数列知识点总结导学案

4.1数列的概念（1）导学案1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an }和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类三、数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…四、数列的通项公式如果数列{an }的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an =(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.1. 下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现2.若数列{an }的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 ① 记王芳第i 岁的身高为 ℎi ，那么ℎ1=75 , ℎ2=87, …，ℎ17=168.我们发现ℎi 中的i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即ℎ1=75 是排在第1位的数，ℎ2=87是排在第2位的数…，ℎ17 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。

数列导学案§2.1 数列的概念及简单表示〔一〕【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】探究点一 数列的概念问题 先看下面的几组例子：〔1〕全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； 〔2〕正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；〔3〕π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； 〔4〕无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；〔5〕当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究 数列中的项与数集中的元素进行比照，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． 〔1〕数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示：〔2〕数列：1，12，13，14，15，…①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝【典型例题】例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． 〔1〕a n ＝cosn π2； 〔2〕b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn ＋1. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．〔1〕a n ＝2n ＋1；〔2〕b n ＝2)1(1n-+例2 根据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式： 〔1〕1，－3,5，－7,9，…； 〔2〕12，2，92，8，252，…；〔3〕9,99,999,9 999，…； 〔4〕0,1,0,1，….小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．跟踪训练2 写出以下数列的一个通项公式： 〔1〕212，414，618，8116，…；〔2〕0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； 〔3〕－12，16，－112，120，….例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1.〔1〕写出它的第10项；〔2〕判断233是不是该数列中的项．小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，假设存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．【当堂检测】1．以下表达正确的选项是 ( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列2．观察以下数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知以下数列：〔1〕2 000,2 004,2 008,2 012； 〔2〕0，12，23，…，n －1n，…；〔3〕1，12，14，…，12n －1，…； 〔4〕1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；〔5〕1,0，－1，…，sinn π2，…； 〔6〕6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4．写出以下数列的一个通项公式： 〔1〕a ，b ，a ，b ，…； 〔2〕－1，85，－157，249，….【课堂小结】1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而到达问题的解决．§2.1 数列的概念及简单表示〔二〕【学习要求】1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．【学法指导】1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．2．数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n＋1＝a n＋a n－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式．探究点一数列的函数特性问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．探究1数列的单调性下面给出了一些数列的图象：a n ＝2n －1a n ＝1na n ＝(－1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把以下单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0. 探究2 数列的周期性已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？探究点二 由简单的递推公式求通项公式问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解以下问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n . 探究2 假设数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解以下问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，试求通项a n .【典型例题】例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1 D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9n n ＋110n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，假设求最大项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；假设求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． 跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，假设数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．【当堂检测】1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n【课堂小结】1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．2．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的有限子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．【拓展提高】§2.2 等差数列〔一〕【学习要求】1．理解等差数列的意义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式． 2．利用a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．【知识要点】1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示．2．假设三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的_________，并且A ＝ . 3．假设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝ ________.4．等差数列{a n }中，假设公差d >0，则数列{a n }为 数列；假设公差d <0，则数列{a n }为 数列．【问题探究】1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，…. 预测它在本世纪回归的时间是2061年．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式． 探究点一 等差数列的概念问题1 我们先看下面几组数列： 〔1〕3,4,5,6,7，…；〔2〕6,3,0，－3，－6，…； 〔3〕1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；〔4〕－1，－1，－1，－1，－1，….观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是问题2 判断以下数列是否为等差数列，如果是，指出首项a 1和公差d ；如果不是，请说明理由： 〔1〕4,7,10,13,16，…； 〔2〕31,25,19,13,7，…； 〔3〕0,0,0,0,0，…；〔4〕a ，a －b ，a －2b ，…； 〔5〕1,2,5,8,11，….探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解． 探究点二 等差数列的通项公式问题 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？探究1 根据等差数列的定义：a n ＋1＝a n ＋d ，可以依次得到a 1，a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n .探究2 由等差数列的定义知：a n －a n －1＝d (n ≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n . 探究点三 等差中项问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 探究 假设数列{a n }满足：a n ＋1＝a n ＋a n ＋22，求证：{a n }是等差数列．【典型例题】例1 已知{a n }为等差数列，分别根据以下条件写出它的通项公式． 〔1〕a 3＝5，a 7＝13；〔2〕前三项为：a,2a －1,3－a .小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪训练1 假设{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪训练3 ℃℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温.【当堂检测】1．假设数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列2．假设a b s ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －aB ．b －a 2C ．b －a 3D ．b －a 43．在等差数列{a n }中，〔1〕已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___； 〔2〕已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___； 〔3〕已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___； 〔4〕已知d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝___.4〔1〕你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ 〔2〕利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？【课堂小结】1．等差数列的判定关键要看a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为一个与n 无关的常数．由于a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n＋1⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以也可以利用2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 的应用极其灵活，公式中的四个量a1，a n，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷．3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．【拓展提高】§2.2 等差数列〔二〕【学习要求】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．2．能运用等差数列的性质解决有关问题．【学法指导】1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．【知识要点】1．等差数列的通项公式：a n＝.2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3．等差数列的性质〔1〕假设{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.〔2〕假设{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.〔3〕假设{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数)是公差为的等差数列．【问题探究】探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有以下性质：〔1〕假设m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.〔2〕假设m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.请你给出证明．探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{a n ＋b n }仍是等差数列，公差为 ；⑤数列{λa n ＋μb n }(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 . 探究点二 等差数列与一次函数的联系探究 由于等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )，与一次函数比照可知，公差d 本质上是相应直线的斜率．如a m ，a n 是等差数列{a n }中的任意两项，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，可知点(n ，a n )分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上．请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：假设m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．例3 已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.〔1〕数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．〔2〕求a n .小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，也可以用a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)进行判断．此题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．跟踪训练3 正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . 〔1〕数列{a n }是否为等差数列？说明理由． 〔2〕求a n .【当堂检测】1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3B ．－3C ．32D ．－322．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝____ 3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 84．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【课堂小结】1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和〔一〕【学习要求】1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n 项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．【知识要点】1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做 .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记做 ；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝ (n ≥2)．2．假设{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝ ；假设首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝ 3．写出以下常见等差数列的前n 项和 〔1〕1＋2＋3＋…＋n ＝ ． 〔2〕1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ . 〔3〕2＋4＋6＋…＋2n ＝ . 4．等差数列{a n }中〔1〕已知d ＝2，n ＝15，a n ＝－10，则S n ＝________； 〔2〕已知a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________； 〔3〕已知a 1＝56，d ＝－16，S n ＝－5，则n ＝_______【问题探究】“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚表达完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．探究点一 等差数列前n 项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n ＝？探究 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，你能利用“倒序相加法”求等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？探究点二 等差数列前n 项和的性质探究1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，易知a 1＋a 2＋…＋a m ，a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ，a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n 项和符号S n 表述为：假设{a n }成等差数列，则S m ， ，_________也成等差数列．探究2 假设数列{a n }是公差为d 的等差数列，求证：数列{S nn }也是等差数列．探究3 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，证明：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，〔1〕a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；〔2〕a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .例2 〔1〕等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； 〔2〕两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以到达化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.〔1〕甲、乙开始运动后几分钟相遇？〔2〕如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n 项和． 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29【当堂检测】1．记等差数列前n 项和为S n ，假设S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．453．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 12＝84，S 20＝460，则S 6＝________. 4．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .【课堂小结】1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，假设已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a n2较好，假设已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋nn －12d 较好． 3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和〔二〕【学习要求】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题．3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论．2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n 项和问题．【知识要点】1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .3．假设等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝___，B ＝ ，C ＝ 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．【问题探究】1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和？这一节课我们就来解答上面的问题．探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究点二 等差数列前n 项和的最值 问题 由于S n ＝na 1＋nn －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ＝0时，S n ＝na 1；当d ≠0时，此解析式可以看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y ＝d2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N *)．。

