高中物理竞赛试题分类汇编电学部分

高中物理竞赛试题三(电学部分)一、单选题（共33分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案1．有二只灯泡，分别标有“220V15W”和“220V100W”的字样。

如将它们串联接在电压为380伏的动力电源上，则A．15W的灯泡烧坏，100W的灯泡完好 B．100W的灯泡烧坏，15W的灯泡完好C．二只灯泡均被烧坏 D．二只灯泡均完好2．在电学实验中遇到断路时，常常用伏特表来检测。

某同学连接如图所示的电路，电键闭合后，电灯不亮，安培表无指示。

这时用伏特表测得a、b两点间和b、c两点间的电压均为零，而a、d 间和b、d间的电压均不为零，这说明A．电源接线柱接触不良 B．电键的触片或接线柱接触不良C．安培表接线柱接触不良 D．灯泡灯丝断了或灯座接触不良3．李军在检修一只1000瓦的电炉时，发现电炉丝断了一小截，他用一段较细一些但由同种材料制成的电炉丝将残缺部分补接至原长，这样再接入原电路中使用时，其实际发热功率将A．大于1000瓦B．等于1000瓦 C．小于1000瓦 D．无法判断4．小明做实验时把甲乙两只灯泡串联后通过开关接在电源上。

闭合开关后，甲灯发光，乙灯不发光，乙灯不发光的原因是A．它的电阻大小C．流过乙灯的电流比甲灯小B．它的电阻太大D．乙灯灯丝断了5．图2中四个灯泡的连接方式是A．四灯串联 B．四灯并联C．L2、L3、L4并联，再与L1串联 D．L1、L2、L3并联，再与L4串联6．标有“220V，40W”和“220V，60W”的两只灯泡L1、L2、串联在电路中时，两灯泡均发光，实际消耗的功率分别为W1和W2，则：A．W1＞W2 B．W1＝W2 C．W1<W2 D．无法确定7．某电度表盘上标有“3000R/kWh”，单独开动某一用电器时，电度表的转盘在100秒内转5转，由此可知，该用电器的功率为：A．40瓦 B．60瓦 C．20瓦 D．100瓦8．如图所示，甲灯为“6V，6W”，乙灯为“6V，4W”，用一个输出电压恒为12伏的电源对两灯供电，要使这两个灯能同时正常发光，则应选择电路：9．某人设计了下图所示电路，电路中变阻器的总阻值与电阻R的阻值相同，电源电压恒定，当他将滑片P从a端滑到b端的过程中，所看到的现象是A．安培表的示数逐渐变大 B．安培表的示数逐渐变小C．安培表的示数先增大，然后减小到原值D．安培表的示数先减小，然后增大到原值10．物理小组的同学们练习安装照明电路，接通电源之前，老师将火线上的保险丝取下，把一个额定电压为220伏的灯泡作为检验灯泡连接在原来安装保险丝的位置，同时要求同学将电路中所有开关都断开。

高中物理奥林匹克竞赛专题1212-1. 一半径为10.0米的孤立导体球，其电势为V 100(以无量远为零电势)，计算球外表的面电荷密度． 解：004εR σR πεQ U == 12-2. 两个相距很远的导体球，半径区分为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038-⨯的电量，假设用一导线将两球衔接起来，求最终每个球上的电量．解：半径区分为1r 的电量为，2r 电量为2q20210144r πεq r πεq = 〔1〕 821106-⨯=+q q 〔2〕联立 C q 81102-⨯= C q 82104-⨯=12-3. 有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．解： 01=E 3R r12-4. 一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径区分为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的散布，并画出r E ~和r V ~曲线.解： 2014r πεq E = 10R r 12-5. 半径10.05,R m =，带电量8310C q -=⨯的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-⨯。

