相似三角形的性质第一课时公开课教学设计

《相似三角形的性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解相似三角形的对应角相等、对应边成比例等基本性质，掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系，并能运用这些性质解决简单的几何问题。

2、过程与方法目标通过观察、猜想、验证、推理等活动，培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心和团队合作精神，让学生在探索中体验成功的喜悦。

二、教学重难点1、教学重点相似三角形的基本性质及其应用，包括对应角相等、对应边成比例，以及周长比、面积比与相似比的关系。

2、教学难点相似三角形性质的推理过程，以及如何运用性质解决复杂的几何问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，引导学生自主学习和合作学习。

四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的相似三角形的图片，如金字塔、埃菲尔铁塔等，让学生观察并思考这些三角形的特点，引出相似三角形的概念。

2、新课讲授（1）相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

强调对应角和对应边的概念，通过实例让学生指出相似三角形的对应角和对应边。

（2）相似三角形的性质①对应角相等通过图形直观展示，让学生观察相似三角形的对应角，理解对应角相等的性质。

②对应边成比例给出两个相似三角形，让学生测量其对应边的长度，计算对应边的比值，从而得出对应边成比例的性质。

③相似三角形的周长比等于相似比设两个相似三角形的相似比为 k，引导学生分别计算它们的周长，通过推理得出周长比等于相似比。

④相似三角形的面积比等于相似比的平方同样通过设相似比，引导学生计算两个相似三角形的面积，进而推导出面积比等于相似比的平方。

3、例题讲解出示一些典型的例题，如已知两个相似三角形的相似比，求它们的周长比和面积比；或者已知相似三角形的周长比或面积比，求相似比等。

让学生先自主思考，然后小组讨论，最后教师进行讲解和总结。

第四章图形的相似4.7 相似三角形的性质第1课时一、教学目标1.经历探索相似三角形中对应线段的比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质.2.熟练掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能利用相似三角形的性质解决一些实际问题.4.通过探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验.二、教学重难点重点：掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.难点：利用相似三角形的性质解决一些实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【合作探究】在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.(1)△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？预设：(1)△ACD∽△A'C'D'，因为：∠A=∠A'，∠ADC=∠A'D'C'=90°.相似比是1:2(2)由CD：C'D'=1:2，得C'D'=2CD=3cm,即模型房的房梁立柱高3cm.【想一想】已知△ABC △△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；(1)它们对应高的比是多少？(2)对应角平分线的比是多少？(3)对应中线的比呢？请证明你的结论.教师活动：带领学生一起分析题目，梳理解题思路，然后让学生独立完成.每一个小题完成后，总结重要的性质.分析：证明“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比相等”的时候，要用到“两角分别相等的两个三角形相似”；证明“相似三角形对应中线的比等于相似比”的结论时，要用到“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.预设：对应高、角平分线、中线的比都等于相似比. (1)证明：分别过A'和A 作△A'B'C'与△ABC 的高A'D'和AD ，∴∠ADB =∠A'D'B' =90°. 又有∠B ＝∠B'，△ △ABD △△A'B'D'. △.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．结论：相似三角形对应高的比等于相似比. (2)证明：分别作△A'B'C'与△ABC 中∠B'A'C'和∠BAC 的平分线A'D'和AD .