高二数学1-1 第1课时数列的概念复习导学案新人教A版●课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.●重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注意问题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果. （3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第1课时数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号{a n}表示数列时，不能把{a n}看成一个集合，这是因为：①数列{a n}中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；②数列{a n}中的数是可以重复的，即数列{a n}中可以有相等的项，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如a n.其中的右下角标n表示项的位置序号.(3){a n}与a n是不同的概念，{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…，而a n仅表示数列的第n项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数a n，由于数列{a n}的每一项的序号n与这一项a n的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列可看做是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就没有通项公式.注意：(1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如a n=(-1)n，可以写成a n=(-1)n+2，还-1(n为奇数)可以写成a n= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1(n为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,…根据有限项可以写成a n=2n，也可以写成a n=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项a n 与它的前一项a n-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.②如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列{a n}满足：a1=1，写出这个数的前5项.a n=1+11na(n>1)由题意可知a1=1,a2=1+11a=1+1=2,a3=1+21a=1+21=23，a4=1+31a=1+32=35，a5=1+41a=1+53=58.∴此数列前5项分别为：1，2，23，35，58.本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 .2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 .4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .［答案］ 1.(1)次序 (2)项 (3)｛a n ｝ 首项 通项2.有穷数列 无穷数列3.通项公式4.列表法 图像法 解析法思路方法技巧命题方向 数列的概念［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…;(5)6,6,6,6,6.［分析］ 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决. ［解析］ （1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.变式应用1 下列说法正确的是( )A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列C. 1,4,2, 31，5不是数列 D.数列{2n -3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列 ［答案］ D［解析］由数列的概念知A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A 、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列{2n -3}是确定数列，通项公式为a n =2n -3，但-1,1,3,5，…前4项符合a n =2n -3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列. 命题方向 数列的通项公式［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,…; (2) 32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，…. ［分析］ 通过观察，找出所给出的项与项数n 关系的规律，再写通项公式.［解析］ (1)通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,…其通项公式为2n ，故原数列的一个通项公式为a n =2n +1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列{2n }，分母各项分解因式：1·3,3·5，5·7，7·9,…为相邻奇数的乘积，即(2n -1)·(2n +1)，故原数列的一个通项公式为a n =)12)(12(2+-n n n . (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列21,24，29，216，225，…中，分母为2，分子为n 2，故a n =22n . (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n -1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n +1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n ，综合得原数列的一个通项公式为a n =12)1(2--+n n n =1212-++n n n . ［说明］ 在根据数列的前n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式. 变式应用2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，…;（2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［解析］ （1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为2n ,故原数列通项公式为a n =2n -1,n ∈N +;（2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数，∴a n =n1； （3）0.9=1－0.1，0.99=1－0.01，0.999=1－0.001，…∴第n 项a n =0. 9n 999个=1－0. 0n 000个1=1－n 101. 命题方向 数列通项公式的简单应用［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.［分析］ 由通项公式写出数列的前5项，令a n =17081,判断是否有正整数解即可. ［解析］ a 1=(-1) 0·2112⨯＝21，a 2=(-1) 1·3322⨯＝－94，a 3=(-1) 2·4532⨯＝209. a 4=(-1) 3·5742⨯＝－3516，a 5=(-1) 4·6952⨯＝5425. ∴该数列前5项分别为：21，－94，209，-3516,5425. 令(-1) n -1·)1)(12(2+-n n n =17081得n >1且为奇数8n 2-81n +81=0.∴n =9.所以17081是该数列中的第9项. ［说明］ 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用3 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ）A. 380B. 39C. 32D.23［分析］ 数列{a n }的通项公式f (n )=n ·(n +1)，对于某个数m ，若m 是数列{a n }中的项，则n ·（n +1）=m 必有正整数解.若无正整数解，则m 肯定不是{a n }中的项.［答案］ A［解析］ 依次令n (n +1)=23或32或39检验知无整数解.只有n ·（n +1）=380有整数解n =19.探索延拓创新命题方向 数列的递推公式［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.［分析］ 由a 1=2，a 2=1及递推公式a n +2=3a n +1-a n ,依次找出a 3,a 4,a 5,a 6即可.［解析］ 解法一：∵a 1=2,a 2=1,a n +2=3a n +1-a n ,∴a 3=3a 2-a 1=3×1-2=1,a 4=3a 3-a 2=3×1-1=2,a 5=3a 4-a 3=3×2-1=5,a 6=3a 5-a 4=3×5-2=13,∴a 6+a 4-3a 5=13+2-3×5=0.解法二：∵a n +2=3a n +1-a n ,令n =4,则有a 6=3a 5-a 4,∴a 6+a 4-3a 5=0.［说明］ 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［答案］ 31［解析］ 由递推关系式a n =2a n -1+1和a 1=1可得a 2=2a 1+1=3,a 3=2a 2+1=7,a 4=2a 3+1=15,a 5=2a 4+1=31.名师辨误做答［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数)⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个［误解］ D［辨析］ 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.［正解］ B 将n =1,2,3,4分别代入验证可知①②④均正确.均可以作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.课堂巩固训练一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ）A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项［答案］ B［解析］ 数列2，5，22，11，…的一个通项公式为a n =13-n (n ∈N ＋),令25＝13-n ,得n =7.