试求距球心r 处的P 点的场强与电势。

〔1〕r=0.10m 〔2〕r=0.06m 〔3〕r=0.03m解： 10E = 1r R 〔1〕3r R 3420910N 4Q q E r πε+==⨯ 〔2〕12R r R 42207.510N 4qE r πε==⨯ 〔3〕1r R 10E =12-6. 两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2cm 150，电量区分为C 1066.28-⨯±，A 板接地，略去边缘效应，求：〔1〕B 板的电势；〔2〕AB 间离A 板mm 0.1处的电势. 解： m V εσE 541280102101501085.81066.2⨯=⨯⨯⨯⨯==--- 离A 板mm 0.1处的电势 V Ed U 20010110235-=⨯⨯⨯=-=--12-7. 实验说明，在接近空中处有相当强的电场E 垂直于空中向下，大小约为V/m 130.在离空中km 5.1的空中的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2.〔1〕试预算空中上的面电荷密度(设空中为有限大导体平面)；〔2〕计算从空中到km 5.1空中的空气中的平均电荷密度．解：〔1〕0εσE = 思索到电场E 垂直于空中向下，故E=-130V/m〔2〕020220444ερπεπρπερh rdr r r dV E h R R hR R =⋅==∆⎰⎰++ 12-8. 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R <r <2R )的电势． 解：rπελE 02= 12-9. 半径区分为a 和b 的两个金属球，它们的间距比自身线度大得多，今用一细导线将两者相衔接，并给系统带上电荷Q ，求：（1） 每个求上分配到的电荷是多少？〔2〕按电容定义式，计算此系统的电容. 解：〔1〕0044a b a b q q r r πεπε= ①〔2〕依据电容的定义：0204()4Q Q c a b Uq bπεπε===+ 12-10. 图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才干使内球外表左近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小． 解：204rπεQ E = 所以 2)(r a b Uab E -=要使内球外表左近的电场强度最小 〔a r =〕，必需满足0=da dE 2b a = 此时 bU E 4= 12-11. 一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可疏忽的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如下图，试求导体片C 的电势． 解：00εσS εq E A A AC ==22d E d E V CB AC += 而 2d E V CB C = 所以 )2(210d S εq V V C += 12-12. 两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．假定将两球接触一下再移回原处，那么电势能变为原来的多少倍？ 解：接触之前的电势能 L πεQ dr r πεQ W L 022020441==⎰∞接触之后两球电势相等电荷重新散布，设小金属球带电为q ，大金属球带电为q ' 解得 Q q 52= Q q 58=' 思索题12-1. 一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板区分带有q +和q -的电荷，有人将两板的电场线画成如下图，试指出这种画法的错误，你以为电场线应如何散布.答：应该垂直板面12-2. 在〝有限大〞平均带电平面A 左近放一与它平行，且有一定厚度的〝有限大〞平面导体板B ，如下图．A 上的电荷面密度为σ+，那么在导体板B 的两个外表1和2上的感生电荷面密度为多少？答： 21σσ-= 22σσ=12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

24届二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。

AB和CD 杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。

BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。

当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。

BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。

求此时C点加速度c a的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）27复28复二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l。

1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

26复二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。

已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。

现于桌面中心点O 至角A 的连线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OAOP=，求桌面对桌腿1的压力F 1。

25复 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。

已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。

试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于90）来表示。

第十一章 恒定电流例题：有三个非线性的电阻元件A 、B 、C ，它们都不服从欧姆定律，其电压与所流过的电流的平方成正比，即222,,,A A B B C C U aI U bI U cI ===其中a 、b 、c 为常数。

现将A 和B 并联再和C 串联后接在一电动势为E 的电源上，不计电源内阻，求电源的电功率。

解：设流过A 、B 的电流为1I 和2I ，则有222212112()aI bI aI I I c E =++=解得：12I I +=12()p I I E =+=例题：为了使圆柱形长导体的电阻不随温度变化，可将两根横截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率510 4.010m ρ-=⨯Ω，铁的电阻率720 1.010m ρ-=⨯Ω；碳和铁电阻系数分别为3110.810a --=-⨯℃，312 6.010a --=⨯℃，问两棒的长度之比应为多少？解：由电阻率随温度的变化关系0(1)t ρρα=+可知，导体由于温度的变化引起电阻的变化应为0R R t α∆=∆要使复合棒的电阻不随温度变化，应有1012021210120200R t R t l l s sααραρα∆+∆=+= 732021532101 1.010********.81053l l ραρα----⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 例题: 用均匀电阻线作成的正方形的网络，如图所示，由9个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为8r =Ω。

(1)在A 、B 两点间接入电压 5.7U V =，求流过A 点的总电流强度为多少？(2)若用导线连接C 、D 点，问通过此导线的电流强度为多少？（此导线电阻忽略不计）解：(1)当A 、B 两点间接入电压后，在正方形网络中产生电流，相对于CABD 来说，该网络中的上下两半部具有对称性，如图(a)所示，故1与1'、2与2'、3与3'、4与4'、5与5'和O 与O '均分别为等位点，因而图(a)可简化为图(b)，即图(b)是图(a)沿CABD 折叠而成，图(b)中每一个电阻值为42r=Ω，再考虑到3点与O 点电势相等，图(b)又可进一步简化为图(c)。

