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数学史课件：第三章 数与数系的发展

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数与数系的发展课件

数与数系的发展课件


数学发展的未来趋势
更加复杂的应用
01 随着科技的发展，数学的应用将更加复杂和广泛，涉
及的领域将更加多样化。
高性能计算
02 随着计算机技术的发展，高性能计算将更加普及，为
数学研究和应用提供更加强大的计算能力。
数据分析与机器学习
03
随着大数据和人工智能技术的发展，数学将更加注重
数据分析与机器学习等方面的研究与应用。
科学研究和工程
随着科学技术的不断发展， 数在科学研究、工程和技 术等领域的应用也越来越 广泛。
02
数的进制与表示法
十进制
1 2 3
十进制的优点 十进制是一种广泛使用的计数系统，其优点在于 使用十个基本符号（0-9）和一个进位符号，能 够方便地表示大范围的数值。
十进制的普遍性 十进制在日常生活中非常普遍，如时间、重量、 长度等计量单位都是基于十进制进行计算的。
其他进制的应用场景 其他进制数在特定领域和场景中有应用，如十六进制在计算机科学领域应用广泛，八进制则在某些特定 计算中有所应用。
03
数的性质与分类
质数与合数
质数
只有1和它本身两个正因数的自然数，如 2、3、5、7等。
VS
合数
除了1和它本身以外还有其他正因数的自 然数，如4、6、8等。
有理数与无理数
数与数系的发展
CONTENTS
• 数的起源 • 数的进制与表示法 • 数的性质与分类 • 数的运算与性质 • 复数与复平面 • 数的发展对科技的影响
01
数的起源
数的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ念
数的概念的产生
人类在生产和生活实践中逐渐形 成了数的概念，用来描述数量和 大小。
数的定义的演变
数的定义经历了从实物计数到抽 象数学概念的演变，逐渐形成了 现代数学的基石。
数系发展课件

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他声明这个根是不可能的。
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12
2. 复数系的产生与发展
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 达诺对于复数的建 立起到重要作用。
卡达诺(Cardano,1501--
1576)
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13
2. 复数系的产生与发展
1545 年，卡 达 诺 在 《大衍术》中写到： “ 要 把 10 分 成 两 部 分 ， 使二者乘积为40，这是 不可能的，不过我却用 下列方式解决了。”
“i” 表示√(-1)，
称为虚数单位。
欧拉(L.Euler,1707~1783)
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2. 复数系的产生与发展
在此之前的1748年，欧拉给出了著 名公式
eix ＝ cosx + i sinx
发现了复数与三角函数的关系。
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17
2. 复数系的产生与发展
1799年德国数学家高斯 已经知道复数的几何表 示；1831年，他用数对 来代表复数平面上的点：
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23
3. 超复数的产生
1847年，英国数学家 凯莱进一步发现了八 元数。这个数系的乘 法不满足交换律，也 不满足结合律。
凯莱(Cayley,Arthur. 18211895)
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24
自然数N 整数Z 有理数Q 实数R
复数（二元）C 四元数（乘法不可交换）
八元数（超复数） （乘法不可交换，也不能结合）
K.T.W Weierstrass (1815—1897)
德国数学家
先修财务、管理、法律， 后学数学
1854年，哥尼斯堡大学名 誉博士；1856年，柏林科 学院院士
数论、几何、复分析
【优秀文档】数的发展史PptPPT资料

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数 字 ：
数 字 ：
后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。 ◆巴比伦数字：六十进制 四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。
十 进
二 十
进 在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。 制 制 因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
ห้องสมุดไป่ตู้
数的概念最初不论在哪个地区都 但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。
后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。
是1、2、3、4……这样的自然数 如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。
于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。 四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。 多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。 它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。 记数是伴随着计数的发展而发展的
其 余
玛 雅
记数是伴随着计数的发展而发展的 但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。 因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。 大约五千年前，出现书写记数及
分数
随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土 木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测 量．在测量过程中，常常会发生度量不尽的 情况，如果要更精确地度量下去，就必然产 生自然数不够用的矛盾．例如：如果分配猎 获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多 少呢？于是分数就产生了。这样，正分数就 应运而生．据数学史书记载，三千多年前埃 及纸草书中已经记有关于正分数的问题．引
数的发展史PPT课件

