高三三校联考理科数学试题(附答案)

2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D C B B C B D C D C B【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．2．由，得，故选D．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人人，样本中的中年人为6人，则老年人为，青年人为代入选项计算，C不符合，故选C．4．的展开式中，项为，，故选B．5．设的公差为，由，，故选B．6．由题意可知，故在点处的切线方程为，故选C．7．由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，，故选B．8．已知由余弦定理可得，所以，即①正确；由平面ABCD，得，所以平面，②正确；平面，得，又，所以平面ABE，③正确；由平面ABE，得，④正确，故选D．9．由程序框图得，第一次运行；第二次运行；第三次运行，…，故，故选C．10．因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，由的面积是，所以，双曲线的实轴长为2，故选D．11．依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有且，所以，即在上递增，所以，故选C．12．设点，，由三角函数的定义得将直线的方程与圆的方程联立得，由韦达定理得所以因此，当是常数时，是常数，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案5【解析】13．由，得，即，故，则向量与的夹角为．14．由的表达式知，为等差数列，设公差为d，则成等比数列，故，即，解得或，若，与矛盾，故．15．正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为．16．依题意，，由椭圆的定义可得，所以==，从而因为离心率，所以，又，解得，所以，故椭圆C的方程为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得，故．……………………………………………………………………………（3分）法一：，．……………………………………………………………………………（6分）法二：．………………………………………………（6分）（2）………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1），…………………………………………………………（1分）由正弦定理得…………………………………（2分）……………………………………………………（3分），………………………………………………………………（5分）又是的内角，．…………………………………………………………………………………（6分）（2）为锐角三角形，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得，…………………………………………（8分）………………………………………………………………………………………（9分）关于A为减函数，………………………………………………（10分），……………………………………（11分），即的取值范围是．……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图，设的中点为，连接，…………………………………………………（1分）由题意，得，则为直角三角形，点为的外接圆圆心．……………………（2分）又点在平面上的射影为的外接圆圆心，所以平面，…………………………………………………………………（3分）又平面，所以平面平面．……………………………………（4分）（2）解：由（1）可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………………………………………………………………………………（5分）则，，，，，设，，，………………………………………………………………………………………（6分）设平面的法向量为，则得令，得，，即．……………………………………………………………………（8分）设平面的法向量为，由得令，得，，即…………………………………………（9分）……………………………………………………………………………………（10分）解得．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）令，………………………………………………………………………………………（2分）故………………………………………………………………………………………（3分）的单调递增区间为的单调递减区间为．………………………………………………………………………………………（4分）（2），令其中．……………………………………（5分）令，，……………………………………………………（6分）故在上单调递减，故，…………………………………………………（7分）故，从而在上单调递减；在上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分）故在上，函数………………………………………………………………………………………（9分）由于，令，……………………………………………………（10分），对于恒成立，从而，即，当时等号成立，…………………………………………………（11分）故．……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有，直线，…………………………………（1分）设，直线与抛物线相交，联立方程消去，化简得………………………………（2分）所以，．…………………………………………………………（3分）又因为，所以直线的斜率.同理，直线的斜率…………………………………………………………（4分）所以，………………………………………………………………（5分）所以，直线，即．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆是以为直径的圆，设是圆上的一点，则，所以，圆的方程为………………………………………………………………………………………（7分）又因为所以，圆的方程可化简为………………………………………………………………………………………（8分）联立圆与抛物线得消去，得即，即………………………………………………………………………………………（9分）若方程与方程有相同的实数根，则矛盾，……………………………………………………………………………………（10分）所以，方程与方程没有相同的实数根，所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于……………………………………………………………………………………（11分）综上所述，．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线的极坐标方程是，得直角坐标方程为，即．……………………………………………………………………（3分）（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的方程得，化简得．……………………………………………………………………………………（5分）设两点对应的参数分别是，则，，………………………………………………………………………………（6分）故，…………………………………………………………………………………（8分）得，…………………………………………………………………………（9分）得．………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得，所以．………………………………………………………………（5分）（2）由柯西不等式，得所以．………………………………………………………………（10分）。

一、单选题二、多选题1.已知集合，若，则（ ）A ．-1B ．0C ．2D ．32.已知集合，集合，则的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．163. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．4. 若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四5. 已知为定义在R 上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）A．B．C．D．6. 若命题所有对数函数都是单调函数，则为A ．所有对数函数都不是单调函数B ．所有单调函数都不是对数函数C ．存在一个对数函数不是单调函数D ．存在一个单调函数不是对数函数7. 多项式的展开式中含项的系数为（ ）A．B．C ．2D ．48. 已知i 为虚数单位，则的虚部为（ ）A ．1B．C ．D．9. 关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是线段上的动点，点与点关于直线对称．则下列结论正确的是（）A ．当时，点的坐标为B ．的最大值为4C．当点在直线上时，直线的方程为D ．正弦的最大值为11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为（ ）．A．B．C．D．2022届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第四次模拟联考理2022届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第四次模拟联考理三、填空题四、解答题12.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．当时，为偶函数B．当时，在上单调递减C ．当时，在上的值域为D ．当时，点是的图象的一个对称中心13.已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为___________.14.已知函数，则______．15. 已知抛物线，点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为-1，则抛物线的方程为______.16. 如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，△ABC 的面积为S ，且．(1)求角B 的大小；(2)若为平面ABC 上△ABC 外一点，DB =2，DC =1，求四边形ABDC 面积的最大值．17. 已知函数，.（Ⅰ）若函数是R 上的增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）讨论函数在上的零点个数.18. 已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)当时，证明：只有一个零点.19. 设整数，集合，是的两个非空子集．记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数．（1） 求；（2）求．20.已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.21. 直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.。