∵∠B'A'C'=∠BAC ，∴ ∠B'A'D'=∠BAD . 又∵∠B ＝∠B'，△ △ABD △△A'B'D'.∴.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比．结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. (3)证明：分别作△A'B'C'与△ABC 中B'C'和BC 边的中线A'D'和AD . △B'C'=BC ，△B'D'=BD . 又△△B ＝△B'，AB=A'B'， △ △ABD △△A'B'D'.△.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对中线的比也等于相似比．结论：相似三角形对应中线的比等于相似比. 【归纳】 相似三角形的性质相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 【议一议】如图，已知△ABC △△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ；点D 、E 在BC 边上，点D'、E'在B'C'边上.(1)若1133BAD BAC B'A'D'=B'A'C'=∠∠，∠∠，则ADA D''等于多少？ 教师活动：提示通过△ABC ∽△A'B'C'，找到角度对应相等的条件，证明△ABD ∽△A'B'D'，再通过相似比求出AD A D''预设：证明：△ △ABC △△A′B′C′，则△B'=△B ， △B'A'C'=△BAC ，AB k A B'='而1133BAD BAC B'A'D'=B'A'C'=∠∠，∠∠△△B'A'D'=△BAD ，则有△ABD △△A'B'D'. △AD AB k A D'A B'==''(2)若1133BE BC B'E'=B'C'=，，则AE A E''等于多少？教师活动：提示通过△ABC ∽△A'B'C'，找到边对应相等的条件，结合夹角相等，证明△ABE △△A'B'E'，再通过相似比求出AE A E''预设：证明：△ △ABC △△A′B′C′，则△B'=△B ， BC ABk B'C'A'B'== 而1133BE BC B'E'=B'C'=，，△BE BC B'E'B'C'=，即BE AB k B'E'A'B'==.∴△ABE △△A'B'E'. △AE AB k A E'A B'==''.如图，AD 是△ABC 的高，AD =h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E .当12SR BC =时，求DE 的长.如果13SR BC =呢？教师分析：由已知条件中两个垂直关系可证得SR ∥BC ，则可证得△ABC ∽△ASR ，从而得到两个三角形的相似比，再利用相似三角形的高的比等于相似比，求出AE 的长，从而算出DE 的长.展示完整解题过程：解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ，∴SR ∥BC . ∴∠ASR =∠B ，∠ARS =∠C . ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AE SRAD BC=(相似三角形对应高的比等于相似比)，即.AD DE SRAD BC-= 当12SR BC =时，得1.2h DE h -= 解得1.2DE h =当13SR BC =时，得1.3h DE h -= 解得2.3DE h =教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.△ABC ∽△A'B'C' ，BD 和B'D' 是它们的对应中线，已知32AC A C'='，B'D' =4cm ，则BD = cm.2.△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应角平分线，已知AD =8cm ，A'D'=3cm ，则△ABC 与△A'B'C' 的对应高之比为 .3.如图，AD 是BC 边的高，点I ，H 在BC 边上，点G 在AC 上，点F 在AB 上， BC =60cm ，AD =40cm ，四边形FGHI 是正方形，则(1) △AFG 与△ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形FGHI 的边长.答案： 1. 6 2.8∶33.解：(1)△AFG 与△ABC 相似. ∵四边形FGHI 是正方形， ∴ FG ∥BC .∴ ∠AFG =∠B ，∠AGF =∠C . ∴ △AFG ∽△ABC . (2)∵ △AFG ∽△ABC ， ∴.AE FGAD BC= 设正方形FGHI 的边长为x cm ，则 AE =(40-x )cm.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第108页习题4.11第3、5题.。

