数列的上下极限

Cauchy收敛准则

Cauchy数列：设x

n为⼀数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得

|x

m−x

n|＜ε，∀m,n＞N

则称xn为Cauchy数列。

Cauchy收敛准则：数列x

n收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。

证明：先证必要性，设xn为收敛于A的数列，由数列极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，当m,n＞N时有

|x

m−A|＜ε，|x_n-0|＜ε

所以 |xm−x

n|＜2ε

由ε的任意性，数列xn是Cauchy数列。

下证充分性，设数列xn是Cauchy数列。

取ε=1，存在正整数N，使得|xm−x

n|＜1，∀m,n＞N

取n=N+1，有|xm−x

N+1|＜1，∀m＞N，从⽽|x

m|＜1+|x

N+1|，∀m＞N

令M=1+∑N+1

k=1|x

k|，则|x

n|≤M，所以数列x

n有界，即存在上下极限。

由定义，−ε＜xn−x

m＜ε，∀m,n＞N

若m给定，令n→∞，取下极限−ε≤lim(下极限)n→∞xn−x

m≤ε

令m→∞，取上极限−ε≤lim(下极限)n→∞xn−lim(上极限)

n→∞x

m≤ε

由ε的任意性，数列xn上下极限相等，即数列xn收敛。

Processing math: 100%

黄山职业技术学院教案

第 3 次课

授课课题 1.2 数列极限 授课时数 2

课 型 理论课 教学方法 启发、讲授

教学目的 1.理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列

的极限.

2.观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与

质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力

3.掌握数列极限的性质

重 点 数列极限的概念以及简单数列的极限的求解

难 点 从变化趋势的角度理解数列极限的概念

授课班级 16三计算机 16三数字媒体

授课日期 2月22 日 2月22 日 月 日 月 日 月 日 月 日

教学过程

一． 新课导入

1.提出问题

思考一个初一的数学题：.0.9和1之间用哪个符号“=”、“<”、“>”连接？

2.引言

极限这个概念在我们生活中经常出现，有人专门研究人的寿命极限，人的运动极限（包括人的速度极限，人的跳高极限，人的耐力极限等等），而我们今天研究数学中的极限。我们知道，在17世纪有个伟大的数学成果，也就是牛顿和莱布尼茨建立了微积分，解决了当时很多的科学问题。但是随后却爆发了数学史上的第二次数学危机，例如阿斯里基追龟问题。直到100多年后，柯西详细而系统的发展了极限理论，才消除了此次危机。其实，我们中国古代就有了极限思想的萌芽。

3.观察

（1）战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：

“一尺之棰 日取其半 万世不竭” （2）三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法：

他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分„ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。

即：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

二． 新课讲授

1.数列的概念

（1） 定义：

如果按照某一法则 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数nx  则得到一列有次序的数12,,,,nxxx 这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第n项xn 叫做数列的一般项。