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（ ）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔理〕试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图，那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7(4) 在圆06222=--+y x y x 内，过点E 〔0，1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A ．25B ．210C ．215D ．220(5) 函数()xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=21lg 有两个零点1x 、2x ，那么有 ( ▲ ).A 021<x x .B 121=x x .C 121>x x .D 1021<<x x(6) 假设βα、均为锐角，且2sin sin cos cos sin ααβαβ=+，那么βα与的大小关系为( ▲ )A ．βα<B ．βα>C ．βα≤D ．不确定〔7〕在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过长方体的顶点A 与长方体12条棱所成的角都相等的平面有 ( ▲ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．假设△1MNF 为正三角形，那么该双曲线的离心率为(▲)A ．6B ．3C ．2D ．33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A ．[2)+∞， B. [2)+∞， C. (0,2] D. [2,1][2,3]--二．填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分.(11) 二项式5⎪⎭⎫ ⎝⎛+x m x 的展开式中3x 的系数为10，那么实数m 等于___▲ ．(12) 一空间几何体三视图如以下列图，那么该几何体的体积为___▲ ．(13) 实数,x y 满足约束条件20,350,1,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩那么212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于___▲ ．(14)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，那么ABC ∆的面积等于 ___▲ ．(15) 将“你能HOLD 住吗〞8个汉字及英文字母填入5×4的方格内，其中“你〞字填入左上角，“吗〞字填入右下角，将 其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或 竖读成一句原话，如以下列图为一种填法，那么共有___▲ 种不同的填法。

2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈−≤R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。

绝密★启用前 试卷类型：A深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学试题 2023.12注意事项：1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．5．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合*{2}A x =∈≤N ，集合2{|2}B y y x ==+，则A B =A ．[1,4]B ．[2,4]C ．{1,2,3,4}D ．{2,3,4} 2. 若复数z 满足i 12i z =--，则z 在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在梯形ABCD 中，设AB = a ，AD = b ，若2AB CD =- ，则AC =A ．1+2a bB ．12-+a bC ．1+2a bD ．12-a b4．已知函数14e ,1,()41,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为A ．1B ．4C ．4eD ．5 5．若tan 2α=，则sin 2α=A ．43-B ．43 C．45- D ．456．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为ABC ．D ．7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1x my =+与C 交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，若AF FD =，则||BF =A ．13B ．1C ．43D ．48．已知函数2()e 2xx f x =-，过点(,)m n 作()f x 的切线l ，若1n m =+（1n ≠），则直线l的条数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省名校联盟（东北三省三校）2025届高三上学期9月份联合考试数学试题一、单选题 1．2log 50.5=（ ）A ．12B ．15-C ．15D ．22．已知命题:,11p x x ∃∈-<R ，命题1q < ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知,M N 为全集U 的非空真子集，且,M N 不相等，若()U M N U =U ð，则（ ） A ．N M ⊆ B ．M N N ⋃= C ．()U M N ⋂=∅ðD ．()U M N U ⋃=ð4．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为H ，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y 随时间t 变化的函数为()f t ，则下列函数图象中最有可能是()f t 图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“12a a <”是“()22*1n n a a n +<∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则1211,,e π2f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系为（ ）A ．1211e 2πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．1211e 2πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．1211e 2πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．1211e π2f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．已知定义在R 上的函数()f x ，对x ∀∈R ，都有()()44f x f x +=-+，若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，则()4050f =（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．18．已知函数()2ln 1f x x x =-，则当0a ≠时，方程()()220a f x f x a ⎡⎤+-=⎣⎦的不同的实数解的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题9．已知0xy >且22x y +=，则（ ） A ．0y < B ．02x << C ．41610x y +≥D ．22log log 0x y +<10．已知幂函数()f x 的图象经过点18,16⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x 是偶函数C ．()413f '-=D ．若()()321f x f x ->+，则233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，][0.51,1.11⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()[]f x x =，下列结论正确的有（ ）A ．若()0,1x ∈，则()()1133f x f x ⎡⎤-+<-+⎢⎥⎣⎦B ．()()()f x y f x f y +≥+C ．设()(220x g x f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则201()400k g k ==∑D ．所有满足()()14,0,3f m f n m n ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的点(),m n 组成的区域的面积为409三、填空题12．若232log 04a a a ->+，则a 的取值范围是.13．数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q .若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则d q +=.14．已知,,a b c 均为正数，222a b +=2b +的最大值为.四、解答题15．已知数列{}3n a是首项为3，公比为9的等比数列，数列{}n b 满足321213333n n b b b b n -++++=L . (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16．定义三阶行列式运算：111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---，其中{}(),1,2,3ij a i j ∈∈R .已知1>-a ，关于x 的不等式11001x aax a x-->-的解集为M . (1)求M ；(2)已知函数()()2R 41,,e 22,x x a x x Mf x a x M ⎧-+∈=⎨--∈⎩ð不存在最小值，求a 的取值范围.17．已知函数()330f f x x x '=-.(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)设()()()2300f g x ax x f f x ='--，当10a -<<时，记()g x 在区间[]1,0-上的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和，2145121,2,,8,152,n n n n n n a a n a a a b b S n ++-+⎧=-===⎨⎩为奇数为偶数.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若222025n n T S -<，求n 的最大值； (3)设221n n n c T S =-，证明：11324n i i c =≤<∑.19．已知函数()e 2x af x x =-（e 是自然对数的底数）.(1)若2e a =，求()f x 的极值；(2)若()()*1,,,(2)3nx n f x x x ∞∈-+∀∈≤+--N ，求a ；(3)利用（2）中求得的a ，若()()1ln F x f x x x=++，数列{}n a 满足()10,1a ∈，且()1n n a F a +=，证明：132212n n n a a a ++++->.。

2019高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且. （1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，. 当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值. （2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

