹是中国古代的计算工具，这种方法称为筹算。筹算在春秋时代已很普遍。 在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。对几何工具也有深刻认识。 算术四则运算在春秋时期已经确立，乘法运算已广为流行。“九九表”一直流行了约1600年。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题。《庄子》中则强调抽象的数学思想。其中几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 1.2 中国数学体系的形成与奠基 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期。在这一时期，数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》。 西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理于测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有比例知识。 《九章算术》是一部经几代人整理、删减补充和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年。全书编排方法是：先举出例子，然后给出答案，通过对一类问题解法的考察和研究，最后给出“术”。它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成。比欧洲早了1400多年。