全国中学生高中物理竞赛第16届—22届预赛电学试题集锦（含答案）一、第16届预赛题. （20分）位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd 。

ab 长为1l ，是水平的，bc 长为2l ，线框的质量为m ，电阻为R .。

其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界'PP 和'QQ 均与ab 平行，两边界间的距离为H ，2H l >，磁场的磁感应强度为B ，方向与线框平面垂直，如图预16-4所示。

令线框的dc 边从离磁场区域上边界'PP 的距离为h 处自由下落，已知在线框的dc 边进入磁场后，ab 边到达边界'PP 之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。

问从线框开始下落到dc 边刚刚到达磁场区域下边界'QQ 的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？参考解答设线框的dc 边刚到达磁场区域上边界'PP 时的速度为1v ，则有 2112mv mgh = （1） dc 边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落．设dc 边下落到离'PP 的距离为1h ∆时，速度达到最大值，以0v 表示这个最大速度，这时线框中的感应电动势为10Bl v =E线框中的电流 10Bl v I R R==E 作用于线框的安培力为 22101B l F Bl I Rv == （2） 速度达到最大的条件是安培力F mg =由此得 0221mgR v B l = （3） 在dc 边向下运动距离1h ∆的过程中，重力做功1G W mg h =∆，安培力做功F W ，由动能定理得 22011122F G W W mv mv +=- 将（1）、（3）式代入得安培力做的功 32214412F m g R W mg h mgh B l =-∆+- （4） 线框速度达到0v 后，做匀速运动．当dc 边匀速向下运动的距离为221h l h ∆=-∆时，ab边到达磁场的边界'PP ，整个线框进入磁场．在线框dc 边向下移动2h ∆的过程中，重力做功G W '，安培力做功F W '，但线框速度未变化，由动能定理0F G W W ''+=221()F G W W mg h mg l h ''=-=-∆=--∆ （5）整个线框进入磁场后，直至dc 边到达磁场区的下边界'QQ ，作用于整个线框的安培力为零，安培力做的功也为零，线框只在重力作用下做加速运动。

高中物理 5.2交流电路竞赛试题5．2．1、交流电路 （1）纯电阻电路给电阻R 加上一正弦交流电,如图5-2-1所示,其电压u 为t U u m ωsin =电流的瞬时值I 与U 、R 三者关系仍遵循欧姆定律。

t R u R u i mωsin ==电流最大值R U I m m /=,它们的有效值同样也满足R U I =在纯电阻电路中,u 、i 变化步调是一致的,即它们是同相,图5-2-2甲表示电流、电压随时间变化的步调一致特性。

图乙是用旋转矢量法来表示纯电阻电路电流与电压相位关系。

（2）纯电感电路纯电感电路如图2-1-3所示,自感线圈中产生自感电动势为自ε,电路中电阻R 可近似为零,由含源电路欧姆定律有iR u =+自ε0=R ,所以u -=自ε,自感电动势与外加电压是反相的。

图5-2-1URiuuiiTt2T甲图5-2-2I U乙~UIL自ε图5-2-3设电路中电流t I i m ωsin =,自感电动势为t iL∆∆-=自ε()t I t t t I i m m ωωsin sin -∆+=∆由于t ∆很短,依三角关系展开上式后,近似处理,t t t ∆=∆=∆ωωωsin ,1cos 则i ∆为t I L t iLtI i m m ωωεωωcos cos -=∆∆-==∆自)2sin(πωω+-=t I L m由自e u -=得)2sin()2sin(πωπωω+=+=t U t I L u m m由上面可见：a.纯电感电路中电压电流关系:LU I ω=,其中L ω称为感抗（L X ）满足LX U I /=,其中fL L X L πω2==,单位:欧姆。

b.纯电感电路中,图5-2-4电压、电流相位关系是,电压超前电流2π,它们的图像和矢量表示如图5-2-5的甲、乙图所示。

I乙图5-2-4(3)纯电容电路纯电容电路如图5-2-6所示,外加电压u ,电容器反复进行充放电,tuC t Q i ∆∆=∆∆=,设所加交变电压t U u m ωsin =,与前面推导方式相同,t ∆时间很短,得到)2sin(cos πωωωω+∆=∆=∆t t U tI t U u m m)2sin(πωω+=∆∆=t U C t u ci m,m m U c I ω=则)2sin(πω+=t I i m电路中电流有效值为IXc U fC U fC U I ===π211Xc 称为电容的容抗,fC Xc π21=,单位是欧姆。