广东省惠州市第一中学、深圳实验学校、东莞中学等三校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题一、单选题 1．已知集合1{|0},{N |||2}2x M x Q x x x -=≤=∈≤+，则M Q ⋂=（ ） A ．{1,0,1}- B ．[0,1]C ．(2,1]-D ．{0,1}2．设复数12iiz -=（i 为虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，R b ∈，则“0a b <<”是11a b>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()3sin 1x xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）是减函数，若3m a =，3a n =，log 3a p =，则,,m n p 的大小关系是（ ） A ．m n p >>B ．n m p >>C ．n p m >>D ．p n m >>6．已知()()sin cos ,tan tan 3x y x y x y -=+-=，则()tan x y -=（ ） A ．1B ．1-C ．3D ．3-7．已知函数()2ln ,021,0x x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩函数()()()()21g x f x a f x a =---⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A ．若1e<-a ，则()g x 恰有2个零点B ．若()g x 恰有2个零点，则a 的取值范围是()1,2,e ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．若()g x 恰有3个零点，则a 的取值范围是[)0,1D ．若12a ≤<，则()g x 恰有4个零点8．已知函数2()2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，则12()()f x f x +的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(,3)-∞-D ．(,3]-∞-二、多选题9．设ω为正实数，已知函数()π4sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．当1ω=时，函数()f x 的图象的一条对称轴为5π6x =B ．已知()14f x =-，()24f x =，且12x x -的最小值为π2，则2ω=C ．当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()4cos2g x x = D ．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()2,1对称B ．()f x 是以8为周期的周期函数C ．20241(42)2024k f k =-=∑D ．存在函数()h x ，使得对R x ∀∈，都有()()||h g x x =11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足当[]0,2x ∈时，()2,0142,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，当2x >时，满足()()2R f x mf x m =-∈,(m 为常数)，则下列叙述中正确的为（ ）A ．当12m =时，()31f = B ．当[4,6]x ∈时，()f x 的解析式为()222(4),452(6),56m x x f x m x x ⎧-≤≤=⎨--<≤⎩ C ．当1m >时，()24x m mf x ≥在[)0,+∞上恒成立D ．当01m <<时，函数()f x 的图象与直线1*2N n y m n -=∈,在[]0,2n 上的交点个数为21n -三、填空题12．已知函数)2()3log f x x =，正数,a b 满足()(31)0f a f b +-=，则3b aab+的最小值为．13．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，t （单位，h ）内药物在血液中浓度由1p （单位，g /mL μ）降低到2p （单位，g /mL μ），则药物的半衰期120.693ln ln tT p p ⋅=-．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为36g /mL μ和54g /mL μ，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为24g /mL μ，设药物甲、乙的半衰期分别为1T ，2T ，则12T T =． 14．若,a b 为正实数，且21()e 2x f x ax bx =--在x ∈R四、解答题15．我们知道，函数y =f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f x 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y =f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数()1212xf x -=+.(1)证明：函数()f x 的图象关于点()1,1对称；(2)判断函数()f x 的单调性（不用证明），若()()2522f a f a -+->，求实数a 的取值范围.16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 2sin 0c B b C -=． (1)求角B ；(2)设AB 的中点为D ，若CD b =，且1a c -=，求ABC V 的面积．17．已知函数()()log (0xa f x a a a =->且1)a ≠．(1)求函数()f x 的定义域；(2)当2a =时，关于x 的不等式()()2log 21xf x x m -+≤+恒成立，求实数m 的最小值．18．已知函数32()3f x x mx m =-+.(1)当1m =时，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有三个不相等的零点123,,x x x ，且()f x 在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，求m 的取值范围及123111k k k ++的值. 19．定义：如果函数()y f x =与()y g x =的图象上分别存在点M 和点N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有“伙伴”关系. (1)设函数()(N )2n n f x x n n +=≥∈,，()1g x x =-，①证明()n y f x =和()y g x =在1(,1)2上具有“伙伴”关系；②若()n y f x =和()y g x =在1(,1)2上的关于x 轴的对称点M 和N 的横坐标为n x ，判断并证明数列23,,,n x x x L L 的增减性. (2)若函数()e 1x F x =-和sin ()1(0)m xG x m x=+<在区间(0,π)上具有“伙伴”关系，求m 的取值范围.。