故选B.2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n ［答案］ C ［解析］ 解法一：验证当n =1时，a 1=0,排除A 、D ；当n =2时，a 2=31,排除B ，故选C. 解法二：数列0，31，21，53，32，…即数列20，31，42，53，64，…， ∴该数列的一个通项公式为a n =11+-n n ,故选C. 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16［答案］ C［解析］ ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,x -10=5∴ , ∴x =15.21-x =6二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .［答案］ 2k +3［解析］∵a n =2n +1,∴a k +1=2(k +1)+1=2k +3.5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1+n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项. ［答案］ 10［解析］ 令a n =1201,即)2(1+n n =1201, 解得n =10或n =-12（舍去）.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3) 53，21,115，73; (4) 32，154，356，638. ［解析］ (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n =(-1) n ;(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42,…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n = (-1) n 3n 2;(3)因为21=84,73=146，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n +2；分子依次为3,4,5,6为序号n +2，故通项公式为a n =232++n n ; (4)因为分母3,15,35,63可看作22-1,42-1, 62-1，82-1，故通项公式为a n =1)2(22-n n =1422-n n . 课后强化作业一、选择题1.已知数列21,32,43,54,…, 1+n n ,则0.96是该数列的（ ） A.第22项 B.第24项 C.第26项 D.第28项［答案］ B［解析］ 因为数列的通项公式为a n =1+n n ,1+n n =0.96得n =24，故选B. 2.已知a n =n 2+n ,那么（ ） A.0是数列中的项 B.20是数列中的项C.3是数列中的项D.930不是数列中的项［答案］ B［解析］ ∵a n =n (n +1),且n ∈N +,∴a n 的值为正偶数，故排除A 、C ；令n 2+n =20,即n 2+n -20=0,解得n =4或n =-5(舍去).∴a 4=20,故B 正确；令n 2+n =930,即（n +31）(n -30)=0.∴n =30或n =-31(舍去)∴a 30=930,故D 错.3.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3……，n }）上的函数.②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.③数列的项数是无限的.④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是（ ）A.①②B.①②③C.②③D.①②③④［答案］ A［解析］ 数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列1，0，-1，0，1，0，-1，0……的通项可以是a n =sin 2πn ，也可以是a n =cos 2)3(π+n 等等. 4.数列2，0，4，0，6，0，…的一个通项公式是（ ）A.a n =2n ［1+(-1) n ］ B.a n =21+n ［1+(-1) n +1］ C.a n =2n ［1+(-1) n +1］ D.a n =21+n ［1+(-1) n ］ ［答案］ B［解析］ 经验证可知B 符合要求.3n +1(n 为奇数)5.已知数列{a n }的通项公式是a n = ,则a 2a 3等于（ ）2n -2(n 为偶数)A.70B.28C.20D.8［答案］ C［解析］ 由通项公式可得a 2=2,a 3=10,∴a 2a 3=20.6.(2012·天津武清区)已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-14n +45，则下列叙述正确的是（ ）A.20不是这个数列中的项B.只有第5项是20C.只有第9项是20D.这个数列第5项、第9项都是20［答案］ D ［解析］ 令a n =20,得n 2-14n +45=0,解得n =5或n =9,故选D.7.已知数列5,11,17，23,29,…,则55是它的第（ ）A.18项B.19项C.20项D.21项［答案］ D［解析］ 观察可得{a n }的通项公式:a n =16-n ,(n ∈N +),55=125=16-n ,所以n =21.8.已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N +满足a p+q =a p +a q ，且a 2=-6，那么a 10等于（ ）A.-165B.-33C.-30D.-21［答案］ C［解析］ ∵对任意p 、q ∈N +都有a p+q =a p +a q .∴a 10=a 8+a 2=a 4+a 4+a 2=5a 2=-30.二、填空题9.已知数列3,3,15,21,33,…, )12(3-n ,…,则9是这个数列的第 项. ［答案］ 14［解析］ 数列可写为3,33⨯，53⨯，73⨯，93⨯，…，)12(3-n ,…, 所以a n =)12(3-n ,令)12(3-n =9.∴n =14.10.已知数列{a n }中，a n +1=22+n n a a 对任意正自然数n 都成立，且a 7=21，则a 5= .［答案］ 1 ［解析］ 由已知a 7=2266+a a =21,∴a 6=32. 又∵a 6=2255+a a =32,∴a 5=1.11.已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =112+++n n n ,则它的前4项为 .［答案］ 23，37，413，521. ［解析］ 取n =1,2,3,4,即可计算出结果.当n =1时，a 1=11111+++=23,当n =2时，a 2=12124+++=37,当n =3时，a 3=13139+++=413, 当n =4时，a 4=141416+++=521. 12.下列有四种说法，其中正确的说法是 .①数列a,a,a ,…是无穷数列；②数列0,-1,-2,-3,…的各项不可能为正数；③数列｛f (n )｝可以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛1，2，…，n ｝的函数值；④已知数列｛a n ｝，则数列｛a n +1-a n ｝也是一个数列.［答案］ ①④［解析］ 题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以②不正确，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛1，2,…,n ｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.三、解答题13.根据数列的通项公式，写出它的前4项：（1）a n =2+n n ; （2）a n =nn)1(-. ［解析］ (1)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,便可得数列｛a n ｝的前4项为:a 1=31,a 2=42=21,a 3=53,a 4=64=32. (2)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,便可得数列｛a n ｝的前4项为：a 1=-1,a 2=21,a 3=-31,a 4=41. 14.数列｛a n ｝的通项公式是a n =n 2-7n +6.（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？［解析］ （1）当n =4时，a 4=42-4×7+6＝－6.（2）令a n =150,即n 2-7n +6=150,解得n =16(n =-9舍)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n =n 2-7n +6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起以后各项都是正数.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=2,a 17=66,通项公式是项数n 的一次函数.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）88是否是数列｛a n ｝中的项？［解析］ （1）设a n =an+b ,∴a 1=a+b =2, ①a 17=17a+b =66, ②②-①得16a =64,∴a =4,b =-2,∴a n =4n -2(n ∈N +).(2)令4n -2=88，∴4n =90,n =245∉N +(舍去)， ∴88不是数列｛a n ｝中的项.16.（1）在数列1, 5,3, 13,17,…中，35是数列的第几项？（2）已知无穷数列：1×2,2×3,3×4,…,n (n +1),…,判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？ ［解析］ (1)∵a 1=1=1,a 2=5=41+,a 3=241⨯+,a 4=341⨯+, 由此归纳得a n =)1(41-+n =34-n .令a n =34-n =35,∴n =12.故35是此数列的第12项.(2)由a n =n (n +1)=420,解得n =20或n =-21（舍去），故420是此数列的第20项.由a n =n (n +1)=421,得n 2+n -421=0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项. ［说明］ 数列{a n }的通项公式为a n =f (n )，对于一个数m ,若m 是此数列中的项，则方程f (n )=m 必有正整数解；反之，若f (n )=m 无正整数解，则m 肯定不是此数列中的项.。

