向量组的线性组合ppt课件

矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~

实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律

x2a2T
xm amT bT有解。
例3．零向量是任何一组向量的线性组合。 定义1对于向量组a1，a2，
，am ，如果有一组数
b=(-1,1, 5)，证明b由向量组a1，a2， a3线性表示并写出具体的表示式。
定义1 对于向量组a1，a2，
，am ，如果有一组数
这是因为o=0 0 0 所以b 可由a1，a2 ，a３线性表示
线性方程组
向量组 A
线性表示
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Ax = b
有解
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a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R(A)R(A,b)
17
结束
铃
4。向量组的等价．
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量
x1 a11 a12
x1a1x2a2 xm ama1,a2, ,am x2 a21 a22
xm an1 an2
a1mx1 a2m x2
anmxm
b 1 a 1 2 a 2 m a m
P.83 定理1 的结论：
a11 a12
a21
a22
an1 an2
向量b 能由
例1．设 1(1, 0, 0)，2(0, 1, 0)，3(0, 0, 1)，则
∵21-23 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1)，
(2, -1, 1)是向量组1，2 ，3的一个线性组合， 也就是可由1，2 ，3线性表示。 注意：（1）向量组1，2 ，3 的线性组合有无穷多个

等价的向量组等秩
35
例2 设 1 1 2 , 2 2 3, 3 3 1.
若向量组1, 2 , 3线性无关,证明
向量组1, 2, 3也线性无关.
证 由已知可以解得用1, 2,3来表示
1, 2 , 3的表达式:
2
1 2
(1
2
3),
3
1
1 2
1 2
(1
(1
2
2
3 3)
)
故两向量组等价,等秩, r(1, 2 , 3)=3
证 由1,2,…,m, 线性相关
存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得
k11 k2 2 km m l 0
下面证明只有l0, 反证法.
25
如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使
k11 k2 2 km m 0
于是1, 2, … , m 线性相关,与已知矛盾.
则称向量组 1, 2 ,为,向 r量组S的一个
极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为
r(1, 2, … , s)= r 或秩(1, 2, … , s)= r
24
线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量1,2,…,m线性无关, 而1,2,…,m , 线性相关, 则 可由 1,2,…,m 线性表示, 且表法唯一.
1 k111 k21 2 kr1 r
2 k121 k22 2 kr 2 r
s k1s1 k2
即 (1, 2,,
s 2
s)
( 1,2 ,kr,s rr)
k11
k21
k12
k22
k1s k2s
kr1 kr2 krs
存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r Krs