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第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。
希望对你的学习有所帮助！。
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高数上册知识点
1. 极限呐，这可太重要啦！就像你跑步要跑到终点一样，极限就是函数接近的那个值哟。
比如说，1/x 当 x 趋近于无穷大时，它的极限不就是 0 嘛！
2. 导数呀，不就是变化率嘛！就好比汽车的速度，速度快变化就大呀。
像求曲线 y=x^2 的导数，得到 2x，这就能知道它在各个点的变化快慢喽。
3. 连续可不能小瞧哦！可以想想水流，一直不间断就是连续呀。
比如函数 y=sinx 就是连续的嘛。
4. 微分呢，就有点像把一个东西拆得更细致呀。
比如说一个面包，微分就是把它分成很小很小的部分。
像 y=x^2 的微分就是 2xdx 呀。
5. 积分呀，不就是把那些小部分又合起来嘛！类似把面包碎块再拼成一个完整面包哟。
求曲线下的面积不就是用积分嘛。
6. 无穷小和无穷大就像两个极端呀！无穷小接近 0，无穷大就超级大嘛。
想想 1/x，当 x 很大很大时，不就接近无穷小啦。
7. 函数的单调性和极值也很有趣呀！就好像爬山，有上坡有下坡，还有山顶这个极值点。
比如 y=x^3-3x，就能找到它的极值点呐。
我觉得呐，高数上册的这些知识点真的很神奇，能让我们看到数学世界里好多奇妙的现象呢！。
高等数学(上)总结.doc高等数学（上）知识点总结第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：函数是定义域到值域的一种对应关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
1.2 极限定义：极限描述了函数在某一点或无穷远处的行为。
运算法则：加、减、乘、除、复合等。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：函数值趋于零的量。
无穷大：函数值趋于无穷的量。
1.4 连续性定义：函数在某一点的极限等于函数值。
性质：连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续的。
间断点：第一类间断点和第二类间断点。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：导数是函数在某一点处的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的切线斜率。
物理意义：速度、加速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于研究函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某一点处的线性主部。
几何意义：局部线性逼近。
第三章：积分3.1 不定积分定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
基本积分表：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
3.2 定积分定义：在区间上函数平均值的极限。
几何意义：曲线与x轴围成的面积。
3.3 积分技巧分部积分法、换元积分法、有理函数积分等。
第四章：级数4.1 数项级数收敛性：正项级数、交错级数、比值判别法等。
4.2 幂级数泰勒级数：函数在某点的幂级数展开。
4.3 函数项级数一致收敛性：函数序列的极限。
第五章：多元函数微分学5.1 偏导数定义：函数对某一变量的局部变化率。
5.2 全微分定义：函数在多元变量上的微分。
5.3 隐函数微分法定义：隐函数的导数和微分。
5.4 多元函数的极值拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。
高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限： 右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。
0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
高等数学上知识点汇总高等数学是大学理工科及部分文科专业的重要基础课程，它对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
下面为大家汇总一下高等数学上册的主要知识点。
函数与极限函数是高等数学中的基本概念之一。
函数的定义为：设 D 是一个非空实数集，如果对于 D 中的每一个实数 x，按照某种确定的对应法则 f，都有唯一的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的函数，记作 y ＝f(x)，x∈D。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。
极限是高等数学中的核心概念。
数列的极限指的是当数列的项数无限增大时，数列的通项无限趋近于某个常数。
函数的极限则分为 x 趋于无穷大、x 趋于某个有限值以及单侧极限等情况。
极限的运算法则包括四则运算、复合函数的极限法则等。
极限存在的两个准则是夹逼准则和单调有界准则。
两个重要极限：lim(x→0) sinx ／ x ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e ，在求极限的过程中经常用到。
连续与间断函数在某点连续的定义为：函数 f(x)在点 x₀处的极限等于函数在该点的函数值，即 lim(x→x₀) f(x) ＝ f(x₀)。
连续函数具有一些良好的性质，如连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；连续函数的复合函数也是连续函数。
函数的间断点分为第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点和振荡间断点）。
判断函数在某点的间断类型，需要分别计算该点的左右极限。
导数与微分导数是函数的变化率。
函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
导数的几何意义是函数在某点处的切线斜率。
常见函数的导数公式需要牢记，如（x^n)＇＝nx^（n 1) ，（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x 等。
微分是函数增量的线性主部。
高数知识点总结（上册） 函数：绝对值得性质：(1)|a+b|≤|a|+|b|(2)|a -b|≥|a|-|b|(3)|ab|=|a||b|(4)|b a |=)0(||||≠b b a函数的表示方法：（1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数：定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1x fy -=存在，且是单值、单调的。
基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：定义：设{}n x 是一个数列，a 是一个定数。