执笔人：姚东盐审核人： 2009 年 10 月日必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。

2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则 ；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为 。

高中数学 第二章《数列》复习课导学案 大纲人教版一、学习目标：1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其几何意义．2．系统运用数列知识解决有关问题．二、预习指导：1．数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n ，数列的前n 项和： n n a a a a S ++++= 321． 2．等差数列⑴等差数列的判定方法:①定义法；②等差中项法．⑵等差数列的通项公式：=n a ．⑶等差数列的前n 项和： n S = ． ⑷等差数列的性质：①等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有=n a ．②对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列．3．等比数列⑴等比数列的判定方法：①定义法；②等比中项法．⑵等比数列的通项公式：=n a ．⑶等比数列的前n 项和：n S = ；当1=q 时，n S ．⑷等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则=n a ．②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列4．数列求和常用方法：三、预习检查1．等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则2349a a a a =____________． 2．已知{}n a 是等差数列，1010a ，其前10项和7010=S ，其公差________d ．3．已知数列的前n 项和29n S n n ，则其通项公式________n a ；若它的第k 项满足58k a ，则=k ____________．4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为____________．5．求数列1111,4,7,248前10项的和． 三、例题：例1 在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += .分析：以等比数列的首项1a 和公比q 为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.变式 已知等比数列{}n a 中前8项的和308=S ，前16项的和15016=S ，求20S . 例2 已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，且11=a ，（1）证明数列{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.变式 已知数列{}n a 的前n 项和满足n a S n n +-=，且211=a ， （1）证明数列{}1-n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .练习：1．数列{}n a 是等比数列，15,a a 是方程2540x x -+=的根，则3a = ． 2．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则数列{}n a 的通项公式为 ．3．数列{}n a 的通项公式是n a =，则它的前10项的和10S = ． 4．数列{}n a 的前n 项的和278n S n n =-，则5a = ．5．在等比数列{}n a 中, 12166,128n n a a a a -+==,且前n 项的和为126n S =,求n q 及公比四、课外作业：做P60页的复习题。

第一章 数 列第1课时 数列的概念一．自“学”提纲（一）知识点1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 . 2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 . 4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .（二）预习自测1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数: (1)7,5,3,1(2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.(1)1+=n na n(2)na n n ⋅-=)1((3)2=n a二．典型“导”例［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…; (5)6,6,6,6,6.［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,…;(2)32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，….变式应用 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31，…; （2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.变式应用 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D.23［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数) ⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 三．练习反馈 一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1 n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式. (1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)53，21,115，73; (4)32，154，356，638. 四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型第2课时 数列的函数特性一．自“学”提纲 （一）知识点 1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列， 数列， 数列和 数列. （2）一般地，一个数列｛a n ｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列； （4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做 数列；（5）如果数列｛a n ｝的各项都相等，那么这个数列叫做 数列. 2.数列的递推公式如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的 与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 公式. 3.a n 与S n 的关系S 1 (n =1) 若数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =(n ≥2)（二）预习自测1. 已知数列{}n a 中的首项,11=a 且满足,21211na a n n +=+此数列的第三项是( ) A. 1 B. 21 C. 43 D. 852. 已知数列{}n a 满足,11=a ),1(,121>-=-n a a n n 则这个数列的前5项分别为____________________________ . 3. 写出下列数列的前5项： (1) ,211=a );1(141>+=+n a a n n(2) ,411-=a );1(111>-=-n a a n n二．典型“导”例［例1］ (1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n }的图像，其中a n =3n -1.［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.变式应用2 写出数列1, 42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性.［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. 三．练习反馈 一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.172.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32 二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . 5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= . 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型§2 等 差 数 列第1课时 等差数列的概念及通项公式一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 . 3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， . （2）如果a n+1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，那么数列{a n }是 . （3）若a,A,b 成等差数列，则A ＝ . 4.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .5.等差数列的单调性 当d >0时，{a n }是 数列；当d =0时，{a n }是 数列；当d <0时，{a n ｝是数列.（二）预习自测1. 在下列选项中选出等差数列 __________（1） -1,1,3(2) 12,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6（4）满足通项公式a n =2n 的数列 （5）满足递推关系a n+1=a n +3的数列(n 为正整数） （6）满足通项公式a n =1n 的数列 （7）3,3,3,3,... (8) 9,8,72. 等差数列{}n a 中，首项a 1=4，公差d=-2，则通项公式为__________3. 等差数列{}n a 中，第三项a 3=0，公差d=-2，则a 1=_______，通项公式为__________4. 等差数列{}n a 的通项公式为n a n23-=，则它的公差为（ ）A ．2 B. 3 C. -2 D. -3二．典型“导”例［例1］ 判断下列数列是否为等差数列. （1）a n =3n +2； （2）a n =n 2+n .1 n =1变式应用1 试判断数列｛c n ｝，c n = 是否为等差数列. 2n -5 n ≥2 ［例2］ 已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11,a 8=5,求a 11.变式应用2 已知等差数列{a n }中，a 10=29,a 21=62,试判断91是否为此数列中的项.［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？变式应用3已知数列｛x n｝的首项x1=3,通项x n=2n p+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［例5］已知数列｛a n｝,a1=a2=1,a n=a n-1+2(n≥3).（1）判断数列｛a n｝是否为等差数列？说明理由；（2）求｛a n｝的通项公式.三．练习反馈一、选择题1.（2011·重庆文，1）在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.182.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.－2D.－33.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题4.在等差数列{a n}中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有个.三、解答题6.在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式a n.四．归纳总结1．知识方面：2．思想与方法方面：3．典型题型第2课时 等差数列的性质一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的项与序号的性质 （1）两项关系通项公式的推广：a n =a m +(m 、n ∈N +).(2)多项关系 项的运算性质：若m+n =p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)，则=a p +a q .特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +)，则a m +a n =.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a 1+a n =a 2+=a k +=2a 21+n (其中n 为奇数且n ≥3).3.等差数列的性质（1）若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①｛c+a n ｝(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； ②｛c ·a n ｝(c 为任一常数)是公差为的等差数列；③｛a nk ｝(k ∈N +)是公差为的等差数列.(2)若｛a n ｝、｛b n ｝分别是公差为d 1、d 2的等差数列，则数列｛pa n +qb n ｝(p 、q 是常数)是公差为的等差数列.（二）预习自测1．在等差数列{}n a 中，102,a a 是方程0532=--x x 的两根，求a 6的值。

