上极限和下极限

§3 上极限和下极限

1. 求以下数列的上、下极限:

(1){1+n)1(};(2){n)1(12nn};

(3){2n+1}; (4){12nnsin4n};

(5){nn12sinn}; (6){nn3cos };

解 记原函数为{xn}.

(1) 由于klim12kx=0, kkx2lim=2,从而对任给正数,存在自然数N,当k>N时,有

x12k<0+,2-

可见小于0的xn有无限项，大于2的也有无限项，又设有一项xn 使得20nnxx或,故由定义可知 nnnxlim,0limxn=2.

注：一般地，若p为自然数，且

0limAxkpk，,lim11Axkpk,11limppkpkAx存在，则有

minlimn{A0，A1，A1P}，

，，10max{limAAxnk ，A1P}。

事实上，对任一正数，存在自然数N，使得当k>N时

Ai—

设 min{A0,A1,,A1P}=A0,则小于A0+的xn有无限项，若对某个正数，数列{xn}中小于A0—的有无穷项，设他们是

x1n,x2n,,xjn, 

其中n1

{kp}Nk,{kp+1,}Nk, {kp+p-1}Nk

且nj有无限个，从而以上p个子集中，必有一个（设为第j个）含有无限个nj,因而

n1j=k1p+j ),2,1(j 于是 jjpklnlAxxj11limlim.可见

AjA0—

这与A0为最小者矛盾，因此A0=nnxlim.

第２１卷第２期　２００２年６月　延安大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０Ｉ．２１　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２００２　

重极限和二重极限研究　张龙朝　（陕西电大延安分校，陕西延安７１６０００）　摘要：直极限和逆极限是泛代数中生成新代数的方法，为了进一步研究新代数的生成，给出了重　集族和重极限的定义；研究了代数的重极限、二重直集族及二重直极限及其相应性质；讨论了二重　代数族和二重直代数族的极限。　关键词：重极限；二重直极限；重代数族　中图分类号：Ｏ１５３　文献标识码：Ａ　．文章编号：１００４—６０２Ｘ（２００２）０２—００２０—０３　１重集族和重极限　定义１　设　（１）（　，≤）（　，≤）是两个定向半序集；　（２）对任意的ｉ∈　，ｊ：∈　，Ａ』是一个集合；　（３）对于任意的　１，ｉ２∈　，ｉ１　４ｉ２，Ｊ１，Ｊ２∈Ｊ，Ｊ１　４　Ｊ２；有映射：卿　：Ａｉ１Ｊ１一Ａｉ２Ｊ２，满足　＝　３。　ｒｔｌ￣　２一　鲫　．／３　ｉ１≤ｉ２≤ｉ３，Ｊ１≤Ｊ２≤Ｊ３，而对于任意的ｉ∈Ｉ，　∈　，　：Ａ　一Ａ』是恒等映射。　则称四元组｛（　，≤），（　，≤），｛Ａ　：ｉ∈Ｉ，ｊ：∈　），卿　：ｉ１，ｉ２∈Ｉ，Ｊ１，Ｊ２∈Ｊ，ｉ１≤ｉ２，Ｊ１≤Ｊ２）一　为一个重集族，也可简称为　一｛Ａ』：ｉ∈　，ｊ：∈　）。　引理１　设　一｛Ａ　：ｉ∈　，Ｊ∈Ｊ）是—个重　集族，不妨设其中的Ａ　两两不相交，否则记　』一　｛Ａ　×｛ｉ，ｊ：），ｉ∈Ｉ，Ｊ∈Ｊ），而考虑｛　：ｉ∈Ｉ，ｊ：∈　），在集合Ｕ｛　：ｉ∈Ｉ，ｊ：∈　）上定义一个二元关　系：　ａｉｌＪ　三６　２　２，ａｉｌＪｌ∈Ａ　ｌ　ｌ，ｂｉ２Ｊ２∈Ａ２Ｊ２，且存在ｉ３，　３，ｉ１≤ｉ３，ｉ２≤ｉ３，ｊ：ｌ≤ｊ：３，　２≤ｊ：３，Ｃｌ。如∈Ａ　。如，使得：　魄毒（口　。　。）一Ｃｉ３如一嘞（　：　：）则三是一个等价关系。　证明：反身性和对称性显然成立。下设传递性：　设ａｉｌ　ｌ三６　２　２且ｂｉ２　２三Ｃｉ４　４，则　存在　。如∈Ａ。如使得魄毒（口　。　。）一　。如一谚毒（６　：　：）　存在　。　。∈Ａ。　。使得Ｃｇｊ：（ｂ，：　：）一ｅｉ５　。一绣毒（ｃ　）　因为任意的ａｉ。　。∈Ａｆ。』。　（ａｌ　）一谚　（６　：如）一ｅｉ５　。　譬（ｃ　４厶）一ｅｉ５　５　所以　ｅｉ　，使得　窖（口　ｌ　１）一ｅｉ。　。一　槽（ｃ　＾）　其中瞬毒一嗽瞬窖　（１）　定义２　设　一｛Ａ，－ｉ：ｉ∈Ｉ，ｊ：∈　）是一个重　集族：　（１）对于任意的ａ　∈Ｕ｛Ａ』：ｉ∈ｔ，Ｊ∈Ｊ），记　严［　］：　（２）记Ａ器一｛　：口　∈Ｕ｛Ａ　ｉ∈　，Ｊ∈Ｊ））。　（３）称Ａ器为重集族　一｛Ａ，ｉ：ｉ∈　，Ｊ∈Ｊ）的　—个重极限，记为：　Ａ器一　一ｌｉｍ｛Ａ￣：　∈　，ｊ：∈　）　２　代数的重极限　定义３　设　（１）（　，≤）（　，≤）是两个定向半序集。　（２）（Ａ玎，Ｆ）是一个代数，ｉ∈Ｉ，Ｊ∈Ｊ。　（３）对于任意的ｉ　，ｉ　∈　，ｊ：　，　∈　，有映射：　：Ａ　一Ａ：　且嘶毒嘲　一　，ｉｌ　４ｉｚ　４ｉ３，　≤五≤　。，而对于任意的ｉ∈　，Ｊ∈Ｊ，映射　：Ａ』　收稿日期：２ｏ０２一ｏ３—２Ｏ　作者简介：张龙朝（１９６２一），男，陕西合阳县人，陕西电大延安分校讲师。