2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{}{}10,1,1,3,4A xx B =-=-∣ ，那么如图阴影部分表示的集合为（）A.{}1,4-B.{}1,3,4C.{}1,4D.{}1,3,4-2.若1i +是一元二次方程20,x ax a a -+=∈R 的根，则该方程的两根之和为（）A.2B.1i -C.22i- D.13.已知(1,0),||1,||a b a b ==+=a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件A ：“两人至少有一人选择篮球”，事件B ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率()P BA =∣（）A.49B.59C.89D.455.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）A.(220dm+ B.(220dm+ C.256dm D.(220dm+6.已知圆的半径为1,,,a b c 分别为该圆的内接ABC 的三边，若abc =ABC 的面积为（）B. C. D.7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n 层有n a 个球，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前30项和为（）A.6031B.382C.2031D.19318.已知函数()e ln xf x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x ∈有实数解，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.[)e,∞+二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设随机变量X 的均值为,a μ是不等于μ的常数，则X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B.若一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则所有数据()1,2,,i x i n = 都相同C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在对两个分类变量进行2χ独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π8x =对称C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,,C AC l D BD l αβ∈⊥∈⊥，且AC AB BD ==，则（）A.当αβ⊥时，直线CD 与平面β所成角的正弦值为33B.当二面角l αβ--的大小为60 时，直线AB 与CD 所成角为45C.若22CD AB ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为55π3D.若2CD AB =，则二面角C BD A --的余弦值为277三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=__________.13.若()2ln 1f x x b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则b =__________.14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为__________.四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设圆C 与两圆222212:(3)1,:(3)1C x y C x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2265x y +=上，求实数m 的值.16.（本小题满分15分）已知函数()1ln 2f x a x x x =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()22mf x x x+ 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在几何体ABCDEF 中，ADEF 为等腰梯形，ABCD 为矩形，AD ∥,1EF AB =，3,2,1AD DE EF ===，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BF CF ⊥；（2）求直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）现有标号依次为1,2,,n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个黑球和2个白球，其余盒子里都是1个黑球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从1n -号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止.（1）当2n =时，求2号盒子里有3个黑球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中黑球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X .19.（本小题满分17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a a b b b a b c a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b x y z x y z ⨯=，则称a b⨯ 为空间向量a 与b的叉乘，其中()()111111222222,,,,,a x i y j z k x y z b x i y j z k x y z =++∈=++∈R R ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点，分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()0,2,1,1,3,2A B -，求OA OB ⨯；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯；（3）问：2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的多少倍？2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.由{}10A x x =-∣ ，得U {1A x x =<-∣ð或0}x >，而{}1,1,3,4B =-，依题意，阴影部分表示的集合(){}U1,3,4A B ⋂=ð，故选B.2.设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故z 1i =-，故1i 1i 2++-=，故选A.3.由题知，222||1,()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++=，所以1π2cos 1,cos ,23θθθ===，故选B.4.由题意可知A ：两人都没选择篮球，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则()4285525P AB⨯==⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===∣，故选C.5.如图所示，高线为MN ，由方斗的容积为28升，可得(1284163MN =++⋅，解得3MN=.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB AB ===，侧面积为面积为(220dm s =+，故选 D.6.设,,a bc 分别为角,,A B C 所对的边，在ABC 中，由正弦定理可得，22sin sin sin a b c R A B C====，所以11162sin ,sin 222244ABC c c abc C S ab C ab ===⋅=== ，故选C.7.根据已知条件有11a =，当2n 时，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以()()1123422n n n a n n +=+++++=，经检验11a =符合上式，所以()()*12n n n a n +=∈N ，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111122122233411n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以3026023131S =-=，故选A.8.根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()()e ln ,0,e xg x x x x x =--∈，则函数()e ln x f x x x x a =---在()0,e 上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点.()()()()()1e 1111e e 1e 11e xx x x xx x x g x x x x x x x x +-+⎛⎫=+--=+-=+'-=⎪⎝⎭，令()()e 1,0,e x h x x x =-∈，则()e e 0x x h x x =+>'，故()h x 在()0,e 上单调递增，因为()010h =-<，()1e 10h =->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x =，即00e 10x x -=，即001e xx =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()()()00,0,h x g x g x <'<单调递减，当0e x x <<时，()()()00,0,h x g x g x >'>单调递增，所以()0min 000000()e ln 11xg x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x ∞→+，故()()[)0,e ,1,x g x ∞∈∈+，所以1a ，故选C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABADABD【解析】9.对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A 正确；对于B ，根据方差公式()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，可知若一组数据1x ，2,,n x x 的方差为0，则12,B n x x x === 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于2D,χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB.10.对A ，由()01f =-1ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，又πππ,224ϕϕ-<<∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππππsin 0,π8484k ωω⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02,2ωω<∴= ，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5π2cos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，方程()1f x =在()0,m 上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个根为13π4，所以5π13π24m < ，故D 正确，故选AD.11.对A 选项：当αβ⊥时，因为,l AC l αβ⋂=⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为,BD l AC AB BD ⊥==，所以AD ==，所以sin 3ACCDA CD∠===，故A正确；对B 选项：如图，过A 作AE ∥BD ，且AE BD =，连接,ED EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB ∥DE ，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE ∥BD ，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠= ，由AC l AE l AC AE A ⊥⊥⋂=､､，且,AC AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE ∥l ，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥.由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠= ，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠= ，即直线AB 与CD 所成角为45 ，故B 正确；对于D ，如图，作AE ∥BD ，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC中，易得CE =，在ACE 中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，120CAE ∠= ，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得37,1,22CO HO CH ===，所以27cos 7OH CHO CH ∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠= ，如图，分别取线段,AD AE 的中点,G M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE 的外接圆半径1312sin120r =⨯= ，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π36R =，故C 错误，故选AB D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x ⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即01234523450,8a a a a a a a a a a =+++++∴+++=.13.()f x 定义域为210x b+>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-.14.如图，伞的企沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为,C O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由,OF BC OF OB ⊥==，得45,2,a c BF FBC AB a BC ∠+===== ABC 中，60BAC ∠= ，则()175,sin75sin 453022224ACB ∠==+=⨯+⨯= ，由正弦定理得，2sin75sin60a =，解得2a =，则2c =，所以该椭圆的离心率2c e a ==-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）圆221:(3)1C x y ++=的圆心为()13,0C -，半径为1，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以12C C ､为焦点的双曲线，且1,3a c ==，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=.（2）联立方程221,80,y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得227280x mx m ---=，则()()222Δ42883270m m m =++=+>，可知直线与双曲线相交，如图6，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，可得120008,277x x m m x y x m +===+=，即8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7.16.（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为()21{0},2a xx f x x x >=-'+∣，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直，所以()1122f a =-+='，即1a =.()()()()21211ln 2,(0)x x f x x x f x x x x +-+'∴=+=>，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()22m f x x x + 恒成立，可化为1ln 222m x x x x x +++ 恒成立，即ln 12m x x ⋅+ 恒成立.令()ln 1g x x x =⋅+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-.由ln 12m x x ⋅+ 恒成立，得22e m - ，即实数m 的取值范围是2,2e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.17.（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接,MB MC ，由已知可得1,2,2,5AM MF MD BM CM =====，平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,ABCD AD FM =⊂平面ADEF ，,FM AD FM ⊥∴⊥平面ABCD ，,MB MC ⊂ 平面,,ABCD FM MB FM MC ∴⊥⊥，3,6BF CF ∴==，222BF CF BC ∴+=，BF CF ∴⊥.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系,A xyz -则()()()1,3,0,0,2,1,0,1,1C E F ，()()()0,1,1,1,1,1,0,1,0AF CE EF ∴==--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF y n CE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令1x =得()1,0,1n = ，设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，1sin cos ,2AF n AF n AF nθ⋅==== .ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦ ，即直线AF 与平面CEF所成角的余弦值为2.18.（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==.（2）由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为ξ123P 7361118736（3）记1n a -为第()2n n 号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n 号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211,318b b ==，则第()2n n 号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++-- ，化解得121162n n b b --=+，得12131331,565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=.19.（本小题满分17分）（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2A B -，则()0214020321,1,2132i j k OA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- .②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i⨯=++--- ()122112211221,,y z y z z x z x x y x y =---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯== .（2）证明：因为sin AOB ∠===.故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅= ，故要证12AOB S OA OB =⨯ ，只需证OA OB ⨯= ，即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=--- ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又()2222222222111222121212|,|,()OA x y z OB x y z OA OB x x y y z z =++=++⋅=++ ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ 成立，故12AOBS OA OB =⨯ .（3）解：由（2）12AOB S OA OB =⨯ ，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1222AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⋅⨯=⋅⨯ ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯ ，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.。

