2.3.4《平面与平面垂直的性质》课件

3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β


A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直

记作α⊥β



性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l

l
m

n

a
b P
证明：在平面 a m，b n

那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B

PF 5
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.