高中物理竞赛：电路一．知识网络或概要1、电流强度：t qI =；I=nqvS 2、电阻定义式：IUR =（R 是由导体本身的因素决定，与加在导体两端电压及通过导体的电流强度无关）。

3、电阻定律：SLR ρ= 4、电阻率与温度的关系：)1(0at t +=ρρ （a 为电阻率的温度系数，温度t 变化不大） 5、欧姆定律：RUI =（此式只适用于金属导电和均匀分布的电解液导电，对非线性元件（如灯丝、二极管等）和气体导电就不适用了。

6、电功和电热：IUt U It qU W =⋅== 焦耳定律：Rt I Q 2= 7、串联电路和并联电路：（1）串联电路：特点： ====321I I I I +++=321U U U U等效总电阻： +++=321R R R R 电流分配规律：R U ∞I R U R U R U ==== 332211 功率分配规律：R P ∞2332211I R P R P R P ==== （2）并联电路：特点： ===321U U U +++=321I I I I等效总电阻：+++=3211111R R R R 电流分配规律：RI 1∞U R I R I R I ==== 332211功率分配规律：RP 1∞2332211U R P R P R P ==== 8、含源电路的欧姆定律当导体内部有电源时，其电流与电压的关系服从另一规律，称为含源电路欧姆定律。

如图所示，电路中每一点都有稳定的电势，任意两点间都有稳定的电势差。

假定电流方向为从a 到b ，则经过E 1后，电势降低E 1；经过的欧姆定律为：baU Ir E IR Ir E U =-+---2211IR Ir Ir E E U U b a +++-=-2121注意：（1）b a U U -就是表示从a 到b 电势降低的值。

（2）电路元件上的电势降的正、负符号规定。

当支路上电源电动势的方向（规定从电源的负极指向电源正极）和走向一致时，电源的电势降为电源电动势的负值（电源内阻视为支路电阻），反之取正值。

习题12-1. 一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度． 解：004εR σR πεQ U == 12-2. 两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C1038-⨯的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量．解：半径分别为1r 的电量为，2r 电量为2q20210144r πεq r πεq = （1） 821106-⨯=+q q （2）联立 C q 81102-⨯= C q 82104-⨯=12-3. 有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．解： 01=E 3R r12-4. 一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线.解： 2014r πεq E = 10R r 12-5. 半径10.05,R m =，带电量8310C q -=⨯的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-⨯。

试求距球心r 处的P 点的场强与电势。

（1）r=0.10m （2）r=0.06m （3）r=0.03m解： 10E = 1r R （1）3r R 3420910N 4Q q E r πε+==⨯ （2）12R r R 42207.510N 4qE r πε==⨯ （3）1r R 10E =12-6. 两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2cm 150，电量分别为C 1066.28-⨯±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势.解： m V εσE 541280102101501085.81066.2⨯=⨯⨯⨯⨯==--- 离A 板mm 0.1处的电势 V Ed U 20010110235-=⨯⨯⨯=-=--12-7. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2.（1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)；（2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度．解：（1）0εσE = 考虑到电场E 垂直于地面向下，故E=-130V/m（2）020220444ερπεπρπερh rdr r r dV E h R R hR R =⋅==∆⎰⎰++ 12-8. 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R <r <2R )的电势． 解：rπελE 02= 12-9. 半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求：（1） 每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容. 解：（1）0044a b a b q q r r πεπε= ①（2）根据电容的定义：0204()4Q Q c a b Uq bπεπε===+ 12-10. 图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小． 解：204rπεQ E = 所以 2)(r a b U a b E -=要使内球表面附近的电场强度最小 （a r =），必须满足0=da dE 2b a = 此时 bU E 4= 12-11. 一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势． 解：00εσS εq E A A AC ==22d E d E V CB AC += 而 2d E V CB C = 所以 )2(210d S εq V V C += 12-12. 两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：接触之前的电势能 L πεQ dr r πεQ W L 022020441==⎰∞接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小金属球带电为q ，大金属球带电为q ' 解得 Q q 52= Q q 58=' 思考题12-1. 一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布.答：应该垂直板面12-2. 在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？答： 21σσ-= 22σσ=12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