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感谢您的观看！
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备注：拶刑是古代对女犯施用的一种酷刑。 “拶”是夹犯人手指的刑罚， 故又称拶指， 唐宋明清各代，官府对女犯惯用此逼供。
第4页/共11页
筹算
我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法： 筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。 按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进 行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为 记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示 同样的数字。 从算筹数码中没有“10”这个数 可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位 进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放 在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样 的计算法在当时是很先进的。但筹算数码中开始 没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”， 就可以表示为“┴ ╥ ”。数字中没有“零”， 是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在 空位上，以免弄错。
数是个神秘的领域，人 类最初对数并没有概念。 但是，生活方面的需要， 让人类脑海中逐渐有了 “数量”的影子。你知道 数是如何发展成为今天这 个模样的吗？
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数的发展大概可以分为以下几个阶段： ✓远古时期 ✓罗马数字 ✓筹算 ✓0的引进和阿拉伯数字
第2页/共11页
远古时期
远古时期的人类在生活 中遇到了许多无法解决的 困难：如何表示一棵树、 两只羊等等。而在当时并 没有符号或数字表示具体 的数量，所以他们主要以 结绳记事或在石头上刻痕 迹的方法计数。
第7页/共11页
发展到阿拉伯数字为止，我们 发现这些数字都是自然数。出现 分数以后，又解决了人们许多难 题。但是，在生活中我们还见到 过不少具有相反意义的量：前进 和后退，向上和向下等等。这些 又怎么表示呢？于是，人类又将 这些具有相反意义的数称为“负 数”。
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的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有
限的步骤后必能得到一个回文数：
如： 95+59=154
又如： 198+891=1089
154+451=605
1089+9801=10890
605+506=1111
10890+09801=20691
1111就是一个回文数。
20691+19602=40293
50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因
此，101× 50就得出5050的总和了。从此，老师再也
不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，
热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用
的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差
数列求和的办法。
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36
这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律 是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣 的性质。
一=乌拉勃，二=阿柯扎 他们把三表为：阿柯扎乌拉勃 那么：阿柯扎阿柯扎＝？ 阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
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26
“0”不是印度人或阿拉伯人的 发明
• “0”太重要了，一无所有为零 • 零是自然数 • 据考证“0”首次出现在柬埔寨＆苏门答
腊的碑文上
• 进位制是人类共同财产
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196一样很难得到回文数。 .精品课件.
43
最后再让我们看两组有趣的数： 第一组为：1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55 第二组为：2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56
数系发展课件

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4 数系扩充的科学道理
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4. 数系扩充的科学道理
➢ 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重 要的角色： 逆运算的运算法则来源于正运算，因 此比正运算困难，以致可能出现无法 进行的现象，从而必须引进新东西， 使数系得以扩展。
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4. 数系扩充的科学道理
➢ 自然数中减法产生0和负数， 整数系统； ➢ 整数中除法产生分数， 有理数系统； ➢ 自然数中开方产生无理数， 实数系统； ➢ 负数中开方产生虚数， 复数系统。
他声明这个根是不可能的。
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12
2. 复数系的产生与发展
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 达诺对于复数的建 立起到重要作用。
卡达诺(Cardano,1501--
1576)
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13
2. 复数系的产生与发展
1545 年，卡 达 诺 在 《大衍术》中写到： “ 要 把 10 分 成 两 部 分 ， 使二者乘积为40，这是 不可能的，不过我却用 下列方式解决了。”
➢ 19世纪上半叶，复变函数理论建立并 得到广泛应用。
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2. 复数系的产生与发展
1873年，我国数学家华衡 芳 (1833~1902) 将 意 大 利 数学家邦贝利（Bangbeili 1530~1590） 《代数术》 翻译为中文，将 “虚数” 引入中国。
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复数系 是保持四则运算基本性质的
最大数系
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3 超复数的产生
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3. 超复数的产生
哈密尔顿 （Hamilton,
William Rowan, 1805—1865）
1843 年 爱 尔 兰 数 学 家 哈 密尔顿 发现有序四元实 数组完全可以组成一个 数 系 —— 叫 “ 四 元 数 ” ， 这是一个乘法不满足交 换律的数系。
数学史及其发展历程PPT课件