如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切nx ，不等式ε<-a x n 都成立，则称数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做ax nn =∞→lim ，或ax n →（∞→n ）收敛数列的有界性：定理：如果数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质：（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0x 可除外），有0)(>x f （或0)(<x f ）。
（2）如果Ax f x x =→)(lim 0，且在x 的某一邻域内（x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ），则0≥A （0≤A ）。
（3）如果)(lim 0x f x x →存在，则极限值是唯一的（4）如果)(lim 0x f x x →存在，则在)(x f 在点0x的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。
无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。
但是零是可作为无穷小的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。
除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。
无穷小与无穷大之间的关系：（1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小（2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系： （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： （1）有限个无穷小的代数和也是无穷小（2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小推论： （1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理） 设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x可除外）满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤（2）Ax g x x =→)(lim 0，Ax h x x =→)(lim 0则Ax f x x =→)(lim 0准则二 单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在重要极限：（1）1sin lim0=→x xx（2）21cos 1lim20=-→x x x （3）e x xx =+∞→)11(lim 或ex x x =+→10)1(lim无穷小阶的定义：设βα、为同一过程的两个无穷小。
（1）如果0lim=αβ，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo = （2）如果∞=αβlim，则称β是比α低阶的无穷小（3）如果)1,0(lim≠≠=c c c αβ，则称β与α是同阶无穷小 （4）如果1lim=αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x)0(ln 1~)1(log →+x x a x a三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：0→x 时，x x ~sin x x ~tan221~cos 1xx - x x ~arcsin x x ~arctan指数函数中常用的等价无穷小：0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=-二项式中常用的等价无穷小：0→x 时，ax x a~1)1(-+n x x n~11-+函数在某一点处连续的条件：由连续定义)()(lim 00x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x 处连续必须同时满足下列三个条件：（1）)(x f 在点0x处有定义（2）当x x →时，)(x f 的极限)(lim 0x f x x →存在（3）极限值等于函数)(x f 在点0x 处的函数值)(0x f极限与连续的关系：如果函数)(x f 在点0x处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，反之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数)(x f 、)(g x 在点0x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x 也连续反函数的连续性：定理：如果函数)(x f y =在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必有最大值和最小值推论：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界介值定理：定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，两端点处的函数值分别为)()(,)(B A B b f A a f ≠==，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得μξ=)(f)(b a <<ξ推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<•b f a f (两端点的函数值异号)，则在),(b a 的内部，至少存在一点ξ，使0)(=ξf导数与微分 导数：定义：x x f x x f y x ∆-∆+=→∆)()(lim'导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导：（1）x x f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=)()(limlim|'00000（2）0)()(lim|'00x x x f x f y x x x x --=→=（3）x x f x x f y x x x ∆-∆+=→∆=)()(lim|'0基本初等函数的导数公式： （1）常数导数为零 0)'(=c（2）幂函数的导数公式 1)'(-=n n nx x（3）三角函数的导数公式 x x cos )'(sin = x x sin )'(cos -=x x x 22sec cos 1)'(tan ==xx x 22csc sin 1)'(cot -=-= x x x tan sec )'(sec =x x x cot csc )'(csc -=（4）对数函数的导数公式： a x e x x a a ln 1log 1)'(log ==（5）指数函数的导数公式：a a a x x ln )'(=（6）xx e e =)'(（7）反三角函数的导数公式：211)'(arcsin x x -=211)'(arccos x x --=211)'(arctan x x +=211)'cot (x x