1 第一章 实数和数列极限

第十二节 上极限和下极限

理论的应用

—Stolz定理

作为上极限和下极限理论的

应用，我们来证明计算某种类型

极限时很有用的Stolz定理。

一 Stolz定理

定理1.18（Stolz定理，型）

设数列{}na，}{nb满足条件：

（1）}{nb是严格递增趋于的数列,

（2）Abbaannnnn11lim , (1)

那么 Abannnlim , (2) 2 （其中A为有限数，或A，或A。）

证明 (i)先设A为有限数,

由(1)知道,对任意0,

存在0n,当0nn时,有

AbbaaAnnnn11 。

由此得

AbbaaAnnnn110000，

AbbaaAnnnn000011

……………

AbbaaAnnnn11,

因而有(将以上各不等式乘以各自的分母后,相加) 3 AbbaaAnnnn1100

即AbbbabaAnnnnnn11001

于是得

nnnnnnbababbA00)1)((1

nnnnbabbA00)1)((1,

由此即得

nnnbaAinflim)(

)(suplimAbannn,

再让0即得, 4 nnnbaAinflim

Abannnsuplim ,

由此即知(2)成立。

（ii）设A，由（1）知，

存在0n,当0nn时,有

011nnnnbbaa，

因而}{na也是严格递增的，

又由1100nnnnbbaa，知道有

nnalim；

现在把（1）写成

0lim11nnnnnaabb，

由刚证明的（i）知道

比例极限和弹性极限的区别

/question/140027347

比例极限是指材料在外力作用下应变和应力成正比的最大值，超过这个最大值后，应变和应力不再是正比关系，但仍是弹性形变，既撤去外力时还能回复原长，当应力超过一定值时，其不再是弹性形变时这个值就是弹性极限…

谢谢了，东南大学出版的工程材料关于这俩个极限在图中的位置标记反了，现在明白了！

材料力学性能（materials,mechanical properties of）是指材料在常温、静载作用下的宏观力学性能。是确定各种工程设计参数的主要依据。这些力学性能均需用标准试样在材料试验机上按照规定的试验方法和程序测定，并可同时测定材料的应力-应变曲线。

对于韧性材料，有弹性和塑性两个阶段。弹性阶段的力学性能有：①比例极限。应力与应变保持成正比关系的应力最高限。当应力小于或等于比例极限时，应力与应变满足胡克定律，即应力与应变成正比。②弹性极限。弹性阶段的应力最高限。在弹性阶段内，载荷除去后，变形全部消失。这一阶段内的变形称为弹性变形。绝大多数工程材料的比例极限与弹性极限极为接近，因而可近似认为在全部弹性阶段内应力和应变均满足胡克定律。③弹性模量。弹性阶段内，法应力与线应变的比例常数（E）。④剪切弹性模量。弹性阶段内，剪应力与剪应变的比例常数（G）。⑤泊松比。垂直于加载方向的线应变与沿加载方向线应变之比（ν）。上述3种弹性常数之间满足G＝E／2（1＋v）。塑性阶段的力学性能有：①屈服强度。材料发生屈服时的应力值。又称屈服极限。屈服时应力不增加但应变会继续增加。②条件屈服强度。某些无明显屈服阶段的材料，规定产生一定塑性应变量（例如0.2％）时的应力值，作为条件屈服强度。应力超过屈服强度后再卸载，弹性变形将全部消失，但仍残留部分不可消失的变形，称为永久变形或塑性变形。③强化与强度极限。应力超过屈服强度后，材料由于塑性变形而产生应变强化，即增加应变需继续增加应力。这一阶段称为应变强化阶段。强化阶段的应力最高限，即为强度极限。应力达到强度极限后，试样会产生局部收缩变形，称为颈缩。④延伸率（δ）与截面收缩率（ψ）。试样拉断后长度与横截面积的改变量与加载前比值的百分数，即δ＝（lb－l0）／l0×100％，ψ＝（A0－Ab）／A0×100％。式中l0、A0分别为试样的标距和标距内的面积；lb、Ab分别为拉断后的标距长度和断口处的最小横截面积。