相似三角形的判定第1课时一、教学目标1.了解相似三角形的定义及相关概念．2.理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形中的应用．3.理解和掌握相似三角形的判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”．二、教学重点及难点重点：理解和掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理．难点：相似三角形的判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的证明．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源五、教学过程（一）温故知新【数学探究】相似三角形的概念, 本动画逐步操作,解释相似三角形的概念,总结学习概念时的注意事项.通过动画的演示可以直观地,定量地展示相似的对应角,对应边之间的数量关系.有利于学生消化吸收相似的相关概念.1．相似多边形的主要特征是什么？（相似多边形的对应角相等，对应边成比例）2．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且AB BC CAkA B B C C A===''''''．我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之，如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且AB BC CAA B B C C A==''''''．明确：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形；（2）用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC∽△A′B′C′；（3）当△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k 时，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为1k． 3．问题：如果两个相似三角形的相似比k =1，那么这两个三角形有怎样的关系？ （当k =1，这两个三角形是全等三角形）设计意图：学生通过自学得到三角形相似的定义和性质，了解相似三角形的表示及相似比的顺序性，理解全等与相似的特殊与一般的关系．（二）探究新知【数学探究】平行线分线段成比例,此交互动画探究平行线分线段成比例的知识.1．如图，任意画两条直线1l ，2l ，再画三条与1l ，2l 都相交的平行线3l ，4l ，5l ，分别度量3l ，4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB ，BC 和在2l 上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB BC 与DE EF 相等吗？任意平移5l ，AB BC 与DE EF还相等吗？教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB ，BC ，DE ，EF 的长度并计算比值，小组讨论，共同交流，回答结果． 教师提出问题：( )AB DE AC =，( )BC AC DF=． 师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”．师生归纳总结平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．在活动中，师生应重点关注：平行线分线段成比例的基本事实中相比线段同线．2．思考：（1）如果把上图中1l ，2l 两条直线相交，交点A 刚好落到3l 上，如下图（1），所得的对应线段的比会相等吗？（2）如果把上图中1l ，2l 两条直线相交，交点A 刚好落到4l 上，如下图（2），所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答．师生归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC 有什么关系？说明理由．△ADE与△ABC相似．我们通过三角形相似的定义来证明这个结论．先证明这两个三角形的对应角相等．在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．再证明这两个三角形的对应边的比相等．过点E作EF∥AB，交BC于点F．∵DE//BC，EF∥AB，∴AD AEAB AC=，BF AEBC AC=．∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF．∴DE AE BC AC=．∴AD AE DE AB AC BC==．这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，对边成比例，所以△ADE∽△ABC．所以我们得到相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．设计意图：让学生运用“操作—比较—发现—归纳”这个分析问题、解决问题的方法得到平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形中的应用，然后通过平移转化，推理论证得到判定三角形相似的定理．（三）课堂练习1．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，则BCCE=．设计意图：考查学生对“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”的理解和掌握．2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，求出图中所有的相似三角形．设计意图：考查相似三角形的判定定理．3．如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子错误的是（）．A．AD AEAB AC=B．CE CFEA FB=C．EF CFAB CB=D．DE ADBC BD=4．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（）．A．1对B．2对C．3对D．4对设计意图：考查平行线分线段成比例的基本事实和根据三角形相似得到相似比的知识．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE=10，BC=14，则△ADE和△ABC的相似比是；若AE=12，则CE= ．设计意图：考查学生运用相似三角形的判定定理进行推理计算的能力．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1 cm，AE=4 cm，BC=5 cm，求DE的长．提示：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有AD AEAB AC=．又由AD=EC可求出AD的长，再根据DE ADBC AB=可求出DE的长．设计意图：考查学生运用相似三角形的判定定理和性质进行推理计算的能力．答案：1．3 52．△ADE∽△AFG∽△ABC．3．D4．C5.57；2456．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴AD AE AB AC=．又AD=EC，DB=1 cm，AE=4 cm，∴414ADAD AD=++．∴AD=2．又DE ADBC AB=，BC=5 cm，∴2 53 DE=．∴103 DE=．六、课堂小结此知识卡片主要概括平行线分线段成比例的知识1．平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解平行线分线段成比例的基本事实及在三角形中的应用，掌握相似三角形的判定定理并运用相似三角形的判定定理解决问题．七、板书设计27.2.1相似三角形的判定（1）1．平行线分线段成比例的基本事实2．平行线分线段成比例的基本事实3．相似三角形的判定定理。

（安徽省师范生教学技能大赛一等奖获得者，李文竹）数学说课案例分析案例：“相似三角形的性质（第一课时）”教学设计(一)学情分析九年级学生已经经历了一些平面图形的认识和探究，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理经验和能力。

由于从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，也是学生认识上的一个飞跃，所以还有待于进一步培养自学、分析和总结能力。

(二)教材分析（1）教材的地位与作用“相似三角形的性质”是九年级数学上册第24章“相似形”的重点内容之一，在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。

从知识的前后联系上来看，相似三角形的性质是全等三角形性质的进一步拓展研究，另外它还是研究相似多边形性质的基础，也是今后研究圆中线段关系的有效工具，所以本节内容是承前启后的重要一章。

（2）教材处理本课内容相对来说比较简单，教材中没有设置相应的例题，所以本课教学中把课本上的练习作为探究活动，还补充了一些例题及相关练习，旨在加深学生对定理1的理解。