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2021/3/12
4
➢ 数学的古代史与近代史
一、古代史
①古希腊曾有人写过《几何学 史》，未能流传下来。 ②5世纪普罗克洛斯对欧几里 得《几何原本》第一卷的注文 中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传 记作品和数学著作中，讲述到 一些数学家的生平以及其他有 关数学史的材料。 ④12世纪时，古希腊和中世纪 阿拉伯数学书籍传入西欧。这 些著作的翻译既是数学研究， 也是对古典数学著作的整理和 保存。
百多年。
秦九韶 • 秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙
江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李
冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君
子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81
笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给 读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过 程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新 方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何 那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．
2021/3/12
15
➢ 解析几何的发展和完善
牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是， 得到了关于“直径”的一般理论。欧拉讨论了坐标轴的平移和 旋转，对平面曲线作了分类。拉格朗日把力、速度、加速度 “算术化”，发展成“向量”的概念，成为解析几何的重要工
他按照各种固体的形状和比重的变化来确定其浮于水中的
位置，并且详细阐述和总结了后来闻名于世的阿基米德原
理：放在液体中的物体受到向上的浮力，其大小等于物体
所排开的液体重量。从此使人们对物体的沉浮有了科学的
《数学发展史》课件

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计算机的出现也促进了算法和计算复杂性理论的发展。这些理论为计算机科学和数学提供了重要的基础和工具， 为解决各种问题提供了新的思路和方法。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
欧几里德
古希腊数学家，他撰写了《几何原 本》，系统地总结了当时的几何知 识，成为世界上最早的公理化数学 著作。
古印度数学
01
印度数学家阿叶彼海特发明了阿拉伯数字的雏形， 为现代数字的发展奠定了基础。
02
印度数学家婆罗摩笈多研究了三角函数和圆周率， 为三角学的发展做出了贡献。
03
印度数学家马哈维拉提出了代数方程的解法，为代 数学的发展做出了贡献。
古埃及人将数学与天文学相结合，用于计算天文现象 和制定历法。
数学著作的流传
古埃及数学著作《几何原本》是世界上最早的几何学 著作之一，对后世数学发展产生了深远影响。
古巴比伦数学
泥板上的数学
古巴比伦人使用泥板作为书写材料，留下了大量的数学泥板。
代数与几何的初步认识
古巴比伦人开始认识到代数和几何的关系，并使用代数方法解决几 何问题。
数学家。
02 03
代数的发展
在16世纪和17世纪，代数得到了迅速的发展。法国数学家韦达和英国 数学家欧几里德等人对代数的理论体系进行了完善，使得代数成为一门 独立的学科。
代数的应用
代数在各个领域都有着广泛的应用，如几何、三角学、物理学等。同时 ，代数也在计算机科学、统计学、经济学等领域发挥着重要的作用。
解析几何的诞生为微积分的发展奠定了基础。通过解析几 何的方法，数学家们可以更加深入地研究函数的性质和变 化规律，从而推动了微积分的发展。同时，解析几何也为 物理学、工程学等领域提供了重要的工具和方法。
数学史之数的演变