习题12-1. 一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度． 解：004εR σR πεQ U == 12-2. 两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038-⨯的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量．解：半径分别为1r 的电量为，2r 电量为2q20210144r πεq r πεq = （1） 821106-⨯=+q q （2）联立 C q 81102-⨯= C q 82104-⨯=12-3. 有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．解： 01=E 3R r12-4. 一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线.解： 2014r πεq E = 10R r 12-5. 半径10.05,R m =，带电量8310C q -=⨯的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-⨯。

试求距球心r 处的P 点的场强与电势。

（1）r=0.10m （2）r=0.06m （3）r=0.03m解： 10E = 1r R （1）3r R 3420910N 4Q q E r πε+==⨯ （2）12R r R 42207.510N 4qE r πε==⨯ （3）1r R 10E =12-6. 两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2cm 150，电量分别为C 1066.28-⨯±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势. 解： m V εσE 541280102101501085.81066.2⨯=⨯⨯⨯⨯==--- 离A 板mm 0.1处的电势 V Ed U 20010110235-=⨯⨯⨯=-=--12-7. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2.（1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)；（2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度．解：（1）0εσE = 考虑到电场E 垂直于地面向下，故E=-130V/m（2）020220444ερπεπρπερh rdr r r dV E h R R hR R =⋅==∆⎰⎰++ 12-8. 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R <r <2R )的电势． 解：rπελE 02= 12-9. 半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求：（1） 每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容. 解：（1）0044a b a b q q r r πεπε= ①（2）根据电容的定义：0204()4Q Q c a b Uq bπεπε===+ 12-10. 图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小． 解：204rπεQ E = 所以 2)(r a b U a b E -=要使内球表面附近的电场强度最小 （a r =），必须满足0=da dE 2b a = 此时 bU E 4= 12-11. 一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势． 解：00εσS εq E A A AC ==22d E d E V CB AC += 而 2d E V CB C = 所以 )2(210d S εq V V C += 12-12. 两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：接触之前的电势能 L πεQ dr r πεQ W L 022020441==⎰∞接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小金属球带电为q ，大金属球带电为q ' 解得 Q q 52= Q q 58=' 思考题12-1. 一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布.答：应该垂直板面12-2. 在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？答： 21σσ-= 22σσ=12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

真题分类----电场和电路2（21届决赛）四、（ 25 分）由如图所示的电路，其中 E 为内阻可以忽略的电源的电动势，R 为电阻的阻值；K 为开关；A 、 B 右边是如图所标的 8 个完全相同的容量均为 C 的理想电容器组成的电路，问从合上 K 到各电容器充电完毕，电阻 R 上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负）四、（本题25分）为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式。

在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，如图1）。

其上端A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B。

绝缘子的图示如图2所示。

在半径为R1的导体球外紧抱有耐高压的半球形陶瓷绝缘介质。

介质外是一内半径为R2的导体球壳。

已知导体球与导体球壳之间的电压为U时，介质中离球心距离为r处的场强为E=R1R2U/[(R1-R2)r2],场强方向沿径向。

1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度为Ek=135kV/cm,当介质内任一点的场强E>Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能。

为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什么值？此时对应的交流电压的峰值是多少？2.一个铁塔下挂有四个绝缘子组成的绝缘子串（如图1），每个绝缘子的两极间有电容C0,每一绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容），每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）相对于高压输电线有分布电容C2，若高压输电线对地电压有效值？？，试计算系统所能承受的最大电压。

3.若C0=70pF=7×10-11F,C1=5pF,C2=1pF,试计算系统所能承受的最大电压（指有效值）。

五、（本题25分）如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy，y与玻璃管的轴线重合。

湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 2.2电路竞赛试题U U U =⋯=21n n R UR U R U I I I I +⋯++=+⋯++=2121n n R U P 2=总电阻：nR R R R 111121+⋯+= （2）电表改装 ①欲将满偏电流为gI ，内阻为g R 的电流表改装为量程为U 的电压表，需将分压电阻R 和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U 时，就是当电压表两端的电压为U 时，通过电流表的电流为g I ，电流表分担的电压为g U 。

