2021届高考预测诊断性试卷 - 文科数学试题及解析(一)(A3版)

2021年新疆高考数学第三次诊断性试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．若集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|x≤3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z＝i（a﹣i）（a＞0），则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知x∈R，则“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 5．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人（）A．720 B．960 C．1020 D．16806．函数f（x）＝2x+lnx﹣1的零点所在的区间为（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝2，S9＝27，则S20＝（）A．95 B．105 C．115 D．1258．下列函数中既是奇函数，又在（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）＝x+B．f（x）＝e x+C．f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）D．f（x）＝sin x+9．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成（称一指），木板的高度从小到大依次成等差数列，最大的高约24厘米（称十二指），将木板立起，一手拿着木板，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，则sin2α约为（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上三个点，球心O到平面ABC的距离为，∠BAC＝90°，则球O的体积为（）A．B．24πC．D．48π11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，且满足|MN|＝2|OF|，若△MNF的面积为a2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n，S2n＝682，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量＝（1，﹣2），＝（m，4），且（﹣）∥，则m＝．14．记x是[﹣3，3]上的随机数，则满足|x|≤1的概率为．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上一点，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，F，B三点共线，且|AF|＝3．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣（ω＞0）在区间[0，下述四个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）上有且仅有2个极大值点；③f（x）在区间（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[]．其中所有正确结论的编号是．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8（1）求AC；（2）若△ABC为锐角三角形，在BC的延长线上取一点D，使得∠BAD＝90°18．《国家学生体质健康标准》是促进学生体质健康发展、激励学生积极进行身体锻炼的教育手段．所选用的指标可以反映与身体健康关系密切的身体成分、心血管系统功能、肌肉的力量和耐力、以及关节和肌肉的柔韧性等要素的基本状况．《国家学生体质健康标准》的实施使学生和社会能够对影响身体健康的主要因素有一个更加明确的认识和理解，引导人们去积极追求身体的健康状态，实现学校体育的目标．身高体重指数（BMI）（BMI），在某年级全体学生中随机抽取的100名学生进行了体质健康检测，其中将测得的学生身高（单位：c），165），[165，…，[180，185]共五组后组号分组频数频率第1组[160，165）15 0.15第2组[165，170）①第3组[170，175）0.30第4组175，180）20 ②第5组[180，185] 10 0.10合计100 1.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为了向学校国旗班补充新生力量，学校决定在身高位于的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入下一项测试，最终从6位学生中随机抽取2位进行全面测试19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点1与A1C1所成角的正切值为．（1）证明：AB1∥平面BC1D；（2）求B1到平面ABC1的距离．20．已知点A，B分别为椭圆＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于P，当直线l与x轴垂直时，|PQ|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．21．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：4f（x）＞lnx+3．选考题：共10分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2． 故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12， 构成该事件的区域长度为13−0=13， 所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案． 本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52． 故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点， 当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值． 故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3， 令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33， 所以切线方程为y =±√33(x −4)+1， 因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。

绝密 ★ 启用前2021届高考预测诊断性试卷文 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·雅安诊断]当1m <时，复数()21i m +-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵1m <，∴10m -<，∴复数()21i m +-在复平面内对应的点()2,1m -位于第四象限，故选D ．2．[2019·龙泉中学]已知全集U =R ，集合A ={x||x −1|>2}，B ={x|x 2−6x +8<0}， 则集合(∁U A )∩B =( ) A ．{x|2<x ≤3} B ．{x|−1≤x ≤4} C ．{x|2≤x <3}D ．{x|−1<x <4}【答案】A【解析】由|x −1|>2，可得x >3或x <−1，故A =(−∞，−1)∪(3，+∞)， C U A =[−1，3]，由x 2−6x +8<0，解得2<x <4 ，∴B =(2，4)，∴(C U A )∩B =(2，3]，故选A ． 3．[2019·泉州质检]函数f(x)=x 3e x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当x <0时，x 3e x <0，故排除选项B ；()1e 1f =>，故排除D ；()()323e x f x x x =+'，令f ′(x)=0，得x =0或3x =-，则当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (),3-∞-3-()3,0-0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x)单调递减极小值()3f -单调递增单调递增又因为f ′(0)=0，故f(x)在x =0的切线为x 轴，故排除选项A ，所以选C ．4．[2019·汉中质检]已知向量a 、b 的夹角为60°，2=a ，1=b ，则-=a b （ ） A ．√3 B ．√5C ．2√3D ．√7【答案】A 【解析】()222242cos6013-=-=-⋅+=-⋅︒+=a b a b a a b b a b ，因此本题选A ．