arc +-=函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）'')'(v u v u +=+'')'(v u v u -=-函数乘积的求导法则：法则二（具体内容见书108）'')'(uv v u uv +=函数商的求导法则：法则三（具体内容见书109）2'')'(v uv v u v u -=复合函数的求导法则：（定理见书113页）反函数的求导法则： 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )(22dx dydx d dxy d = 求n 阶导数：（不完全归纳法））2sin()(sin )(π⋅+=n x x n）2cos()(cos )(π⋅+=n x x n 隐函数的导数：（见书126页） 对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的导数用记号dx dy（或'y 表示）对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）由参数方程所确定的函数的导数：)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x)()(1''t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕφ=⋅=⋅=微分概念：函数可微的条件 如果函数)(x f 在点0x 可微，则)(x f 在点0x一定可导 函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x可导xx f dy ∆=)(0'函数的微分dy 是函数的增量y ∆的线性主部（当0→∆x ），从而，当x∆很小时，有dy y ≈∆通常把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记做dx 。
即于是函数的微分可记为dx x f dy )('=，从而有)('x f dx dy=基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式： x f f x f )0()0()('+≈x n x n111+≈+x x ≈sin （x 用弧度）x x ≈tan （x 用弧度）x e +≈12x x ≈+)1ln(中值定理与导数应用罗尔定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数（3）在端点处函数值相等，即)()(b f a f =，则在()b a ,内至少有一点ξ，使0)('=ξf拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续（2）在开区间()b a ,内具有导数，则在()b a ,内至少有一点ξ，使得))(()()(f 'a b f a f b -=-ξ定理几何意义是：如果连续曲线)(x f y =上的弧⋂AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧⋂AB推论：如果函数)(x f 在区间()b a ,内的导数恒为零，那么)(x f 在()b a ,内是一个常数柯西中值定理：如果函数)(x f 与)(F x 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数（3）)(F x ‘在()b a ,内的每一点处均不为零，则在()b a ,内至少有一点ξ使得)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理） 00未定式1、a x →情形 定理：如果 (1)当a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(lim x x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）当∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f x ϕ∞→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f x ϕ∞→存在（或为∞），且)()(lim x x f x ϕ∞→=)()(lim ''x x f x ϕ∞→∞∞未定式1、a x →情形 如果 （1）a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(lim x x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→2、∞→x 情形推论：如果 （1）∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且)()(limx x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→注意：1、洛必达法则仅适用于00型及∞∞型未定式2、当)()(lim'')(x x f x a x ϕ∞→→不存在时，不能断定)()(lim)(x x f x a x ϕ∞→→不存在，此时不能应用洛必达法则泰勒公式（略）迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法：必要条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数，如果)(x f 在[]b a ,上单调增加（减少），则在()b a ,内，0)('≥x f （0)('≤x f ）充分条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数， （1）如果在()b a ,内，0)('>x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加（2）如果在()b a ,内，0)('<x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件必要条件：设函数)(x f 在点0x 处具有导数，且在点0x 处取得极值，则0)('=x f函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点驻点：使0)('=x f 的点，称为函数)(x f 的驻点充分条件（第一）：设连续函数)(x f 在点0x 的一个邻域（0x 点可除外）内具有导数，当x由小增大经过0x 时，如果（1）)('x f 由正变负，则0x 是极大点（2）)('x f 由负变正，则0x 是极小点（3）)('x f 不变号，则0x 不是极值点充分条件（第二）：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0;;≠x f（1）如果0)(0;;<x f ，则)(x f 在0x点处取得极大值（2）如果)(0;;>x f ，则)(x f 在0x点处取得极小值函数的最大值和最小值（略） 曲线的凹凸性与拐点：定义：设)(x f 在[]b a ,上连续，如果对于[]b a ,上的任意两点1x 、2x 恒有2)(()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 在[]b a ,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。