2、1、2数列的概念及简单表示法（二）一. 学习目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

二、教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系三、课前知多少？1．函数的表示方法： ．2．什么是数列的通项公式？________________________________________________．四、合作探究 问题解决问题1．如何表示一个数列？ 问题2．你能分别举例说明吗？问题3．谈一谈你对数列表示方法的认识．例题1．下图中的三角形称为谢宾斯基三角形．在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在坐标系中画出它的图象例题2．已知数列}{n a 满足11=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，写出该数列的前5项以及它的通项公式．变式：在本例中，若)2(11≥+⨯=-n n n a a n n ，则其前5项及通项公式又是怎样？思考讨论：1.在本例及其变式中，通项公式你是怎样求出的？谈谈你的做法，并和其他同学交流．2．用递推公式表示一个数列应满足什么条件？3．数列的通项公式和递推公式有什么关系？五．当堂练习1．下列说法不正确的是（ ）A 数列可以用图象来表示B 数列的通项公式不唯一C 数列中的项不能相等D 数列可以用一群孤立的点表示 2．已知31+=+n n a a ，则数列}{n a 是（） A 递增数列 B 递减数列 C 常数列 D 摆动数列。

数列的概念及简单表示法学习目标：1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.学习重点、难点：数列通向公式的求法学法指导：自主探究、合作交流教学流程：一、基础自查（预习并完成5分钟）1．数列的定义按照排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．3. 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、基础练习（自主探究完成5分钟）1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x应等于 ( ) A．11 B．12 C．13 D．142．已知数列{an }的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是 ( )A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是( )A．－3 B．－11 C．－5 D．19三、 典型例题（分组展示完成20分钟）例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….例2 根据下列条件，确定数列{an }的通项公式．(1)a 1＝1，an ＋1＝3an ＋2；(2)a 1＝1，an ＋1＝(n ＋1)an四、当堂检测（10分钟）1．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式a n 是 () A ．(－1)n n 22n ＋1 B ．(－1)n n n ＋2n ＋1C ．(－1)n n ＋22－12n ＋1D ．(－1)n n n ＋22n ＋12．根据下列条件，确定数列{an }的通项公式．(1)在数列{an }中，an ＋1＝3a ，a 1＝3；(2)在数列{an }中，a 1＝1，an ＋1＝ ；(3)在数列{an }中，a 1＝2，an ＋1＝4an －3n ＋1；(4)在数列{an }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足an ＋2－4an ＋1＋3an ＝0.五、课后小结：六、课后作业：限时规范训练1、2、3、4、5、6。

中职数学数列知识点归纳教案总结一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一组数。

2. 通项公式：数列中的每一项可以用一个公式表示，这个公式即为通项公式。

3. 数列的前n项和：数列前n项的和称为前n项和，通常用Sn表示。

二、等差数列1. 概念：等差数列是指数列中两个相邻项之间的差值是常数，称为公差。

2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 前n项和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项，则前n项和的公式为Sn = (a1 + an)n/2。

三、等比数列1. 概念：等比数列是指数列中两个相邻项之间的比值是常数，称为公比。

2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 前n项和公式：设等比数列的首项为a1，末项为an，共有n项，且公比不等于1，则前n项和的公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。

四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列的前两项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2。

2. 等差-等比混合数列：数列中既有等差数列的特点，又有等比数列的特点。

3. 等差数列的平方：若等差数列的首项为a1，公差为d，则该数列的平方数列为a1^2，(a1+d)^2，(a1+2d)^2，...五、常见问题1. 如何找到数列的通项公式？可以观察数列的每一项与前一项的关系，寻找规律，并用公式表示。

2. 如何计算数列的前n项和？根据数列的类型，使用相应的前n项和公式进行计算。

3. 如何利用数列求解实际问题？将实际问题抽象成数列模型，通过计算数列的特定项或前n项和来解决问题。

六、例题解析1. 已知数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

解：根据等差数列的前n项和公式，可得Sn = (2 + (2 + (10-1)3)) * 10 / 2 = 110。

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。

数列的导学案一、引言数列是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本导学案将带领大家系统了解数列的定义、性质以及求解方法，以便能够更好地应用数列解决实际问题。

二、数列的定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

其中，每个数称为数列的项，用a₁、a₂、a₃……表示。

2. 等差数列：当数列中任意两个相邻的数之差都相等时，这个数列称为等差数列。

公差是指等差数列中任意两项之间的差。

等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其公差d为2，其通项公式为aₙ = 1 + (n - 1)2。

3. 等比数列：当数列中任意两个相邻的数之比都相等时，这个数列称为等比数列。

公比是指等比数列中任意两项之比。

等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n - 1)。

例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，其公比r为2，其通项公式为aₙ = 1 * 2^(n - 1)。