5．[2019·江淮十校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5}，若|a −b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．1125B ．1225C ．1325D ．1425【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是5×5=25种，“心有灵犀”的情况包括：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)共13种， 故他们“心有灵犀”概率为1325，故选C ． 6．[2019·福建质检]已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(√5，0)到渐近线的距离等于2， 则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=，其渐近线方程为b y x a =±， 依题意可知2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩，解得a =1，b =2， ∴双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，故选D ．7．[2019·汕尾质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1，b =2，π3A =，则B =（ ）A ．3π4B ．π6C ．π4D ．π4或3π4【答案】C【解析】31c =+，2b =，π3A =， ∴由余弦定理可得：a =√b 2+c 2−2bc cos A =√4+(√3+1)2−2×(√3+1)=√6，∴由正弦定理可得：32sin 22sin 6b AB a⨯⋅===，∵b <a ，B 为锐角，π4B ∴=．故选C ．8．[2019·汕尾质检]《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的 秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（ ）A ．k ≤2?B ．k ≤3?C ．k ≤4?D ．k ≤5?【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下，输入114111333x k y ===⨯+=，，，411321339k y ==⨯+=，，13140319327k y ==⨯+=，， 4011214127381k y ==⨯+=，， 此时不满足循环条件，输出12181y =， 则判断框中应填入的是k ≤4?．故选C ．9．[2019·九江二模]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都 相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）A ．23B ．49C 26D ．827【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以3r =，22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积，22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积，所以球与圆锥的表面积之比为224π4393πRR=，故选B ． 10．[2019湛江模拟]把函数()y f x =的图像向左平移2π3个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图像，并且()g x 的图像如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A ．()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵()02sin 1g ϕ==，即1sin 2ϕ=， ∴5π2π6k ϕ=+或2ππ6k ϕ=+,k ∈Z （舍去），则()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又7π5π2π126k ω+=，k ∈Z ，512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭，当1k =，2ω=，即()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()g x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到5π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把纵坐标缩短到原来的12，得到5πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度得到函数()f x 的图象， 即()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ．11．[2019·四川质检]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |=2c ，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x ，y)，则y =， 由|AB |=2c ，可知|OA |=√x 2+y 2=cc =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭，把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理得8e 4−18e 2+9=0，即(4e 2−3)(2e 2−3)=0， 因0<e <1，所以可得e =A 项． 12．[2019·郴州质检]已知函数f(x)为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数f(x)在区间[2013，2018]上的（ ）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【答案】A【解析】因为函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，所以f(6+x)=−f(−x)． 又函数f(x)为奇函数，所以f(6+x)=f(x)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数， 又函数f(x)的定义域为R ，且为奇函数，故f(0)=0，()()330f f -==， 依次类推，f(3n)=0(n ∈N)．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数f(x)在区间[2013，2018]上的图象与在区间[−3，2]上的图象完全一样， 可知函数f(x)在(−3，2]上单调递减，且()30f -=，所以函数f(x)在区间[2013，2018]上的最小值为34-．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·赣州摸底]设曲线y =x −aln(x +1)在点(0，0)处的切线方程为y =2x ，则a =____． 【答案】1-【解析】因为曲线y =f(x)=x −aln(x +1)，所以()11af x x =-+'， 因为曲线y =f(x)=x −aln(x +1)在点(0，0)处的切线方程为y =2x ， 所以()01121af a =-=-='，1a =-． 14．[2019·上饶联考]若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则15y z x -=+的最小值为_______．【答案】4-【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点()5,1P -与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩，可得点的坐标为()4,3A --，据此可知目标函数的最小值为min31445z --==--+，故答案为4-． 15．[2019·四川质检]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2sin2cos αα+=则_______．【答案】710【解析】tan tan2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭，所以2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++． 16．[2019·湛江模拟]圆锥Ω的底面半径为2，母线长为4．正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____． 