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高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示导学案无答案新人教A 版必修4一、【温故互查】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________ 2．怎样理解向量的数乘运算λa（1）模：|λa |= ______；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向_______；λ<0时λa 与a 方向_______；λ=0时λa=0 3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________ 二、【设问导读】 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
【练1】如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD探究（二）：平面向量的坐标表示探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？1、非零向量a 、b 的夹角的定义： _________________________________ 。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为AB 的外分点,所以AP =λPB ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得 二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（ ）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sin α),b =(cos α,31),且a ∥b ,则α的值是（ ） A.α=2k π+4π(k∈Z ) B.α=2k π-4π(k∈Z ) C.α=k π+4π(k∈Z ) D.α=k π-4π(k∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,AD =(3,7), AB =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λAC (λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△A OB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵OA =(k,12), OB =(4,5),OC =(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0. 解得k=11或k=-2. 9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴=+=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45).∵OD =21OB =21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-). ∵∥,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又CM =(x,y-45),=(4,47), ∵CM ∥,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是=(1,1),=(x-1,y).图7∥,∴1×y -(x--1.① ∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则FC =(1-t,1),CE =().231,231(+-+). ∵F、C 、E 三点共线,∴FC ∥CE .∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一览众山小
诱学导入
材料：若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0)，向量用坐标表示后，两个向量共线的条件也可以变为坐标的形式.
问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，怎样用坐标表示两个向量共线呢? 导入：将b=λa中的向量换成坐标，消掉λ即可.
温故知新
1.平面向量的基本定理如何理解?
答:对于平面上的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量λ1e1和λ2e2，使得a=λ1e1+λ2e2.当e1与e2互相垂直时，叫做把向量a正交分解，但是，在直角坐标平面内，只有用e1=(1,0)，e2=(0,1)作为标准正交基底，向量x i+y j的坐标是(x,y)，本书中所谈到的坐标都是这样的坐标.向量用坐标表示后，向量的加、减及实数与向量的积的运算就可转化为向量的坐标运算了.
2.两个向量共线的条件是怎样定义的?
答:若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0).在由b=λa导出平面向量的坐标表示向量共线的条件时，是在假设a≠0的情况下导出的，事实上，如果在讨论平行时，规定零向量可以与任一向量平行，所以可去掉a≠0的假设.
1。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、用坐标表示两个共线向量向量a 与非零向量b 共线，当且仅当存在一个实数λ，使得a =λb .这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式.设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(x 2，y 2不同时为零).根据实数与向量的积的坐标可得λb =(λx 2，λy 2).因为a =λb ，即(x 1，y 1)=(λx 2，λy 2)，则必有⎩⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后，得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时，向量b 与a (a ≠0)共线.若x 2、y 2都不为零时，则⎩⎨⎧==.,2121y y x x λλ可化为2121y y x x =.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a 与b 共线.由此可知，设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2-x 2y 1=0；反之，若x 1y 2-x 2y 1=0，则a ∥b .该条件成立，是在假设b ≠0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行，所以可去掉b ≠0这一限制条件.学法一得 向量共线有两种刻画形式：(1)b ∥a (a ≠0)⇔b =λa ，λ是唯一确定的实数；(2)b ∥a (a ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0.典题•热题知识点一 利用坐标解决向量共线例1 判断下列向量是否平行：(1)a =(1，3)，b =(2,4)；(2)a =(1,2)，b =(21,1). 解：(1)∵1×4-3×2=-2≠0,∴a 与b 不平行.(2)∵1×1-2×21=0,∴a ∥b . 巧解提示:(1)∵21≠43,a 与b 不平行；(2)∵12211=,∴a ∥b . 本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.知识点二 利用两个向量共线求未知数例2 已知向量a =(1，1)，b =(4，x)，μ=a +2b ，v =2a +b 且μ∥v ，求x.思路分析：由于平面向量可用坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.解：μ=(1，1)+2(4，x)=(1，1)+(8，2x)=(9，1+2x)，v =2(1，1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=(6，2+x).