(三)教学目标（1）知识与技能：掌握相似三角形的性质定理1的内容以及证明，并综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题（2）过程与方法：经历感受、观察、说理、交流等过程，进一步发展学生的推理论证能力以及条理的表达能力。

（3）情感态度与价值观：通过全等三角形和相似三角形的类比学习，树立学生从特殊到一般的认知规律，让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强学好数学的信心。

（四）教学重点和难点教学重点：相似三角形的性质定理1.教学难点：相似三角形的性质定理1的证明。

（五）教学方法和手段本节课采用探究式教学法并贯彻启发式教学原则，充分调动学生学习的自觉性和积极性。

为提高课堂效率和学生的学习效果，本节课采用多媒体辅助教学。

（六）学法分析为了培养学生的自觉、分析和总结能力，本节课采用提出问题、探究解决、总结归纳的学习方法，使学生进一步理解观察、类比、分析、归纳等数学方法，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

第四章图形的相似4. 7 相似三角形的性质教学设计学生在第一课时已经学过相似三角形对应高、对应角平分线以及对应中线的判定，对相似三角形的性质已有所了解，之前还学过全等三角形的性质、判定，知道了全等三角形的周长、面积是相等的.而研究相似三角形和全等三角形的性质和判定有许多相通之处.因此，前面所学的内容为本节学习相似多边形周长和面积的性质做好了铺垫.在相关知识的学习过程中，学生已经历了许多探究活动，如全等三角形的每一个判定、性质的得出都是通过具体的试验，让学生充分的体验并能自己进行总结、探究.学习相似三角形的判定后，特别是学习了测量旗杆的高度等实际问题，就能感受到数学的实际价值.在本节内容的学习过程中，从估算距离和面积这一身边的例子出发，学生一方面通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处；另一方面运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识.1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.2.培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.3.在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.【教学重点】1．相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系.2．相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用.【教学难点】利用相似多边形的性质解决实际问题.课件.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程一、复习回顾问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应角相等，两三角形相似.证二组对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似.证三组对应边成比例，两三角形相似.【设计意图】：让学生在回顾上节课的内容之时，能对这节课的内容有些许了解.二、合作交流，探究新知（一）回顾问：你知道相似三角形的特征是什么吗？如下图，△A B C∽△A′B′C′边：对应边成比例角：对应角相等问：什么是相似比？相似比=对应边的比值（二）探究1．探究相似三角形对应高的比与相似比的关系相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:如图∵△ABC ∽△DEF .∴∠B =∠E .又∵∠AMB =∠DNE =900.∴△AMB ∽△DNE .(两角对应相等的两个三角形相似). .AM AB DN DE ∴=(相似三角形对应边成比例). 即：相似三角形对应高的比等于相似比.2．探究相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系相似三角形对应角平分线的比等于相似比.理由是:相似三角形对应角平分线的比等于相似比.理由是:如图∵△ABC ∽△DEF .∴∠B =∠E , ∠BAC =∠EDF .又∵AM ,DN 分别是∠BAC 和∠EDF 的角平分线.∴∠BAM =∠EDN .∴△AMB ∽△DNE .(两角对应相等的两个三角形相似)..AM AB DN DE ∴=(相似三角形对应边成比例). 即：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.3．探究相似三角形对应中线的比与相似比的关系相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:如图∵△ABC ∽△DEF .∴∠B =∠E , AB BC DE EF =又∵AM ,DN 分别是△ABC 和△DEF 的中线..BM BC EN EF ∴= AB BM DE EN ∴=且∠B =∠E .∴△AMB ∽△DNE .(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).AM AB DN DE ∴= (相似三角形对应边成比例).即：相似三角形对应中线的比等于相似比.4．探究相似三角形周长的比与相似比的关系相似三角形周长的比等于相似比.理由是:如图,在△ ABC 与△ A ′B ′C ′中,∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,且相似比为k .AB AC BC k A B A C B C ∴===''''''。

