序列的上极限和下极限

目 录

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

摘要……………………………………………………….…...01

一、数列的上极限、下极限的定义………………………………….01

1. 用“数列的聚点”来定义…………………………………...01

2. 用“数列的确界”来定义…………………………………...02

3. 数列上、下极限定义的等价性…………………………….....02

二、数列的上、下极限的性质及定理………………………………. 04

参考文献………………………………………………………. 14

英文摘要………………………………………………………..15

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理.

关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数

一、数列的上极限、下极限的定义

关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式：

1. 用“数列的聚点”来定义

定义 1 若在数a的任一邻域内都含有数列nx的无限多项，则称a为数列nx的一个聚点.

例1 数列{(1)}1nnn有聚点1与1；

数列{sin}4n有221,,0,22和1五个聚点；

数列1{}n只有一个聚点0；

常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.

定义 2 有界数列nx的最大聚点a大与最小聚点a小分别称为数列nx的上极限和下极限，记作

limna大;limnnax小.

例2 lim(1)11nnnn,lim111nnn

limsin14nn,limsin14nn

11limlim0nnnn

序列和子列的上下极限

在数学分析中，序列的上下极限是描述序列长期行为的重要工具。当序列本身不一定收敛时，上下极限能够提供关于序列如何在一个区间内“振荡”的信息。

首先，我们需要明确什么是子列和上下极限：

• 子列：给定一个序列 {an}，从中选取一个无限子集并按照原顺序排列，得到的新序列称为原序列的一个子列。

• 上极限 limsupn→∞an：所有子列极限值中的最大值。如果不存在有限的子列极限值，则上极限为 +∞；如果没有任何子列收敛，则上极限可能不存在。

• 下极限 liminfn→∞an：所有子列极限值中的最小值。如果不存在有限的子列极限值，则下极限为 −∞；如果没有任何子列收敛，则下极限可能不存在。

现在，我们来看如何利用子列的极限来描述序列的上下极限：

1. 找出所有可能的子列极限：首先，尝试找出给定序列的所有可能的子列极限。这通常涉及对序列的特定部分进行分析，以确定它们是否收敛以及收敛到何值。

2. 确定上下极限：在所有找到的子列极限中，最大的那个值就是上极限，最小的那个值就是下极限。

3. 特殊情况处理：

o 如果所有子列都收敛到同一个值，那么这个值既是上极限也是下极限，此时序列本身也收敛到这个值。

o 如果找不到任何收敛的子列，那么上下极限可能不存在或分别为 +∞ 和 −∞。

o 如果子列的极限值无界（即既有趋于 +∞ 的子列，又有趋于 −∞ 的子列），则上极限为 +∞，下极限为 −∞。

示例：

考虑序列 {an}={1,−1,1,−1,1,−1,…}（即交替出现 1 和 -1）。

• 这个序列本身不收敛，因为它在两个值之间振荡。

• 但是，我们可以找到两个子列：一个是所有 1 组成的子列 {1,1,1,…}，它收敛到 1；另一个是所有 -1 组成的子列 {−1,−1,−1,…}，它收敛到 -1。