三、数列的性质1. 数列的有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。

当数列的所有项都不超过一个定值时，称其为有上界的数列；当数列的所有项都不小于一个定值时，称其为有下界的数列。

同时，有界数列中必然存在最大值和最小值。

2. 数列的单调性：数列可以是递增的，也可以是递减的。

当数列中任意两项的大小关系保持不变时，称其为单调数列。

3. 数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前一项来确定。

通过发现数列中项与项之间的关系，可以得到递归公式或递推关系式。

四、常见数列的求和方法1. 等差数列的求和：等差数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。

等差数列的求和公式为Sn =(n/2)(a₁ + aₙ)。

2. 等比数列的求和：等比数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。

等比数列的求和公式为Sn = a₁(1 - r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。

2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。

3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。

二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。

（2）根据数列的通项公式或递推公式写出数列的项。

2、难点（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。

（2）理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。

三、知识链接1、集合的概念：具有某种特定性质的事物的总体。

2、函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

四、学习过程（一）数列的概念1、观察下列实例：（1）堆放的钢管，自上而下每层的钢管数分别为 4，5，6，7，8，9，10。

（2）正整数 1，2，3，4，5，…（3）－1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…，分别为－1，1，－1，1，…（4）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…思考：以上这些例子有什么共同特点？这些例子的共同特点是：都是按照一定次序排列的一列数。

2、数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。

3、数列的表示数列通常用大写字母 A、B、C、…表示，如数列 A，数列 B 等。

数列的一般形式可以写成：a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{ aₙ ｝。

其中 aₙ 是数列的第 n 项。

4、数列的分类（1）按照项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。

项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。

例如，上述例子（1）是有穷数列，例子（2）（3）（4）是无穷数列。

第1课时数列概念与通项公式一、数列的概念及分类1．数列及其有关概念(1)□01按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：□02数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项通常也叫做□03首项，若是有穷数列，最后一项也叫做□04末项．(3)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为□05{a n}，这里n是□06正整数．2．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列□07项数有限的数列无穷数列□08项数无限的数列(2)二、数列的通项公式1．数列的通项公式□01如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列与函数的关系对任意数列{a n}，其每一项与序号都有对应关系，见下表：序号1234…n…项a1a2a3a4…a n…因此，数列也可以看成是定义域为□02正整数集N*(或它的□03有限子集{1,2,3，…，n})的函数□04a n＝f(n)，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P29例1)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则该数列的一个通项公式为()A.(－1)n＋1n＋1B.(－1)nn＋1C.(－1)nn D.(－1)n－1n(2)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N*，则它的第8项是________，第9项是________．(3)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，则a k＋1＝________.答案(1)A(2)1－1(3)2k＋3探究1数列的概念例1已知下列数列：①2,22,222,2222；②0，12，23，…，n－1n，…；③1，13，19，…，13n－1，…；④－1,0，－1,0，…，(－1)n－12，…；⑤a，a，a，a，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________．(将正确的序号填在横线上)答案①②③④⑤①②③⑤解析①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列，⑤是无穷数列，也是常数列．拓展提升理解数列的概念应注意的几个方面(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的或是无限的．(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的a n＋1与a n的大小来判断，即①若数列{a n}满足a n<a n＋1，则是递增数列．②若数列{a n}满足a n>a n＋1，则是递减数列．③若数列{a n}满足a n＝a n＋1，则是常数列．④若a n与a n＋1的大小不确定时，则是摆动数列．(3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，a n或a n＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1,2,3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，a n，…或a n＝f(n)(n ＝1,2,3，…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾．【跟踪训练1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1,2,22， (263)(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)0,10,20， (1000)(5)－1,1，－1,1，…；(6)6,6,6，…；(7)0，－1,0，…，cos nπ2，….解(1)是无穷递减数列．(2)是有穷递增数列．(3)是无穷数列，也是摆动数列．(4)是有穷递增数列．(5)是无穷数列，也是摆动数列．(6)是无穷数列，也是常数列．(7)是无穷数列，也是摆动数列．探究2 利用观察法求数列的通项公式例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，…； (3)11×2，－12×3，13×4，－14×5，…； (4)3，3，15，21，33，…； (5)0.9,0.99,0.999,0.9999，…； (6)32，1，710，917，…； (7)12，2，92，8，….解 (1)∵各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n －12n . (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ＋11n (n ＋1).(4)原数列可化为3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3，后一个因式为2n －1，故原数列的通项公式为a n ＝3(2n －1).(5)将原数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001，…，故原数列的通项公式为a n＝1－10－n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫110n . (6)将原数列变形为32，55，710，917，….对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1.故原数列的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(7)将数列变形为：12，42，92，162，…，可知分子为n 2，分母为2.∴a n ＝n 22.[变式探究] 把本例(5)改为“0.6,0.66,0.666,0.6666，…”又如何求通项公式呢？解 数列0.6,0.66,0.666,0.6666，…的通项公式为a n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n .拓展提升用观察法求数列通项公式的一般规律此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n 或(－1)n ＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【跟踪训练2】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…；(2)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (3)7,77,777，…； (4)0,3,8,15,24，…； (5)－1,7，－13,19，…； (6)3,5,3,5,3,5，….