(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第十二章 几何证明选讲 理(全国通用)

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第12章 几何证明选讲模拟创新题 文 新人教A 版一、填空题1.(2015·北京丰台区模拟)如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB ＝8，BC ＝1，则CD ＝________；AD ＝________.解析 连接OD ，由切割线定理：CD 2＝BC ·AC ，得CD ＝3，cos ∠AOD ＝－cos ∠DOC ＝－45， 由余弦定理得：AD 2＝AO 2＋DO 2－2AO ·DO cos ∠AOD ，解得AD ＝12105. 答案 3 12105 2.(2015·天津六校联考)如图，PC 、DA 为⊙O 的切线，A 、C 为切点，AB为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，则AB ＝________.解析 ∵CD ＝AD ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，∴DP ＝4，CP ＝6，又∵∠DAP ＝90°，∴AP ＝DP 2－AD 2＝23，由切割线定理得： PC 2＝PA ·PB ＝PA ·(PA ＋AB )，解得AB ＝4 3.答案 4 33.(2014·湖南六校联考)点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，则线段AC 的长为________.解析 由切割线定理，得CD 2＝BD ·AD .因为CD ＝6，AB ＝5，则36＝BD (BD ＋5)，即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，∠D ＝∠D ，所以△ADC ∽△CDB ， 于是AC CB ＝CD BD ，所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92. 答案 92二、解答题4.(2016·郑州质量预测)如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB .(1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长.(1)证明 ∵AO ＝CO ，∴∠OAC ＝∠ACO ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴OC ∥AD .(2)解 ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ，由(1)知OC ∥AD ，∴AD ⊥DC ，即∠ADC ＝90°，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠DAC ＝∠BAC ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB ，∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.5.(2016·云南昆明一中第八次适应性训练)如图已知直线PA 与半圆O 切于点A ，PO 交半圆于B ，C 两点，AD ⊥PO 于点D .(1)求证：∠PAB ＝∠BAD ：(2)求证：PB ·CD ＝PC ·BD .证明 (1)连接AC ，依题意知BC 为半圆O 的直径，A 为半圆上一点，所以∠BAC ＝90°， 又AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠ACD ，又PA 为半圆O 的切线，所以∠PAB ＝∠ACD .所以∠PAB ＝∠BAD .(2)因为∠PAB ＝∠PCA ；∠P ＝∠P ，所以△PAB ∽△PCA .所以PA PC ＝PB PA ＝AB AC ，在Rt △BAC 中，AD ⊥CD 于点D ， 所以AB AC ＝AD CD ＝BD AD .所以PA PC ＝AD CD ，PB PA ＝BD AD ， 所以PC CD ＝PA AD ，PB BD ＝PA AD ， 所以PC CD ＝PB BD，所以PB ·CD ＝PC ·BD . 创新导向题全等三角形的判定与弦切角定理的应用6.如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径.(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角.于是ED 为直径.由(1)得ED ＝AB .专项提升测试模拟精选题一、填空题7.(2015·北京东城区一模)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接⊙O 的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________.解析 连接OC ，由题意得，∠ACB ＝90°，∠OCB ＝∠ABC ＝30°， ∵OC ⊥CD ，BD ⊥DC ，∴OC ∥BD ，∴∠DBC ＝30°.∴DC ＝12BC ＝23，BD ＝BC ·sin 60°＝6， 故由切割线定理：CD 2＝DE ·BD ，得DE ＝2.答案 28.(2015·广州市综合测试一)如图，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得BC ＝2CE ＝2，过E 作圆O 的切线，A 为切点，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为________.解析 延长AD 交圆O 于点F ，由切割线定理：AE 2＝EC ·EB 得AE ＝3，∵∠ADE ＝∠ABE ＋∠BAF ，∠DAE ＝∠EAC ＋∠DAC ，又∵∠EAC ＝∠ABE ，∠BAF ＝∠FAC ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴AE ＝ED ＝ 3.答案 3二、解答题9.(2016·山西阳泉模拟)如图，△ABO 三边上的点C ，D ，E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线.(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长. (1)证明 如图连接OC ，∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OB OE， ∵OD ＝OE ，∴OA ＝OB ，∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB .∴直线AB 是EO 的切线.(2)解 延长AO 交⊙O 于点F ，连接CF .由(1)得∠ACD ＝∠F .∵tan ∠ACD ＝12，∴tan ∠F ＝12. ∵△ACD ∽△AFC .∴CD CF ＝AD AC ＝12. 而AD ＝2，∴AC ＝4.由切割线定理得AC 2＝AD ·(AD ＋2r ).∴42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3.创新导向题相似三角形的判定及弦切角定理逆定理的应用10.如图，△ABC 的外接圆为⊙O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，使得QC 2－QA 2＝BC ·QC .(1)求证：QA 为⊙O 的切线；(2)若AC 恰好为∠BAP 的平分线，AB ＝10，AC ＝15，求QA 的长度.(1)证明 ∵QC 2－QA 2＝BC ·QC ，∴QC (QC －BC )＝QA 2，即QC ·QB ＝QA 2，于是QC QA ＝QA QB ，又∠Q ＝∠Q .∴△QCA ∽△QAB ，∴∠QAB ＝∠QCA ，根据弦切角定理的逆定理可得QA 为⊙O 的切线，(2)解 ∵QA 为⊙O 的切线，∴∠PAC ＝∠ABC ，而AC 为∠BAP 的平分线，∴∠BAC ＝∠ABC ，于是AC ＝BC ＝15，∴QC 2－QA 2＝15QC ， ①又由△QCA ∽△QAB 得QC ∶QA ＝AC ∶AB ＝15∶10， ②联合①②消掉QC ，得QA ＝18.。

【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十二章 几何证明选讲 理（全国通用）考点一 相似三角形的判定与性质1．(2015·广东，15)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________． 解析 如图所示，连接OC ，因为OD ∥BC ，又BC ⊥AC ，所以OP ⊥AC .又O 为AB 线段的中点，所以OP ＝12BC ＝12.在Rt △OCD 中，OC ＝12AB ＝2，由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP ·OD ，即OD ＝OC 2OP ＝2212＝8，故应填8.答案 82．(2014·天津，6)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④解析 ①∠FBD ＝∠BAD ，∠DBC ＝∠DAC ，故∠FBD ＝∠CBD ，即①正确．由切割线定理知②正确．③△BED ∽△AEC ，故BE DE ＝AE CE ，当DE ≠CE 时，③不成立．④△ABF ∽△BDF ，故AB AF ＝BD BF，即AB ·BF ＝AF ·BD ，④正确．故①②④正确，选D. 答案 D3．(2012·北京，5)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ， 以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·AB C ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析 由切割线定理可知CE ·CB ＝CD 2. 