根据串联电路的规律有GVgI gR R gU RUUV U 图2-2-1ggg g g RR U U U R U U R ⋅-=⋅=gg R I Un =即()gg gg gg R n R R I R I U R 1-=⋅-=电压表内阻 gg gg g V nR R R I UR R R =⋅=+=通常，V R 都很大，理想情况下可认为∞→V R 。

②欲将内阻为g R ，满偏电流为g I 的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R 和电流表并联，如图2-2-2所示。

同理可推得gRg R I I R ⋅=gI I n =gg gg R n R I I I 11-=⋅-=通常，R 很小)(g R R <<，可认为电流表内阻R R g =，理想情况下可认为0→R 。

③将电流表改装成欧姆表简易欧姆表接法示意图如图2-2-3所示，0R 为调零电阻，表头内阻为g R ，满偏刻度为g I 。

测量前，应先将两表笔短接，调节0R 使流过表头的电流为g I ，若电池的电动势为ε，内阻为r ，则中R rR R I g g εε=++=如果在两表笔间接一电阻中R R x =1，则电流减半，指针指表盘中央，因此，rR R g ++0称为“中值电阻”，表盘最左刻度对应于∞→2x R ，最右边刻度对应于GGg I gI IRRgR I图2-2-2G+--+R 黑红图2-2-303=x R ，对于任一阻值x R ，若,x g R R nI I +==中ε03=x R得()中R n R x 1-=这就是欧姆表的刻度原理，如欧姆表的中值电阻Ω=k R 2.1中，表盘满偏4/1处的刻度为()Ω=Ω⨯-k k 6.32.114，表盘满偏8/1处的刻度为Ωk 4.8，如图2-2-4所示。

物理应用知识竞赛试题九一、照明电路用电高峰时，电灯就会暗下来，这是由于电灯两端电压降低的缘故。

某同学想测算电灯两端的实际电压，但手头没有交流电压表，只有一块手表、一把带有铭牌的电烙铁、配电盘上还有一块正在运行的带有铭牌的电度表。

他利用这些器材就测算出了照明电路中用电器两端的实际电压，请你说明他的测算方法。

二、某同学在木板上安装如图所示的三只灯泡，巳知灯泡Ｌ１和Ｌ３的电阻分别为Ｒ１＝１０欧，Ｒ３＝２５欧。

连好电路后要测电源电压时，发现连电压表的导线长度不够，于是他用电压表接在Ａ、Ｃ两点时发现读数为15伏，接在Ｂ、Ｄ两点读数为20伏。

则此时电源电压为多少伏？（有不能除的地方保留一位小数）三、网球拍的拍面有若干条经线和纬线，它们组成了一个正方形的小格。

如果光源安装在天花板，球拍在光源正下方，要使经线和纬线在地面的影呈如下所列的形状，应该用什么样的光源，怎样放置球拍？（１）影为正方形格子，边长放大到约为原来的2倍。

（２）影为矩形（不是正方形）。

（３）影为若干条平行的直线。

（４）无论怎样放置球拍都看不清经线和纬线的影。

四、1920年观测到，金牛座‘附近的蟹状星云(如图)对地球的视角正以每年0．21角秒的速率膨胀，当时的视角为180角秒。

似乎巧合的是，我国在宋代至和元年(公元1054年)，就在同一位置，观测到一颗“客星”(即原来看不见而突然出现的亮星，天文学上叫做新星或超新星)。

以上数据是否支持这样的结论，即现在的蟹状星云就是在公元1054年我国观测到的那颗“客星”爆发后形成的?五、一种家用灭蚊器中的电热元件是用钛酸钡材料制成的，它具有控温功能。