相似三角形的性质
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。

利用相似三角形的性质解决一些实际问题。

（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。

在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质。

（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样。

【教学重难点】
1．相似三角形性质定理的探索及应用。

2．相似三角形的性质，有条理的表达与推理。

【教学过程】
（一）探究相似三角形对应高的比。

引入语：
在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质。

探究活动一：
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题。

如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。

第3题图
比是______。

5．如图，梯形DBCE中，DE//BC，若S△EOD∶S△BOC =1∶9，求DE∶BC的值。

第27章?相似三角形判定?第一课时教案教学目标：1、了解相似三角形形的概念。

2、使学生掌握平行线分线段成比例定理以及平行于三角形一边的直线的性质定理。

3、掌握判断两个三角形相似的方法〔预备定理〕4、让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，开展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。

教学重点：平行线分线段成比例定理和判断两个三角形相似的预备定理。

教学难点：平行线分线段成比例定理和判断两个三角形相似的预备定理过程。

教学方法：讲授法教具：黑板、多媒体、三角板、量角器教学过程设计：一 复习回忆问题1：什么是相似图形？问题2：相似的图形有什么性质呢？又怎样判断其相似呢？〔用几何语言写出〕二、探索新知问题1：如图，321//// l l l 假设，AB=BC ，请同学们猜测DE 与EF的大小关系，并通过实际测量验证。

〔相等〕问题2：你能证明吗？请试一试！用面积法。

连接AE 、CE ，由于AB=BC ，那么BE 是△ACE 的中线，所以BEC ABE S S ∆∆=(同底等高的两个三角形面积相等)连接DB 、FB ，又321//// l l l ，, BEC BEF ABE D BE S S S S ∆∆∆∆==那么 BEF DBE S S ∆∆=，又△BDE 和△BEF 的高相等 根据面积公式知DE=EF问题2：321//// l l l ，猜测：假设AB=5BC ，DE 与EF 的大小关系如何？假设AB=nBC 呢？ 教师讲解：假设AB=nBC ，那么DE=nEF ，我们可以换成比的形式，即把AB=nBC 和DE=nEF 都写成n n BC AB ==EF DE , ，我们自然而然就会发现EFDE =BC AB 问题3：哪一位同学用符号语言表述一下我们的发现？假设321//// l l l ，那么EF DE =BC AB 问题4：结合问题3，你还能猜得出哪些结果？ 假设321//// l l l ，那么DF EF AC BC EF DF BC AC DE DF AB AC DF DE AC AB BC AB =====,, , , EF DE 问题5：谁能用文字语言对以上的综合发现进行表述？结果：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等顺势揭题：为了研究这节课，需要我们先来研究这个问题，它探求的就是平行线分线段的一些关系。