又由平面几何知识知△ADC ∽△CDB ， 得相似比：CD AD ＝DBDC， 即AD ·DB ＝CD 2，∴CE ·CB ＝AD ·DB ，故选A. 答案 A4．(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析 依题意得△CDF ∽△AEF ，由EB ＝2AE 可知AE ∶CD ＝1∶3.故△CDF 的面积△AEF 的面积＝9.答案 95.(2013·陕西，15B)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内的一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 易知∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE PA ＝PD PE， 又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝3，PE 2＝PA ·PD ＝6， 故PE ＝ 6. 答案66.(2013·湖北，15)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析 设圆半径为R ，则AD ＝23R ，DO ＝R 3，由射影定理知OD 2＝OE ·OC ，∴R 29＝OE ×R ，∴OE＝R9，∴CE ＝OC －OE ＝R －R 9＝89R ，∴CEEO＝8. 答案 87．(2012·陕西，15B)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析 圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32－22＝ 5.而△DFE ∽△DEB ，∴DF DE ＝DE DB，DF ·DB ＝DE 2＝5.答案 58.(2015·江苏，21)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB . 证明 因为AB ＝AC ， 所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB . 考点二 圆的初步1．(2015·天津，5)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83B ．3C.103D.52解析 根据相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而CN ＝3，所以NE ＝83.选A.答案 A2．(2015·重庆，14)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则BE ＝________．解析 首先由切割线定理得PA 2＝PC ·PD ，因此PD ＝623＝12，CD ＝PD －PC ＝9，又CE ∶ED ＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3，再有相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2. 答案 23．(2014·湖北，15)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________．解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，∵Q 为PA 的中点，∴PA ＝2QA ＝4.故PB ＝PA ＝4. 答案 44.(2014·湖南，12)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析 设AO 与BC 交于点M ，∵AO ⊥BC ，BC ＝22，∴BM ＝2，又AB ＝3，∴AM ＝1.设圆的半径为r ，则r 2＝(2)2＋(r －1)2，解得r ＝32.答案 325．(2014·陕西，15B)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝______． 解析 ∵四边形BCFE 内接于圆， ∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A 为公共角， ∴△AEF ∽△ACB ，∴EF BC ＝AE AC， 又∵BC ＝6，AC ＝2AE ，∴EF ＝3. 答案 36.(2013·北京，11)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析 由于PD ∶DB ＝9∶16， 设PD ＝9a ，DB ＝16a ，根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ·(9a ＋16a )， 解得a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5，在Rt △PBA 中，有AB ＝4. 答案 9547.(2012·湖南，11)如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________． 解析 如图，取AB 的中点C ， 连接OB 、OC ，则OC ⊥AB ，且CB ＝1，CP ＝2，OC ＝OP 2－CP 2＝ 5.∴圆O 的半径为OB ＝OC 2＋CB 2＝ 6. 答案68．(2011·天津，12)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．解析 由相交弦定理得AF ·FB ＝DF ·FC ， 由于AF ＝2FB ，可解得BF ＝1， 所以BE ＝12.由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝74，即CE ＝72.答案729．(2015·湖南，16)如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： (1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°； (2)FE ·FN ＝FM ·FO .证明 (1)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO . 10．(2015·陕西，22)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． (1)证明 因为DE 为⊙O 直径， 则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2， 从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.11．(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点． (1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．(1)证明 由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ， 所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF . 从而EF ∥BC .(2)解 由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 12．(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明： (1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明 (1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA . 因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ， ∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵. 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . 因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.13．(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.。

秘密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （ ）. A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2.设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.D.23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）. A. 100 B.99 C.98 D.974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A.13B.12 C.23 D. 34 5.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）.A. ()1,3-B.(-C.()0,3D.(6.如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）. A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π7.函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A.B.C.D.8.若101a b c >><<，，则（ ）. A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <9.执行如图所示的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）. A.2y x = B.3y x = C.4y x = D.5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ,E 两点.