【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，根据相似性可得：22=，解得h =（其中0x <<）．∴此正四棱柱体积为22V x h x ==V '=，令0V '=，解得x =，易得：2V x =在⎛ ⎝⎭上递增，在⎝上递减，三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·乌鲁木齐质检]记公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2， a 4是a 2与a 8的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）a n =2n ；（2）1n nT n =+． 【解析】（1）由已知a 42=a 2⋅a 8，得(2+3d)2=(2+d )(2+7d )，又d ≠0，解得d =2，∴a n =2+2(n −1)=2n ． （2）由（1）得，()()12212n n n S n n n -⨯=+=+，()111111n S n n n n ∴==-++，11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．（12分）[2019·南宁调研]一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料．（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y (辆)的值．参考公式：()()()()e11211ˆn iii i i i pz nzl i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 【答案】（1）38.5ˆy x =-；（2）第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．【解析】（1）由题中数据可得11.5x =，26y =，411211i ii x y==∑，421534i i x==∑，∴()414222141211411.5261535534411.54ˆi ii i i x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-． （2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆． 19．（12分）[2019·安丘模拟]如图所示，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =2，∠ABC =90∘，AB =√3，BC =1，AD =2√3，CD =4，E 为CD 的中点．（1）求证：AE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥C −PBE 的体积．【答案】（1）见证明；（2． 【解析】（1）证明：∵AB =√3，BC =1，∠ABC =90∘， 2AC ∴=，60BCA ∠=︒．在ACD △中，AD =2√3，AC =2，CD =4， ∴AC 2+AD 2=CD 2，∴ACD △是直角三角形．又E 为CD 的中点，∴122AE CD CE ===，∴ACE △是等边三角形，∴60CAE ∠=︒， ∴∠CAE =60∘=∠BCA ，∴BC AE ∥．又AE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ． （2）解：∵PA⊥底面ABCD ，∴PA ⊥底面BCE ， ∴PA 为三棱锥P −BCE 的高．∵∠BCA =60∘，∠ACD =60∘，∴∠BCE =120∘． 又BC =1，CE =2，∴11sin 1222BCE S BC CE BCE =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=△， ∴11233C PBE P BCE BCE V V S PA --==⨯⨯==△． 20．（12分）[2019·石景山期末]已知抛物线C:y 2=2px 经过点()1,2P ，其焦点为F．M为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线． 【答案】（1）抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 点坐标为()1,0；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线C:y 2=2px 经过点()1,2P ，所以22=2p ，p =2．所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 点坐标为()1,0．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以BM AB =，所以B 为AM 的中点． 设()00,M x y （000x y ≠），则()00,A x -． 所以直线l 的方程为()0002y y x x x =+， 与抛物线y 2=4x 联立得2000840xy y x y -+=，2200002006464161604x x Δx x x y =-=-=，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．（12分）[2019·郑州一中]设函数()()2e 1x f x x ax =--． （1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x >时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减；（2）(],1-∞． 【解析】（1）12a =时，()()2112e x f x x x =--，()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+， 当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>； 当()1,0x ∈-时，()0f x '<； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减． （2）()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--． 令()e 1x g x ax =--，则()e x g x a '=-，若a ≤1，则当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()00g =， 从而当x ≥0时，()0g x ≥，即()0f x ≥．若1a >，则当()0,ln x a ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而()00g =， 从而当()0,ln x a ∈时，()0g x <，即()0f x <．综上可得a 的取值范围是(],1-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·兰州模拟]在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩（ϕ为参数），以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是 曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2，求实数α的值．【答案】（1）C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4，C 2的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4；（2）3π4． 【解析】（1）由曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩（ϕ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcos θ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，整理得(x −2)2+y 2=4． （2）C 1：x 2+(y −2)2=4化为极坐标方程ρ=4sinθ，所以=4sin cos πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，所以()π42ππk k α-=+∈Z ，即()3ππ4k k α=+∈Z ，又因为0<α<π，所以3π4α=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·兰州二诊]已知()2221f x x x a =+-+． （1）当a =−3时，求不等式f (x )>x 2+|x |的解集；（2）若不等式f (x )≥0的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1x x x ⎧⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）当a =−3时，f (x )=2x 2+|2x −1|−3，当x ≤0时，由f (x )>x 2+|x |得x 2−x −2>0，得x <−1，或x >2，所以x <−1． 