平面向量共线的基本表示

[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2

设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，

5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，

向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=.变形形式:已知直线l 上三点,,A B P ,O 为直线l 外任一点,有且只有一个实数λ,使得()1OP OA OB λλ=-+.2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+. 考点1 向量共线定理题型 1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知3AD AB =,3DE BC =,试判断AC 与AE 是否共线?例2已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C DAD.D ,,A C D例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD 的形状 ⑴AD BC = ⑵13AD BC =⑶AD BC =,且AB AD=题型2 向量共线定理的应用 例 4 ⑴已知点C在线段AB上,且52AC CB =,则AC =AB ,BC = AB⑵设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值.⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A B C ，， 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 .A 100 .B 101 .C 200 .D 201考点3 平面向量基本定理题型 在几何图形中,用基底表示其他向量 例5 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a =,AD b =,用,a b 为基底表示,,,MA MB MC MDBC例6 D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =.A 12BC BA -+ .B 12BC BA -- .C 12BC BA - .D 12BC BA+例7如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为1200，OA与OC的夹角为300，且1OA OB ==，23OC =．若OC OA OBλμ=+(),R λμ∈，则λμ+的值为练习:1. 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件AB CD AOBCABC DC 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3. 已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线4. 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（ ）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +5. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c6. 在ABC△中，已知D是AB边上一点，若2AD DB=，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23 .B 13 .C 13- .D 23-7. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE ADA 、1B 、2C 、3D 、48. 设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=9. 在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = （用,a b 表示）10. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求ABDEA BCH•MCD → ，CE → ．已知a +b=213e e +，a -b=212e e -，用1e 、2e 表示a =。