解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)分母为2n ，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此第1项为－2－32，因此原数列可以化为－2－32，22－322，－23－323，24－324，…，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·2n －32n .(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，所以a n ＝79(10n －1)．(4)观察数列递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，很快发现a n ＝n 2－1.(5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n 或(－1)n ＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式a n ＝(－1)n (6n －5)．(6)此数列为摆动数列，奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n 为奇数)，5(n 为偶数).此数列两项3与5的平均数为3＋52＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作a n ＝4＋(－1)n .探究3 数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项． 拓展提升判断某数是否为数列的项的步骤(1)将所给某数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明某数是该数列的项；若n 不是正整数，说明某数不是该数列的项.【跟踪训练3】 已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)试问110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由题意易得：a 4＝442＋3×4＝17，a 6＝462＋3×6＝227.(2)令4n 2＋3n＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8， 由n ∈N *，故n ＝－8舍去． 所以110是数列的第5项． 令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，由n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．[规律小结]1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．3.有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． [走出误区]易错点⊳忽略数列中n 的取值范围致误[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项．[错解档案] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818， ∴数列{a n }中的最大值为10818.[误区警示] 可以将数列的通项公式看作函数，因为n 为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R 而导致出错．[规范解答] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.[名师点津] 数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2，…，n })这一约束条件．1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④答案 B解析 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n 答案 C解析 对于A ，a n ＝1n ，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，它是无穷递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项答案 C解析 由n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．4．如图所示是某一系列有机物的结构简图，图中的小黑点表示原子，两黑点间的短线表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键________个．答案 5n ＋1解析 各图中短线的个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，将6视为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，1＋5＋5＋5＋5，…于是第n 个图有化学键5n ＋1个．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③ D ．①②答案 C解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.2．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( )①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)； ③a n ＝sin 2n π2； ④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎨⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n π C ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2) 答案 D解析 当n ＝1时，D 不满足，故选D. 4．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1； ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确；对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 二、填空题5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析令2n2＋n＝110，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以110是第4项．6．已知在数列{a n}中，a1＝4，a n＋1＝f(a n)，n∈N*，函数y＝f(x)的对应关系如下表，则a2017＝________.答案4解析由已知条件得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝4.∴数列{a n}是周期数列，a n＋2＝a n，∴a2017＝a1＋1008×2＝a1＝4.7．已知数列{a n}的通项公式为，则a n＝10n－1，那么数列{b n}的通项公式可化为b n＝_________.答案89(10n－1)解析三、解答题8．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：(1)1，－2,3，－4,5，…；(2)5,55,555,5555，…；(3)1，23，12，25，…；(4)1,3,6,10,15，…；(5)12，45，910，1617，…；(6)1，－13，17，－115，131，….解(1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n＝(－1)n＋1·n.(2)因为数列9,99,999,9999，…的第n项为10n－1，数列1,11,111,1111，…的第n项应为19(10n－1)，从而数列5,55,555,5555，…的通项公式是a n＝59(10n－1)．(3)各项的分母依次为1,3,2,5，似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果是2,3,4,5就好了，又注意到奇数项的分子为1，故将奇数项的分子、分母同乘以2，于是得到a n＝2n＋1.(4)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，∴数列的通项公式为a n＝n·(n＋1)2.(5)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为a n＝n2n2＋1.(6)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.9．已知函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2 a n)＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是递增数列．解(1)由已知，得即a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1，因为0<x<1，即0<2 a n <1，所以a n＝n－n2＋1.(2)证明：因为a n ＋1a n＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1，而a n <0(n ＝1,2,3，…)，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N *，∵a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4－1n 2＋5n ＋4 ＝－2(n ＋3)[(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4]·(n 2＋5n ＋4)<0，∴数列{a n }是递减数列．(2)因为n ∈N *，所以n 2＋5n ＋4>0，则a n ＝1n 2＋5n ＋4>0，故数列{a n }没有负数项．B 级：能力提升练1．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2. 2．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年～公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.。