当102x <≤时，由f (x )>x 2+|x |，得x 2−3x −2>0，解得x x x ∈∅； 当12x >时，由f (x )>x 2+|x |得x 2+x −4>0，解得x x x综上：当α=−3时，f (x )>x 2+|x |的解集为1x x x ⎧⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或．（2）()0f x ≥的解集为实数集2221R a x x ⇔≥---，当12x ≥时，2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭，当12x <时，2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭，2221x x ∴---的最大值为12-． ∴实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(文科)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x >1}，函数y =lg(2−x)的定义域为B ，则( )A. A ∪B ={x|1<x <2}B. A ∪B =RC. A ∩B ={x|x >1}D. A ∩B ={x|x <2}2.设复数z 满足(1+i)z =2i ，则z 的共轭复数z =( )A. −1−iB. −1−iC. 1+iD. 1−i3.(理)已知向量{a n ⃗⃗⃗⃗ }是以a 1⃗⃗⃗⃗ =(1,3)为首项，公差d ⃗ =(1,0)的等差向量列，若向量{a n ⃗⃗⃗⃗ }与非零向量b n ⃗⃗⃗⃗ =(x n ,x n+1)(n ∈N ∗)垂直，则x10x 1=( ) A.44800729B.4480243C. −44800729D. −44802434.某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，4D. 85，1.65.在直角坐标系中，圆锥曲线C ：{x =t +1ty =t −1t(t 为参数)的焦点坐标是( )A. (±1,0)B. (±2,0)C. (±2√2,0)D. (±4,0)6.设0<a <1，函数f(x)=log a |x|的图象大致是( )A. B. C. D.7.正棱台的顶点都在同一球面上，且侧棱与下底面所成的角为π3，上、下底面边长分别为2，4，则该球的表面积为( )A. 54πB. 32πC. 16πD. 8π8.已知sin10°=k ，则sin 70°=( )A. 1−k 2B. 1+k 2C. 2k 2−1D. 1−2k 29.已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2−1≥0.以下命题为真命题的是( ) A. (￢p 1)∧(￢p 2) B. p 1∨(￢p 2) C. (￢p 1)∧p 2 D. p 1∧p 210.某学生想测量学校的旗杆高度，如图已知测得学生的身高和其影子长均为1.75m，旗杆的影子长为13.8m，则旗杆的高度约为()A. 15.55mB. 13.8mC. 12.05mD. 数据不够不能确定11.已知函数f(x)=2ax3−3ax2+1，g(x)=−a4x+32，若对任意给定的m∈[0,2]，关于x的方程f(x)=g(m)在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [18,1) C. (0,1)∪{−1} D. (−1,0)∪(0,18]12.已知A、B、C三点在曲线y=√x(x≥0)上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m=()A. 3B. 94C. 52D. 32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500ℎ.若合理安排生产可使收入最大为______元．14.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是______．15.已知△ABC的面积是3−√32，∠B为钝角，AB=2，BC=√3−1，则∠C的度数为______．16.三棱锥P−ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1.则下列结论中正确的是①PA⊥BC②△ABC为正三角形③体积为12④表面积为3+√32，将你认为正确的序号填上______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n是正项数列{a n}的前n项和，且S n=14a n2+12a n−34(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n=2n b n，求数列{b n}的前n项和．18. 底面为菱形的直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1D 1的中点(Ⅰ)在图中作出有关平面α，使得BD ⊂α，且平面AEF//α(不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的截面)(Ⅱ)(文科)若AB =AA 1=2，∠BAD =60°，求平面AEF 截直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1所得两个多面体的体积比．(理科)若AB =AA 1=2，∠BAD =60°求平面AEF 与平面α的距离d ．19. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如表： 海水浓度x(%) 3 4567亩产量y(吨) 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差êi −0.05 0mn0.04绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(吨)与海水浓度x(%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为y ̂=−0.09x +a ̂． (1)求a^，m ，n 的值； (2)统计学中常用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，回归效果越好，如假设R 2=0.85，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的．请计算相关指数R 2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？ (附：残差e ̂i =y i −y ̂i ，相关指数R 2=1−n i=1i i 2∑(n y −y)2，其中∑(5i=1y i −y)2=0.051)20. 已知向量a ⃗ =(x 2,x +1),b ⃗ =(1−x,1)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ． (1)求f(x)在x ∈[0,2]的值域；(2)若f(x)−t =0至少有两个实数解，求t 的取值范围．21.设曲线在点处的切线斜率为，且。

2021年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(乙卷·文科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则 U (M ∪N)＝( ) A ．{5}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{1，2，3，4}2．设iz ＝4＋3i ，则z ＝( ) A ．−3−4iB ．−3＋4iC ．3−4iD ．3＋4i3．已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|⩾1，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．¬p ∧qC ．p ∧¬qD ．¬(p ∨q)4．函数f(x)＝sin x 3＋cos x 3的最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和25．若x ，y 满足约束条件{x ＋y ⩾4，x −y ⩽2，则z ＝3x ＋y 的最小值为y ⩽3，( )A ．18B ．10C ．6D ．46．cos 2π12−cos 25π12＝( )A ．12B ．√33C ．√22D ．√327．在区间(0，12)随机取1个数，则取到的数小于12的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4 B ．y ＝|sinx|＋4|sinx|C ．y ＝2x ＋22xD ．y ＝lnx ＋4lnx9．