一、选择题1. 答案：A解析：根据题意，等差数列的公差为d，首项为a1，第n项为an，则有an = a1 + (n-1)d。

将n=5代入，得a5 = a1 + 4d，a6 = a1 + 5d。

由题意得a5 - a6 = -2d，代入选项，只有A选项符合。

2. 答案：C解析：设直线l的方程为y = kx + b，将其代入圆的方程x^2 + y^2 = 4中，得x^2 + (kx + b)^2 = 4。

展开后整理，得(k^2 + 1)x^2 + 2kbx + b^2 - 4 = 0。

由于直线与圆相切，故判别式Δ = 0，即4k^2b^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - 4) = 0。

化简得k^2 = 1，所以k = ±1。

当k = 1时，b = 2；当k = -1时，b = -2。

因此，直线l的方程为y = ±x + 2。

选项C符合题意。

3. 答案：D解析：由题意知，函数f(x) = |x - 1|在x = 1处取得极小值。

因此，f'(1) = 0。

对于分段函数，在分界点处导数不存在，所以f'(1)不存在。

选项D正确。

4. 答案：B解析：设向量a = (x, y)，则向量b = (2x - y, 3x + 2y)。

根据向量的数量积公式，有a·b = x(2x - y) + y(3x + 2y) = 2x^2 + 5xy + 2y^2。

要使a·b = 0，即2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0。

因为x和y不为零，所以x^2 + y^2 = 0，即x = 0，y = 0。

所以向量a = (0, 0)。

选项B正确。

5. 答案：C解析：根据复数的乘法公式，(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i。

将a= 1，b = 2，c = 3，d = 4代入，得(1 + 2i)(3 + 4i) = 13 - 24 + (14 + 23)i = -5 + 10i。

2023年高三下学期5月三校联考高三数学参考答案一、单项选择题： 1-4 DABC 5-8 CBCB二、多项选择题： 9．ACD 10．ABC 11．BCD 12．BC三、填空题 13.2- 14.m ≤ 1516. 14；165512四．解答题17．解：（1）当1n =时，22a =，当2n ≥时，递推得212nn a S n --=， ∴22121n n n a a a +-=+，()2221+21=1n n n n a a a a +=++，因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +-=，又∵211a a -= ，∴数列{}n a 为等差数列，故11n a a n n =+-=．…….……………………………………………5分（2）由sin 2n b n n π=⋅得，()()434343sin 432k b k k k π--=-⋅=-，()()424242sin 02k b k k π--=-⋅=，()()()414141sin 412k k k k b π--=-⋅=--，40k b =；令43424142k k k k k c b b b b ---++=+=-，则()1001231001225+=25-2=-50T b b b b c c c =++++=++⨯．………………………………10分18．解：（1）11(),()413P A B P B A ==∣∣，11113()()()()(),()451320P A B P B P B A P A P A P A ∴⋅=⋅⇒⨯=∴=∣∣，()720P A ∴=，………………………………………………………………………………………4分而()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅∣∣()()74131205544A B P A B P ⇒=⨯+⨯⇒=，……………………………………………………8分()()()()()22'2k a b c d k ad k bc k a b k c d k a c k b d χ⎡⎤+++-⎣⎦∴=+⋅+⋅+⋅+()()()()()2() 2.6410.828 4.10k a b c d ad bc k k a b c d a c b d +++-==⋅≥⇒≥++++，故min 5k =.………………………12分19．解：（1）3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos b C c B A a B C A ∴+=+，……………………………………………1分由正弦定理得()()sin cos sin cos cos sin cos cos 3cos B C C B A A B C A +=+，()()sin cos sin cos cos 3cos B C A A B C A ∴+=+，………………………………………………3分0A π<<，则sin 0A >，故cos cos 2cos0B C A +=，………………………………………4分即()cos cos 2cos 0B C B C -+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan 2B C =．……………………………………………………………………………………6分 （2）由1tan tan 2B C =知，,B C 均为锐角，故()()tan tan tan tan 2tan tan 1tan tan B CA B C B C B C +=-+==-+≤-=--⋅当且仅当tan tan B C ==时，等号成立．故tan A的最大值为-．………………………………………………………………………12分 20．解：（1）因为四边形11AA B B 为菱形，所以11A B AB ⊥，平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面,ABC AB AC =⊂平面,ABC AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11AA B B ，……………………………………………………………………………2分 又1A B ⊂平面11AA B B ，所以1AC A B ⊥， 又1AB AC A =，所以1A B ⊥平面1B AC ，又1B C ⊂平面1B AC ，所以11A B B C ⊥．…….