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利率的期限资料结构静态模型(PDF 54页)

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《金融数学》ppt课件(10)利率的期限结构38页PPT文档

《金融数学》ppt课件(10)利率的期限结构38页PPT文档

9
例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5％和5.5126％。3 年期债券的价格为100，息票率为6％。求3年期的即期利 率。
解：3年期的即期利率满足下述方程：
1001 6r1(16r2)2(110r63)3
1.6051.05561262(110r63)3
r36.0411%
10
与表1 对应的即期利率曲线
套利策略：按100元的价格卖出一个三年期债券，同时用 99.3872元的成本复制一个相同的现金流，即可在0时刻获 得100-99.3872=0.6128（元）的无风险收益。 将99.3872元按4.500%投资一年，支付已售债券的息票 5.861元后，还剩余： 99.3872×1.045 - 5.861 = 97.9986（元） 上述资金在第二年按远期利率6.002%再投资一年，支付 已售债券的息票5.861元后， 剩余： 97.9986×1.06002 - 5.861 = 98.0194（元）
1
到期收益率
到期收益率（yield to maturity）：资产的内部报酬率，是 使得该项资产未来现金流的现值与其价格相等的利率。
P
t 0
Ct (1 y)t
2
表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成）
到期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年息票率 2% 5% 6% 10% 4% 12% 0% 7% 4% 8%
• 买入一项价格被低估的资产，并出售一系列现金流与之相匹配的资产。
28
例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格 为99元，其面值为100元。1年期即期利率为4.5%，2年期 即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在， 请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。
利率期限结构模型(ppt文档)

利率期限结构模型(ppt文档)


为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
wj
1/ Durj 1/ Durj
而将参数
的估计过程定义为：
ˆ*
arg min
n
w2j

D10
(s)

a3

b3s

c3 s 2

d3s3
s [0, 5] s [5,10] s [10,30]
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：

D(i) 0
D5i
(5)

D(i) 5
(5)
(10) D10i (10)

D0
(0)

1
i 0,1, 2
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：

0

1
1
exp(
1
)


2
1

exp(
1
)

exp


1


1

1

这就是Nelson-Siegel模型的基本表达形式。当固定 0 时，通过 1和2 的不同组合，利用这个模型，可以推出四种不同形状的零
s
推导出的附息债券理论价格。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。
利率期限结构模型讲解

利率期限结构模型讲解

利率期限结构模型
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表：
B(t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格。
ˆ (t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为 年的零息票债券利率。有： R
B(t , t ) 1 ˆ (t , )] [1 R
通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：
首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时 s t ，j表示 间t的市场价格为 Pt j ，在时间s的现金流入为 Fs( j )，其中， 该组的第j支债券。 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须 先调整“息票效应”（Coupon Effect）。息票效应是指：对于剩余到 期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而 言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现 值。
ˆ j F ( j ) f (s t; ) P t s
s
于是，假想出贴现函数 B(t, s) f (s t; 1 ) 或零息票债券利率
R(t , s t ) g (s t; 2 )的具体形式，其中 和 为参数向量。然后 2 1 利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 1 和 2 构成的参数向量，即：

R(t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为
年的连续复合利率。有：
B(t , t ) exp[ R(t , )]
F (t , s, T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远
利率期限结构模型讲解54页PPT

利率期限结构模型讲解54页PPT

25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
利率期限结构模型讲解
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是Βιβλιοθήκη 私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
22构建静态利率期限结构模型[金融计算与建模]精品PPT课件

22构建静态利率期限结构模型[金融计算与建模]精品PPT课件

第22章 构建静态利率期限结构模型
Resdat样本数据： SAS论坛：
22.1 银行间债券利率期限结构拟合
计算环境
2005年1月31日作为计算时点指标。
从2005年1月31日之前发行、2005年1月31日之后到期的 固定利率政策性金融债券中选择样本，拟合政策性金融债 券利率期限结构。
计算数据集：2005年1月31日固定利率金融债样本债券 ResDat.SampFbd050131。 数据集的变量说明如下页。
/*画图*/ data Psplines4 (keep=R t maturity yield); set Psplines3 tbond_info; /* 将Yrstmat和yield的图一起迭加 到由模型得到的期限结构图中，这里，用set语句比用merge 语句得到的数据集，更方便作图时的控制 */ run; ods listing close; ods html path='d:\'(url=none) body='31jan2005.html '; goptions reset=global gunit=pct border cback=white colors=(black red) ftitle=swissb ftext=swiss htitle=4 htext=3; proc gplot data=Psplines4; plot yield*maturity=1 R*t=2 /overlay; symbol1 color=red value=star i=none; symbol2 color=black i=j; /**/ run; quit; ods html close; ods listing;
计息方式 票面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率 年付息频率 起息日 到期日 到期期限 修正久期 剩余期限 到期收益率
22构建静态利率期限结构模型