设函数f(x)＝1−x 1＋x，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f(x −1)−1B ．f(x −1)＋1C ．f(x ＋1)−1D ．f(x ＋1)＋110．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π611．设B 是尼圆C ：x 25＋y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( ) A ．52B ．√6C ．√5D ．212．设a ≠0，若x ＝a 为函数f(x)＝a(x −a)2(x −b)的极大值点，则( )A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年贵州省毕节市高三（上）诊断性数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =ln(1−2x)}，B ={x|y =√x +2}，则A ∩B =( )A. [−2,12)B. [−2,12]C. [0,12)D. [0,12]2. 若复数z 满足(1+i)2z =1−i(i 是虚数单位)，则z =( )A. −12+12iB. −12−12iC. 12−12iD. 12+12i3. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(x,−1)，若c ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，则x =( )A. 1B. 2C. −2D. −14. 某商场为了解销售活动中某商品销售量y 与活动时间x 之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销传量与活动时间，并制作了如表：由表中数据，销售量y 与活动时间x 之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，则b ^的值为( )A. 10.75B. 10.25C. 9.75D. 9.255. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S20212021=S 20202020+1且a 1=3，则( )A. a n =2n +1B. a n =n +1C. S n =2n 2+nD. S n =4n 2−n6. 函数f(x)=xlnx −2在x =1处的切线方程为( )A. 2x +y =0B. 2x −y −4=0C. x −y −3=0D. x +y +1=07. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若将f(x)的图象向右平移π6个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin(4x −π6) B. g(x)=sin4x C. g(x)=sinxD. g(x)=sin(x −π6)8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 36B. 24C. 12D. 69.我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“--”，其中“─”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”.如符号“”对应二进制数1100(2)，化为十进制数计算如下：1100(2)=1×23+1×22+0×21+0×20=12.若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 2310.酒驾是严近危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，他至少经过t小时才能驾驶机动车，则整数t的值为()(lg2≈0.301,lg3≈0.477)A. 14B. 15C. 16D. 1711.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且PO平分∠APM，则C的离心率为()A. 2B. √2C. 3D. √312.已知f(x)=m+√x−2，若存在实数a，b(a<b)，使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则实数m的取值范围是()A. (74,+∞) B. [74,+∞) C. [74,2) D. (74,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{a n}中，a5⋅a6⋅a7=8，a3=14，则公比q=______．14.已知M(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，若点P(−1,0)满足MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则x0的取值范围是______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠PBC =45°，PC =AC =2，AB =2√3，这个三棱锥的外接球的表面积为______．16. 函数y =f(x)的图象关于点M(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x +a)−b 为奇函数，给出下列四个结论： ①f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,1)；②f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,−1)；③类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x +a)为偶函数：④类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x −a)为偶函数．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，比知bcosC +√32c =a ，a =√3c.(1)求角C 的大小：(2)再从①acosB =32，②a +c =1+√3，③asinA =32，这三个条件任选一个作为已知条件，求△ABC 的面积．18. 2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽收了100人进行分析，得到下表(单位：人)：(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图1，正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得∠QMA=60°(如图2)．(1)证明：平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥F−QEB的体积．20.已知F是椭圆C：x22+y2=1的右焦点，过点F作圆x2+y2=12的倾斜角为锐角的切线l，且l与C交于M，N两点．(1)求|MN|；(2)求过点M，N且与直线x=2相切的圆的圆心坐标．21.设函数f(x)=x−ae x(a∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的极值：(Ⅱ)若f(x)≤ax在x∈[0,+∞)时恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. 已知函数f(x)=2|x +1|−|x −2|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)对∀x ≥0，∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由1−2x>0得x<12，∴A={x|x<12}，由x+2≥0得x≥−2，∴B={x|x≥−2}，∴A∩B={x|−2≤x<12}，故选：A．先求出集合A，B，再利用并集运算的定义求解．本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z(1+i)2=1−i，∴2zi=1−i，∴−2z=i(1−i)=1+i，∴z=−12−12i，故选：B．根据复数的运算即可得结果．本题考查复数的运算，考查学生的运算能力，属于容易题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得a⃗+2b⃗ =(3,−3)．又因为c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，所以有c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=3x+(−1)×(−3)=0，解得x=−1，故选：D．先由a⃗,b⃗ 的坐标求得a⃗+2b⃗ 的坐标，再根据c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，可得c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=0，代人坐标求解即可．