第四章 图形的相似4.7 相似三角形的性质第1课时 教学设计一、教学目标1．经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验．2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．二、教学重点及难点重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题． 难点：相似三角形的性质的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课.五、教学过程【复习引入】我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC ∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？师生活动：学生分别从边和角两个方面给出“对应边成比例，对应角相等”．教师板书：如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，那么，∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'．教师进一步提出：三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的相关性质是为下一步探究在知识上作铺垫．【探究新知】 AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===练一练 如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD 和C'D'分别是它们的立柱．（1）△ACD 与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．（2）如果CD =1.5 cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成解题过程．解：（1）△ACD 与△A'C'D'相似； 理由：∵AC AB BC A'C'A'B'B'C'==，∴△ABC ∽△A'B'C'．∴∠A =∠C'A'D'． 又∵CD ⊥AB ，∴C'D'⊥A'B'．∴∠ADC =∠A'D'C'=90°．∴△ACD ∽△A'C'D'，且相似比为1∶2．（2）∵△ACD ∽△A'C'D'，∴12CD C'D'=，即1.512C'D'=．∴C'D'=3． 答：模型房的房梁立柱高3 cm ．设计意图：从具体、特殊的相似三角形入手，研究相似三角形对应高的比与相似比的关系．想一想 已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、猜想并完成证明过程．解：（1）由上面的“练一练”可得它们对应高的比是k ．猜想：相似三角形对应高的比等于相似比．证明：如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应高AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'．又∵△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，D'C'B'A'D C B A∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应高的比等于相似比．（2）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应角平分线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，∠BAC =∠B'A'C'．∵AD 和A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线，∴∠BAD =∠BAC =∠B'A'C'=∠B'A'D'． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比．（3）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应中线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应中线的比等于相似比．归纳 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 设计意图：把问题由具体推广到一般，由研究三角形的高推广到研究三角形的角平分AD AB k A'D'A'B'==AB C A'B'C'D D'1212AD AB k A'D'A'B'==D'D C'B'A'C B A1212BC AB BD k A'B'B'D'B'C'===AD AB k A'D'A'B'==线、中线，从而得出结论．议一议如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在BC 边上，点D'，E'在B'C'边上．（1）若∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，则ADA'D'等于多少？（2）若BE=13BC，B'E'=13B'C'，则AEA'E'等于多少？（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出结论．解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．又∵∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'．∴△ABD∽△A'B'D'．∴AD ABkA'D'A'B'==．（2）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，AB BCA'B'B'C'=．又∵BE=13BC，B'E'=13B'C'，∴AB BEA'B'B'E'=．∴△ABE∽△A'B'E'．∴AE ABkA'E'A'B'==．（3）答案不唯一，例如：将问题（1）中的13换成14，15，结论还成立吗？若换成1k(k≠0)呢？说说你的理由；将问题（2）中的13也进行这样的变化，结论还成立吗？结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．设计意图：将上述相似三角形的性质定理推广到更一般的情况得出结论．【典例精析】例如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=12BC时，求DE的长．如果SR=13BC呢？师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC．∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C．∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴AE SRAD BC=（相似三角形对应高的比等于相似比），即AD DE SRAD BC-=．当SR=12BC时，得12h DEh-=．解得DE=12h．当SR=13BC时，得13h DEh-=．解得DE=23h．【课堂练习】1．若△ABC与△A1B1C1的对应角平分线的比为7︰5，△ABC的最短边长为20 cm，则△A1B1C1的最短边长为_________cm．2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm．他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？3．如图，在△ABC中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，求AD·BC的值．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD．已知AB =4，AC =6，BC =5，BD =5.5，求DE 的长．参考答案1．．2．蜡烛应放在距离纸筒60 cm 的地方．3．10．4．DE =136． 师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.7 相似三角形的性质（1）1．相似三角形的性质1007。

相像三角形的判断与性质【教课内容】相像三角的判断【课时安排】4课时【第一课时】【教课目的】1．认识相像三角形的判断方法，即平行于三角形一边的直线与其余两边订交，截得的三角形与原三角形相像。

2．会用上述方法判断两个三角形相像。

【教课重难点】1．要点：用“平行于三角形一边的直线与其余两边订交，截得的三角形与原三角形相像。

相像三角形的定义及相像比”判断两个三角形相像。

2．难点：上述判断方法的推理过程。

【教课过程】一、预习导学预习教材内容，达成以下问题。

（一）如何的图形是相像的？（二）三角形相像的观点与性质？（三）三角形全等与相像的关系。

二、研究新知在八年级上册，我们已经商讨了两个三角形全等的条件，下边我们来商讨两个三角形相像的条件。

设计企图：经过老师的表达，激发学生的求知欲，指引学生主动研究的兴趣，引入新课学习。

三、出示课题：相像三角形的判断（一）相像三角形的判断定理之引理的学习（二）动脑筋：如图，在△ ABC 中， D 为 AB 上随意一点。

过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E。

（1）△ ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？（2）分别胸怀△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长能否对应成比率？（3）△ ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行挪动DE 的地点，你的结论还建立吗？（教师提示：要说明两个三角形相像，此刻我们只需找到知足相像三角形定义的条件，就能说明两个三角形相像，这是我们思虑这个问题的方向。

）四、方法与过程（一）经过学生独立阅读，意会出说明三角形相像要知足的条件是什么？如何找寻条件是要点。

回首相像三角形的定义，指出三角形相像的两个条件：1．三角对应相等。

2．三边对应成比率。

（二）让学生思虑找寻解题的方法。

（三）小结：由此获得以下结论：平行于三角形一边的直线与其余两边订交，截得的三角形与原三角形相像。

（四）练习：1．如图，在△ ABC 中，已知点 D， E 分别是 AB ，AC 边的中点。

相似三角形的性质第一课时教学目标：1、探索相似三角形的三个性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题2、发展学生合情推理和有条不紊的表达能力教学重难点：1、重点：相似三角形的三个性质的推理2、难点：学生能够有条理的表达和推理，能够把过程完整的写出来，把所对应的定理写出来。