数学史之数的演变


甲 骨 文 中 的 干 支 表
中国早在商代就使用干支纪日 法。干支纪年，始于东汉初年 如，殷商的帝王们也大多用其出生的那 一天的干支名来命名。 据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三 年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一 次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直 至清末，2600年从未间断，这是世界上使用时 间最长的纪日法。 干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上， 近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的 干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战 争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。
有理数和无理数的小数表达式
任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达 式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表 示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不 循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表 示一个无理数。 重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都 存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b） 表示两个无理数，且它们的小数表达式为 a=a0.a1a2… 和 b=b0。b1b2…， 设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一个n 值。于是， c= b0。b1b2…bi 就是a和b之间的一个有理数。
巴比伦人发展了应用定位不完全的 60进位制的数系 一方面，60以上的数目依定位原则 写出；另一方面，60以内的数则按照以 十进制的简单分群数系写出，如 524,551=2×603+25×602+42×60+31=
其中分别代表1和10 。
埃及象形文字数系是以10进位制为 基础的。用来表示1和10的头几次方的 称号是：
如图3.6所示，其中OA=1， MO=1/2， 因而AM= /2，以及AB=AN=AM－MN= （－1）/2=x。 这里的无理数x被称为“黄金比” （有的资料上把它的倒数（+1） /2≈1.618称为“黄金比”），它在 自然界中，以及在科学和艺术中， 处处都会出现。它是早期被发现的 无理数之一。
数学史课件：第三章 数与数系的发展

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3.3.2无理数
公元前5世纪， 图3.5 黄金比的 几何作图法(一) 毕德哥拉斯学派 发现了一些直角 三角形 的三边不能用整 数或整数之比来 表示的事实
图3.6黄金比的几何作图法(二) 在古希腊几何学家试图作正五 边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了 作正五边形，只要能作出360的角即可，因为 这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边 形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角 为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC 平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且△BAC与 △AOB相似。 取OA=1，设AB=x，于是有 AB/BC=OA/AB， x/（1－x）=1/x， 即 x2+x－1=0。 由此得到x=（－1）/2。运用古希腊尺规作图 的方法，不难作出这样的x：
3.2.2文字记数
新石器时代中晚期的遗址（西安半 坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的遗址（距今约 5000~6000年）中，发现陶器上刻的符 号中有数字符号： “”（五）、“”（六）、“”（七）、 “”（八）、“”（十）、“”（二十）
商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”） 的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽 管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代 对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符 号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。 表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过 程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确 切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采 用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才 采用现代写法。
巴比伦人发展了应用定位不完全的 60进位制的数系 一方面，60以上的数目依定位原则 写出；另一方面，60以内的数则按照以 十进制的简单分群数系写出，如 524,551=2×603+25×602+42×60+31=
数学的发展历程课件

数学的发展历程课件

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1. 早期数学的起源：早在古代文明时期，人类就开始使用数学来解决生活中的问题，如统计人口、测量土地等。