本题考查向量垂直，数量积的坐标运算，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由表可得，x −=2+4+5+6+85=5，y −=25+40+60+70+805=55，∵线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，∴55=b ̂×5+6.25，解得b ̂=9.75． 故选：C ．根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S20212021=S 20202020+1且a 1=3，∴S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，∴d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1.故A 正确，B 错误； S n =3n +n(n−1)2×2=n 2+2n ，故C ，D 错误．故选：A ．由等差数列前n 项和公式得S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，从而d =2，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由f(x)=xlnx −2，得f′(x)=lnx +1， ∴f′(1)=lnx +1=1，又f(1)=−2，∴函数f(x)=xlnx−2在x=1处的切线方程为y+2=1×(x−1)，即x−y−3=0．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin(2x+π6)，∴将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得f(x−π6)=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin(x−π6)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律解决即可．本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，且PA⊥底面ABC，如图所示；AC=6，PA=3，AB=5，BC=5，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为V=13S△ABCℎ=13×12×6×4×3=12．故选：C．根据三视图知该几何体是三棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是中档题．9.【答案】B【解析】解：从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，1100(2)=12，1010(2)=1×23+0×22+1×21+0×20=10，0011(2)=0×23+0×22+1×21+1×20=3，0101(2)=0×23+1×22+0×21+1×20=5，0110(2)=0×23+1×22+1×21+0×20=6，1001(2)=1×23+0×22+0×21+1×20=9，所以小于6的数有2个，所以P=26=13．故选：B．可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，再将其分别转换为十进制数后，即可得解．本题考查古典概型，二进制与十进制的转换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意得，100×(1−10%)t<20，即t>log0.90.2，即t>lg0.2lg0.9=lg2−12log3−1≈15.3，故整数t的值为16，故选：C．由题意得100×(1−10%)t<20，由指数与对数的互化知t>log0.90.2，从而利用换底公式求值．本题考查了指数运算及对数运算，同时考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程为：y =−ab (x −c)，联立{bx −ay =0ax +by −ac =0，解得P(a 2c ,ab c ). ∴直线AP 的方程为：y =abc −0a 2c−(−a)(x +a)，化为：bx −(a +c)y +ab =0．∵PO 平分∠APM ，∴点O 到直线PM ，PA 的距离相等， ∴a 2c=ab √b 2+(a+c)2，化为：c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0， ∵e >1，解得e =2． 故选：A ．如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程，联立解得P 坐标．根据PO 平分∠APM ，可得点O 到直线PM ，PA 的距离相等，即可得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=m +√x −2在定义域[2,+∞)上单调递增， 要使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则{f(a)=m +√a −2=af(b)=m +√b −2=b，即{√a −2=a −m √b −2=b −m， ∴问题转化为函数y =√x −2与y =x −m 在[2,+∞)上有两个交点， 即方程x −m =√x −2在[2,+∞)上有两个根， 令√x −2=t ≥0，则x =t 2+2，则方程t 2+2−m =t(t ≥0)有两个根，即方程t 2−t +2=m(t ≥0)有两个根，令g(t)=t 2−t +2，t ≥0，则函数y =g(t)与y =m 在t ≥0时有两个交点， g(t)的对称轴为t =12，g(12)=14−12+2=74，g(0)=2，画出图像，如图所示，由函数y =g(x)的图形可得74<m ≤2， 即实数m 的取值范围是(74,2]， 故选：C ．先判断函数的单调性，根据定义域和值域列出方程组，由方程组将问题转化为两个函数的交点个数问题，再利用数形结合法即可求出m 的取值范围．本题主要考查了函数的定义域和值域，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．13.【答案】2【解析】解：∵等比数列{a n }中，a 5⋅a 6⋅a 7=8，a 3=14， ∴{a 1q 4⋅a 1q 5⋅a 1q 6=8a 1q 2=14， 解得公比q =2． 故答案为：2．由等比数列通项公式列出方程组，能求出公比q ．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[0,√5−2)【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F(1,0)． ∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∴(1−x 0,−y 0)⋅(−1−x 0,−y 0)=x 02−1+y 02<0， 又y 02=4x 0， ∴x 02+4x 0−1<0，解得−2−√5<x0<√5−2，又x0≥0，∴0≤x0<√5−2，∴x0的取值范围是[0,√5−2)，故答案为：[0,√5−2)．利用数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法即可得出．本题考查了数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】20π【解析】解：根据题意，如图：PC⊥平面ABC，∠PBC=45°，PC=2，则CB=2，又由AC=2，AB=2√3，故△ABC为等腰三角形，且cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =−12，则∠ACB=120°，取AB的中点E，连接CE并延长到点D，使ED=CE，易得CE=12BC=1，则有DC=DA=DB=2，故D为△ABC的外心，过点D作DO//CP，使O与P在平面ABC的同侧，且OD=12PC=1，则有OP=OC=OB=OA=√1+4=√5，则O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，且其外接球半径R=OP=√5，故其外接球的表面积S=4πR2=20π；故答案为：20π．根据题意，求解△ABC可得△ABC为等腰三角形，且∠ACB=120°，分析其外接圆圆心，进而可得三棱锥P−ABC的外接球的球心，求出其半径，由球的表面积公式计算可得答案．本题考查多面体外接球的表面积与体积，关键是确定球的球心，属于中档题．16.