矩形的概念和性质

矩形的性质和判定复习

知识点：

1、 矩形的定义：

2、 矩形的性质：

（1）

（2）

3、矩形的判定：

（1）

（2）

4、直角三角形相关定理：

选择题：

1.下列命题中错误的是（ ）

A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

第2题图 第3题图 第4题图

3.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ） A.2 B.4 C.23 D.43

4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）

A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

解答题：

1、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.

2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OC=12EF；

（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？给出证明．

3、如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，求AF的长。

4、如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（ ）

九 年级

数学 科 探究 新知 导学案 主备人 李媛媚 时间 9.9 审定人 执教人（或学生）

学习内容： 1.2矩形的性质与判定 师：教学设计 生：学习笔记 三、互动互研，解难释疑:

①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?

由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？

四、精点巧拨，归纳生成:

矩形有哪些性质，你从哪些方面总结。

五、分层设练，拓展延伸:

（1）下列说法错误的是（ ）．

A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。

C.有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。

（3 ）BC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.

（4）在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。 学习目标： 理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;

重点难点： 探索矩形的概念和性质。

一、优化导入，揭示目标;

1、平行四边形具有哪些性质？（四号生口答）

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

（2）在运动过程中四边形不变的是什么？

（3）在运动过程中四边形改变的是什么？

矩形知识点的总结

1. 矩形的定义

矩形是一个具有四条直边和四个直角的四边形。在矩形中，对角线相等，对角线相交于直角。

2. 矩形的性质

（1）矩形的对角线相等

在矩形中，对角线AC和BD相等。即AC=BD。

（2）矩形的对角线垂直相交

在矩形中，对角线AC与BD是相互垂直的。

（3）矩形的角度

在矩形中，四个角度都是直角（90度）。

（4）矩形的对边相等

在矩形中，对边AB和CD相等，对边BC和AD相等。

（5）矩形的相邻两边互相平行

在矩形中，相邻的两条边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。

（6）矩形的对角线分割矩形成两个全等的直角三角形

矩形的对角线AC和BD将矩形分割成两个全等的直角三角形ABC和ADC。

3. 矩形的面积和周长

（1）矩形的面积

矩形的面积S等于矩形的两个相邻边长的乘积，即S=AB*BC=AD*BC。

（2）矩形的周长

矩形的周长等于两倍的长和宽的和，即P=2(AB+BC)或P=2(AD+BC)。

4. 矩形的应用

（1）在几何中，矩形是最简单的四边形之一，因此矩形的性质和概念在几何证明和问题求解中有广泛的应用。 （2）在工程和建筑中，许多构件和结构都是矩形的，比如墙体、地板等。

（3）在日常生活中，许多物体的形状都是矩形的，比如书本、电视机等，因此对矩形的认识和理解也在我们的日常生活中有着重要的意义。

综上所述，矩形是一个具有四条直边和四个直角的四边形，它具有许多重要的性质和概念，对矩形的认识和理解在数学和实际生活中都具有很重要的意义。希望本文能对矩形的相关知识进行一个全面的总结和分析，为读者提供帮助。

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[矩形的定义和性质]矩形的定义

矩形的定义一:矩形知识点总结

同学们在学习矩形时，要求对其性质、判定以及计算公式有相应的了解。以下是矩形知识点总结，欢迎阅读。

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。(矩形包括长方形和正方形)

矩形的判定

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个内角是直角的四边形是矩形

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

说明：长方形和正方形都是矩形。平行四边形的定义在矩形上仍然适用。

矩形的计算公式

面积： S=ab(注:a为长,b为宽)

周长： C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)

矩形外接圆

矩形外接圆半径 R=对角线的一半

矩形的性质

1.矩形的4个内角都是直角;

2.矩形的对角线相等且互相平分;

3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;

4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线)，它至少有两条对称轴。

5.矩形具有平行四边形的所有性质

6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

矩形的实际应用

例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=

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4 cm.求这个平行四边形的面积。

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为

例2：已知：ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形 ABCD是矩形.