2. 古希腊数学：古希腊是数学发展史上的重要阶段。

著名的数学家毕达哥拉斯提出了毕达哥拉斯定理，建立了几何学的基础。

3. 阿拉伯数学：在中世纪，阿拉伯世界成为数学知识传播的中心。

他们对印度数字系统进行改进，引入了我们现在使用的阿拉伯数字。

4. 文艺复兴时期的数学：文艺复兴时期，数学经历了一次重大的发展。

著名的数学家如勒让德、笛卡尔、费马等提出了许多重要的数学理论。

5. 高等数学的建立：18世纪，高等数学开始独立发展，与其
他学科如物理学、化学等有更紧密的联系。

微积分的概念和方法被引入，并逐渐完善。

6. 现代数学的兴起：20世纪数学进入了一个全新的阶段，各
个分支如代数学、几何学、概率统计学等得到了极大的发展。

7. 应用数学的重要性：随着科技的进步，应用数学在各个领域的作用日益重要。

数学被广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域。

8. 数学的未来发展：数学作为一门基础学科，将继续在人类的
发展中起着重要的作用。

随着人工智能、量子计算等新技术的出现，数学也将不断发展。

9. 数学的重要性和应用：数学不仅是一门学科，更是一种思维方式。

它培养了逻辑思维、分析能力和问题解决能力，为人们的生活和工作带来了便利。

10. 数学的挑战和困惑：尽管数学的发展取得了许多成就，但仍然存在许多未解决的问题和困惑。

数学家们正在不断努力探索数学的边界。

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3.2.4干支记数法
干支记数法是一种特有的60进制的记 数方法 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、 未、申、酉、戌、亥
六十甲子
干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
3.1.1 数感
数感，即感知事物多少的心理能力。 原始人类较早的“有”与“无”、“多” 与“少”的认识 某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦 的数感
3.1.2 一一对应计数法与进位制
一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数 荷马（约公元前9~8世纪）的诗史中， 独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来对应自 然数 一一对应的计数方法很容易形成自 然数的概念, 它是数概念发展的重要途 径。
古代巴比伦人的六十进位制 玛雅数系中的二十进位制 计算机技术中的二进位制 进位制的转化 例如，四进制数（3021）4转化为十进 制数的方法为： （3021）4=3· 43+0· 42+1· 4+2=198
3.1.3 度量的数
使用具有确定标准的容器、长度（称 为单位）等去度量，度量出的次数之大 小就产生量的概念。人类的度量活动是 产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分 数的概念
3.2.3 位值制记数法
十进制的位值记数法，它不仅采用 十进制，而且在不同位置上的数码，表 示这个数码与10的某个幂次的乘积。即 用位置来表示数。
中国古代的筹算中的位值制记数法。 筹式的数码有纵、横两种形式： 1 2 3 4 5 纵式 横式
6
7
8
9
筹式数字摆放的方法规定：个位、 百位、万位以上的数用纵式，十位、千 位、十万位上的数用横式，纵横相间， 以免发生误会；又规定用空位来表示零。 例如197和1907的筹式分别表示为 和
第三章
数与数系的发展
主要内容 原始人类的数感（Number Sence） 数的抽象概念与数的符号 数域扩张（简称“扩域”）形成五大 数系 公理化的方法创造超复数 四元数 一一对应的计数方法 超限数的连续假 设
3.1 数的起源
“数和形的概念不是从其它任何地方， 而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为：依赖 于本能感觉，形成一一对应的计数方法， 建立集合的等价关系并给出其一个标准 （或代表集合）规定符号。
3.3.2无理数
公元前5世纪， 图3.5 黄金比的 几何作图法(一) 毕德哥拉斯学派 发现了一些直角 三角形 的三边不能用整 数或整数之比来 表示的事实
图3.6黄金比的几何作图法(二) 在古希腊几何学家试图作正五 边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了 作正五边形，只要能作出360的角即可，因为 这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边 形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角 为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC 平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且△BAC与 △AOB相似。 取OA=1，设AB=x，于是有 AB/BC=OA/AB， x/（1－x）=1/x， 即 x2+x－1=0。 由此得到x=（－1）/2。运用古希腊尺规作图 的方法，不难作出这样的x：
如，夏王朝的“天有九野，地有 九州，王有九鼎，筹有《九畴》”的治国 方针。夏王朝将天分为 “九天”；地 为“九州”，并将州的官员称为“牧”。 九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九 州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九” 表在中国也普遍使用。这或许可以看出， 神秘数与运算中的数在历史发展中的先 后顺序。
任何数现在都可以用这些符号相加的方法 给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。 于是，13015=1×104+3×103+1×10+5= 另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们 写这个数，还是从左往右。
古代玛雅人的数系是16世纪在墨西哥 发现的。研究认为，法定的玛雅年是 360天，因此其数系本质上是二十进制。 但从第二次数群的幂次不是202，而是 18×20，对于更高次的数群亦采用 18×20n的形式。如： 43， 480=6×18×202+0×18×20+14×20。 当然，古代玛雅人没有计算符号，其数 字是由表示6、0、14的符号自上而下排 列的。
如图3.6所示，其中OA=1， MO=1/2， 因而AM= /2，以及AB=AN=AM－MN= （－1）/2=x。 这里的无理数x被称为“黄金比” （有的资料上把它的倒数（+1） /2≈1.618称为“黄金比”），它在 自然界中，以及在科学和艺术中， 处处都会出现。它是早期被发现的 无理数之一。
第一次数学危机与古希腊数学家欧 道克索斯的“量”理论 无理数最早出现在中国《九章算术》 中时，丝毫没有引起人们的异议。《九 章算术》的开方术中说：“若开不尽者， 为不可开，当以面命之。”