• 因此，这个序列的上极限是 1，下极限是 -1。

这个示例展示了如何利用子列的极限来描述一个不收敛序列的长期行为。在实际应用中，这种方法对于分析复杂序列的渐近性质非常有用。

广西科学Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　２０１０，１７（３）：２Ｏ０～２０１，２０５　优化权重下　混合序列部分和的几乎处处中心极限定理　Ａｌ　ｍｏｓｔ　Ｓｕｒｅ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｌｉｍｉｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｓｕｍｓ　ｕｎｄｅｒ　ｐ－ｍｉｘｉｎｇ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　Ｗｅｉｇｈｔ　简　默，吴群英，彭先豪　Ｊ　ＩＡＮ　Ｍｏ，ＷＵ　Ｑｕｎ—ｙｉｎｇ，ＰＥＮＧ　Ｘｉａｎ—ｈａｏ　（桂林理工大学理学院，广西桂林５４１００４）　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５４１００４，Ｃｈｉｎａ）　摘要：将已有的１０一混合序列部分和的几乎处处中心极限定理权重由以＝　１推广到以一　（ａ≥一１），得到　优化权重下部分和的几乎处处中心极限定理．　关键词：　混合序列　几乎处处中心极限定理权重　中图法分类号：Ｏ２１１．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—９１６４（２０１０）０３—０２００—０２　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｅ—ｅｘｓｉｔｉｎｇ　ａｌｍｏｓｔ　ｓｕｒｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｉａｌ　ｓｕｍｓ　ｕｎｄｅｒ　ｌＤ—ｍｉｘｉｎｇ，ｗｅ　ｇｅｎｅｒａ１ｉｚｅｄ　ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔ　一去ｔ。　一Ｔｌｏｇ＂ｋ（ａ≥一１），ａｎｄ　ｃ。ｎｃｌｕｄｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｗｉｔｈ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　ｗｅｉｇｈｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌ０一ｍｉｘｉｎｇ　ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ，ａｌｍｏｓｔ　ｓｕｒｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅｉｇｈｔ　几乎处处中心极限定理是概率论研究的一个热　门话题，文献［１，２］最早开始研究．文献［－３３给出了针　对独立同分布（ｉ．ｉ．ｄ．）的随机变量列几乎处处中心极　限定理：设｛Ｘ　，　≥１｝是ｉ．ｉ．ｄ随机变量列，ＥＸ一０，　ＥＸ　一１，则Ｖ　ｚ，　南　去　｛寺≤小　）ａ．ｓ．．（１）　这里Ｉ｛・｝为示性函数，ｃｐ（ｘ）为标准正态函数．文献　［４］针对平稳强混合随机变量列，平稳１０一混合随机变　量列及平稳ＰＡ随机变量列，证明了（１）式成立．　对于独立同分布的几乎处处中心极限定理，前人　已做了很多的研究，已经将（１）式中的权重÷推广到　，　，但是在　混合序列中，对于权重丢还未进　行推广．本文主要是针对　混合序列，讨论权重由÷　收稿日期：２００９—１２－２９　修回日期：２０１０—０４—０６　作者简介：简　默（１９７８一），男，硕士研究生，主要从事概率极限理论　和数理统计研究。　＊国家自然科学基金项目（１０６６１００６）；广西研究生教育创新计划项　曰（２００９１０５９６０２０２Ｍ２９）资助。　２００　改进为　（。≥一１）时部分和的几乎处处中心极限　定理．　以下Ｖ　ｚ∈　表示　是函数Ｇ的连续点，Ｃ表　示正常数，在不同的地方可取不同的值．　１　定义及引理　定义１　Ｅ　称｛Ｘ　，，２≥１）是Ｊ０一混合序列，如果当　—｝。。时，Ｐｃ　一ｓ　ｕ≥ｐ　，　ｓ，ｕｐ１　ＸＣ　Ｙ６　Ｉ｝Ｉ　ＩＩ　２　ＩＩ　ＩＩ　２　≥　（Ｆ　），　Ｌ　（Ｆ　．）　Ａ　』　一０，其中　是由随机变量ｘ　，ｘ　一，　产生的　域，ｌｌ　Ｘ　ｌｌ　一（Ｅ　ＩＸ　Ｉ　）亩．　引理１　设｛　｝　≥　为有界的随机变量序列，　｛　｝　为正的数列，Ｄ　一∑ｄ　，Ｔ　一　∑　，假　ｋ＝１　一　ｋ＝１　设　一。。时，Ｄ　一。。，　一１．对于￡＞０，常数Ｃ　和所有的　满足Ｅ７’：≤Ｃ（１ｏｇＤ　）＿。（１ｏｇｌｏｇＤ　）＿。，则　丁　０　ａ．ｓ．，当　∞．　引理２　设｛Ｘ　，　≥１｝是　混合序列，　∈　Ｌ　（Ｆ　。。）且ｙ∈Ｌｐ（Ｆ　ｎ），户，ｑ≥１，　１＋言一１，那　么ｌ　ＥＸＹ—ＥＸＥＹ　Ｉ≤４｜Ｄ（　）孟　寺　１Ｉ　Ｉｌ　ｙ　ｌ１　，其　中ｌｌ　ｘ　ｌｉ　＝（Ｅ　ｉｘ　ｌ　）　．　Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｖｏ１．１　７　Ｎｏ．３，Ａｕｇｕｓｔ

上极限下极限的运算

上极限和下极限可以进行一些运算操作，主要有以下几种：

1. 线性运算：如果存在两个函数序列 {an} 和 {bn}，则上极限和下极限满足以下关系：

- 上极限的线性运算：lim sup (an + bn) ≤ lim sup an + lim sup bn

- 下极限的线性运算：lim inf (an + bn) ≥ lim inf an + lim inf bn

2. 乘法运算：如果存在两个函数序列 {an} 和 {bn}，则上极限和下极限满足以下关系：

- 上极限的乘法运算：lim sup (an * bn) ≤ lim sup an * lim sup bn

- 下极限的乘法运算：lim inf (an * bn) ≥ lim inf an * lim inf bn

3. 非负常数乘法：对于任意非负常数 c，有以下关系：

- 上极限的常数乘法：lim sup (c * an) = c * lim sup an

- 下极限的常数乘法：lim inf (c * an) = c * lim inf an

4. 函数取幂：如果存在一个函数序列 {an} 和一个正整数 k，有以下关系：

- 上极限的幂运算：(lim sup an)^k ≤ lim sup (an^k)

- 下极限的幂运算：(lim inf an)^k ≥ lim inf (an^k)

需要注意的是，以上运算不一定成立对于任意的函数序列和常数。在具体的运算中，需要根据序列的性质和运算的特点来判断是否可以进行这些运算。