导学案：数列一.说明及学法指导1. 结合问题导学自学课本P25---P28页，用红笔勾出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2. 针对预习自学及合作探究找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。

二.重点难点了解数列是一种特殊的函数，理解数列的通项公式，会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式。

三.学习目标1（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数。

（2）理解数列的通项公式，会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式。

2.通过独立思考，合作探究，让学生经历发现和推理过程。

3.以极度的热情投入到学习中，体验探索的乐趣，享受成功的快乐。

四.问题导学问题1：数列的概念是什么？你能举出例子吗？问题2：概念中关键的字词有哪些？你是如何理解的？问题3：数列的通项公式怎样定义的？是不是所有的数列都能写出通项公式？问题4：如何理解数列的通项公式与函数的关系？问题5：数列如何分类？五.合作，探究，展示例1根据下面数列}n a 的通项公式，写出它的前5项：（1）21;21n n a n -=- （2）sin .2n n a π= 例2根据下面数列}n a 的通项公式，写出它的前10项:（1）11(1);21n n n a n ++=-∙- （2）(1)1cos .2n n a π-=+ (3)请判断5199是不是第（1）小题中那个数列的项。

规律方总结____________________________________________________________________ 例3写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1 ， 3 ， 5 ， 7； （2）0， 2， 0 ，2;（3）2468,,,. 3153563 ----规律方总结____________________________________________________________________例4.已知函数1(),xf xx-=设()()na f n n N+=∈求证：（1）1;na<（2）{}n a是递增数列还是递减数列？为什么？规律方总结____________________________________________________________________六.本节小结1.数学知识，题型及方法；2.数学思想。