教学方法：演示法、讨论法教具准备和准备：1、PPT2、学生预习教学过程一、回顾知识1、三角形相似的判定方法有那些？预备定理：平行线构成的三角形与原三角形相似。

判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

补充定理3：在直角三角形中：一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似8cm 4cm3cm2.在等腰三角形中，AD=2，AB=5，DE平行于有几种证明方法？B二、引入新知1、学习相似图形中可知相似三角形有哪些性质?相似三角形的———————, 各对应边——————。

2、相似三角形还有哪些性质?3、思考：三角形中除了三条边、三个角以外还包括什么？三角形中的对应线段还有？底边上的高、底边上的中线、角的角平分线思考：对应线段成比例，那么对应的高、中线、角平分线又如何呢？三、形成问题、小组讨论1、已知ΔABC~ΔA1B1C1，AH、A1H1分别为对应边BC、B1C1上的高，那么AH:A1H1=AB：A1B1吗？2、已知ΔABC~ΔA1B1C1，AT、A1T1分别为对应角∠BAC、∠B1A1C1的角平分线，那么AT:A1T1=AB：A1B1吗？3、已知ΔABC~ΔA1B1C1，AD、A1D1分别为ΔABC、ΔA1B1C1的中线，那么AD:A1D1=AB：A1B1吗？任务：通过预习和同学讨论得出问题的证明方法？每组几名代表上来写出并讲解如何得来的？怎么求证及求证过程，最好把思路记录下来，得出结果就上黑板上写下，要画图。

（注：图上的对应点相对应，会做标记）四、学生讲解1证明：∵△ ABC ∽ △ A1B1C1∴∠B = ∠B1又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =90度∴ 2、相似三角形对应角平分线的比等于相似比证明：∵ △ ABC ∽ △ A1B1C1∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1∵ AD ，A1D1分别是∠BAC 和∠B1A1C1的角平分线∴ ∠BAD = ∠B1A1D1∴ △ ADB ∽△ A1D1B1（角角）∴ 3、相似三角形对应中线的比等于相似比B C B 1 C 1五、小试牛刀1、两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（）A、1:2B、1:3C、1:4D、1:82、在ΔABC中，DE平行于BC，ΔABC与ΔADE的相似比为5:4，若BC=8cm，则DE的值为（）A、8/5B、16/5C、24/5D、32/53、已知ΔABC~ΔDEF，AM、DN分别是ΔABC、ΔDEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长。

《相似三角形的性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（2）掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

（3）能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、测量、推理等活动，经历相似三角形性质的探究过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力。

（2）在探究相似三角形性质的过程中，体会从特殊到一般、转化、类比等数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。

（2）让学生在探索相似三角形性质的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比与相似比的关系。

（2）相似三角形面积的比与相似比的关系。

2、教学难点相似三角形性质的证明及应用。

三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）回顾相似三角形的定义及相似比的概念。

（2）展示两个相似三角形的图片，提问：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例外，还有哪些性质呢？2、探究相似三角形对应高的比与相似比的关系（1）画出两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，对应边的比为 k，AD和 A'D'分别是 BC 和 B'C'边上的高。

（2）让学生通过测量、计算，得出 AD 和 A'D'的长度，进而发现AD ： A'D' ＝ k。

（3）引导学生进行推理证明：因为三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，所以角 B ＝角 B'。

又因为角 ADB ＝角 A'D'B' ＝ 90°，所以三角形 ABD 相似于三角形A'B'D'。

【第2页】【第3页】【第4页】学案导案北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》学情分析学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。

在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。

通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。

例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。

本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。

北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》效果分析这节课，我主要在如何把传授知识与培养能力有机地结合起来作了些尝试，具体地说，表现在：（1）针对初中数学的特点，结合本节课的内容，制定了明确的教学目标。