22构建静态利率期限结构模型


22.2银行间与交易所国债利率期限结构比较
我国债券交易主要有两个市场，一个是交易所市场， 另一个是银行间交易市场。然而，这两个市场实际上 是两个分割的市场，对于国债，它们应当有各自的利 率期限结构。 沿用上一节的方法及三种期限结构模型，分别得到银 行间与交易所国债2005年1月5日的利率期限结构。图 22.5——图22.8为2005年1月5日的各静态模型对应的 银行间国债即期利率曲线。图22.9——图22.12为2005 年1月5日的各静态模型对应的交易所国债即期利率曲 线。显然，同一天的银行间国债利率期限结构与交易 所国债利率期限结构差别很大。
拟合结果
b1 -0.022525827 c1 -0.00875463 d1 0.0010189845 d2 -0.000969773 d3 0.001418045
根据贴现因子与连续复利即期利率的转换公式， D(0, t ) exp[tR(0, t )] 得到连续复利即期利率的时间函数。
多项式样条法拟合的即期利率曲线 （2005年1月5日）
图22.5 银行间
图22.2005年1月5日）
将上面三个图合并：
图22.4 不同静态模型拟合的即期利率曲线
（绿色：多项式样条法，黑色：指数样条法，蓝色：Nelson-Siegel Svensson模型）
在图22.4中，多项式样条法和指数样条法拟合出来的即期利率 曲线却明显地存在以下不合理之处：短期利率上翘；利率曲线 不够平滑，呈现出过多的波浪式起伏；在远端呈幂级数下降， 特别是，当期限大于20年时，即期利率甚至出现了小于0的情 况。
1 exp( ) 1 exp( ) 1 1 2 R(0, ) 0 1 exp 1 1 1 1 exp( ) 2 3 exp 2 2
FI_4-利率期限结构：静态模型-2016

FI_4-利率期限结构：静态模型-2016

一种将给定的一组高度相关的变量（如不同剩 余期限的利率的变动 ）通过线性变换转化为 另一组不相关变量的数学方法。
在变换中，保持总方差不变（意味着信息没有 丢失），新的变量按方差依次递减的顺序排列 ，解释了主要方差的前几个成分被称为“主成 分”。
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
Fi 和Xi 的关系
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
格林斯潘之谜
1999年，联邦利率的增加伴随着长期利率一对一上 升 2004年6月到2006年6月，美联储将联邦利率从 1.25%提升至5.25%。但美国10年期国债的收益率在 此期间却是下降的 Kim and Wright(2005)：三因子无套利仿射模型； 期限溢酬的影响
Bernanke(2013)：美国10年期国债收益率近年来的 下降应主要归因于2010 年以来期限溢价的急剧下降 50 厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
为何需要采用主成分分析？
利率变动非完全相关意味着
受到共同因素的影响但影响程度有差异 特定期限利率有特定影响因素
高度相关意味着数据信息高度重合（信息冗余 ），我们希望找到数量较少的独立因子，来描 述利率变动
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
（principal component analysis, PCA ）
30年主成分分析
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
32
30年因子分析
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
33
20年主成分分析
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
34
20年因子分析
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
35
4－8年主成分分析（2002-2013.9 ）
厦门大学 陈蓉 郑振龙 2016
2.利率的期限结构

2.利率的期限结构




Treasury maturity
A B 1 year 2 years
par
1,000 1,000
coupon rate current price
0 10% 910.50 982.10
1000 910.50 r1 9.83% 910.50
982.10 100 1000 100 100 1100 1 r1 (1 r2 )2 1 9.83% (1 r2 )2
利率的确定


在市场上表现的利率是包含有通货膨胀的影响 在内的,是名义利率 扣除通货膨胀以后的利率是真实利率 名义利率和真实利率的关系
1 名义利率 1 真实利率 1 通货膨胀率