甲 骨 文 中 的 干 支 表
中国早在商代就使用干支纪日 法。干支纪年，始于东汉初年 如，殷商的帝王们也大多用其出生的那 一天的干支名来命名。 据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三 年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一 次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直 至清末，2600年从未间断，这是世界上使用时 间最长的纪日法。 干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上， 近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的 干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战 争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。
有理数和无理数的小数表达式
任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达 式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表 示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不 循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表 示一个无理数。 重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都 存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b） 表示两个无理数，且它们的小数表达式为 a=a0.a1a2… 和 b=b0。b1b2…， 设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一个n 值。于是， c= b0。b1b2…bi 就是a和b之间的一个有理数。
甲戌
乙亥
丙子
丁丑
戊寅
己卯
庚辰
辛巳
壬午
癸未
ห้องสมุดไป่ตู้甲申
乙酉
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丁亥
戊子
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图3.4 甲骨文中 的干支表拓片 如图3.4。这些干 支表尽管都有些 残损，但从排列 上看，全是由上 到下竖行排列， 而且都是甲起头， 10对一行，排列 整齐，说明商代 人已有了序数的 概念。
3.1.5 神秘的数
神秘数广泛存在于古代人类社会，数 字在这里不表示什么同类的序列，也不 用于最简单的数学运算，而是利用数本 身的神秘性来预卜事物的未来。数被想 象成具有神秘属性的代表物，它便通过 宗教、神话来影响人类的生活。 原始人类对自然的认识是有限的，往 往借助数——这个思维的抽象物，来解 释世界上无法理解或控制的各种现象。 于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或 其它宗教活动之中。甚至成为治国的工 具。
西方数学家更多地是研究负数存在的合理性
如，16、17世纪的帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说 帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数， 他说如果(－1)：1 = 1：(－1)，那么较小数与较大数的 比怎么等于较大数与较小数的比呢？ 英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大 （1655）。他对此解释道：因为时，。而负数 故。 英国著名代数学家德· 摩根在1831年仍认为负数是虚构 的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29 岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），开解得x = －2。他称此解是荒唐的。 当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随 着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理 性才真正确立。
如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度 中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说 图3.1是西汉末年王莽律嘉 量斛的结构示意图；中间大 的圆柱为斛量，中间底部圆 柱形为斗，左右两边各有一 耳，都呈圆柱形，左耳为升 量，右耳上为合量、下为龠 量。
3.1.4抽象的数
数与被计算的东西分离开来了，出 现了1，2，3，…这些无名数，无名数 的出现标志着抽象的数概念的产生， 怀特海（1861~1947）：“首先 注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟 使思想史前进了一大步。他是第一个具 有纯数学观念的人”。 教育的启示 学会1、2、3，… 的概念，并不意味着就可以脱离具体事 物进行抽象的数的思维。相反，当人们 接触到数的符号或名称时，仍然与那些 需要计算对象的某些具体表象联系在一 起。
3.2.2文字记数
新石器时代中晚期的遗址（西安半 坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的遗址（距今约 5000~6000年）中，发现陶器上刻的符 号中有数字符号： “”（五）、“”（六）、“”（七）、 “”（八）、“”（十）、“”（二十）
商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”） 的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽 管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代 对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符 号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。 表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过 程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确 切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采 用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才 采用现代写法。