图中给出了这种电热元件的电阻随温度变化的曲线。

请你根据这条曲线分析，灭蚊器稳定工作时发热元件处于哪个温度区间，环境温度在哪个区间时这种灭蚊器可以正常使用。

六、1996年清华大学和香港大学的学生合作研制了一辆太阳能汽车。

车上电池的太阳能接收板的在面积是8m2，它正对太阳时电池能产生120V的电压，并对车上的电动机提供10A 的电流。

电学1．如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L = 0.1m ，两板间距离 d = 0.4 cm ，有一束相同微粒组成的带电粒子流从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，已知微粒质量为 m = 2×10-6kg ，电量q = 1×10-8 C ，电容器电容为C =10-6 F ．求(1) 为使第一粒子能落点范围在下板中点到紧靠边缘的B 点之内，则微粒入射速度v 0应为多少？(2) 以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少落到下极板上？1．解析： (1)若第1个粒子落到O 点，由2L ＝v 01t 1，2d ＝21gt 12得v 01＝2.5 m/s ．若落到B 点，由L ＝v 02t 1，2d ＝21gt 22得v 02＝5 m/s ．故2.5 m/s≤v 0≤5 m/s ． (2)由L ＝v 01t ，得t ＝4×10-2 s ．2d ＝21at 2得a ＝2.5 m/s 2，有mg －qE=ma ，E=dcQ 得Q ＝6×10-6C ．所以qQn ＝600个．2．如图所示,一绝缘细圆环半径为 r ，其环面固定在水平面上，方向水平向右、场强大小为E 的匀强电场与圆环平面平行，环上穿有一电荷量为+q 的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动，若小球经A 点时速度方向恰与电场方向垂直，且圆环与小球间沿水平方向无力的作用。

小球沿顺时针方向运动，且qE =mg ，求小球运动到何处时，对环的作用力最大？最大作用力为多大？（若将题中环面改为固定在竖直平面上，则小球运动到何处时，对环的作用力最大？最大作用力为多大？）2．解析：在A 点有qE= mv 12/r ①，A 到B 过程由动能定理得qE ×2r =21mv 22－21mv 12 ②， 在B 点水平方向上有N 1－qE= mv 22/r ③，竖直方向上有N 2 = mg ④，在B 处对环的作用力最大，最大作用力为N = =qE ．3． 如图（甲）所示，A 、B 是真空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场，A 、B 两板间距离 d =15cm 。

全国中学生物理竞赛分类汇编三、（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量m之比q／m）的实验装置如图所示。

真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域。

若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。

现已知极板的长度l＝5.00cm，C、D间的距离d＝l.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L＝12.50cm，U＝200V，P点到O点的距离 3.0==cm；B＝6.3×10－4T。

试求电子的荷质比。

（不计重力y OP影响）。

五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。

两杆的电阻皆为R。

杆cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。

导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。

现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B 、C 两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接。

求图中10μF 的电容器与E 点相接的极板上的电荷量。

第21届复赛五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R ，在空腔内一直径上的P 1和P 2处，放置电量分别为q 1和q 2的点电荷，q 1＝q 2＝q ，两点电荷到球心的距离均为a ．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q '与q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q 2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q '与q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q '、2q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1q '、2q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA 与1OP 的夹角为θ ．七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速v．设导轨足够长，0x也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距x，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab和x cd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系．第20届预赛四、(20分）从z轴上的O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．七、（20分）图预20-7-1中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B板电势为零，A板电势U A随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中U A的最大值为的U0，最小值为一2U0．在图预20-7-1中，虚线MN表示与A、B扳平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．己知上述的T、U 0、l ，q 和m 等各量的值正好满足等式20222163⎪⎭⎫ ⎝⎛=T m q U l 若在交流电压变化的每个周期T 内，平均产主320个上述微粒，试论证在t ＝0到t ＝T ／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A 板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。

高中物理 2.3.电学基本定律竞赛试题2．3．2、欧姆定律①部分电路欧姆定律：导体中的电流强度I 跟它两端所加的电压U 成正比,跟它的电阻R 成反比,即R U I =上式适用于金属导电和电解液导电的情况。

对非线线元件（如灯丝、二极管）和气体导电等情况不适用。

②一段含源电路欧姆定律：电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降落的代数和,其中电势降落的正、负符号规定如下：a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后,如果支路上的电流流向和走向一致,该支路电阻元件上的电势降取正号,反之取负号。

b.支路上电源电动势的方向和走向一致时,电源2R 1R 2R 2I BA的电势降为电源电动势的负值（电源内阻视为支路电阻）。

反之,取正值。

如图2-3-1所示,对某电路的一部分,由一段含源电路欧姆定律可求得：3232222211111R I R I r I r I R I U U B A ----++-=-εεε③闭合电路欧姆定律和电源输出功率 〈1〉闭合电路欧姆定律 闭合电路欧姆定律公式：rR I +=ε路端电压I r U ⋅-=εε⋅+=r R RU对于确定电源ε、r 一定,则I U-图线和R U - 图线如图2-3-2和2-3-3所示。