（2）在教法上，利用微课视频进行新课引入，在视频中推导了相似三角形对应高的比等于相似比，启发学生进入到相似三角形其它有关性质的研究上来。

这样能更好地培养学生的思维能力和动手实践能力，也使学生从中领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点。

（3）教学程序的设计，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学原则，让学生人人动手、动脑，积极参与教学活动。

（4）合理设置问题、适当讲解、层层深入,给学生充分的思考时间，使学生感受到了自己是课堂的主人,让学生在亲身实践中去体验、去感悟，加强对解题方法和过程的指导，使传授知识和培养能力融为一体。

（5）有意识地培养学生独立思考的习惯的同时，加强学生合作交流能力的培养，并注重培养学生不断反思总结的意识和能力。

北师版九年级上册《4.7相似三角形的性质1》教材分析（一）教材的地位和作用：本节教学内容是本章的重要内容之一。

１０．５相像三角形的性质( 第一课时 )[ 教课目的 ]1．探究相像三角形、相像多边形的性质，会运用相像三角形、相像多边形的性质解决相关问题．2．经历“操作一察看一探究一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．[ 教课过程 ]1．情境创建(1)前方学习了相像三角形、相像多边形的观点，知道假如两个三角形或两个多边形相像，那么它们的对应角相等、对应边成比率。

相像三角形、相像多边形能否还有其余的一些性质呢 ?这需要我们进一步探究、研究．(2)全部的正方形都是相像形 ( 它们的对应角相等、对应边成比率 ) ．若正方形的边长为 1，则周长为 4 ，面积为 1；若正方形的边长为 2，则周长为 8，面积为4；若正方形的边长为 3，则周长为 12，面积为 9；若正方形的边长为 a，则周长为4a，面积为a2．这些正方形间周长的比、面积的比与其边长的比之间有如何的关系?(3)在本章的章头活动中，经过实质操作，知道这两个多边形相像，而且它们的相应角相等、对应边成比率，除此以外，同学们还发现了什么?2．探究活动活动一探究两个相像三角形、两个相像多边形的周长之间的关系．活动分为 2 个层次．第一层次：指引学生依据章头图中的两个相像多边形，利用合情推理，经过操作、察看、概括，得出两个相像多边形的周长的比等于相像比．第二层次：说明“扣似三角形周长的比等于相像比”的原因．课本利用引入比值 k 的方法研究相像三角形、相像多边形的性质，这不单为后续学习确立了基础，还浸透了一个重要的思想方法，教课中应赐予说明．对“相像多边形周长的比等于相像比”性质的研究，教课中，可给出两个相像的五边形或两个相像的六边形，指引学生联合图形，经过说理来探究结论．活动二探究两个相像三角形、两个相像多边形的面积之间的关系．活动分为 2 个层次．第一层次：指引学生依据章头图中的两个相像多边形，利用合情推理，经过操作、察看、概括，得出两个相像多边形的面积的比等于相像比的平方．第二层次：说明“相像三角形面积的比等于相像比的平方”的原因．说理过程分为 3 步：第一，依据题设条件说明两个直角三角形相像；第二，由两个直角三角形相像获得对应线段成比率；第三，利用三角形面积公式，推出相应结论．同“相像三角形周长的比等于相像比’ ’的说理过程相同，课本相同利用引入比值 A的方法研究相像三角形的这一性质，教课中应赐予说明．课本利用“卡通人”给出了转变的思想方法：把两个相像多边形分红若干个相像三角形．教课中，能够以两个五边形相像为例，指引学生理解转变的思想方法，经过独立思虑和合作沟通达成其说理过程．3．例题教课例 1 是相像三角形性质：“相像三角形周长的比等于相像比、面积的比等于相像比的平方”的应用．对照例尺的观点学生已经认识，教课中应向学生说明，比率尺就是两个相像图形的相像比．关于例 1 学生一般不会感觉困难，教课中应鼓舞学生独立思虑，自主练习完成．4．小结(1)探究相像三角形、相像多边形的性质：相像三角形 ( 多边形 ) 周长的比等于相像比、面积的比等于相像比的平方，会运用相像三角形( 多边形) 的性质解决相关问题；(2)经历“操作一察看一探究一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．。