教海探新　高教学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１５年２０期　无穷小数列与数列极限术　戴立辉　林志宝　（闽江学院数学系，福建福州３５０１０８）　摘要：将一般函数无穷小的概念限制在数列上，给出无穷小数列的定义，研究无穷小数列与数列极限的关系，　探讨数列极限的教学改革。　关键词：数列；无穷小；无穷小数列；数列极限　中图分类号：Ｇ６４２　文献标示码：Ａ　文章编号：２０９６—０００Ｘ（２０１５）２０－００６６－０２　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ　ｔｏ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ．　Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｆｏｒｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ；ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　函数的极限是微积分的重要概念之一，极限论部分是微　积分教学中的难点之一。数列是一类特殊的函数，数列极限作　为函数极限的特例具有其特殊的性质。本文将一般函数无穷　小的概念限制在数列上，给出无穷小数列的定义，研究无穷小　数列与数列极限的关系，探讨数列极限的教学改革。　以无穷小数列为标尺，对数列极限有关定理的证明进行　论证，使得证明思路清晰，论述简单，易于学生掌握，并能帮助　学生对数列极限的定义得到进一步的理解口】。　一、无穷小数列　定义１设Ｉｘ　｝为一数列，ａ为常数，若Ｖｅ＞０，ｊ正整数Ｎ，　使得当ｎ＞Ｎ时，Ｉｘ．－ａｌ＜ｅ，则称数列｛ｘ　ｌ的极限为ａ，记为ｌｉｒａ　定义２设数列｛ｘ　｝的极限为０，即　ｌ—ｉｍ。。　０，则称数列｛ｘ　｝　为无穷小数列。　易知，数列｛　｝，｛　），｛　｝，｛ｑ“｝（１ｑＩ（１）等都是无穷小数　列，这是因为　…ｌｉｍ１ｎ＿ｏ＇ｌｉｍ　…ｌｉｍ　ｑ　＝０（Ｉｑｌ／／－－－￣ｏｏ　＜１）四　ｎ＿＋　ｎ　（，ｚ＋１）　”一ｏ。　定理１（１）设｛ｘｎ】，（ｙｎｊ为无穷小数列，则（ｘｎ＋ｙｎＪ为无穷小数列；　（２）设｛ｘｎ】为无穷小数列，ＨＩ］ｌｘ￣］为有界数列。　（３）设｛ｘｎ】为无穷小数列，｛ｙｎ】为有界数列，则｛ｘ　为无穷小　数列。　证明（１）由一ｌｉｍ。。ｘ，：０，　ｌｉｍ。。ｙ￣＝０得，Ｖ　ｅ＞０，３正整数　Ｎ１，Ｎ２，使得当ｎ＞Ｎｌ时，ＩＸｎｌ＜－　５－；当ｎ＞Ｎ２时，ｌｙｎｌ＜导．　取Ｎ＝ｍａｘ｛Ｎｌ，Ｎ２｝，则当ｎ＞Ｎ时，ＩＸｎ＋ｙ　ｌ　ＩＸ　Ｉ＋ｌｙ　Ｉ＜ｅ，即｛ｘ　＋ｙ　）　为无穷小数列。　（２）由ｌｉｒａ　＝０得，对ｔ３ｏ＝ｌ，　正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ　ｕ，－ｊ－，　＜１．　取Ｍ＝ｍａｘ｛Ｉｘ　Ｊ，Ｉｘ２　・，Ｉｘ　Ｊ，１｝，于是当ｎ＞Ｎ时，Ｉｘ　Ｉ＜１，即数列　有界。　（３）设ｌｙ　ｌ　Ｍ（Ｍ＞Ｏ），由　Ｘｎ＝０得，Ｖｅ＞０，３正整数Ｎ，　使得当时ｎ＞Ｎ，Ｉｘ．１＜鲁．　１Ｖ１　于是当ｎ＞Ｎ时，１　ｌ　［ｘ￣ｌｌｙ　【＜￡，即　ＴＪ为无穷小数列。　推论１设｛ｘｎ】为无穷小数列，若　正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ　时，ｌｙ　Ｉ　Ｍ（Ｍ＞０），则｛ｘ　ｎ】为无穷小数列。　推论２（１）设ｆｘｎ】为无穷小数列，Ｃ为常数，则（ｃｘ　｝为无穷小　数列；　（２）设｛ｘｒＪ，｛ｙｒＩ｝为无穷小数列，则｛ｘ　ｎ）为无穷小数列；　（３）设㈥，（ｙｎｊ为无穷小数列，则（ｘ　ｒＩ｝为无穷小数列；　（４）设｛ｘ　｝（ｉ＝１，２，…，ｍ）为无穷小数列，则Ｉ∑ｘ　∞ｌ，｛ｎｘ　｝　ｉ＝１　ｉ＝１　（Ｃ是常数）为无穷小数列；　（５）设Ｉｘ　Ｊ（ｉ＝１，２，…，ｍ）为无穷小数列，ｃ　（ｊ＝１，２，…，ｍ）为常　数，则∑ｃＩｘｎ∞为无穷小数列。　；＝１　二、无穷小数列与数列极限的关系　定理２设数列｛ｘｎ）满足Ｉｘ．－ａｌ￣ａ．，其中ａ为常数，｛ａ　）为无穷　／Ｊ、数歹Ｕ，贝０　ｌｉｍ　：ａ．　÷ｏ。　证明因为｛ａ　｝为无穷小数列，所以Ｖ　ｅ＞０，　正整数Ｎ，使　得当ｎ＞Ｎ时，ｌａ．１＜ｅ．从而当ｎ＞Ｎ时，Ｉｘ．－ａｌ￣ａ．＜ｅ，故ｌｉｍｘｎ＝ａ．　ｎ—÷ｏｏ　推论设３正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，数Ｙ￣Ｉｘ￣Ｉ满足Ｉｘ　一ａｌ　ａｎ其中ａ为常数，｛ａ　】为无穷小数列，则ｌｉｍ　＝ａ．　３ｎ＋】　３　例１闭证明　ｌ　ｉｒａ。。—２ｎ—＋ｌ　．　证明因为｝　一　＜　删由定理２即　基金项目：闽江学院２０１３年度教育教学改革研究项目（项目编号：ＭＪＵＢ２０１３０３３）　作者简介：戴立辉（１９６３一），男，江西乐安人，大学本科，教授，研究方向：矩阵论。　林志宝（１９７７一），男，福建福州人，硕士，讲师，研究方向：信号设计。　一

集合列的上下极限

【摘要】本文讨论了集合列的上下极限及其性质。

【关键词】数列；上﹑下极限；集合列

[Abstract] This article discussed the sequence about limit with to gather the row

about limit and it’s the nature .At the same time also discussed between them the

relations.

[Key words] Sequence；About limit；Set row

1.引言

极限的概念是数学分析的一个最重要的理论部分。极限思想在数学中起着无语伦比的重要作用。极限思想是早在清代时期著名数学家明安图发现的。上﹑下极限的概念是极限概念的延伸，与极限概念相比，当然处于次要的地位，成为数学分析中重要的理论部分。此外由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着种要得意义。

2.集合列的上下极限集与性质

2.1定义：设是任意一列集合。由属于上述集合列中无限多个集的那种元素的全体所有组成的集成为这一集列的上级或上极限，

记为 或 。

对集合列那种除有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称为这一集合列的下极限集或下极限。

记为 或 。

尽管定义是这么给出的，但也讲究合理性。

2.2与数列极限的区别与关系

对数列﹛﹜而言： 已有上、下极限概念，这里是对集合列规定上﹑下极限概念，两种极限概念在定义对象上有区别，但又应该有联系，那么联系在何处呢？

对数列﹛﹜而言：

=，

这里是刚好不小于所有的数 .

是刚好不大于所有的数。

对集合列﹛﹜而言：

由属于无限多个集合的元素所组成的集为，且它的全体元素所组成的集不大于所有的集是，

故为集合列的上极限是合理的。

同理，为集合列的下极限也是合理的。也就是说集合列的上、下极限概念是数列的上、下极限概念的平移。