其中r I m ε=,为电源短路电流。

〈2〉电源输出功率电源的功率()r R I P +==2εε源电源输出功率 ()()rRr R R r R IU P 4222++=⋅+==εε出当r R=时电源输出功率为最大r P 42ε=最大UεOmUεO图2-3-2 图2-3-3此时电源效率50=η%电源输出功率P 随外电阻R 变化如图2-3-4所示,若电源外电阻分别为1R 、2R 时,输出功率相等,则必有212R R r ⋅=例2、如图2-3-5所示电路,设电源电压不变,问：（1）2R 在什么范围内变化时,2R 上消耗的电功率随2R 的增大而增大？（2）2R 在什么范围内变化时,2R 上消耗的电功率随2R 增大而减小？（3）2R 为何值时,2R 上消耗的电功率为最大？解： 先求出2P 随2R 变化的表达式。

电学物理竞赛试题及答案1. 一个电阻R1=10Ω和另一个电阻R2=20Ω串联后接到电压为12V的电源上，求电路中的总电流。

答案：首先计算总电阻Rt，Rt = R1 + R2 = 10Ω + 20Ω = 30Ω。

根据欧姆定律，电流I = V / Rt，其中V为电源电压。

所以，I = 12V / 30Ω = 0.4A。

2. 一个电容器的电容为C=2μF，当它被充电到电压V=10V时，求电容器中储存的电荷量Q。

答案：根据电荷量Q与电容C和电压V的关系，Q = CV。

将给定的值代入公式，Q = 2μF * 10V = 20μC。

3. 一个电路中包含一个电阻R=50Ω和一个电感L=0.1H，当通过该电路的电流I=2A时，求电路的自感电动势E。

答案：自感电动势E与电流I和电感L的关系为E = L * (dI/dt)。

由于题目中没有给出电流变化的时间率，无法直接计算自感电动势。

但如果电流是恒定的，那么自感电动势为0。

4. 一个理想变压器的原线圈有N1=100匝，副线圈有N2=200匝，原线圈两端的电压为V1=220V，求副线圈两端的电压V2。

答案：理想变压器的电压比等于匝数比，即V2 / V1 = N2 / N1。

将给定的值代入公式，V2 = (N2 / N1) * V1 = (200 / 100) * 220V = 440V。

5. 一个电路中包含一个电阻R=20Ω，当通过该电阻的电流为I=1A时，求电阻消耗的功率P。

答案：电阻消耗的功率P与电流I和电阻R的关系为P = I^2 * R。

将给定的值代入公式，P = (1A)^2 * 20Ω = 20W。

物理竞赛练习题《电场》班级____________座号_____________姓名_______________1、半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ，求球心处的电场强度。

2、有一均匀带电球体，半径为R，球心为P，单位体积内带电量为ρ，现在球体内挖一球形空腔，空腔的球心为S，半径为R/2，如图所示，今有一带电量为q，质量为m的质点自L点（LS⊥PS）由静止开始沿空腔内壁滑动，不计摩擦和质点的重力，求质点滑动中速度的最大值。

3、在-d ≤x ≤d 的空间区域内，电荷密度ρ>0为常量，其他区域均为真空。

若在x =2d 处将质量为m 、电量为q （q <0）的带电质点自静止释放。

试问经多长时间它能到达x =0的位置。

4、一个质量为M 的绝缘小车，静止在光滑水平面上，在小车的光滑板面上放一个质量为m 、带电量为+q 的带电小物体（可视为质点），小车质量与物块质量之比M ：m =7：1,物块距小车右端挡板距离为l ，小车车长为L ，且L =1.5l 。

如图所示，现沿平行于车身方向加一电场强度为E 的水平向右的匀强电场，带电小物块由静止开始向右运动，之后与小车右挡板相碰，碰后小车速度大小为碰前物块速度大小的1/4。

设小物块滑动过程中及其与小车相碰过程中，小物块带电量不变。

（1）通过分析与计算说明，碰撞后滑块能否滑出小车的车身？（2）若能滑出，求由小物块开始运动至滑出时电场力对小物块所做的功;若不能滑出，求小物块从开始运动至第二次碰撞时电场力对小物块所做的功。

E物理竞赛练习题 《电势和电势差》班级____________座号_____________姓名_______________1、两个电量均为q =3.0×10-8C 的小球，分别固定在两根不导电杆的一端，用不导电的线系住这两端。

将两杆的另一端固定在公共转轴O 上，使两杆可以绕O 轴在图面上做无摩擦地转动，线和两杆长度均为l =5.0cm 。