【答案】①③【解析】解：函数y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，将y=x+3x图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得f(x)=x−2+3x−2+1=x+3x−2−1的图象，所以f(x)=x+3x−2−1图象的对称中心是(2,1)，故①正确，②错误，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形，图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)关于x=0即y轴对称，所以y=f(x+a)为偶函数，故③正确，④错误，所以所有正确结论的序号是①③，故答案为：①③．根据y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，由图象的平移变换可得f(x)=x+3x−2−1的对称中心，可判断①②，将y=f(x)的图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)，可判断③④，进而可得正确答案．本题主要考查了函数图象的对称性，考查了函数图象的变换，是基础题．17.【答案】解：(1)由题可知，bcosC+√32c=a，由正弦定理得：sinBcosC+√32sinC=sinA，又因为在△ABC中，sinA=sin(B+C)，所以sinBcosC+√32sinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，则√32sinC=cosBsinC，又sinC>0，所以cosB=√32，而0<B<π，所以B=π6．因为a=√3c，由正弦定理得sinA=√3sinC，则sin(B+C)=sin(π6+C)=√3sinC，所以12cosC+√32sinC=√3sinC，即cosC=√3sinC，所以tanC=sinCcosC =√33，而0<C<π，所以C=π6．(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①，acosB=32，则acosπ6=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得：b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34；若选②，a+c=1+√3，由正弦定理asinA =csinC，可得√32=c12，所以a=√3c，所以a+c=√3c+c=1+√3，解得：c=1，故a=√3，所以△ABC的面积为：S=12acsinB=12×√3×1×12=√34；若选③，asinA=32，则asin2π3=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34．【解析】(1)根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式进行化简可得出B=π6，由正弦定理、两角和的正弦公式以及同角三角函数关系可求出tanC=√33，从而可得出角C的大小；(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积；若选②：先根据正弦定理求得a=√3c，结合条件即可求出a，c，最后根据S=12acsinB 即可求出△ABC的面积；若选③：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：∵K 2=100×(20×15−30×35)250×50×55×45≈9.091>7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关．(2)从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，则5人中“天文爱好者”为5×2020+30=2人，“非天文爱好者”为5×3020+30=3人 故其中至少有1人是“天文爱好者”的概率P =C 21C 31+C 22C 52=710．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式的应用，以及分层抽样的定义，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为在正方形ABCD 中，DM =12MA =1，CN =12NB =1，所以QM ⊥QP ，QM =1，AM =2， 又因为∠AMQ =60°，所以在△AMQ 中，由余弦定理得AQ 2=AM 2+QM 2−2AM ⋅QM ⋅cos∠AMQ =4+1−2×1×2×12=3，所以AQ 2+QM 2=AM 2， 所以AQ ⊥QM ， 又因为AQ ∩QP =Q ， AQ ，QP ⊂平面ABPQ ， 所以QM ⊥平面ABPQ ，又QM⊂平面MNPQ，所以平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)解：由(1)知，AQ⊥QM，QM⊥QP，因为在正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，所以四边形CDMN为矩形，所以MN⊥MQ，MN⊥DM，所以MN⊥MQ，MN⊥MA，因为MQ∩MA=M，MQ，MA⊂平面AMQ，所以MN⊥平面AMQ，因为MN⊂平面ABNM，所以平面ABNM⊥平面AMQ，过Q作QH⊥AM于H，则QH⊥平面ABNM，即QH⊥平面BEF，QH=QMsin60°=√32，所以V F−QEB=V Q−BEF=13⋅S△BEF⋅QH=13×(12×3×1)×√32=√34，即三棱锥F−QEB的体积为√34．【解析】(1)证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证；(2)根据几何关系，利用等体积法，由锥体体积公式即可得解．本题考查了面面垂直的证明，三棱锥的体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C：x22+y2=1，可得半焦距c=√2−1=1，∴右焦点F(1,0)，设切线l的斜率为k>0，则l的方程为：y=k(x−1)，∴√k 2+1=√22，k >0，解得k =1．∴l 的方程为：y =x −1． 联立{y =x −1x 22+y 2=1，化为：3x 2−4x =0，解得x =0或43，由x =0，代入y =x −1，解得y =−1； 由x =43，代入y =x −1，解得y =13． 不妨设M(0,−1)，N(43,13). ∴|MN|=√(0−43)2+(−1−13)2=4√23．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)， 设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)． 则−13−b23−a ×1=−1，√a 2+(b +1)2=|2−a|，联立解得：a =−2+2√63，b =3+2√63；a =−2+2√63，b =3−2√63． ∴圆心坐标为(−2+2√63,3+2√63)，(−2+2√63,3−2√63).【解析】(1)由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得右焦点，设切线l 的斜率为k >0，可得l 的方程，根据圆的切线性质，可得斜率k.l 的方程与椭圆方程联立解得M ，N 坐标．利用两点间的距离公式可得即可得出|MN|．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)，设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)，根据相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质即可得出圆心坐标．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题可知f′(x)=1−ae x ，①当a ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增，∴f(x)没有极值； ②当a >0，f′(x)=0时，x =ln 1a ．