∵μ∥v ，∴9(2+x)-6(1+2x)=0.解得x=4.例3 求与向量a =(3，4)共线的单位向量.解：设与a 共线的单位向量为e =(x ，y)，则x 2+y 2=1. ①又e ∥a ，所以3y-4x=0. ②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧=-=+,043,122x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54,5311y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,5322y x即e =(54,53)或(54,53--). 巧解提示:∵a =(3，4)，∴|a |=5)04()03(22=-+-.∴与a 共线的单位向量e =51a ，或e =51-a ， 即e =(54,53)或(54,53--). 方法归纳 利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x 1y 2-x 2y 1=0可解决一个未知数的值；若由⎩⎨⎧==2121,y y x x λλ可解决两个未知数的值.例4 平面内给定三个向量a =(3，2)，b =(-1，2)，c =(4，1).(1)求3a +b -2c ；(2)求满足a =m b +n c 的实数m 、n ；(3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；(4)设d =(x ，y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化，这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.解：(1)3a +b -2c =3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(9，6)+(-1，2)-(8，2)=(9-1-8，6+2-2)=(0，6).(2)∵a =m b +n c ，∴(3，2)=m(-1，2)+n(4，1)=(-m+4n ，2m+n).∴⎩⎨⎧=+=+-.22,34n m n m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.98,95n m(3)∵(a +k c )∥(2b -a )，又a +k c =(3+4k ，2+k)，2b -a =(-5，2)，∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=1316-. (4)∵d -c =(x-4，y-1)，a +b =(2，4)，又(d -c )∥(a +b )且|d-c|=1，∴⎩⎨⎧=-+-=---.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521,554y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.5521,554y x∴d =(5525,5520++)或d =(5525,5520--). 方法归纳 求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.知识点三 向量平行与三点共线例5 向量=(k ，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线? 解：BA =PA -PB =(k ，12)-(4，5)=(k-4，7)，CA =PA -PC =(k ，12)-(10，k)=(k-10，12-k).∵A、B 、C 三点共线， ∴BA ∥CA ，即(k-4)(12-k)-(k-10)×7=0.整理，得k 2-9k-22=0.解得k 1=-2或k 2=11.所以当k=-2或11时，A 、B 、C 三点共线.例6 如果向量AB =i -2j ，BC =i +m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m 的方程即可.解：∵A、B 、C 三点共线，即、共线，∴存在实数λ使得=λ，即i -2j =λ(i +m j ).∴⎩⎨⎧-==.2,1m λλ∴m=-2，即m=-2时，A 、B 、C 三点共线.方法归纳 利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线.由于两向量必过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线.知识点四 定比分点坐标公式例7 已知两点P(-1，6)和Q(3，0)，延长线段QP 到A ，使|AP|=31|PQ|，求A 点坐标. 思路分析：由于A 、P 、Q 三点共线，且|AP|=31|PQ|，所以可先从三点中任取两点，确定出两个共线向量间的共线，再借助于向量运算法则进行求解.解：如图2-3-25，∵|AP|=31|PQ|,图2-3-25 ∴PA =31. ∴OA =OP +PA =OP +31QP =OP +31(OP -OQ ) =34-31OQ =(34-,8)-(1,0)=(37-,8). ∴A(37-,8). 例8 若直线y=-ax-2与连结P(-2，1)、Q(3，2)两点的线段有交点，求实数a 的取值范围. 思路分析：当直线与线段PQ 有交点时，这个交点分有向线段PQ 所成的比λ不小于0，从而得到关于a 的不等式，但应注意考虑端点的情况.解：当直线过P 点时，有2a-2=1，∴a=23. 当直线过Q 点时，有-3a-2=2，∴a=34-. 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点M 分PQ 的比为λ，它的坐标为M(x 0，y 0)，则x 0=λλ++-132，y 0=λλ++121， 而直线过M 点，则2132121-++-∙-++λλλλa ， 整理，得4332+-=a a λ. 由λ＞0，得04332>+-a a ，解得a ＜34-或a ＞23. 故所求实数a 的取值范围为a≤34-或a≥23. 例9 连结直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段的长分别是sin α和cos α(0＜α＜2π)，求直角三角形的斜边长.思路分析：建立适当的坐标系，设定点的坐标，然后根据已知条件列关系式求解.图2-3-26解：以直角三角形的两直角边为坐标轴，如图2-3-26所示，建立直角坐标系，设A(a ，0)，B(0，b)，D 、E 分别为AB 的三等分点，把D 点看成分成定比为λ=21的定比分点，由定比分点坐标公式可求得a a x D 32211021=+⨯+=,b b y D 31211210=+⨯+=,即D(32a ，31b). 同理可求得E(31a ，32b)， 又∵|OD|=sin α，|OE|=cos α，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.cos )32()31(,sin )31()32(2222ααb a b a ∴95(a 2+b 2)=1. 又∵|AB|=22b a +，∴|AB|=553. 问题•探究材料信息探究问题 假如有两个质点M 1、M 2，它们的质量分别为m 1、m 2，由物理学知识，这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即1221m m MM M M =或221MM m M =.设点M 1、M 2、M 对应的向量分别是r 1、r 2、r ，则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r )，所以r =212211m m r m r m ++，即点M 处的质量为m 1+m 2.那么如何利用向量得到三个质点的重心呢？探究思路:仿照用向量解决的两个质点的重心情况，对于三个质点的重心问题，可设三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3，所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3，设M 1、M 2的重心在点D 处，该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++，该点的质量为m 1+m 2，然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r .探究结论:r =321332211m m m r m r m r m ++++.。
