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高等量子力学-chapter6

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陕西师范大学量子力学chapter 6 spinPPT课件

陕西师范大学量子力学chapter 6 spinPPT课件

2. 原子在均匀外磁场中的运动——拉莫尔进动
(Larmor precession in a homogeneous magnetic field )
3. 量子力学中轨道角动量的图像 (The angular momentum in quantum mechanics)
1. The relationship between the magnetic moment and the angular momentum of an atom

x
y y x 0
x y y x 0
y z z y 0
（1） （2） （作业证） （3） （5-7）
z x x z 0
（12）式可写为

x
, y


0 0, i j
（5-8）
或 i ,
j
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论 与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述 光谱还有精细结构，即以往我们讨论的能级有细微的分裂（简并的 部分消除）。为此还必须考虑磁相互作用。
单价电子原子的能 级（多价电子原子 第五章讨论）
库仑作用决定了氢原子和碱金属原子的能级(电子伏量 级）
如锂原子光谱， nP2S跃迁---主线系 nS2P跃迁----锐线系 nD2P跃迁---漫线系 nF3D跃迁 ---基线系。
四、电子自旋假设 (The hypothesis of electron spin ) Uhlenbeck and Goudsmit (1925) (1)
The spin quantum number s ˆ2 S s, ms ˆ S z s, ms s ( s 1) s , m s ms s, ms 1 2

量子力学课件第六章

量子力学课件第六章

第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。

现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。

我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。

微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。

图6.1：受到小微扰的无限深势阱。

首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。

此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。

下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。

将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。

对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。

（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。

）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。

但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。

又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。

它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。

例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。

量子力学英文课件格里菲斯Chapter6

量子力学英文课件格里菲斯Chapter6

Writing n and En as power series in , we have
Here : En1 is the first-order correction to the nth eigenvalue, n1 is the first-order correction to the nth eigenfunction; En2 and n2 are the second-order corrections, and so on.
To first order (1),
To second order (2),
and so on. We’re done with , now — it was just a device to keep track of the different orders — so crank it up to 1.
The right side is a known function, so this amounts to an inhomogeneous differential equation for n1. Now, the unperturbed wave functions constitute a complete set, so n1 (like any other function) can be expressed as a linear combination of them:
but unless we are very lucky, we’re unlikely to be able to solve the Schrö dinger equation exactly, for this more complicated potential. Perturbation theory is a systematic procedure for obtaining approximate solutions to the perturbed problem by building on the known exact solutions to the unperturbed case.

高等量子力学 课件

高等量子力学 课件
20
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符

高等量子力学讲义5-6章

高等量子力学讲义5-6章

确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙

清华大学高等量子力学（ＰＤＦ）

清华大学高等量子力学（ＰＤＦ）

第一章：基本概念1. Stern －Gerlach 实验●容易体现与经典力学的根本差别； ●容易体现量子力学的核心－测量问题； ●二能级系统是最量子的体系。

1）结果加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。

2）分析● 磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩M 引起的，相互作用势 V M B =-。

● 磁矩与角动量J 成正比，M J ∝。

● 原子感受到的力 z z z z B B F V M e J e z z∂∂=-∇=∝∂∂分裂成对称的上下两束→角动量在磁场方向（Z ）只有大小相等方向相反的两个分量。

如果这个角动量是由于原子本身转动引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个分离的两分量分布。

因此力不是由轨道角动量产生的。

银原子有47个电子，其中46个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。

银原子的角动量完全是由那个价电子引起的。

分离的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的，记为s，z s 只有两个大小相等方向相反的值z s +和z s -。

3）量子性质●存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关）； ●自旋角动量的取值不连续。

●磁场起的是测量作用。

用Z 方向的磁场测量Z 方向的角动量。

xyz4）级联Stern －Gerlach 实验图1入射原子束先后经过两个Z 方向的磁场，见图1上部。

在第二个磁场之前z s 有确定值z s +，故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后z s 仍然有确定值z s +。