略去高阶小量后:
名义利率 真实利率 通货膨胀率
利率的确定
有风险资产的真实利率(到期收益率)是包含 风险补偿在内的: 名义利率=资金的纯时间价值+通货膨胀率 +风险补偿 前二者的和就构成无风险利率 严格地说,无风险利率应该是资金的纯时间 价值
利率的期限结构
折现现金流公式
Ct PV P 0 t t 1 (1 r ) t
Ct NPV P0 0 t t 1 (1 r )
n
n Ct Ct (1 r )t (1 r )t t 1 t 1 t n
n
Let
利率的确定

利率可以简单看作租用资金的价格 利率水平的高低受到四个基本因素的影响: 1)资本货物的生产能力 2)资本货物生产能力的不确定性 3)消费的时间偏好 4)风险厌恶程度


远期价格

假定有一股票，准备持有一年，期间不分 红，到期出售可获得资本收益（买进卖出 的差价），该股票的预期收益（年率）是 15%，目前的市场价格是100元。如果现在 来订立买卖这种股票的一年期远期合约， 远期价格为F，F的大小应该是多少？
利率的期限结构..82页PPT

利率的期限结构..82页PPT


6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
利率的期限结构..
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
利率期限结构模型

利率期限结构模型

静态模型动态模型样条函数模型节约型模型指数样条法vasicekfong1982均衡模型套利模型vasicek模型vasicek1977cir模型coxingersollross1985holee模型holee1986hullwhite模型hullwhite1990hjm模型heathjarrowmorton1992nelsonsiegel模型nelsensiegel1987svensson扩展模型svensson1994b样条法steeley1991多项式样条法mcculloch19711975利率期限结构模型静态利率期限结构模型概述静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础构造利率曲线函数利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格从而得出符合当天价格信息的利率期限结构
wj
1/ Dur
1/ Durj
j
而将参数
j 2 n ˆj) P P * 2( t t 的估计过程定义为： ˆ a r g m i n w j n j 1
多项式样条法
多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式 分段连续函数 D ( s ) 。 在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要 的。阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程 度，同时也影响到待估参数的数量。本书将多项式样 条函数的阶数定为3。这是因为，当多项式样条函数 (2) 为二阶时，D ( s ) 的二阶导数 D ( s )是离散的；当阶数过 高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续 的难度将增大，待估参数的数量也将增大。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。 为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
利率期限结构模型