当x ∈(−∞,ln 1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(ln 1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； ∴f(x)在x =ln 1a 时取得极大值ln 1a −1，没有极小值﹒ 综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)有极大值ln 1a −1，无极小值； (Ⅱ)f(x)≤ax ⇒x ≤ax +ae x ⇒x ≤a(x +e x ) ∵x ∈[0,+∞)，∴a ⩾xx+e x ，令g(x)=xx+e x ,x ⩾0，则原问题⇔a ≥g(x)max ，x ∈[0,+∞)， ∵g′(x)=x+e x −x(1+e x )(x+e x )2=e x (1−x)(x+e x )2，1−x >0⇒x <1，∴x ∈[0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；x ∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减； ∴g(x)max =g(1)=11+e ，∴a ⩾11+e ﹒ ∴a 的取值范围为[11+e ,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令f′(x)>0求得x 的范围，可得函数f(x)增区间，f′(x)<0求得x 的范围，可得函数f(x)的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒(Ⅱ)参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2√3y ，整理得x 2+(y −√3)2=3， 转换为参数方程为{x =√3cosθy =√3+√3sinθ(θ为参数)；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点P(x,y)， 根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)=√3⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(√3cosθ,√3+√3sinθ−2)， 整理得{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；故C 1的参数方程为{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；圆心坐标为(0,5−2√3)，所以两圆心距为3√3−5，两圆的半径为√3和3， 故3√3−5<3−√3，故两圆相内含，故没有公共点．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两圆的位置关系的应用判断有没有公共点．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两圆的位置关系的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=2|x +1|−|x −2|={−x −4,x ≤−13x,−1<x <1x +4,x ≥1，∵f(x)<1， ∴{−x −4<1x ≤−1或{3x <1−1<x <1或{x +4<1x ≥1，解得−5<x ≤−1或−1<x <13， 即不等式的解集为{x|−5<x <13}；(2)∀x ≥0，f(x)={3x,0≤x <1x +4 ,x ≥1，为增函数，∴f(x)min =0，∵∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，∴∃m ∈[12,2]，使得2m 2−am +1≤0成立， ∴∃m ∈[12,2]，使得a ≥2m +1m ， 令y =2m +1m ，m ∈[12,2]，∵y =2m +1m ≥2√2，当且仅当m =√22时取等号，∴a ≥2√2，故a 的取值范围为[2√2,+∞)．【解析】(1)化绝对值函数为分段函数，再解不等式即可；(2)先求出函数f(x)的最小值，则原不等式转化为得a ≥2m +1m ，利用基本不等式求出2m+1的最小值即可．m本题考查了绝对值不等式的解法和存在性问题以及基本不等式的应用，属于中档题．第21页，共21页。

2021年四川省高考数学诊断性试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设Z为整数集，集合A＝{x|x2≤3}，则Z∩A的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．设复数z＝1﹣i（i为虚数单位）的共轭复数为，则•（1+）＝（）A．3+i B．3﹣i C．1﹣3i D．1+3i3．方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，象征着“同心”．在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为（不考虑菱形边界的宽度）（）A．B．C．D．4．已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异．如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y（万人）与时间t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝（）A．2B．﹣2C．﹣D．7．在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AA1，M是BC的中点，则异面直线BD1与MC1所成角的大小为（）A．B．C．D．8．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%，可能最大亏损率分别为50%和20%．该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过30%的情况下，该投资人可能获得的最大盈利为（）A．40万元B．50万元C．60万元D．70万元9．已知直线l：bx﹣ay+ab＝0（ab＞0）经过点P（﹣1，2），则2a+b的最小值为（）A．6B．7C．8D．910．将函数y＝sin2x图象上的每一个点按向量＝（φ，m）（其中φ和m为常数，且|φ|＜）移动后，所得图象关于直线x＝对称，则φ的值可能为（）①；②；③﹣；④﹣．A．①③B．②③C．①④D．②④11．已知F（c，0）（其中c＞0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点，圆x2+y2﹣2cx+b2＝0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点，已知l的倾斜角为30°，则tan∠AFB ＝（）A．﹣B．﹣C．﹣2D．﹣212．设a＝0.20.2，b＝0.20.3，c＝0.30.2，d＝0.30.3，则a，b，c，d的大小关系是（）A．c＞a＞d＞b B．c＞d＞a＞b C．c＞a＞b＞d D．d＞c＞b＞a二、填空题（共4小题）.13．已知一组数据﹣3，2a，4，5﹣a，1，9的平均数为3（其中a∈R），则中位数为．14．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，已知2a cos C＝2b+c，则角A 的大小为．15．已知直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，并交抛物线于A、B两点，在抛物线的准线上的一点C满足，则|AF|＝．16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱BB1和CD上运动，但始终保持MN的长度为，设P为MN的中点．则BP的长度为；点P的轨迹所形成图形的长度为．三、解答题：共70分。

最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（ ）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法， 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷一）本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题：1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 2.若z （1+i ）=2i ，则z=（ ）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sin x−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.已知F 是双曲线C ： x 24−y 25=1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF| ，则 △OPF 的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 9211.记不等式组 {x +y ⩾6,2x −y ≥0表示的平面区域为D .命题 p:∃(x,y)∈D,2x +y ⩾9 ；命题 q:∀(x,y)∈D,2x +y ⩽12 .下面给出了四个命题（ ）① p ∨q ② ¬p ∨q ③ p ∧¬q ④ ¬p ∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④ 12.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14）D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log3 14）二、填空题：13.已知向量a→=(2,2),b→=(−8,6)，则cos<a→,b→>=________.14.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.15.设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。