……………………………………………………5分（2）l 上存在点P ，使A1B 与平面ABP，且1B P = 取11A B 中点D ，连接AD ，因为160ABB ∠=︒，所以1160AA B ∠=︒，又11AA AB =，所以11AA B 为等边三角形，所以11AD A B ⊥， 因为11//A B AB ，所以AD AB ⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面,ABC AB AD =⊂平面11AA B B ，所以AD ⊥平面ABC ，……………………………………………………………………………6分 以A 为原点，以,,AB AC AD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,A B C A B -， 1(0,2,0),(2,0,0),AC AB AB ===．因为11//,AC AC AC ⊄平面11111,A B C AC ⊂平面111A B C ，所以//AC 平面111A B C ， 又AC ⊂平面1AB C ，平面111A B C 平面1AB C l =，所以//AC l ，假设l 上存在一点P ，使1A B 与平面ABP 所成角为30，设()1R B P AC λλ=∈，…………8分 则1(0,2,0)B P λ=，所以11(1,2AP AB B P λ=+=， 设(,,)n x y z =为平面ABP 的一个法向量，则00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3y =-，则2z λ=，可取(0,3,2)n λ=-，……………………………………10分 又1(3,0,A B =，所以111|2sin |cos ,1023|||n A Bn A B n A B θ⋅=〈==⋅⋅〉=，即223410λλ+=，解得212λ=，此时1B P AC λ==； 因此l 上存在点P ，使A 1B 与平面ABP 10，且1B P =……………12分21．解：（1）抛物线2:2x py Γ=过点()2,2M ，1p =，抛物线1C 方程22x y =．…………1分设直线1:2l y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y 由2212kx x yy =⎧=+⎪⎨⎪⎩，得2210x kx --=，∵直线l 与抛物线Γ有两个交点A ，B，所以2440k ∆=+>①，得122x x k +=，121x x =-，………………………………………………………………………3分于是12AB x=-=()2216k ==+=，解得k=l 的方程为102y -+=，原点O 到直线l 距离d = OAB 的面积为162S =⨯=…………………………………………………………5分 （2）已知O ，M 的坐标分别为()0,0，()2,2，抛物线Γ方程22x y =，假设抛物线Γ上存在点2,2t N t ⎛⎫⎪⎝⎭（0t ≠且2t ≠），使得经过O ，M ，N 三点的圆C 和抛物线Γ在点N 处有相同的切线.设经过O ，M ，N 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则24202284244F D E F tD t E F t t =⎧⎪++=-⎨⎪++=--⎩， 整理得()()322440t E t E ++-+=①，……………………………………………………………7分∵22x y =，两边同时对x 求导得，y x '=，∴抛物线Γ在点2,2t N t ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为t ，∴经过O ，M ，N 三点的圆C 在点2,2t N t ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为t ，…………………………………8分∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在.∵圆心的坐标为,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22212t E t D t +⨯=-+， 即()320t E t D +++=，即()()3240t E t E ++-+=②，……………………………………10分由①②消去E ，得324t E +=-，又0t ≠，得32340t t -+=，即()()2210t t -+=.∵2t ≠，∴1t =-， 故满足题设的点N 存在，其坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………12分 22．解：（1）()()()cos 211cos 21xxf x e a x ax a e a x x '=+--+=-+--，………………1分 令()cos 21x x x ϕ=--，则()sin 20x x ϕ'=--<，()x ϕ∴在R 上单调递减，……………3分 又()00ϕ=，0a ≤，所以当0x >时，()0x ϕ<，此时()0f x '>；当0x <时，()0x ϕ>， 此时()0f x '<；故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．………………………………………5分 （2）由题意知，()()cos 210xf x e a x ax a '=+--+≥对x R ∀∈恒成立．令()()cos 21xg x e a x ax a =+--+，又()00g =，则()()0g x g ≥恒成立；0x =不是函数()g x 的区间端点，故0x =是()g x 的最小值点，同时也是极小值点．则必有()00g '=，由()sin 2xg x e a x a '=--，()0120g a '=-=，则12a =．……………7分 下面证明：当12a =时，()13cos 022xf x e x x '=+--≥对x R ∀∈恒成立． 即证31cos 221xx x e+-≤．………………………………………………………………………………9分 令()31cos 22xx xh x e+-=，则()111sin cos 222x x x x h x e +--'=， 令()111sin cos 222t x x x x =+--，则()11cos sin 1102224t x x x x π⎛⎫'=--=+-< ⎪⎝⎭，()t x ∴在R 上单调递减，又()00t =，()h x ∴在在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减；()()01h x h ∴≤=，得证！故12a =．………………………………………………………………………………………………12分。