现在让入射原子束经过Z 和X 方向的两个磁场，见图1中部。

在第二个磁场中原子感受的力x x B F J e x∂∝∂ 。

在第二个磁场之后观察到原子束分裂，说明在第二个磁场之前x s 有两个值xs +和x s -两个分量（虽然z s 有确定值z s +）。

●量子性质：当z s 有确定值时，x s 没有确定值。

z s 和x s 不能同时有确定值！再让入射原子束经过Z ，X 和Z 方向的三个磁场，见图1下部。

高等量子力学-chapter6


各种不同单粒子函数的乘积
f ( x1 ) f ( xN )
1 N
构成 N 粒子态的完全集, 任意一个 N 粒子态 可以展开成
( x1 ,, xN ; t )
f1 ,, f N
c( f ,, f
1
N
, t ) f1 ( x1 ) f N ( xN )
全同粒子波函数具有对称性
f
波函数的归一化:
1 * ( x1 ,, x N ) ( x1 ,, x N )dx1 dx N
(n f ) 2 | ( , n , ) | f
可以把 看作是系统处于某一特定单粒子态 占据数分布状态的几率
| (, n f ,) |2
(二) 费米子 波函数是反对称的, 引入反对称化的函数乘积
c(, fi ,, f j ,; t ) c(, f j ,, fi ,; t )
(一) 玻色子
波函数是对称的, 引入对称化函数乘积
f f ( x1 ,, xN ) P f ( x1 ) f ( xN )
1 N
( P)
1
N
P 为对处于不同量子态的粒子置换
可以证明任意的对称波函数可写成 f1 f N 的线性组合
ˆ B
i , j , k ,l
ˆ | k, l b i, j | B
i
b j bl bk
引入所谓“量子化的波函数”
* ˆ ( x) bk k ( x) k
ˆ ( x) bkk ( x)
k
ˆ ( x), ˆ ( x)其实是Schrodinger场算符，则有
f f ( x1 ,, xN ) (1) P P f ( x1 ) f ( xN )

高等量子力学6-6——6-7


0 ( F i G )( F i G )
F 2 i F , G 2 G 2
(6.47)
2
F , G A, B
2
(6.47)
A i A, B
——
B
2
的二次型,此式 0
依靠光子照射到粒子上以后，在反射到眼镜或仪器 里观察粒子运动。
网球的的宏观粒子，光子的照射影响可忽 略，准确观察到位置和速度。 电子的微观粒子，光子的照射影响不可忽 略，不能准确观察到位置和速度。
光子的能量（动量）（长波），波的衍射， 1 埃里斑 1.22 ，分辨率 ，无 D 法确定电子准确位置；不影响电子的速度， 电子的动量可确定。
不确定度关系（6.48）指出，除非二物理量对易，否则在任何态中 他们都不能一起取确定值。 当A，B取X,P
X P （6.49） 2
若二物理量对易，则在它们的共同本征态中都能一起取确定值， 这时 A B 0 若二物理量对易，但不在它们的共同本征态中，则不能一起取确 定值。 例：A p x , B p y ,[ p x , p y ] 0 若不考虑归一化，
——不确定度关系，简称不确定关系。
最好不称测不准关系，不同测量联系上。
1 AB A, B 2
（6.48）
证明（6.48）
A A=F, B B =G ,则F和G都是厄米 算符。取一任意实数 ,构造一个算符F+i G作用于 上,并求所
Proof:设有任意态 ,命 得矢量的模方:
（或认为QM到顶了，没有再深层次的运动） ②QM——统计系综成立 认为处于 态的各粒子其深一层次的运动可能是各不相同的

高等量子力学喀兴林答案

高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。

关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。

一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。

对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。

同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。

二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。

苏汝铿高等量子力学讲义


§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”

p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?

§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
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第六章 二次量子化理论
研究由全同粒子构成的相互作用多粒子体系, 二次量子化方法是一种有效的方法
1. 波函数的二次量子化表象
考虑系统由N个相互作用的全同粒子组成
动能
相互作用能
H

N
T ( xk )
k 1
1N
2
k
V
l 1
(
xk
,
xl
)
含时Schrodinger方程
i
t

(
x1,,
(x1,, xN )
(, n f ,)nf (x1,, xN )
• 通过置换可使下标按从小到大排列 f1 f2 f N
任意一个反对称波函数 (x1,, xN )可以表示为
(x1,, xN )
c( f1,, f N ) f1fN (x1,, xN )
f1 f N
( f1 f 2 fN )
用占据数组 {n f } 来表示 f1 f N
对称波函数(玻色子体系)
反对称波函数(费米子体系)
表示任意交换二个粒子坐标时, 波函数必须是 对称的, 或是反对称的.
由波函数的对称性要求给出: 展开系数自身 在交换相应量子数时, 也必须是对称或反对称的
c(, fi ,, f j ,;t) c(, f j ,, fi ,;t)
(一) 玻色子
波函数是对称的, 引入对称化函数乘积
f1fN (x1,, xN ) P f1 (x1) fN (xN )
(P)
P 为对处于不同量子态的粒子置换
可以证明任意的对称波函数可写成 f1 fN
的线性组合

