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高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）【选修1-2第三章】3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．“复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列命题正确的是( ) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i B．－5＋5i C．2＋i D.5＋5i 4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )A.12B．2 C．0 D．15．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0C．1 D．－1或16．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A．2kπ－π4(k∈Z) B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z) D.k2π＋π4(k∈Z)二、填空题7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝______，n＝______.8．给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．三、解答题9.已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．10．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m 的取值范围．3.1.1答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B7．2 ±2 8．19．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2. 10．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.。
板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。
【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
数系的扩充和复数的概念教学设计教学过程创设情景、提出问题（导学）1.提出问题几岁开始学习数学？最早学习的数学知识是什么？认数字（自然数）2.回顾数系的扩充自然数→整数→有理数→实数2．方程21x=-在实数集中无解，那怎么解决呢？引入新数由于生产生活的需要和数学本身的矛盾，只有自然数显然不够，因此数系在不断扩充播放视频，（负数的产生，分数的产生，无理数的产生）通过数系的扩充，让学生感受数系的发展与生活是密切相关的。
通过引入虚数i,让学生感受到数学精神的博大和学习虚数的必要性。
自主探究，形成概念（读学，群学）引入虚数单位i，满足：(1)1i2＝－;(2)实数可以与i进行四则运算。
1、基本概念（1）复数定义：形如a bi+的数叫做复数，通常用小写字母z,记为z a bi=+（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部,其中Rba∈,。
数集{}RbabiazzC∈+==,,|叫做复数集。
探究：由上题可以看出，复数可以表示实数，也可以表示虚数。
当实数,a b取何值时，它为实数？虚数？当b=0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；学习了复数的定义后，体会复数可以表示为实数、虚数，为下一步复数的分类奠定基础。
学生总结：CR≠⊂由学生回答，体现思维总结过程。
当b ≠0，a =0时，称z 为纯虚数；完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数） 2-3i 6i2i实部虚部 分类2、复数的相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．记作：a bi c di a c +=+⇔=且b=d 。
R d c b a ∈,,, 特别的：0,00==⇔=+b a bi a注意：两个复数不全是实数时，不能比较大小，但两个复数都是实数时，可以比较大小．典例剖析，注重思维 （群学，练学）例1 实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m -1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例2 已知（x+y ）+（x-2y ）i=（2x-5）+（3x+y ）i ，求实数x,y 的值.引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论说明：这类问题仍要分清复数的实部和虚部，从而利用复数相等的定义解得参数的值。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数概念2
（检测教师版）
时间:40分钟 总分：60分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.
【答案】 C
2．复数z ＝1＋3i 的模等于( )
A ．2
B ．4 C.10 D ．2 2
【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C.
【答案】 C
3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(1，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5，∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.
【答案】 A
4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，
则向量OB →对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.
【答案】 B
5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )
A ．－5＋2i
B ．－5－2i
C ．－5＋3i
D ．－5－3i
【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝－52＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点
在第二象限，则b ＝2，∴z ＝－5＋2i.
【答案】 A
6．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )
A ．直线
B ．圆心在原点的圆
C ．圆心不在原点的圆
D ．椭圆
【解析】 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．
【答案】 C
二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）
7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．
【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1<x <5，x <2，∴1<x <2. 【答案】 (1,2)
8．已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．
【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．
又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
三、解答题（共2小题，共20分）
9．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y ＝x 上．
【解】 (1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧ m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧
m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3， 此时复数z 对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3，
∴m 2－6m －11＝0，∴m ＝3±25，
此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．
10．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32
i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，并求出各复数 的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
【解】 根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3
的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，⎝⎛⎭⎫12
，－32，
则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．
|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭
⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称， 且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