利率期限结构模型


R(t , ) 起息ห้องสมุดไป่ตู้为时间t，剩余到期期限为
年的连续复合利率。有：
B(t , t ) exp[ R(t , )]
F (t , s, T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远
期利率。有：
B f (t , s, T ) B(t , T ) exp[(T s) F (t , s, T s)] B(t , s)
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构 造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法， 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。
s [0, T1 ] s [T1 , T2 ] s [T2 , T3 ]
模型中，除了 ai , bi , ci , di 外， u也是一个参数，并且有明显的经济含 义。Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式：
u lim f (0, s )
s
即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。
0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明，该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似。该公式为：
f (0, ) 0 1 exp( ) 2 exp( ) 1 1 1
wj
1/ Dur
1/ Durj
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Et eRt1,tnn1
版本3：1年期零息票债券与n年期零息票债券
投资1年的预期收益率应该是相等的
Et
1 eRt1,tnn1
e Rt ,t 1 Rt ,t nn
20
纯预期理论
• 纯预期理论的缺陷
核心缺陷：忽略利率的风险溢酬 版本1：远期利率并不等于未来即期利率的期
望值，两者之间还相差利率风险溢酬 版本2：虽然考虑了利率的风险，但没有考虑
10
• 利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份分析 利率期限结构变动的因子分析
11
利率期限结构变动的主成份分析
• 主成份分析（principal component analysis, PCA） 主成分分析是一种将给定的一组高度相关的变量（ 如不同剩余期限的利率的变动 ）通过线性变换转化 为另一组不相关变量的数学方法。在变换中，保持 总方差不变（意味着信息没有丢失），新的变量按 方差依次递减的顺序排列，依次称为第一成份、第 二成份和第三成份等。 在不丢失信息的前提下，主成份分析可以帮助我们 找出对利率变动影响最大的前几个主要因素，而且 这些因素彼此之间是不相关的，从而可以较容易地 实现对这些影响因素的分析，解释利率期限结构的 变动。
17
• 传统的利率期限结构理论
纯预期理论 流动性偏好理论 市场分割理论 期限偏好理论
18
纯预期理论
• 纯预期理论
当前的利率期限结构代表了市场对未来即期利率变 化的预期
• 纯预期理论的三个版本
版本1：远期利率代表着市场对未来即期利率的预期
R t,ti ,t j Et R ti ,t j
• 利率期限结构的不同形状 下降的利率期限结构
6
利率期限结构的基本特征
• 利率期限结构的不同形状 先降后升的利率期限结构
7
利率期限结构的基本特征
• 利率期限结构的不同形状 先升后降利率期限结构
8
利率期限结构的基本特征
• 三条利率期限结构的关系
9
利率期限结构的基本特征
• 利率期限结构的动态变化
• 由于长期的即期利率是短期的即期利率和远期利 率的加权平均，当市场预期利率上升（下降或不 变）时，远期利率就会上升（下降或不变），利 率期限结构就会呈现相应的形状
19
纯预期理论
• 纯预期理论的三个版本
版本2：短期零息票债券滚动投资n年的预期 收益率应该等于n年期零息票债券一次性投资
的收益率
1
eRt,t1Rt,tnn
2
利率期限结构的定义与类型
我国银行间不同信用级别的即期利率期限结构
3
利率期限结构的定义与类型
• 利率的典型特征 名义利率的非负性 均值回归 利率变动非完全相关 短期利率比长期利率更具波动性
4
利率期限结构的基本特征
• 利率期限结构的不同形状 接近水平的利率期限结构
5
利率期限结构的基本特征
缺陷 • 风险溢酬并不不然随时间递增 • 投资者特定的资产状况使得他们偏好某些期限债 券
22
市场分割理论
• 市场分割理论
投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不 变。利率曲线的形状由短、中和长期市场的 各自供求关系决定。
CH3 利率的期限结构：静 态模型
1
利率期限结构的定义与类型
• 利率期限结构 不同期限的利率水平之间的关系就构成了“利率期 限结构”（interest rate term structure），也 称为“收益率曲线”（yield curve）
• 利率期限结构的类型 按利率的不同 • 到期收益率曲线、互换利率期限结构、即期利率 期限结构、平价到期收益率曲线、远期利率期限 结构和瞬时远期利率期限结构等 按信用等级不同
• Lardic, Priaulet and Priaulet (2003) ：在德 国市场、意大利市场和英国市场上，1998至2000 年期间前三个主成份的解释能力分别为90%、90% 和93%
• 唐革榕和朱峰 (2003)：2001年8月30日至2002年 12月13日上海交易所国债利率变动的90.85%也可 用前三个主成份来解释
行正交化并单位化，计算出互不相关的成份因子，
并按特征值大小排序
计算不同成份的方差贡献率和累计方差贡献率，并 确定主成份
13
利率期限结构变动的主成份分析
• 主成份分析的结果 只需要三个主成份就可以解释全球许多场利率期 限结构90%左右的变动
• Barber and Copper (1996) ：1985-1991年美国 市场上前三个主成份对利率期限结构的解释能力 达到97.11%
12
利率期限结构变动的主成份分析
• 主成份分析的一般步骤
采集不同期限即期利率变动ΔR(t,ti)的历史数据并
将其标准化
__________
R*
t , ti
R t,ti R t,ti
Rt,ti
计算不同期限ΔR*(t,ti)之间的方差－协方差阵Ω
计算Ω的特征值及其对应的特征向量，把特征向量进
14
利率期限结构变动的因子分析
• 因子分析（factor analysis）
提取主成份分析的经济含义
k
R* t,ti l jt Fj* ti j 1
绘出各因子F*j对应的系数ljt图
15
利率期限结构变动的因子分析
• 因子分析结果
16
利率期限结构变动的因子分析
• 三个因子 l1水平因子：当第一个因子变动时，不同期限的利率 将发生同样幅度的变动。它常常可以解释利率曲线 变化的60%－80%。 l2斜率因子：通常会在2－8年之间穿过横轴。这个因 子变动时，长短期利率的变动是不同的。它可用来 衡量长短期利率的期限差异（term premium)，通常 可以解释利率曲线变化的5%－30%。 l3曲度因子：通常呈现蝶形，说明第三个因子对利率 期限结构上的短、中和长期利率具有不同的影响。 它一般解释了收益率曲线变化的0%－10%。
人们的风险厌恶系数 版本3：同样忽略利率风险溢酬
21
流动性偏好理论
• 流动性偏好理论：引入流动性风险
从长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了市场 对未来的预期和流动性风险溢酬，剩余期限越长， 该风险溢酬越大。
收益率曲线上升可能是因为 • 市场预期未来利率将上升 • 市场预期未来利率不变甚至下降，但流动性风险 溢酬随期限增加提高得很多