(x1,,
xN
;t)

(
f1 ,,
fN
)
c(
f1,, f 1
n f 表示 f 量子态在 { f1,, f N } 中出现的次数
由于 f1,, f N各不相同, 所以
0 n f 1
f { f1,, f N } f { f1,, f N }
即在费米统计情况下:
n 个可能的占据数分布与函数 f1 fN (x1,, xN ) ( f1 f2 fN ) 一一对应
构成 N 粒子态的完全集, 任意一个N 粒子态
可以展开成
(x1,, xN ;t) c( f1,, fN ,t) f1 (x1) fN (xN ) f1 ,, f N 全同粒子波函数具有对称性 (, xi ,, x j ,,t) (, x j ,, xi ,,t)
存在关系式:
(, n f ,) c (, n f ,) c (, n f ,) c( f1,, f N )
N!
(n f !)
f
波函数的归一化:
1 *(x1,, xN ) (x1,, xN )dx1dxN | (, nf ,) |2 (n f )
P f1 (x1) fN (xN )
(P)
占据数 n f 可取任意正整数
n f 0,1,2,
但应满足一个条件:
nf N
f
( N 为总粒子数)
函数组 nf (x1,xN ) 对不同的占据数组是 彼此正交的.
归一化后, 得到一组正交归一化对称函数系
n f (x1,, xN )
这个函数可以表示成大家熟悉的行列式形式
f1 (x1)
f1 fN (x1,, xN )

f2 (x1)

fN (x1)
f1 (xN ) f2 (xN )

fN (xN )
• 函数 f1 ,, fN中有任意两个函数相同, 则反对称函数乘积恒等于0, 因此下标{ f1,, f N } 中没有二个是相同的.
可以把 | (,nf ,)|2 看作是系统处于某一特定单粒子态 占据数分布状态的几率
(二) 费米子
波函数是反对称的, 引入反对称化的函数乘积
f1 fN (x1,, xN ) (1)P P f1 (x1) fN (xN )
(P)
其中
(1) P

1 1
P 为偶置换 P 为奇置换
xN
,
t)

H
( x1 ,,
xN
,
t)
引入单粒子力学量完全集 fˆ的共同本征函数 f (x)
满足正交归一化和完备性条件

* f
(x) f
' (x)dx

ff
'

* f
( x)
f
( x' )


( x

x' )
f
各种不同单粒子函数的乘积 f1 ( x1 ) f N ( xN )
记 f1fN (x1,, xN ) nf (x1,, xN )
对于不同的占据数组{ n f } 函数 nf (x1,, xN ) 是正交的
归一化后, 得到一组正交归一化函数基:
n f (x1,, xN )
1 N
!
n
f

(
x1
,
,
xN
)
它们构成反对称波函数空间的完备基 任意反对称波函数可展开为
N
; t )
f1
fN
( x1 ,,
xN
)
(P)
函数 f1 fN (x1, xN ) 的性质: •它对下标 ( f1,, fN ) 的任意一个置换是对称的;
•可以用一组整数 (n1, n2 ,, n f ,) 来标记它,
其中 n1 表示在 ( f1,, f N )中遇到量子态 1的次数;
n2 表示 …
量子态2的次数;
n f 表示 …
量子态f 的次数;
•这组数 (n1, n2,, n f ,) 称为状态占据数， 函数 f1 fN (x1,, xN ) 完全被这组占据数确定
记函数 为： f1 f N
n f (x1,, xN ) f1 fN (x1,, xN )
(n f !)
f
N!
n f (x1,, xN )
(n f !)

f
N!
P f1 (x1) fN (xN )
(P)
对称波函数可以按它们展开
(x1,, xN )
(, n f ,)nf (x1,, xN )
(n f )
这就是二次量子化表象, 以占据数为自变量的 函数 (, n f ,) 是二次量子化表象中的波函数.