已知||AB =DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）.A. 2B.4C.6D.811.平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α 平面=ABCD m ，α 平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）.A.2 B.2 C. 3D.1312. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题已知函数π()sin()0,,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭…π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）.A.11B.9C.7D.5第II 卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(,1),m =a (1,2)=b ，且222+=+a b a b ，则m = .14. (52x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）.15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 16. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c =ABC △ABC △的周长． 18.（本小题满分12分）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求X 的分布列； （2）若要求()0.5P X n 剠，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？20. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点且与轴不重合，交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明EA EB +为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题（本小题满分12分） 已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.FEDC BA40（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<.请考生在第22，23，24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （1）求证：直线AB 与圆O 相切；（2）点,C D 在圆O 上，且,,,A B C D 四点共圆，求证：CD AB ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（1）在如图所示的图形中，画出()y f x =的图像； （2）求不等式()1f x >的解集.ODCBA组合教育《洞穿高考数学辅导丛书》编委会供稿。

【3年高考2年模拟】第十二章系列4第一节4-1几何证明选讲第一部分 三年高考荟萃2012年高考数学 几何证明选讲一、填空题选择题1 ．（2012年高考（天津文））如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为____________.2 ．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=___ ______.3 ．（2012年高考（广东文））(几何证明选讲)如图3所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.4 ．（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB的中点,点P 为线段CD 的中点,则222||||||PA PB PC += （ ）A ．2B ．4C ．5D ．105 ．（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则 （ ） A ．CE·CB=AD·DB B ．CE·CB=AD·ABC ．AD·AB= 2CD D ．CE·EB= 2CD6．（2012年高考（陕西理））如图,在圆O 中,F CDBAEDACB直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥, 垂足为F,若6AB =,1AE =, 则DF DB ⋅=__________. 7．（2012年高考（湖南理））如图2,过点P 的直线与圆O 相交于A,B 两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O 的半径等于_______. 8．（2012年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为__________. 9．（2012年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.二、解答题10．（2012年高考（辽宁文））选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =.11．（2012年高考（课标文））选修4-1:几何选讲如图,D,E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点,若CF∥AB,证明:(Ⅰ) CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD. 12．（2012年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲CB ADO.如图,,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点,直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点,若//CF AB ,证明: (1)CD BC =;(2)BCD GBD ∆∆13．（2012年高考（辽宁理））选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明[ (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =.14．（2012年高考（江苏））[选修4 - 1:几何证明选讲]如图,AB 是圆O 的直径,,D E 为圆上位于AB 异侧的两点,连结BD 并延长至点C ,使BD DC =,连结,,AC AE DE .FGDE AB C∠=∠. 求证:E C参考答案一、填空题1. 【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A1A ∠=∠∴,又∠B=∠B,CBF ∆∴∽AB C ∆,ACCFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FBAFCD AC =,解得CD=34.2. 解析:5BE =,25DE AE EB =⋅=,5DE =,在Rt DEB 中,25DF DB DE ⋅==3. 解析:mn .PBA ACB DBA ∠=∠=∠,A ∠是公共角,所以ABC ∆∽ADB ∆,于是AB ADAC AB =,所以2AB AC AD mn =⋅=,所以AB mn =. 4. D 【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令4AC BC ==,则42AB =,CD =1222AB =,1||22PC PD CD ===,22||||PA PB AD PD ==+= ()()2222210+=,所以222||||101010||2PA PB PC ++==. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,以方便求解各长度,达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式. 5. 【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD ⋅=,在直角ABC ∆中,90,ACB CD AB ∠=︒⊥,则由射影定理可知2CD AD DB =⋅,所以CE CB AD DB ⋅=⋅.【考点定位】 本题考查的是平面几何的知识,具体到本题就是射影定理的各种情况,需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象.6.解析:5BE =,25DE AE EB =⋅=,5DE =,在Rt DEB 中,25DF DB DE ⋅==7. 【答案】6【解析】设PO 交圆O 于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知,1(12)(3-)(3), 6.PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知ABOC DPA PB PC PD ⋅=⋅,从而求得圆的半径.8.考点分析:本题考察直线与圆的位置关系解析:(由于,CD OD ⊥因此22OD OC CD -=,线段OC 长为定值, 即需求解线段OD 长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时D 为AB 的中点,点C 与点B 重合,因此2||21||==AB CD . 9.解析:3.连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以3PA =.二、解答题10. 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。