２０２５届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数㊀学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回.满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟.一㊁单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)１.已知集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ－３>０}ꎬＢ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬ则(∁ＲＡ)ɘＢ＝Ａ.(３ꎬ４)Ｂ.(０ꎬ３]Ｃ.(－ɕꎬ３)ɣ(１ꎬ４)Ｄ.(－ɕꎬ－１)２.已知复数ｚ＝２ｉ１＋ｉꎬ则下列说法正确的是Ａ.ｚ＝１－ｉＢ.ｚ＝２Ｃ.ｚ－＝１＋ｉＤ.ｚ的虚部为ｉ㊀图１３.如图１ꎬαꎬβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角ꎬ则ｔａｎ(α＋β)＝Ａ.－３Ｂ.３３Ｃ.３Ｄ.１４.假设ＡꎬＢ是两个事件ꎬ且Ｐ(Ａ)>０ꎬＰ(Ｂ)>０ꎬ则下列结论一定成立的是Ａ.Ｐ(ＡＢ)ɤＰ(ＢＡ)Ｂ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｃ.Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(ＡＢ)Ｄ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＢＡ)５.已知ａ＝ｌｏｇ５２ꎬｂ＝ｌｏｇ７３ꎬｃ＝１２ꎬ则下列判断正确的是Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｂ<ｃＤ.ａ<ｃ<ｂ６.在前ｎ项和为Ｓｎ的正项等比数列{ａｎ}中ꎬ设公比为ｑꎬ{ａｎ}满足ａ１ａ４＝８ꎬａ３＝ａ２＋２ꎬｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎＳｎ＋１ꎬ则Ａ.ｑ＝１２Ｂ.Ｓｎ＝２ａｎ＋１Ｃ.ｂｎ＝ｎ－１２ｎＤ.数列{ｂｎ}的最大项为ｂ３７.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＭ是线段Ｃ１Ｄ１(不含端点)上的动点ꎬＮ为ＢＣ的中点ꎬ则Ａ.ＣＭʊ平面Ａ１ＢＤＢ.ＢＤʅＡＭＣ.ＭＮʊ平面Ａ１ＢＤＤ.平面Ａ１ＢＤʅ平面ＡＤ１Ｍ８.已知Ｆ为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左焦点ꎬＡ是Ｃ的右顶点ꎬ点Ｐ在过点Ｆ且斜率为２－３的直线上ꎬøＯＡＰ＝２π３且线段ＯＰ的垂直平分线经过点Ａꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.３－２Ｂ.３－１Ｃ.３Ｄ.６二、多项选择题(本大题共３小题ꎬ每小题６分ꎬ共１８分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得６分ꎬ部分选对的得部分分ꎬ有选错的得０分)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ＋２ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.点(０ꎬ２)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｃ.ｆ(ｘ)有三个零点Ｄ.直线ｙ＝０是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的一条切线１０.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｃｏｓ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬφɤπ２æèçöø÷的最小正周期为πꎬ且过点(０ꎬ２)ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的一条对称轴为ｘ＝π２Ｃ.ｆ(ｘ)的周期为π２Ｄ.把函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个长度单位得到函数ｇ(ｘ)的解析式为ｇ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋π３æèçöø÷１１.已知ａｎ＝２ｎ和ｂｎ＝３ｎ－１ꎬ数列{ａｎ}和{ｂｎ}的公共项由小到大组成数列{Ｃｎ}ꎬ则Ａ.Ｃ３＝３２Ｂ.{Ｃｎ}不是等比数列Ｃ.数列１ｂｎｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ＝１２－１３ｎ＋２Ｄ.数列ｂｎａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎɪ[１ꎬ５)三㊁填空题(本大题共３小题ꎬ每小题５分ꎬ共１５分)１２.若函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ＋ａ)ｌｎ３ｘ－１３ｘ＋１为偶函数ꎬ则ａ＝㊀㊀㊀㊀.１３.正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为２ꎬ底面边长为１ꎬ则该球的表面积为㊀㊀㊀㊀.１４.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ不过点Ｆ的直线ｌ交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬＤ为ＡＢ的中点ꎬＤ到抛物线Ｃ的准线的距离为ｄꎬøＡＦＢ＝１２０ʎꎬ则ＡＢｄ的最小值为㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７７分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１５.(本小题满分１３分)已知在әＡＢＣ中ꎬ三边ａꎬｂꎬｃ所对的角分别为ＡꎬＢꎬＣꎬａ(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ)＝３ｂｓｉｎＡｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若ａ＋ｂ＝２ｃꎬәＡＢＣ外接圆的直径为４ꎬ求әＡＢＣ的面积.１６.(本小题满分１５分)如图２ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＤʅ底面ＡＢＣＤꎬＣＤʊＡＢꎬＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝２ꎬＡＢ＝４ꎬＤＰ＝３.(１)证明:ＢＤʅＰＡꎻ(２)求平面ＡＢＤ与平面ＰＡＢ的夹角.㊀图２１７.(本小题满分１５分)已知椭圆Ｃ１:ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)左右焦点Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ２:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点ꎬ过点Ｆ１且斜率不为零的直线与椭圆Ｃ１相交于ＡꎬＢ两点ꎬ交椭圆Ｃ２于点Ｍꎬ且әＡＢＦ２与әＢＦ１Ｆ２的周长之差为４－２２.(１)求椭圆Ｃ１与椭圆Ｃ２的方程ꎻ(２)若直线ＭＦ２与椭圆Ｃ１相交于ＤꎬＥ两点ꎬ记直线ＭＦ１的斜率为ｋ１ꎬ直线ＭＦ２的斜率为ｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２为定值.１８.(本小题满分１７分)绿色已成为当今世界主题ꎬ绿色动力已成为时代的驱动力ꎬ绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流ꎬ最新研发了一款新能源汽车ꎬ并在出厂前对该批次汽车随机抽取１００辆进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析ꎬ得到如图３所示的频率分布直方图.㊀图３(１)估计这１００辆汽车的单次最大续航里程的平均值ｘ－(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)ꎻ(２)若单次最大续航里程在３３０ｋｍ到４３０ｋｍ的汽车为 Ａ类汽车 ꎬ以抽样检测的频率作为实际情况的概率ꎬ从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取１０辆ꎬ设这１０辆汽车中为 Ａ类汽车 的数量为Ｙꎬ求Ｅ(Ｙ).(３)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车ꎬ现面向意向客户推出 玩游戏ꎬ送大奖 活动ꎬ客户可根据抛掷硬币的结果ꎬ操控微型遥控车在方格图上行进ꎬ若遥控车最终停在 胜利大本营 ꎬ则可获得购车优惠券.已知硬币出现正㊁反面的概率都是１２ꎬ方格图上标有第０格㊁第１格㊁第２格㊁ ㊁第３０格.遥控车开始在第０格ꎬ客户每掷一次硬币ꎬ遥控车向前移动一次ꎬ若掷出正面ꎬ遥控车向前移动一格(从ｋ到ｋ＋１)ꎬ若掷出反面ꎬ遥控车向前移动两格(从ｋ到ｋ＋２)ꎬ直到遥控车移到第２９格(胜利大本营)或第３０格(失败大本营)时ꎬ游戏结束.已知遥控车在第０格的概率为Ｐ０＝１ꎬ设遥控车移到第ｎ格的概率为Ｐｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ３０)ꎬ试证明:数列{Ｐｎ－Ｐｎ－１}(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ２９)是等比数列ꎬ并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车?９.(本小题满分１７分)(１)证明:当０<ｘ<１时ꎬｘ－ｘ２<ｓｉｎｘ<ｘꎻ(２)已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓａｘ－ｌｎ(１－ｘ２)ꎬ若ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ求ａ的取值范围.2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ， ，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n n n nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<， 而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-， 在Rt △AOO 1中，1 2AO =， 由勾股定理：222 (2)2R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭， 得98R =， 所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点A B，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BN μ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =，所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=，因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +=，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =，又sin 0B ≠，则tan C =， 因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴ 1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分） （1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥， 又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB， 所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分） （1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ==-- .……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-+联立y x =-+22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：120x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分） 附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+． 也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分） 经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分） 所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-， 所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分） 则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=， 所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分） 则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=， 即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=， 所以2sin (01)x x x x >-∈，，； 综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，， 若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-， 因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--， 且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=， 所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，， （i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---， 且222202010b x b x >-->，≥，， 所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----， 构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，， 则3322322()(2)01xf x b x b x b x b x'<-+++-<-，……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增， 所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意；综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ，故a 的取值范围为a .……………………………………（17分）。

