2018版高考数学(理)一轮复习文档：第九章解析几何9.9第三课时含解析

学必求其心得，业必贵于专精

第3课时 定点、定值、探索性问题

题型一 定点问题

例1 （2017·长沙联考)已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>0，b〉0）过点(0,1）,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足错误!＝λ1错误!，错误!＝λ2错误!。

（1)求椭圆的标准方程;

(2）若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l过定点并求此定点．

(1）解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且（2a)2＋(2b)2＝2（2c）2，

又a2＝b2＋c2，∴a2＝3。

∴椭圆的方程为错误!＋y2＝1。

(2)证明 由题意设P(0，m)，Q（x0,0)，M(x1，y1）,

N(x2,y2），设l方程为x＝t(y－m),

由错误!＝λ1错误!知（x1,y1－m）＝λ1(x0－x1，－y1)，

∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝错误!－1.

同理由错误!＝λ2错误!知λ2＝错误!－1。

∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 学必求其心得，业必贵于专精

联立错误!得（t2＋3）y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，

∴由题意知Δ＝4m2t4－4（t2＋3）(t2m2－3）〉0，②

且有y1＋y2＝错误!,y1y2＝错误!，③

③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0,

∴(mt）2＝1,

由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，

得直线l方程为x＝ty＋1，过定点（1,0)，即Q为定点．

思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

（2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．

（2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝错误!,F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝错误!。

（1）求椭圆C的方程； 学必求其心得，业必贵于专精

（2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－错误!，y1），点N(错误!，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．

解 (1）由题意设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉b>0),①

焦点F（c，0)，因为错误!＝错误!,②

将点B(c，错误!)的坐标代入方程①得错误!＋错误!＝1。③

由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝错误!,b＝1.

故所求椭圆方程为x22＋y2＝1。

(2）由错误!得（2＋t2）y2＋2tλy＋λ2－2＝0.

因为l为切线,所以Δ＝（2tλ)2－4（t2＋2）(λ2－2）＝0,

即t2－λ2＋2＝0.④

设圆与x轴的交点为T(x0，0）,

则错误!＝(－错误!－x0，y1)，错误!＝（错误!－x0，y2)．

因为MN为圆的直径，

故错误!·错误!＝x错误!－2＋y1y2＝0。⑤

当t＝0时,不符合题意，故t≠0.

因为y1＝错误!，y2＝错误!，

所以y1y2＝错误!，代入⑤结合④得 学必求其心得，业必贵于专精

错误!·错误!＝错误!

＝错误!,

要使上式为零,当且仅当x错误!＝1，解得x0＝±1.

所以T为定点，故动圆过x轴上的定点（－1,0)与(1,0)，

即椭圆的两个焦点．

题型二 定值问题

例2 （2016·广西柳州铁路一中月考)椭圆有两顶点A(－1，0）,B（1，0）,过其焦点F（0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点,并与x轴交于点P。直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当|CD｜＝错误!错误!时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A，B两点时，求证:错误!·错误!为定值．

(1）解 ∵椭圆的焦点在y轴上，

故设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)，

由已知得b＝1，c＝1，∴a＝2，

∴椭圆的方程为错误!＋x2＝1.

当直线l的斜率不存在时,|CD|＝2错误!，与题意不符； 学必求其心得，业必贵于专精

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，

C（x1，y1），D(x2，y2）．

联立错误!化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，

则x1＋x2＝－错误!，x1·x2＝－错误!。

∴|CD｜＝错误!错误!

＝错误!·错误!

＝错误!＝错误!错误!,

解得k＝±错误!。

∴直线l的方程为错误!x－y＋1＝0或错误!x＋y－1＝0.

(2）证明 当直线l的斜率不存在时，与题意不符．

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝kx＋1（k≠0,k≠±1），C(x1，y1),D(x2，y2），

∴点P的坐标为(－错误!，0）．

由(1）知x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－错误!,

且直线AC的方程为y＝错误!（x＋1），

直线BD的方程为y＝错误!(x－1），

将两直线方程联立，消去y，

得x＋1x－1＝y2x1＋1y1x2－1。 学必求其心得，业必贵于专精

∵－1〈x1<1,－1〈x2〈1,∴错误!与错误!异号，

（错误!）2＝错误!

＝错误!·错误!

＝错误!

＝错误!＝（错误!）2，

y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝k2(－错误!)＋k(－错误!）＋1

＝－错误!，

∵错误!与y1y2异号，∴错误!与错误!同号，

∴错误!＝错误!，解得x＝－k，

故点Q的坐标为(－k，y0)，

错误!·错误!＝(－错误!,0）·（－k,y0)＝1，

故错误!·错误!为定值．

思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值;

（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

（3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对学必求其心得，业必贵于专精

解析式进行化简、变形即可求得．

(2016·珠海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F（错误!，0)，直线l:x＝－错误!，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l。

（1）求动点Q的轨迹C的方程;

(2）设圆M过A（1，0)，且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时,弦长｜TS｜是否为定值?请说明理由．

解 (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ｜＝｜QF|,

又|PQ｜是点Q到直线l的距离，

故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2＝2x(x>0）．

（2）弦长｜TS|为定值．理由如下：

取曲线C上点M(x0，y0),M到y轴的距离为d＝｜x0|＝x0，圆的半径r＝|MA｜＝x0－12＋y20， 学必求其心得，业必贵于专精

则｜TS|＝2r2－d2＝2错误!，

∵点M在曲线C上,∴x0＝错误!，

∴|TS|＝2错误!＝2是定值．

题型三 探索性问题

例3 （2015·四川）如图，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的离心率是错误!，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2错误!.

(1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得错误!＝错误!恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．

解 （1）由已知，点(2,1)在椭圆E上，

因此错误!

解得a＝2，b＝2,

所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

(2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，

如果存在定点Q满足条件，则有错误!＝错误!＝1， 学必求其心得，业必贵于专精

即|QC|＝|QD|，

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,y0)．

当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M，N两点,则M，N的坐标分别为（0，错误!），（0，－错误!），

由|QM｜｜QN｜＝错误!，有错误!＝错误!，解得y0＝1或y0＝2，

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2），

下面证明:对任意直线l，均有错误!＝错误!，

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立,

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，

A，B的坐标分别为（x1，y1）,（x2,y2），

联立错误!得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，

所以x1＋x2＝－错误!,

x1x2＝－错误!，

因此错误!＋错误!＝错误!＝2k， 学必求其心得，业必贵于专精

易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2),

又kQA＝错误!＝错误!＝k－错误!，

kQB′＝错误!＝错误!＝－k＋错误!＝k－错误!，

所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，

所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!，

故存在与P不同的定点Q（0，2），使得错误!＝错误!恒成立．

思维升华 解决探索性问题的注意事项

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立，再推出条件；

（3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．

(2015·湖北)一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时,N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．