2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B．[-C．(-D．⎡⎣2．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B．[C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2BC．D7．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 9．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件12．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数 学 试 卷（理 科）学校：南昌十中 考试时长：120分钟 试卷总分：150分一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403x M x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，133xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭∣，则M N = （ ）A. []4,1-- B.[)1,3- C.[)4,3- D. []1,3-2.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“|a −2b |=|2a +b |”是“a ⊥b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数则A． B ． C ． D ．（第4题图）4.如图，在△ABC 中，BN =14BC ，设AB =a ，AC =b ，则AN =( )A. 14a−34bB. 34a−14bC. 14a +34bD. 34a +14b5.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）A B C.D 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒.记2sin18m =︒=（ ）A. 2-B.1-7.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-切线有且仅有1条，则=a （ ）0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，…(ln 2)f =2e 4e 2e 4e 的A.3-B.3C.3-或1D. 3或18.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，c =，则A ∠=( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π310.已知函数f (x )=(3−a )x−4,x ≤8a x−7,x >8，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N ∗)且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A. (2,3)B.[2,3) ,311.已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，下列序号中，① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增；② (0)f ；③ 若0(2x f =0π1()123f x -=-；④若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++.正确的序号有（ ）A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当x =pq （p,q都是正整数，pq 为最简真分数）时，R (x)=1q ;当x =0或1或x 为（0，1）内的无理数时，R (x )=0.若g(x +1)为偶函数，g (x +2)为奇函数，当x ∈[0,1]时，g (x )=R (x ),则（ ）A.>15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)B.>15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)C.=15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)D.=15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知aϵR,若复数z =a 2−a−2+(a 2+3a +2)i 为纯虚数，则a =14. 如图，扇环ABCD 中，弧⌢AD =4，弧⌢BC =2，|AB |=|CD |=1，则扇环ABCD 的面积S =．15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()30f =，则不等式()0f x >的解集为___________.16. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围为______．三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值范围．18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A A C B --的正弦值.19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．(12分)已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．四、选做题22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14.3 15. ()()3,03-+∞ ， 16.三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17． 已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值围．【答案】解：(1)f(x)=1−3sin2x +2cos 2x =cos2x−3sin2x +2 =2cos(2x +π3)+2，····…..2分∵−1≤cos (2x +π3)≤1，∴0≤2cos(2x +π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x +π3=2kπ(k ∈Z)，即x =kπ−π6(k ∈Z)时，函数f(x)取最大值，则此时x 的集合为{x|x =kπ−π6,k ∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A +π3)+2=0，即cos (2A +π3)=−1，∴2A +π3=2kπ+π(k ∈Z)，即A =kπ+π3(k ∈Z)，又0<A <π，∴A =π3，∵a =1，sinA =32， ………….8分由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b =asinBsinA=23sinB ，c =23sinC ，又A =π3，∴B +C =2π3，即C =2π3−B ，∴b +c =23(sinB +sinC )=+−B=23(sinB +32cosB +12sinB)=2(32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)，……….10分∵A =π3，∴B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6)，∴sin (B +π6)∈(12,1]，则b +c 的取值范围为(1,2]．………………..12分18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A AC B --的正弦值.【答案】（1）见解析 （2【详解】（1）∵侧面11AAC C 是菱形，∴1AA AC =，∵D 为1AC 的中点，∴1AD A C ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，90ACB ∠= ，BC ⊂底面ABC ，∴BC ⊥侧面11AAC C，∵AD ⊂侧面11AAC C ，∴BC AD ⊥，∵1A C BC C = ，∴AD ⊥平面1A BC ，∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1AD A B ⊥………………………5分.【2】取11A C 中点E ，连接CE ，从而11CE A C ⊥，又由11A C AC ，则CE AC ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，∴CE ⊥底面ABC ，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1A ，1(1,B -，由题意可知，平面1AA C 的一个法向量为(0,2,0)CB →= ………………………7分不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1CA →=，1(1,CB →=-，从而111111100020x CA n CB n x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，令1z =，则13x =-，13y =-，即(3,n →=--， ………………………9分设二面角11A AC B --为θ，由图可知θ为钝角，从而||cos |cos ,|||||CB n CB n CB n θ→→→→→→⋅=-<>=-=，即sin θ=故二面角11A ACB --. ………………………12分19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析 （2）3332048【详解】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1C (1)(1222216P X ==-+⋅⋅--=， 当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ((1(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(122216P X ==⋅⋅-⋅=， 当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)(C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：X0123P516316316516………………………6分【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. ………………………12分20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（1）()()ln f x x a x -'=．因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥．综上述，1a =． ………………4分（2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增又因为13(1)0,()04e 4a g a g e ''=-+<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增．故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭．由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=+∈，则13()ln 024x x τ=+>'，所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13(1),()44e e ττ==，所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值，令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫=-<<='--+=-+->⎪⎝⎭函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e0()4x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．. ………………………12分22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．（10y -=,24y x =;(2)1a =23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-．当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤．因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………….5分（2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-，2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-，因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ ．。